1、2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质中学生数学奥林匹克竞赛中学生数学奥林匹克竞赛（提升篇）（提升篇）函数函数函数的性质桐城市第八中学数学竞赛组 原创旺仔数学 修订江淮名师高考工作室 出品2019.82020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质函数的基本性质函数的基本性质n1，函数的奇偶性函数的奇偶性n（1）函数的奇偶性的定义。函数的奇偶性的定义。n（2）函数的奇偶性的判断与证明。函数的奇偶性的判断与证明。n（3）奇、偶函数图象的特征。奇、偶函数图象的特征。2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n例1 已知 （a、b为实数）且 ，则 的值是 （）n（1993年全国高中数学联赛试题）n（A）-5
2、 （B）-3 （C）3 n（D）随a、b取不同值而取不同值4sin)(3xbxaxf5)10log(lg3f)3lg(lgf奇函数奇函数2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质解：是奇函 数 的 和，为 奇 函 数，从而 即 ，选（C）。3sin4)(xbxaxf4)(4)(xfxf8)()(xfxf38)10log(lg)3lg(lg3ff2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n2，函数的单调性函数的单调性n（1）函数的单调性的定义。函数的单调性的定义。n（2）函数的单调性的判断与证明。函数的单调性的判断与证明。n复合函数的单调性复合函数的单调性n（3）求函数的单调区间。求函数的单调区间。
3、2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质xalog21 0 (，2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质 104121logaa数形结合的思想数形结合的思想2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质xalog21 0 (，xalog21 0 (，4121 0 (，21loga2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质21 0 (，xalog21 log41a 21 log41a 4121a 1161 a例3、解不等式 5log423xxx 的一切实数的一切实数m都成立，都成立，求实数求实数x的取值范围的取值范围.mxx)1(12222m例例4设关于设关于x的一元二次不等式的一元二次不等式 对满足对
4、满足12)1()(2xmxmg令析解：析解：为为单调单调函数函数0)2(0)2(gg只需解得解得)231,217(x0122032222xxxx2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质 3.函数的周期性函数的周期性 (1)定义定义:设函数的定义域是设函数的定义域是D，若存在非零，若存在非零常数常数T，使得对任何，使得对任何xDD，都有，都有x+T DD且且f(x+T)=f(x)，则函数，则函数f(x)为周期函数，为周期函数，T为为f(x)的一个周期。的一个周期。定理定理:设函数的定义域是设函数的定义域是D，a,b为不相等的常为不相等的常数，若对任何数，若对任何xDD，都有，都有x+aD,x+b
5、DD,x+bD,且且f(x+a)=f(x+b)，则函数，则函数f(x)为周期函数，为周期函数，a-b为为f(x)的一个周期。的一个周期。n(2)最小正周期最小正周期:n(3)定理定理:若若T是函数是函数f(X)的一个周期的一个周期,则则nT也也是函数是函数f(x)的一个周期的一个周期.(n为非零整数为非零整数.)2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质4.函数图象的对称性函数图象的对称性n一一中心对称：中心对称：n(1)奇函数的图象关于原点对称；一般地，奇函数的图象关于原点对称；一般地，n如果方程如果方程f(x,y)=0满足满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线，则曲线f(x,y)=0关于
6、原点对称关于原点对称（2）函数）函数y=f(x)的图象关于点（的图象关于点（a,b）对称的）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足均满足2b-y=f(2a-x)(3)函数的图象关于点函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为对称的充要条件为:f(x)=-f(2a-x)f(a+x)=-f(a-x)(4)设函数设函数f(x)对其定义域中的任意值对其定义域中的任意值x均满足均满足f(a+x)=-f(b-x),则则f(x)的图象关于点的图象关于点(a+b)/2,0)成中心对称成中心对称.2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质二二轴对称：轴对称：（1）偶函数的图
7、象关于）偶函数的图象关于Y轴对称；轴对称；一般地，如果方程一般地，如果方程f(x,y)=0满足满足f(x,y)=f(-x,y)，则，则曲线曲线f(x,y)=0关于关于Y轴对称轴对称n（2）设）设a是非零常数，如果对函数定义域中是非零常数，如果对函数定义域中的任意值的任意值x均满足均满足f(x)=f(2a-x)f(a+x)=f(a-x)n则函数则函数y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=a对称对称。n（）设函数（）设函数f(x)对其定义域中的任意值对其定义域中的任意值x均均满足满足f(a+x)=f(b-x),则则f(x)的图象关于直线的图象关于直线x（a+b)/2对称对称.一般地，如果方程
8、一般地，如果方程f(x,y)=0满足满足f(x,y)=f(2a-x,y)，则曲线则曲线f(x,y)=0关于直线关于直线x=a对称对称2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质函数图象的对称性与函数的周期性有着密切函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：的内在联系，我们有下面的结论：n命题命题1：如果函数的图象关于直线如果函数的图象关于直线x=a和直线和直线x=b(ab)对称，那么函数是以对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周为周期的周期函数。期函数。n命题命题2：如果函数的图象关于点如果函数的图象关于点(a,0)和直线和直线x=b(ab)对称，那么函数是周期函数，对
9、称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的为函数的一个周期。一个周期。n命题：命题：如果函数的图象关于点如果函数的图象关于点(a,m)和直线和直线x=b对对称，那么函数是周期函数，称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个为函数的一个周期。周期。2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质命题命题3：如果函数如果函数y=f(x)的图象关于点的图象关于点(a,0)和点和点(b,0)对称，那么函数对称，那么函数y=f(x)是周期函是周期函数，数，2(a-b)为函数的一个周期。为函数的一个周期。(ab)命题：命题：如果函数如果函数f(x)的图象关于两点的图象关于两点(a,b)和和(c,d)对称，
10、那么：当对称，那么：当a c，b=d时，时，f(x)是周期函数，是周期函数，2(a-c)为函数的一个周为函数的一个周期。当期。当a c，bd时，时，f(x)不是周期函数。不是周期函数。2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质2ax 2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例例6 6设设f(xf(x)是是R R上的奇函数，且上的奇函数，且f(xf(x3)3)f(xf(x)，当，当0 x 0 x 时，时，f(xf(x)x x，则则f(2003)f(2003)()()A.A.1 1
11、B.0B.0 C.1 C.1 D.2003 D.200323解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x)f(x)的周期为6f(2003)f(63351)f(1)f1选AA2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质小结小结:n关于函数关系式关于函数关系式f(a+x)=f(bx)所表所表示的函数性质示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮我们用下面的歌谣来帮助记忆助记忆:(f可念虎可念虎,X可念司可念司)nf,x同号呈周期同号呈周期,周期恰是周期恰是a,b差差;nf同同x异轴对称异轴对称,f异异x异有中心异有中心.n方程坐标和折半方程坐标和折半,符号一定要小心符号一定要小心.n双重对称周期现双重对称周期现
12、;2倍倍4倍要分清倍要分清.2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质中心对称异号轴对称同号对称性异号周期性同号ffxxf(a+x)=f(bx)2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质高考题例高考题例例例7.已知已知y=loga(2-ax)在在0,1上是上是x的减的减函数，则函数，则a的取值范围是（的取值范围是（）(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)2,+)B2-ax0恒成立恒成立2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例8、设0a0)于是 因此 )(1)1()1()(222ttttaaaaaaaatfRxaaaaxfxx)(1)(22020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质（2
13、）f(x)为奇函数 )()(1)(1)(22xfaaaaaaaaxfxxxx2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质（3）设x1x2+则 0a1；x1-x2 又a2-10 f(x2)-f(x1)0即f(x2)f(x1)因此f(x)在R上为增函数 )()(1)()(1)()(211211222212xxxxxxxxaaaaaaaaaaaaxfxf0,0,21122112xxxxxxxxaaaaaaaa即2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n例例9、定义在定义在R的奇函数的奇函数f(x)为增函数；偶函数为增函数；偶函数g(x)在区间在区间0,+)的图象与的图象与f(x)的图象重合。的图象重合。
14、设设ab0，给出下列不等式：，给出下列不等式：nf(b)-f(-a)g(a)-g(-b)f(b)-f(-a)g(b)-g(-a)f(a)-f(-b)0时，f(x)2时，不等式恒成立，求实数k的取值范围.0)2log(logft)f(klog2222tt2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质【思路分析思路分析】因为因为xR，由区间的，由区间的特殊点，即特殊点，即x=0入手，是解题的出入手，是解题的出发点发点.2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n【略解】n（1）令x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.n再令y=x，得f(0)=f(x)+f(x),nf(0)=0,f(
15、x)=f(x),nf(x)是奇函数.2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n（2）设x1,x2R，且x1 x1,x2 x1 0.n由已知得 f(x2 x1)0,nf(x2)f(x1).故f(x)在R上是减函数.nf(x)在3，3上的最大值f(x)最大值=f(3),最小值f(x)最小值=f(3).2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n又f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=6,f(3)=f(3)=6.n故f(x)在3，3上的最大值为6，最小值为6.2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n（3）f(x)是R上的单调递减函数.又f(x)是奇函数.由 n得n
16、即,恒成立)2log(logft)f(klog2222tt)2log(logft)f(klog2222tt02log)1(log222tkt(k+1)280,2k+12,12 k1+2 .故使不等式恒成立的实数k的范围是（12 ，2 1）.22222020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n竞赛试题竞赛试题n例例11（第九届希望杯）（第九届希望杯）f(x)是定义域为是定义域为R的的奇函数，方程奇函数，方程f(x)=0的解集为的解集为M，且，且M中有有限中有有限个元素，则个元素，则M（）n(A)可能是可能是(B)元素的个数是偶数元素的个数是偶数n(C)元素的个数是奇数元素的个数是奇数n(D)元素的
17、个数可以是奇数，也可以是偶数元素的个数可以是奇数，也可以是偶数n5.（第十届希望杯）已知（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则则f(-a)的值为（的值为（）n(A)-a-4(B)-2(C)-4(D)-2aCC2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例例12（92全国联赛）设全国联赛）设f(x)是定义在实数集是定义在实数集上的函数，且满足下列关系：上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。则则f(x)是（是（）(A)偶函数，又是周期函数偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又
18、是周期函数奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数奇函数，但不是周期函数C2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质故故f(-x)=f(40-x)=f20+(20-x)=-f20-(20-x)=-f(x)由由f(10+x)=f(10-x),f(x)有对称轴有对称轴x=10由由f(20-x)=-f(20+x),f(x)有对称中心有对称中心(20,0)故函数的周期为故函数的周期为4(20-10).2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例例13.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为N，且对任意，且对任意正整数正整数x，都有，都有f(x)f(x1)f(x1)若若f(0)2004，求，求
19、f(2004)解：因为解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加得两式相加得0f(x1)f(x2)即：即：f(x3)f(x)f(x6)f(x)f(x)是以是以6为周期的周期函数为周期的周期函数20046334 f(2004)f(0)20042020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例例14.14.定义在实数集上的函数定义在实数集上的函数f(xf(x)，对一切实数，对一切实数x x都都有有f f(x x1)1)f f(2(2x x)成立，若成立，若f f(x x)0 0仅有仅有101101个不个不同的实数根，那么所有实数根的和为同的实数根，那么所有实数根的和为
20、()()A.150A.150 B.B.C.152 D.C.152 D.23052303解：由已知，函数解：由已知，函数f f(x x)的图象有对称轴的图象有对称轴x x于是这于是这101101个根的分布也关于该对称轴对称个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是即有一个根就是3/2 3/2 ，其余，其余100100个根可分为个根可分为5050对，对，每一对的两根关于每一对的两根关于x x3/2 3/2 对称对称利用中点坐标公式，这利用中点坐标公式，这100100个根的和等于个根的和等于 1001001501502323B2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例15设 )10011000()
21、10013()10012()10011(,244)(ffffxfxx求2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n略解：n由其对称性，f(x)+f(1-x）=1n采用倒序相加法n可知原式=5002020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例16(山东)已知 ，则 的值等于 2(3)4 log 3233xfx8(2)(4)(8)(2)ffff2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质233log42333loglog4)(log2233tttftx代入可得，把故原式故原式=（41+233）+（42+233）+(48+233)=20082020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例例17.已知已知(3xy)2
22、001x20014xy0，求求4xy的值的值.所以所以 3xyx 4xy0更上一层楼解：构造函数解：构造函数f(x)x2001x，则则,f(3xy)f(x)0注意到注意到f(x)是奇函数且为是奇函数且为R上的增函数，上的增函数，2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质例18(广东)对函数f(x),当x(-,)时,f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),在闭区间0,7上,只有f(1)=f(3)=0.（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0在闭区间-2005,2005上根的个数,证明你的结论.2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质【解解】（1）由已知得）由
23、已知得f（0）0，f(x)不是奇函数，不是奇函数，又由又由f(2-x)=f(2+x)，得函数得函数y=f(x)的对称轴为的对称轴为x=2，f(-1)=f(5)0，f(-1)f(1)，f(x)不是偶函数不是偶函数.故函数故函数y f(x)是非奇非偶函数；是非奇非偶函数；2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质n从而可知函数从而可知函数y=f(x)在在0,2005上有上有402个解，在上个解，在上2005,0有有400个解，个解，n所以函数所以函数y=f(x)在在2005,2005上有上有802个解个解.(2)由由f(4-x)=f(14-x),f(x)=f(x+10)，从而知从而知y=f(x)的周期是的周期是10.又又f(1)=f(3)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故故f(x)在在0,10和和-10,0上均有两个解，上均有两个解，2020数学竞赛（提升篇）函数函数的性质 再 见
