1、第二章5理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三知识点四返回返回返回返回返回向量的夹角向量的夹角同向同向反向反向90ab返回返回 问题问题1：一个物体在力：一个物体在力F作用下的位移为作用下的位移为s，则力，则力F所做的功所做的功W|F|s|cos，其中，其中为为F和位移和位移s的夹角，试的夹角，试想功想功W是力是力F和位移和位移s的乘积吗？的乘积吗？提示：不是提示：不是 问题问题2：任意两向量也可以这样运算吗？运算结果：任意两向量也可以这样运算吗？运算结果是数量还是向量？是数量还是向量？提示：可以运算结果是数量提示：可以运算结果是数量返回 向量的数量积向
2、量的数量积 (1)射影：若非零向量射影：若非零向量a，b的夹角为的夹角为，则，则 叫叫作向量作向量b在在a方向上的射影方向上的射影 (2)数量积：已知两个非零向量数量积：已知两个非零向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把我们把 叫作叫作a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作ab，即，即ab .|b|cos|a|b|cos|a|b|cos 返回 (3)数量积的特殊情况：数量积的特殊情况：当两个向量相等时，当两个向量相等时，aa .当两个向量当两个向量e1，e2是单位向量时，是单位向量时，e1e2 .(4)几何意义：几何意义：a与与b的数量积等于的数量积等于a的长度的长度|
3、a|与与b在在a方向方向上的射影上的射影 的乘积，或的乘积，或b的长度的长度|b|与与a在在b方向上的射方向上的射影影 的乘积的乘积|a|2cos|b|cos|a|cos 返回返回已知已知a和和b都是非零向量，都是非零向量，为为a与与b的夹角的夹角问题问题1：若：若ab，求，求ab；若；若ab0，求，求.提示：若提示：若ab，则，则90，ab|a|b|cos 0；若若ab0，则，则|a|b|cos 0，cos 0.0180，90.问题问题2：|ab|与与|a|b|相等吗？相等吗？提示：不一定由提示：不一定由|cos|1，得，得|ab|a|b|cos|a|b|，当当|cos|1时，等号成立时，等
4、号成立返回ae|a|cos ab0等号等号 返回返回 问题问题1：试想当力扩大：试想当力扩大2倍，力对物体所做的功也倍，力对物体所做的功也扩大扩大2倍吗？倍吗？提示：是即提示：是即(2F)s2(Fs)问题问题2：实数的乘法满足交换律、结合律、乘法：实数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，向量数量积的运算是否也有类似对加法的分配律，向量数量积的运算是否也有类似运算律？运算律？提示：有提示：有返回向量数量积的运算律向量数量积的运算律(1)ab (交换律交换律)；(2)(a)b (结合律结合律)；(3)(ab)c (分配律分配律)ba(ab)a(b)acbc返回 1两向量的夹角的范围是两向
5、量的夹角的范围是0，但要注意，但要注意，前提是共起点时才能指出夹角，若不满足，可先进前提是共起点时才能指出夹角，若不满足，可先进行平移行平移 2向量的数量积为一实数，可正、可负、可为向量的数量积为一实数，可正、可负、可为0.这不同于数乘向量，其结果仍为向量这不同于数乘向量，其结果仍为向量返回 3向量数量积的几何意义和数乘向量的几何意义向量数量积的几何意义和数乘向量的几何意义是不同的，在向量的数量积中，是不同的，在向量的数量积中，ab的几何意义是的几何意义是a的长的长度度|a|与与b在在a方向上的射影方向上的射影|b|cos 的乘积；在数乘向量的乘积；在数乘向量中，中，a的几何意义就是把向量的几
6、何意义就是把向量a沿向量沿向量a的方向或反方的方向或反方向放大或缩小向放大或缩小|倍倍 4向量数量积运算不满足结合律，即向量数量积运算不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定正确不一定正确返回返回返回 例例1已知已知|a|3，|b|6，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求ab，a(ab)思路点拨思路点拨由条件确定向量夹角后，代入数量积由条件确定向量夹角后，代入数量积定义进行计算定义进行计算精解详析精解详析当当ab时，若时，若a与与b同向，同向，则它们的夹角则它们的夹角0，ab|a|b|cos 036118，a(ab)a2ab91827.若若a与与b反向，则它们的
7、夹角反向，则它们的夹角180，返回 ab|a|b|cos 18036(1)18，a(ab)a2ab9189.当当ab时，它们的夹角时，它们的夹角90，ab0，a(ab)a29.当当a与与b的夹角是的夹角是60时，时，有有ab|a|b|cos 60369.a(ab)a2ab18.一点通一点通数量积运算时一是要找准两向量的夹角，数量积运算时一是要找准两向量的夹角，二是注意向量数量积的运算律的应用二是注意向量数量积的运算律的应用 返回 1(2011江西高考江西高考)已知两个单位向量已知两个单位向量e1，e2的夹的夹 角为，若向量角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则，则 b1b2_.答案：
8、答案：6返回返回返回 例例2已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为120，且，且|a|4，|b|2，求：求：(1)|ab|；(2)|3a4b|.思路点拨思路点拨利用公式利用公式|a|2a2进行计算进行计算 精解详析精解详析ab|a|b|cos 42cos 120-4.返回返回3已知已知|a|2，|b|5，ab3，则，则|ab|_.返回答案：答案：B返回5 ABCD中，中，F是是BC的中点，的中点，DAB60，AB3，AD2，求线段，求线段DB和和AF的长度的长度返回返回返回 例例3(12分分)已知向量已知向量a，b，c满足满足abc0，且，且|a|3，|b|5，|c|7.(1)求求a与与b的夹角的夹角；(2)是否存在实数是否存在实数使使ab与与a2b垂直？垂直？思路点拨思路点拨(1)由由abc0，可得，可得cab，两边，两边平方可得平方可得 (2)由由(ab)(a2b)0可求可求返回返回返回返回答案：答案：C返回7若若|a|1，|b|2，cab，且，且ca，则向量，则向量a与与 b 的夹角为的夹角为_度度 解析：解析：设设a，b夹角为夹角为，则由，则由ac，得，得ac0，即，即 (ab)a0，a2ab0，12cos 0，从而，从而 120.答案：答案：120返回答案：答案：B返回返回返回点击下图进入应用创新演
