1、华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院1http:/www.hust,edu,cn弹性力学基本概念弹性波动基本理论Lamb波的基本理论柱面波的基本理论导波激励理论和方法的研究导波接收系统的设计导波传播特性分析导波的应用实例分析导波的应用前景展望无损检测技术华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2http:/www.hust,edu,cn1弹性力学中的泛定方程 导波主要来源于材料的弹性假设，以后的讨论都是基于以下的基本假定；(1)连续性假定。即认为所研究的固体材料内各质点之间不存在空隙，物体的物质粒子连续地充满了物体所占的空间。且认为物体在变形后仍保持这种连续性。这样，物体的一切物理量，如密
2、度、应力、应变、位移等都将是物体所占空间点的连续函数。(2)均匀性假定。即认为所研究的物体是由同一类型的均匀的固体材料所构成，其各部分的物理性质是相同的，并不因坐标位置的变化而变化。例如，物体的弹性性质处处都相同。这样，我们研究问题的时候，就可以从中取出任一单元来进行分析。(3)各向同性假定。在本章中，均讨论各向同性的物体。即认为物体在各方向具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向的改变而变。实际上，有不少材料不具有这种性质，像木材、竹树和某些人工加强后的构件等，本章不讨论这类问题。(4)小变形假定。即认为物体在外力或其他外部作用(如温度等)的影响下，物体所产生的变形，与其本身的几何尺寸
3、相比属于高阶小量，可以不考虑因变形而引起的尺寸变化。这样，就可以用变形前的几何尺才来代替变形后的尺寸，使得在进行力学分析时使问题大为简化。例如，在考虑应变相位移的关系时就可以略去位移公式中的二阶小量等，使基本方程线性化。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院3http:/www.hust,edu,cn1.2 平衡方程 000bzzyzxzbyyzyxybxxzxyxFzyxFzyxFzyx三维情况下的平衡方程 采用张量符号与下标记号法 zyzxzyzyyxxzxyxij应力张量 0,biiijFjijiijx/,华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院4http:/www.hust,edu,
4、cn1.2几何方程 物体变形分析坐标),(zyxuu),(zyxvv),(zyxww 研究物体中任一微小线段的变形状态，得到三维问题的应变位移关系式 zuxwywzvxvyuzwyvxuxzyzxyzyx用张量符号可缩写为)(21),ijjiijuu华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院5http:/www.hust,edu,cn从数学的观点说，要求位移函数u,v,w在其定义域内为单值函数，为保持物体的整体性，各应变分量之间必须有一定变形协调条件，由此可得三维问题的应变协调方程。zyxzyxzyyxzxzyxxzyzxyxzyyzyxxyxyxzyzzxyxzyzyxyxzyzxxzxzyz
5、zyxyyx222222222222222222222华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6http:/www.hust,edu,cn1.3 本构方程 在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要9个应力分量，与之相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。在线弹性阶段应力与应变间有线性关系存在，但在一般情况下任一应变分量要受9个应力分量的制约。事实上，由于应力张量与应变张量的对称性，9个应力分量与9个应变分量中独立的分量均仅各有6个。于是，对于均匀的理想弹性体。上述关系式应有如下形式 zxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzx
6、yzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc363534333231262524232221161514131211363534333231262524232221161514131211为弹性常数。由材料的均匀性可知，与坐标x,y,z无关。),.,(m,ncmn621 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院7http:/www.hust,edu,cn采用张量表示法)3,2,1,(kjicklijklij建立了应力与应变之间的关系，称为广义胡克定律或弹性本构方程，在式(10)中弹性常数共有36个，这36个常数并不是独立的，对于各向同性材料独立的弹性常数只
7、有2个。主应力与主应变之间有下列关系式 zyxzzyxyzyxxccccccccc333231232221131211332211222拉梅（Lame,G）常量 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院8http:/www.hust,edu,cn任何坐标系Oxyz内的本构关系为 xzxzzzyayzyyxyxyxx ,2 ,2 ,2ijijij2GEGEGExzxzxyzzyzyzzxyyxyxyzyxx,)(1,)(1,)(1),(1zyxjiEEijijij工程上常把广义胡克定律用E和v表示 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院9http:/www.hust,edu,cnzxzxzzy
8、zyzyyxyxyxxGGGGGG),21(2),21(2),21(2ijijijEE)21)(1(1华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院10http:/www.hust,edu,cn1.4问题的求解 求解弹性力学问题的目的，在于求出物体内各点的应力和位移，即应力场，位移场。因而，问题的提法是，给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段。其应力分量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程(3)、几何力程(6)、本构方程(17)或(18)这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的全部边
9、界条件。弹性力学的15个基本方程含有15个未知数，是一个封闭的方程组。但只有这组方程并不能解决具体问题。在所有满足泛定方程的应力、应变相位移分布的函数中，只有与定解条件(边界条件)相符合的解，才是所需要的解答。因而，边界条件的重要性是不容忽视的。边界条件分为应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件三种。应当强调指出，这些边界条件的个数必须给得不多也不少，才能得出正确纳解答。例如对于空间问题的应力边界，必须在边界的每一点上有三个应力边界条件，如果条件给多了，就找不到满足全部条件的解；如果给少了，就会有许多的解满足所给的条件，因而也就无法判断哪些是正确的解。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院
10、11http:/www.hust,edu,cn弹性力学的基本方程组一般地控制了物体内部应力、应变和位移之间相互关系的普通规律，而定解条件具体地给定了每个边值问题的特定规律。每一个具体的问题反映在各自的边界条件上。于是，弹性力学的基本方程组和边界条件一起构成了弹性力学边值问题的严格完整的提法。根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为以下三类：第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。第二类边值问题；给定物体的体力和物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场即所谓边界位移已知的问题。第三类边值问题：在物体表面上一部分给
11、定面力，其余部分给定位移(或在部分表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。在求解以上边值问题时，有三种不同的处理办法，即(1)位移法，用位移作为基本未知置来求解边值问题，叫位移法。此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。通常给定位移边界条件(第二类边值问题)时应用位移法。(2)应力法，用应力作为基本未知量来求解边值问题，叫应力法。此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。显然当给定应力边界条件(第一类边值问题)时，宜用应力法。(3)混合法，对第三类边值问题，则宜用以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。这种方法混合法。华中科技大学机
12、械学院华中科技大学机械学院12http:/www.hust,edu,cn在导波检测中，关心的位移分量，考虑采用位移法求解。zuywGzwGywzGyuGxyuGxuGzxzyzyxyx,212,212,212将上式(19)代入平衡方程(3)021222222222bzFzxwzuGyxyuGxxuG华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院13http:/www.hust,edu,cn注意到 zyxzxwyxxux2222采用拉普拉斯（Laplace）算子 2222222zzyuxuu可得下列用位移表示的微分方程 000222bzbybxFwzFyFux华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院1
13、4http:/www.hust,edu,cn在不计体力时，上式简化为齐次方程 000222wzyux0jjijiju称为拉梅-纳维(Lame-Navier)方程。方程组(20)是基本方程的综合(包括平衡方程、几何方程及本构方程)，方程组(20)含有三个未知函数u,v,w。此外，边界条件也要用位移表示，当给定位移边界条件时、问题自然简单。如给定应力边界条件，则需要将边界条件加以变换，改用位移表示。由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分式(20)。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院15http:/www.hust,edu,cn2 弹性波基本理论 变形物体受灾加荷载作用后，必将产
14、生变形，这种变形和与之伴随而生的应力并不能立即传到物体的各个部分。在开始时刻，物体的变形或者一般地说，物体受到的扰动，只在加载处的邻域内产生，该邻域以外的部分则们处于未扰动的状态。之后，物体的变形和应力便以波的形式向远处传播。在荷载作用时间与波的传播过程所经历的时间相比短得多的情况下，物体的运动主要就表现为波的传播现象。根据介质的物理性质，边界条件和荷载的作用形式不同，波的传播过程将呈现出各种不同的特征。一个波动总是受到扰动源的激发而产生并通过介质而传递的，所以它既携带着扰动源的信息，又包含着介质本身的特征。如果我们的兴趣在于了解介质本身的一般的波动性质，这类问题常属于波的传播问题，如果我们关
15、心的是某一特定扰动的传播规律，则属于波的激发问题。这两类问题的研究是相辅相成的，而且往往是耦合在一起的。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院16http:/www.hust,edu,cn2.1 行波及波动方程 一维波动方程 0222xctxctxct三维的波动方程 02222ct华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院17http:/www.hust,edu,cn方程具有如下形式的解)(ctzyaxf代表了三维介质中沿某一方向传播的平面波，即在特定时刻垂直于波传播方向的同一平面上各点感受到的扰动均相同。以后将会看到除平面波形式的解外，方程(3)还有其它形式的解。华中科技大学机械学院华中科技
16、大学机械学院18http:/www.hust,edu,cn2.2 一维波动方程的DAlember解 考虑一条无限长绷紧的弦线由于初始拢动引起的弦的横向振动产生的波的传播问题 22220),(),(ttxuxtxuT运动波和弦中波的控制微分方程 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院19http:/www.hust,edu,cn仅有上式还不能完全确定位置的运动方程。为了解具体问题，还必须考虑到所研究的区域的边界处在怎样的状况下，换个说法，必须考虑到研究对象处在怎样的特定“环境”中。周围“环境”的影响总是通过边界才传给研究对象，所以周围“环境”的影响体现于边界条件所处的物理状况，即边界条件。另外
17、，研究问题不能割断历史，为了解问题随着时间而发展变化的问题，还必须研究对象的特定历史，即它在早先某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件，对于导波检测，定解的条件的重要性并不低于支配问题的微分方程。实际上，在波动问题中，在于寻找微分方程的通解，更关心的是求适合定解条件的特解。而偏微分方程的求解和定解，往往一开始就紧密耦合在一起 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院20http:/www.hust,edu,cn采取分离变量法求解上述方程通解)()(),(ctxGctxFtxu其中F和G是具有二阶连续偏
18、导数的两个任意函数。它们可以由给定的初始条件来确定。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院21http:/www.hust,edu,cn2.3 群速度和相速度 0222022xuCtuC0是一个常数，其物理意义是波传播的相速度，且扰动在传播过程中波的形状保持不变 考虑另外一种情况，对于C不是常数，而是k的函数的皆谐波的选加得到的合成扰动的形状，一般将随时间而连续变化。如果初始扰动局限在一个小范围内而介质为无限大时，则波随时间的推移而传播时，简谐波选加得到的初始合成扰动将连续扩展成波列，这种现象称为波的弥散。由此可知，弥散波是初始扰动的谐和单元将以不同的速度传播。显然，在一个弥散系统中具有峰状
19、的脉冲扰动将随着时间的发展逐渐变得平缓下来。对单一频率的波来说，在弥散系统和非弥散系统中的传播，从本质上没有什么区别。然而对于由许多单一频率的简谐波迭加而成的复杂扰动的传播，两个系统却表现出明显的差异。因此在弥散系统中更关心的是具有分布波数的波的整体即波包或波群的传播，在描述弥散系统中波群能量的传播特征时，群速度概念是极为重要的。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院22http:/www.hust,edu,cn由两个振幅相同而频率略有差别的两个余弦简谐波所组成的波是最简单的波群。tAtAtututu2122cos cos)()(),0(ttAttAtu平均调制cos)(2cos2cos2)
20、,0(2121一个是调制波传播的速度，一个是载波传播的速度。前者称为群速度，即波群的传播速度，也就是位移峰值传播的速度，用U表示；后者称为相速度，用c表示。kcdkdU,华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院23http:/www.hust,edu,cn2.4 运动方程的导出及波动方程的提法 与弹性力学不同，弹性动力学主要研究弹性物体对动力荷载的响应。加载过程使物体产生显著的加速度，且由加速度所引起的惯性力对物体的变形和运动有着明显地影响。弹性动力学的主要任务就是从连续介质最基本的定律出发，建立描述物体运动的支配方程，并由此求解物体的动力响应。显然在弹性动力学问题中，各类场量（位移场、应力场
21、、速度场等）不仅是空间位置的函数，而且是时间的函数。弹性动力学是在经典的弹性力学基础上发展起来的，属于连续介质力学的一个组成部分，所以连续性假设仍然是弹性动力学的分析基础。连续介质力学的质量守恒，线动量守恒，角动量守恒以及能量守恒等基本定律正是我们导出弹性动力学基本方程的出发点。本书将着重讨论各向同性线弹性材料和无限小应变的情况，所采用的基本假设与上一节弹性力学的基本假设相同，基于以上几个假定，弹性力学的基本方程中除平衡方程外的几何方程和物理方程（本构关系）均可以直接应用。惟一需要重新考虑的是物体的运动方程。iijijuf,华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院24http:/www.hus
22、t,edu,cn2.5波动方程的Lame分解 uuu 2)()(0,jjuu(1)相对体积变形为零 uCuT 221在这种情况下弹性体内仅有剪切变形和转动变形，没体积变形，因此称(35)式为支配等容积波(横波横波)的位移波动方程。(2)弹性体内的转动变形为零 0uuCuL 221在该种情况下，弹性体积内仅有体积变形和剪切变形，而没有转动变形，因此(36)式称为支配膨胀波(纵波纵波)的波动方程 22tuu 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院25http:/www.hust,edu,cnxzd对称型Lamb波的频散方程为 2222)(42tanh2tanhskgskdgds反对称型Lamb波
23、的频散方程 gskgskskdgds2222244)(2tanh2tanh华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院26http:/www.hust,edu,cn4.1 轴向导波 沿轴向传播的导波是导波的一种主要传播形式，当遇到缺陷时，即有反射波返回，通过检测缺陷反射波或透射波，可以实现缺陷检测，并且由于波导结构限制，利用导波可以实现远距离快速检测 222)(tuuu华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院27http:/www.hust,edu,cn对位移场进行StokesHelmhlotz分解 u将u代入运动方程，并利用下列等式 2)()(220则运动方程可以写成 0)/()/()2(222
24、222tt可以简化为以下两个方程 22221/tv22222/tv22122v华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院28http:/www.hust,edu,cn这个微分方程的解是一个Bessel函数 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院29http:/www.hust,edu,cn有多个不同的Bessel函数组合满足微分方程。第一类Bessel函数Jn和第二类Bessel函数Yn组合可以满足Bessel微分算子。变换的Beseel函数，In和Kn，也可以使用。Bessel函数的选择依赖于参数的选择 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院30http:/www.hust,edu,cn因
25、此，方程的通解)(2)(22)(2)(22)()()()(1212211111333rWBrZAgggrWBrZAgggrWBrZAgrBWrAZfnnrnnrnnnn华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院31http:/www.hust,edu,cn由位移方程可得 zrrrrzuzzrruzrrurzrrzr1)(111代入势函数，得)sin(cos)/)(1()cos(sin)/()cos(cos)/(113113kztnrgngkfukztngkgfrnukztnkggrnfuzr应变位移关系为 1)()2/1(/)2/1(/rrzrrzrrrurrurrruzuru华中科技大学机械学
26、院华中科技大学机械学院32http:/www.hust,edu,cn应力应变关系为 rrrzrzrrrr222华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院33http:/www.hust,edu,cn华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院34http:/www.hust,edu,cn4.2 周向超声导波柱面纵向超声导波常用于检测管道上的周向缺陷，但其对管道上的纵向缺陷不敏感，而在实际的工程构件中，环状构件（如轴承）沿其径向生长和扩展的疲劳裂纹会对结构安全产生很大影响，严重时会使构件失效。另一方面，广泛应用于石油石化，电力等工业领域中的管道中，也会产生纵向裂纹等缺陷，形成安全隐患，要采用导波对该类
27、缺陷检测，就需研究导波沿圆周方向的传播情况，即周向超声导波的基本理论。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院35http:/www.hust,edu,cn假设构件为各向同性材料，以考虑只研究二维方向的变形，显然是一个平面应变问题。假设波动是一稳态时谐场，则其控制方程为 012u0212u无外力作用，其边界条件如下),(0ba华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院36http:/www.hust,edu,cn板波的激励与接收 fccfcpp华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院37http:/www.hust,edu,cn柱面导波的激励与接收电磁式 非接触性，无需耦合剂，这在高温管道系统中
28、的检测是非常重要的同时EMATS在管道中既可以方便地产生纵向超声导波，又可以产生周向超声导波脉冲激光式 装置庞大、昂贵以及技术复杂 压电式 采用的实验系统都是内插式（结构很复杂）或者是端部耦合式，这在实验室研究是可行的但应用到实际中的管道检测，尤其是在线检测，如化工厂压力管道检测，这种方法是不可能的实际中可以将楔形探头安装在管道的外表面，但这会使整个系统庞大笨重，甚至不可能应用在管道的支架附近 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院38http:/www.hust,edu,cn与激励方式相同，关键问题两个同步问题弱信号放大问题 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院39http:/www.
29、hust,edu,cn7.1 频散超声波在板、棒及空心圆柱壳等波导中传播时，由于结构的厚度这种特征几何尺寸的影响，使得在结构中传播的超声波的速度将依赖于波的频率，从而导致超声波的几何弥散，也就是说导波中相速度随频率的不同而改变物理弥散频散也可由材料本身的物理性质所致，如非线性效应。)()(22fdddfdVVVVphphphg华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院40http:/www.hust,edu,cn钢板的兰姆波频散曲线 钢板的兰姆波位移形态（激励频率为3MHz）7.2 多模式华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院41http:/www.hust,edu,cn40#钢管（内径76m
30、m，壁厚5.5mm）的频散曲线 当激励频率为70kHz时，76mm钢管的位移形态 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院42http:/www.hust,edu,cn超声导波像其它体波一样遇到边界会发生反射、透射以及模式转换等现象实际中检测构件是否存在腐蚀、裂纹等缺陷，就是检测由干缺陷的存在引起声阻抗的变化，进而引起波的反射、透射等，导致接收信号发生变化因此研究导波与缺陷的相互作用是探测缺陷的有无，估价缺陷的大小、性质等的基础 7.3 导波与缺陷的相互作用华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院43http:/www.hust,edu,cn板波与缺陷的相互作用 板波与缺陷的相互作用类似于体波
31、与缺陷的相互作用，在实际检测中没有做过多的理论分析而 Alleyne et al.采用有限元数值模拟和实验验证，详细、系统地研究了板波与缺陷的相互作用，实验与有限元二者结果吻合很好其结果说明，在实验和数值模拟过程中使用二维快速傅立叶变换（FFT）方法可较好地定量分析板波与缺陷的相互作用板波对于人工缺陷的灵敏度取决于频厚积、模式形式（对称或非对称）、模式阶次、缺陷的几何形状等当切槽宽度与波长相比较小时，透射和反射波的幅度对切槽宽度不敏感 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院44http:/www.hust,edu,cn柱面导波与缺陷的相互作用 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院45ht
32、tp:/www.hust,edu,cn研究导波的频散曲线及振动位移分布（质点位移振幅与板层位置关系），对于模式选择、激励频率、能量泄漏以及特定模式对缺陷灵敏度的研究都有指导意义，对导波无损检测的有效性影响很大。7.4 导波的模式选择华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院46http:/www.hust,edu,cn轴对称L（0,2）模式的导波由于下面四个特点具有很大的吸引力：1.在相当宽的频带内（40100 kHz），该模式是非频散的。也就是说它的群速度随频率的变化甚微，信号的形状（即包络线）和幅度都保持相对不变。2.该导波模式是速度最快的模式。因此任何其它模式均落后于此模式到达接收器，易于
33、在时域内区分感兴趣的信号。3.轴向位移分量对于探测圆周向开口裂纹的灵敏度起决定作用。该模式导波内外表面的轴向位移相对较大，因此对于任何圆周位置的内外表面缺陷具有相同的灵敏度，很适合于探测内外表面的缺陷。4.该模式导波内外表面的径向位移相对较小，这样波在传播过程中能量泄漏现象相对较小，传播距离相对较大。在长距离无损检测中，影响模式选择的两个主要因素，传播距离的能力；对缺陷的灵敏度。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院47http:/www.hust,edu,cn频率选择在70KHz:1.在70 kHz处该模式波为非频散的（或者说频散很小）2.采用被Hanning(或Gaussian)窗调制的
34、单音频脉冲激励导波，L（0,2）模式在传播过程中波形的包络线基本不发生变化，并且首先到达接收器3.利用该模式导波研究与缺陷的相互作用，获得了导波在缺陷处的反射和透射系数，可以清晰地分别出人工缺陷的有无、位置和大小，基本原则在保证有足够的灵敏度的前提下，应尽可能选择低的激励频率（低频厚积）这样接收信号中可能出现的模式数量会减小，有助于信号分析 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院48http:/www.hust,edu,cn 管道检测管道检测Teletest图.10 Teletest 二次仪表和笔记本计算机图11 固定式探头图12 12英寸的探头图13 新柔性探头图14 探头模块华中科技大学
35、机械学院华中科技大学机械学院49http:/www.hust,edu,cn 管道检测管道检测Teletest华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院50http:/www.hust,edu,cnMsS系列磁致伸缩导波检测仪系列磁致伸缩导波检测仪 图15系统构架华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院51http:/www.hust,edu,cnMsS系列磁致伸缩导波检测仪系列磁致伸缩导波检测仪 图18 地上长输管道检测和带保温层管道检测图19 地下高压管道监控图20 MsS用于吊桥钢缆的检测华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院52http:/www.hust,edu,cn 铁轨检测铁轨检测华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院53http:/www.hust,edu,cn 铁轨检测铁轨检测
