1、灿若寒星灿若寒星*整理制作整理制作对对于于方方程程200axbxca（）.（2）方方程程两两边边同同除除以以a，得得.（1 1）将将常常数数项项移移到到方方程程的的左左边边，得得.（3 3）方方程程两两边边同同时时加加上上_ _ _ _ _ _ _ _，得得左左边边写写成成完完全全平平方方式式，右右边边通通分分，得得2axbxc 2bcxxaa 2()2ba222()().22bbcbxxaaaa 2224().24bbacxaa（4 4）开开平平方方用用配配方方法法解解200axbx ca（）.2224().24bbacxaaa0,4a20,2240,4baca24.22bbacxaa 24
2、.2bbacxa 221244,.22bbacbbacxxaa 当当b24ac0时时，特特别别提提醒醒推推导导时时必必须须写写240bac 24bac 一一元元二二次次方方程程20(0)axbxca解解的的情情况况由由决决定定:(1)当当时时，方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根；240bac (2)当当时时，方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根；240bac (3)当当时时，方方程程没没有有实实数数根根.根根的的判判别别式式一一元元二二次次方方程程20(0)axbxca.的的根根由由方方程程的的系系数数a，b，c确确定定240bac242bbacxa 将将a，b，c代代入
3、入式式子子当当解解一一元元二二次次方方程程时时,可可以以先先将将方方程程化化为为一一般般形形式式由由求求根根公公式式可可知知,一一元元二二次次方方程程最最多多有有两两个个实实数数根根一一元元二二次次方方程程的的求求根根公公式式利利用用它它解解一一元元二二次次方方程程的的方方法法叫叫做做公公式式法法，时时，例例1.用用公公式式法法解解方方程程2x2+5x-3=0解解:a=2,b=5,c=-3,b2-4ac=52-42(-3)=491、把把方方程程化化成成一一般般形形式式。并并写写出出a，b，c的的值值。2、求求出出b2-4ac的的值值。x=即即x1=-3,用用公公式式法法解解一一元元二二次次方方
4、程程的的一一般般步步骤骤：求求根根公公式式:X=4、写写出出方方程程的的解解：x1=?,x2=?3、代代入入求求根根公公式式:X=(a0,b2-4ac0)(a0,b2-4ac0)x2=填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0解：a a=，b b=，c c=.b b2 2-4 4a ac c=.x x=.=.即x x1 1=,x x2 2=.3 35 5-2 25 52 2-4 43 3(-2 2)4 49 9-2 2求求根根公公式式:X=1 1.用用公公式式法法解解下下列列方方程程：(1 1)x x2 2+2 2x x=5 5(a0,b2-4ac0)61224202420445,2,1052:
5、22xacbcbaxx解61,6121xx例2用公式法解方程：x x2 2x x-=0 0解：方程两边同乘以3 3,得2 2x x2 2-3 3x x-2 2=0 0 x x=即x1=2,x2=-例3用公式法解方程：x x2 2+3 3=2 2x x解：移项，得x2 2-2 2x x+3 3=0 0a a=1 1，b b=-2 2，c c=3 3b b2 2-4 4a ac c=(-2 2)2 2-4 41 13 3=0 0 x x=x x1 1=x x2 2=当当时时，一一元元二二次次方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根。b2-4ac=0a=2，b=-3，c=-2.b2-4ac=(-
6、3)2-42(-2)=25.2.用用公公式式法法解解下下列列方方程程：(4 4)4 4x x2 2-3 3x x+2 2=0 00212)3(2xx022421,2,:2acbcba解.2221 xx20220)2(x02332942,3,4:2acbcba解.方程没有实数根当当时时，一一元元二二次次方方程程没没有有实实数数根根。b2-4ac0解解：去去括括号号，化化简简为为一一般般式式：242bbacxa 例例4解解方方程程：2136xx23780 xx这这里里3a 、b=-7、b=-7、c=8c=822474 3 84996470bac -（）方方程程没没有有实实数数解解。用用公公式式法法
7、解解一一元元二二次次方方程程的的一一般般步步骤骤：242bbacxa 3、代代入入求求根根公公式式:2、求求出出的的值值，24bac 1、把把方方程程化化成成一一般般形形式式，并并写写出出的的值值。a b、c c4、写写出出方方程程的的解解：12xx、特特别别注注意意:当当时时,方方程程无无实实数数解解;240bac.,042根一元二次方程才有实数时当 acb3、练练习习:用用公公式式法法解解方方程程:x2 2-2x+2=0.1、方方程程3x x2 2+1 1=2 2x x中中，b2-4ac=.2、若若关关于于x的的方方程程x2-2nx+3n+4=0有有两两个个相相等等的的实实数数根根，则则n
8、=.动动手手试试一一试试吧吧！0-1或或408842,22,1:2acbcba解.221 xx202220)22(x1、m取取什什么么值值时时，方方程程x2+(2m+1)x+m2-4=0有有两两个个相相等等的的实实数数解解思思考考题题174164144)4(4)12(4,4,12,1:222222mmmmmmacbmcmba解.417,0174mm得由.,04,4172实数解则原方程有两个相等的时当acbm思思考考题题2、关关于于x的的一一元元二二次次方方程程ax2+bx+c=0(a0)。当当a，b，c满满足足什什么么条条件件时时，方方程程的的两两根根为为互互为为相相反反数数？;24,24:,
9、04,0:22212aacbbxaacbbxacba方程的根为时当解,21xx又.,0,0数原方程的两根互为相反时当acb,242422aacbbaacbb,242422aacbbaacbb即,0,0acb此时本本节节课课我我有有哪哪些些收收获获？我我认认为为本本节节课课的的重重点点是是什什么么？想想一一想想记记一一记记问问一一问问我我还还有有哪哪些些疑疑点点？课课下下可可要要多多交交流流呦呦！解一元二次方程时应先化为一般形式，然后利用公式法求得方程的根.这是解一元二次方程的通法.用公式法解一元二次方程时,必须把方程化为一般形式才能正确确定出a、b、c.在代入公式求解前,要先计算b2-4ac的
10、值.我我们们把把b2-4ac叫叫做做一一元元二二次次方方程程ax2+bx+c=0(a0)的的根根的的判判别别式式,通通常常用用表表示示.总结提高判判别别式式定定理理当当b2-4ac0时时,方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根当当b2-4ac=0时时,方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根当当b2-4ac0时时,方方程程没没有有实实数数根根当当b2-4ac0时时,方方程程有有两两个个实实数数根根若若方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根,则则b2-4ac0总结提高判判别别式式逆逆定定理理若若方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根,则则b2-4ac=0若若方方程程
11、没没有有实实数数根根,则则b2-4ac0若若方方程程有有两两个个实实数数根根,则则b2-4ac0即即一一元元二二次次方方程程：200axbxca当当时时，方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根；0 当当时时，方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根；0 当当时时，方方程程没没有有实实数数根根。0 反反过过来来，有有当当方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根时时，；0 当当方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根，；0 当当方方程程没没有有实实数数根根，。0 记记住住了了，别别忘忘了了!一一元元二二次次方方程程根根的的判判别别式式acb42两两个个不不相相等等实实根根
12、两两个个相相等等实实根根无无实实数数根根（1）（2）（3）0=00（4）00两两个个实实数数根根两两个个不不相相等等实实根根两两个个相相等等实实根根无无实实数数根根（1）（2）（3）（4）要要点点、考考点点1 1.一一元元二二次次方方程程a ax x2 2+b bx x+c c=0 0(a a0 0)根根的的情情况况：(1 1)当当0 0时时，方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根；(2 2)当当=0 0时时，方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根；(3 3)当当0 0时时，方方程程无无实实数数根根.(4 4)当当0 0时时，方方程程有有两两个个实实数数根根2 2.根根据据根根
13、的的情情况况，也也可可以以逆逆推推出出的的情情况况，这这方方面面的的知知识识主主要要用用来来求求字字母母取取值值范范围围等等问问题题.1 1.求求判判别别式式时时，应应该该先先将将方方程程化化为为一一般般形形式式.2 2.应应用用判判别别式式解解决决有有关关问问题题时时，前前提提条条件件为为“方方程程是是一一元元二二次次方方程程”，即即二二次次项项系系数数不不为为0 0.应应用用1.不不解解方方程程判判断断方方程程根根的的情情况况：(1)x2-2kx+4(k-1)=0(k为为常常数数)(2)x2-(2+m)x+2m-1=0(m为为常常数数)=4(k2-4k+4)=4(k-2)2解解：=4k2-
14、16k+160方方程程有有两两个个不不等等实实根根解解：=m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+40方方程程有有实实根根含含有有字字母母系系数数时时，将将配配方方后后判判断断1 1、不不解解方方程程，判判断断根根的的情情况况.(1)2x2-4x-5=0;(2)x2-(m+1)x+m=0.224(4)4 2(5)bac =56 0方程有两个不相等的实数根；224(1)4 1bacmm 2214mmm 2(1)m当当m-1=0时时，0方程有两个相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；当当m-10时时，解：解：(1)、若若关关于于x的的一一元元二二次次方方程程(m-1)x2-2mx+m=
15、0有有两两个个实实数数根根，则则m的的取取值值范范围围是是（）A、m0B、m0C、m0且且m1Dm0且且m1解：由题意，得m-10=（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且m1，故应选DD应应用用2：根根据据方方程程根根的的情情况况判判断断某某一一字字母母取取值值范范围围(3)m为为何何值值时时,关关于于x的的一一元元二二次次方方程程m2x2+(2m+1)x+1=0有有两两个个不不等等实实根根？解解：=(2m+1)2-4m2=4m+1若若方方程程有有两两个个不不等等实实根根，则则04m+10m m-1 1/4 4对吗？m m-1 1/4 4且且m m0 0注注意意二二次次项项系系数数2 2、
16、根根据据方方程程根根的的情情况况，确确定定待待定定系系数数的的取取值值范范围围.例:k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.解：一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.k0，240bac 又224(2)43back =4-12k 4-12k0，解得 当当方程有实数根.13k 且且k0时时，13k 问问题题三三求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：=-（m+7）2-49（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36不论m取何值，均有（m-11）20（m-11）2+360，即0不
17、论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式3 3、证证明明字字母母系系数数方方程程有有实实数数根根或或无无实实数数根根例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0有两个不相等的实数根.把判别式配方解：224(5)4 2(1)bacmm 2102588mmm2217mm2(1)16m0方程有两个不相等的实数根；问问题题四四：解解含含有有字字母母系系数数的的方方程程。550 x解：当当a=0时时，-5x+1=0 x=1.当当a0时时，方方程程为为一一元元二二次次方方程程.2(32)220(0)mxmxmm(2008年年北北京京市市)已已知知:关关于于
18、的的一一元元二二次次方方程程(1 1)求求证证:方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根；【例例5】已已知知：a、b、c是是ABC的的三三边边，若若方方程程有有两两个个等等根根，试试判判断断ABC的的形形状状.解解：利利用用0，得得出出a=b=c.ABC为为等等边边三三角角形形.典典型型例例题题解解析析例例6.一一元元二二次次方方程程有有两两个个实实数数根根,则则m的的取取值值范范围围是是_02212mmxxm21422mmm解844422mmm84m02m101mm即又12mm且变2、选选择择题题（请请用用最最快快的的速速度度，把把“有有两两个个实实数数根根”的的方方程程和和“没没有
19、有实实数数根根”的的方方程程的的序序号号选选入入相相应应的的括括号号内内）（1）（2）（3）（4）（5）（6）280 x 210 xx 210 xx 2230 xx有有两两个个实实数数根根的的方方程程的的序序号号是是（）没没有有实实数数根根的的方方程程的的序序号号是是（）（5）（3）（2）（6）（4）（1）任任何何一一个个一一元元二二次次方方程程或或者者有有两两个个实实数数根根或或者者没没有有实实数数根根a、c异异号号，一一元元二二次次方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根290 x 2230 xx求求根根公公式式:X=一一、由由配配方方法法解解一一般般的的一一元元二二次次方方程程a
20、 ax x2 2+b bx x+c c=0 0(a a0 0)若若b b2 2-4 4a ac c0 0得得这这是是收收获获的的时时刻刻，让让我我们们共共享享学学习习的的成成果果这这是是收收获获的的时时刻刻，让让我我们们共共享享学学习习的的成成果果二二、用用公公式式法法解解一一元元二二次次方方程程的的一一般般步步骤骤：1、把把方方程程化化成成一一般般形形式式。并并写写出出a，b，c的的值值。2、求求出出b2-4ac的的值值。3、代代入入求求根根公公式式:X=(a0,b2-4ac0)4、写写出出方方程程的的解解:x1=?,x2=?这这是是收收获获的的时时刻刻，让让我我们们共共享享学学习习的的成成
21、果果四四、计计算算一一定定要要细细心心，尤尤其其是是计计算算b b2 2-4 4a ac c的的值值和和代代入入公公式式时时，符符号号不不要要弄弄错错。三三、当当b b2 2-4 4a ac c=0 0时时，一一元元二二次次方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根。当当b b2 2-4 4a ac c0 0时时，一一元元二二次次方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根。当当b b2 2-4 4a ac c0 0时时，一一元元二二次次方方程程没没有有实实数数根根。1、一一元元二二次次方方程程的的一一般般形形式式是是什什么么？2、解解一一元元二二次次方方程程有有哪哪四四种种方方法法？一
22、一般般形形式式缺缺一一次次项项缺缺常常数数项项缺缺一一次次项项及及常常数数项项)0(02acbxax)0,0,0(02cbacax)0,0,0(02cbabxax)0,0(02cbaax公公式式法法是是由由配配方方法法推推导导而而得得到到公公式式法法是是解解一一元元二二次次方方程程的的通通法法.凡凡形形如如ax2+c=0(a0,ac0)或或a(x+p)2+q=0(a0,aq0)的的一一元元二二次次方方程程都都可可用用直直接接开开平平方方法法解解.配配方方法法、公公式式法法适适用用于于所所有有一一元元二二次次方方程程;先先把把方方程程的的常常数数项项移移到到方方程程的的右右边边，再再把把左左边边
23、配配成成一一个个完完全全平平方方式式，如如果果右右边边是是非非负负数数，就就可可以以进进一一步步通通过过直直接接开开平平方方法法来来求求出出它它的的解解.公公式式法法是是解解一一元元二二次次方方程程的的通通法法.解解一一元元二二次次方方程程的的方方法法有有哪哪几几种种？根根据据你你学学习习的的体体会会，谈谈谈谈通通常常你你是是如如何何选选择择解解法法的的，并并与与同同学学交交流流.公公式式法法是是解解一一元元二二次次方方程程的的通通法法.配配方方法法、公公式式法法适适用用于于所所有有一一元元二二次次方方程程;因因式式分分解解法法适适用用于于某某些些一一元元二二次次方方程程开开平平方方法法适适用
24、用于于缺缺项项的的一一元元二二次次方方程程;课课时时训训练练1.一一元元二二次次方方程程x2+2x+4=0的的根根的的情情况况是是()A.有有一一个个实实数数根根B.有有两两个个相相等等的的实实数数根根C.有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根D.没没有有实实数数根根D2.方方程程x2-3x+1=0的的根根的的情情况况是是()A.有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根B.有有两两个个相相等等的的实实数数根根C.没没有有实实数数根根D.只只有有一一个个实实数数根根A3.下下列列一一元元一一次次方方程程中中，有有实实数数根根的的是是()A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1
25、=0D.x2+4=0C4.关关于于x的的方方程程k2x2+(2k-1)x+1=0有有实实数数根根，则则下下列列结结论论正正确确的的是是()A.当当k=1/2时时，方方程程两两根根互互为为相相反反数数B.当当k=0时时，方方程程的的根根是是x=-1C.当当k=1时时，方方程程两两根根互互为为倒倒数数D.当当k1/4时时，方方程程有有实实数数根根D 课课时时训训练练5.若若关关于于x的的一一元元二二次次方方程程mx2-2x+1=0有有实实数数根根，则则m的的取取值值范范围围是是()A.m1B.m1且且m0C.m1 1D.m1且且m0D7.若若关关于于x的的方方程程x2+(2k-1)x+k2-7/4
26、=0有有两两个个相相等等的的实实数数根根，则则k=.28.关关于于x的的一一元元二二次次方方程程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其其根根的的判判别别式式的的值值为为1，求求m的的值值及及该该方方程程的的根根。解解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2(m-1)2=1,即即m12，m20(二二次次项项系系数数不不为为0，舍舍去去)。当当m=2时时，原原方方程程变变为为2x2-5x+30，x3/2或或x=1.6.已已知知关关于于x的的一一元元二二次次方方程程x2+2x+k=0有有实实数数根根，则则k的的取取值值范范围围是是()A.k1B.k1C.k 1A
