1、19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于热传导的著名论文中提出了傅里叶级数热传导的著名论文中提出了傅里叶级数 傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学科的各个领域科的各个领域 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换(2-D Fourier Transform,FT)Fouriers theorem is not only one of the most beautiful results of modern analysis,but it may be said to furnish an indispensable
2、 instrument in the treatment of nearly every recondite question in modern physics.Lord KelvinFourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,.,由积分可知由积分可知1.三角函数集三角函数集 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集tntn11sin,cos0sinc
3、os2211TTtmtnnmnmTtmtnTT,0,2coscos2211nmnmTtmtnTT,0,2sinsin22111.3.1傅里叶级数傅里叶级数(Fourier Series)在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数 1112 ,f tTT周期信号周期为基波角频率为 sincos)(1110nnntnbtnaatf直流分量直流分量TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度TttnttntfTa00dcos)(21正弦分量的幅度正弦分量的幅度TttnttntfTb00dsin)(213系数系数利用复
4、变函数的正交特性利用复变函数的正交特性也可写也可写为为Fn1复指数正交函数集复指数正交函数集1j e 0,1,2ntn 2级数形式级数形式 e)()(1j1tnnnFtf11111j01jj0()ed()eedTntTntntf ttF ntdtetfTtjnT1101)(1dtetfTnFtjnT11011)(1)(1j1()()entnf tF n 对变换对惟一确定，上两式是一，则如给出tfnF)(1的线性组合区间上的指数信号周期信号可分解为tn1je,三角形式三角形式1110sincos)(nnntnbtnaatf110cosnntncc指数形式指数形式tnnnFtf1j1e)()(都是
5、都是离散求和的形式离散求和的形式，表明，表明(1)一个随时间或空间变化的周期函数一个随时间或空间变化的周期函数(信号信号),可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠加各简谐波分量的频率为加各简谐波分量的频率为 ,是离散的，取值是离散的，取值为为0,为直流分量，为直流分量，为基为基频，其余为高次谐波分量频，其余为高次谐波分量)(tf1n 11213101(2)是其中一个简谐波成分，或是其中一个简谐波成分，或是该简谐波成分的权重，它是频率的函数，是该简谐波成分的权重，它是频率的函数，称为傅里叶频谱称为傅里叶频谱(简称频谱简称频谱)Fourier
6、Spectrum1exp()jnt1()F n(,)nna b)(tf：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱22j11111de)(1)(TTtnttfTnF谱系数0 再用再用 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数频谱密度函数.1 nF11 2 T谱线间隔0 1TtnnnFtf1j1e)()(1T 1T 单位频带上的单位频带上的频谱值频谱值22j11111de)(1)(TTtnttfTnFfnFTnFnFT111111时，当1T 0)
7、(,0111nFTf有界函数fnF1连续111dnn频谱密度函数频谱密度函数(spectrum density function)，简称，简称频谱函数频谱函数w1T 11lim1nFTFT22j1111de)(limTTtnTttfdtetftjn1)(21T21T f tFj()()ed()tFf ttf tFj11()d2tf tFeFF1.3.2傅里叶变傅里叶变换换1.直角坐标系内的二维傅里叶变直角坐标系内的二维傅里叶变换换二元函数的二元函数的傅里叶变换傅里叶变换(即傅里叶谱或即傅里叶谱或频谱频谱)定义为定义为),(yxf其其傅里叶逆变换傅里叶逆变换定义为定义为 dxdyyxjyxfF)
8、(2exp),(),(ddyxjFyxf)(2exp),(),(非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，是各频率成分的权重因子是各频率成分的权重因子(weighting factor),(F在电信号处理、通信中，一般是在电信号处理、通信中，一般是1D的时间信的时间信 号，经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换号，经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换.在光学中，多数情况下研究的对象是在光学中，多数情况下研究的对象是2D或或3D 图像处理或成像，一般是二维或三维空间分图像处理或成像，一般是二维或三维空间分 布布(可表示为二维或三维空间函数可表示为二维或三维
9、空间函数).可分离变量可分离变量函数的傅里叶变函数的傅里叶变换换 If the two-dimensional function is separable,its FT is the product of two one-dimensional FTs.Let (,)()()g x yf x h yand ()()f xFF()()h yHFThen (,)()()()()g x yf x h yFHFF2.极坐标系内的二维傅里叶变换极坐标系内的二维傅里叶变换sin,cossin,cosryrx122122tan,tan,xyyxr或或1)定义式定义式对于具有对于具有圆对称的圆对称的函数，采函
10、数，采用极坐标用极坐标形式比较形式比较方便方便.dxdyyxjyxfF)(2exp),(),(cos,sinxryrcos,sin 20 0(cos,sin)(cos,sin)exp2cos()Ff rrjrrdrd )sin,cos(),(FG)sin,cos(),(rrfrg 020)cos(2exp),(),(drdrjrrgG 020)cos(2exp),(),(ddrjGrg2)傅里叶贝塞尔变换傅里叶贝塞尔变换(FT for the case of Circular Symmetry)圆对称函数，有圆对称函数，有)(),(rgrg20000(,)(,)()()exp2cos()2()
11、(2)Gg rg rrg rjrddrrg r Jr dr FF其中，利用了其中，利用了贝塞尔函数贝塞尔函数关系式关系式)(2)cos(exp020Jdj)(0J式中是第一类零阶贝塞尔函数式中是第一类零阶贝塞尔函数(is a Bessel function of first kind,zero order)与无关，表明与无关，表明圆对称函数圆对称函数的傅里叶变换和逆变换仍为圆对称的傅里叶变换和逆变换仍为圆对称，可表示为，可表示为 drrJrrgG)2()(2)(00drJGrg)2()(2)(00圆对称函数的傅里叶正变换和逆变换的运算形式圆对称函数的傅里叶正变换和逆变换的运算形式 相同，常称之
12、为相同，常称之为傅里叶贝塞尔傅里叶贝塞尔变换变换(Fourier-Bessel transform)3.傅里叶变换存在及其应用条件傅里叶变换存在及其应用条件(Requirements)To use Fourier Transform(FT),there are requirements on:System and Signal.1)System Requirements To use FT the system must be:a.Linear:Nonlinear systems often use specialized methods unique to each system.No ge
13、neral theory exists for nonlinear systems.b.Time or space invariant.c.Memoryless.2).Signal Requirements(绝对可积及狄里赫利条件绝对可积及狄里赫利条件)To use FT the signal must be:(,)f x ya.must be absolutely integrable over the infinite xy plane;(,)f x yb.must have only a finite number of discontinuities and a finite numb
14、er of maxima and minima in any finite rectangle;(,)f x yc.must have no infinite discontinuities.(,)f x y(,)f x y dxdy 说明：说明：(1)物理上的可能性是保证傅里叶变换存在的充分物理上的可能性是保证傅里叶变换存在的充分条件即物理上实际存在的物理量条件即物理上实际存在的物理量(如各种随时间如各种随时间或空间变化的函数或空间变化的函数)，其傅里叶变换总是存在的，其傅里叶变换总是存在的R.N.Bracewell曾指出：曾指出：物理上的可能是一个变换存在的有效的充分条物理上的可能是一个变
15、换存在的有效的充分条件件(Physical possibility is a valid sufficient for the existence of a transform)(2)物理上，为了数学描述的方便，常引入一些理想物理上，为了数学描述的方便，常引入一些理想化的函数化的函数(idealized mathematical functions)(物理上物理上不能严格存在不能严格存在)，如正余弦函数、常数、阶跃函数、，如正余弦函数、常数、阶跃函数、函数等，尽管它们的经典意义下的傅里叶变换不存函数等，尽管它们的经典意义下的傅里叶变换不存在，但可以引入在，但可以引入广义傅里叶变换广义傅里叶变换
16、引入广义傅里叶引入广义傅里叶变换变换(generalized FT)后，不仅在理论上成立、自洽，后，不仅在理论上成立、自洽，在应用上也能得出符合实际的结果在应用上也能得出符合实际的结果1.3.3广义傅里叶变换广义傅里叶变换 1.极限意义下的傅里叶变换极限意义下的傅里叶变换)()(limxfxfnn)(xf无经典意义下的傅里叶变换但和一个无经典意义下的傅里叶变换但和一个函数序列具有以下关系函数序列具有以下关系 )(xf),2,1)(nxfn()()nnFfxF而函数序列中的每一个函数，其狭义傅里叶而函数序列中的每一个函数，其狭义傅里叶变换变换()nfx都存在，而且在时，函数序列也有都存在，而且在
17、时，函数序列也有确定的极限，则定义确定的极限，则定义)(nFn()()()limlimnnnnf xfxFFF(1)可先定义一个函数序列可先定义一个函数序列/,0()0,0,0 x nnx nexfxxex,2,1n可见可见1,0sgn()lim()0,01,0nnxxfxxx例如：不满足绝对可积条件，例如：不满足绝对可积条件，无经典意义无经典意义下的傅里叶变换下的傅里叶变换sgn()x2()()()jxnnnFfxfx edxF02/02/dxeedxeexjnxxjnx22)2(14nj(2)求的傅里叶变换求的傅里叶变换()nfx(3)的极限即为傅里叶变换的极限即为傅里叶变换()nFsgn
18、()x()sgn()()limnnFxFF224()1(2)limnjn1,00,0j2函数的傅里叶变函数的傅里叶变换换2()()1jxxx edxF)(x即的傅里叶变换是常数即的傅里叶变换是常数1 那么常数那么常数1的傅里叶逆变换是否成立呢？的傅里叶逆变换是否成立呢？11()xF根据函数的广义定义，只要证明在积根据函数的广义定义，只要证明在积分中的作用相当于函数即可分中的作用相当于函数即可)(x11F)(x根据函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换根据函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换设有一个函数，它在处连续，并且其设有一个函数，它在处连续，并且其傅里叶变换存在，即有：傅里叶变换存在，即
19、有：()f x0 x()()f xFF 11()1 exp(2)()f x dxjx df x dx F()exp(2)f xjx dx d()()(0)FdFdf证明：证明：可见在积分中的作用可见在积分中的作用相当于相当于函数，所函数，所以有，即存在：以有，即存在：11F)(x11()xF()1x类似的有类似的有 1()F即即)(2dxexj00exp(2)()jx 00()exp(2)xxjx还有还有3.广义傅里叶变换计算举例广义傅里叶变换计算举例(1)阶跃函数阶跃函数 的傅里叶变换的傅里叶变换step()x1step()1 sgn()2xx1step()1 sgn()211 sgn()2
20、2xxxFFFF11()2j(2)梳状函数梳状函数 的傅里叶变换的傅里叶变换(a为正实数为正实数)comb()xa1comb()()()()nnnxxnxnaaxnaaaa周期为周期为a，频率为，频率为1/a 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数 comb()exp(2/)nnxcjnx aa1)(1)(12/2/2/2/0aanaadxnaxaadxxfac1)(1)(12/2/22/2/2aananxjaaanxjndxenaxaadxexfaccomb()exp(2/)nxjnx aa所以所以comb()exp(2/)exp(2/)exp(2)nnxjnx aajnx ajx dx FF()
21、()comb()nnnaanaaa 1a若，则有若，则有 comb()exp(2)nxjnxcomb()comb()xF常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对频谱函数频谱函数1原函数原函数1(,)(,)x ysgn()sgn()xy11jjexp 2()jaxby(,)ab(,)xa ybexp2()jab0cos2x001()()2 step()x11()22j 原函数原函数频谱函数频谱函数()()xy22sinc()sinc()comb()comb()xycomb()comb()22exp()xy22exp()circ()r1(2)J原函数原函数频谱函数频谱函数rect()rect()xysinc()sinc()
