1、第一章：绪论优化设计（Optimum Design)是60年代发展起来的一门新的设计方法，是最优化技术和计算技术在设计领域中应用的结果。解析法数值计算法优化方法微分求极值迭代逼近最优值计算机优化设计 机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。什么叫机械优化设计工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满意和最适宜的值。一、从传统设计到优化设计 机械设计一般需要经过调查研究(资料检索)、拟订方案(设计模型)、分析计算(论证方案)、绘图和编制技术文件等一系列的工作过程。图1-1 传
2、统的机械设计过程图13 机械优化设计过程框图优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：(1)设计的思想是最优设计；(2)设计的方法是优化方法；(3)设计的手段是计算机。二、机械优化设计的发展概况近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、航空和造船等部门得到应用。1.优化设计的应用领域国内近年来才开始重视，但发展迅速，在机构综合、机械的通用零部件的设计、工艺设计方面都得到应用。2.目前机械优化设计的应用领域在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说，是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的。优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要有以下几方面：1)目前优化
3、设计多数还局限在参数最优化这种数值量优化问题。结构型式的选择还需进一步研究解决。2)优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高。3)把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一。三、本课程的主要内容1.建立优化设计的数学模型2.选择合适的优化方法3.编制计算机程序，求得最佳设计参数第一章 机械优化设计概述第一节 应用实例 机械优化设计问题来源于生产实际。现在举典型实例来说明优化设计的基本问题。图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 Mpa，材料密度=7.8 /，许用压应力
4、 =420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力 和失稳临界应力 的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。510510310 kg3myye图2-2 人字架的受力人字架的优化设计问题归结为：TxDH使结构质量 minm x 但应满足强度约束条件 yx稳定约束条件 ex钢管所受的压力12221()FLF BhFhh失稳的临界力22eEIFL钢管所受的压应力12221F BhFATDh钢管的临界应力222228eeE TDFABh强度约束条件 yx可以写成1222yF BhTDh稳定约束条件 ex可以写成1222222228F BhE TDTDhBh人字架的总质量1222,2
5、2m D hALTD Bh这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解。除了解析法外，还可以采用作图法求解。1-3人字架优化设计的图解第三节优化设计问题的数学模型一、设计变量 在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直处于变化的参数称为设计变量。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：12.Tnxxxx图2-4 设计空间二、约束条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束性能约束侧面约束针对性能要求只对设计变量的取值范围限制（又称边界约束）（按性质分）按数学表达形式分：约束等式约束不等式约束()0hx()0
6、g x 可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。一般情况下，其设计可行域可表示为：()0()0uvgxxh x1,2,.,1,2,.,umvpn图2-5 二维问题的可行域三、目标函数 目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目标。如：轴的质量，弹簧的体积，齿轮的承载能力等。在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的优劣，故目标函数也可称评价函数。目标函数的一般表示式为：12()(,.)nf xf x xx 优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值，即使()f xOpt通常()minf x 目标函数单目标设计问题多目标设计问题 目前处理多目标设计问题的
7、方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即1 122()()().()qqf xW f xW fxW fx四、优化问题的数学模型 优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。优化设计问题的一般数学表达式为：1,2,.,1,2,.,umvpn()0()0uvgxh x()f xminnxR.st数学模型的分类：(1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：确定型模型随机型模型设计变量和参数取值确定设计变量和参数取值随机(2)按目标函数和约束函数的性质分：a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数称为线性规划问题，其数学模型一般为：()f xminnxRTC x.stAxB0 x b
8、.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：0.21)(minXDQXtsRXAXXXBCxFnTT五、优化问题的几何解释无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在目标函数等值面的中心。约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在可行域内或在可行域边界上。第四节优化设计问题的基本解法求解优化问题的方法：解析法数值法数学模型复杂时不便求解可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题图1-11 寻求极值点的搜索过程第二章 优化设计的数学基础机械设计问题一般是非线性规划问题。实质上是多元非线性函数的极小化问题，因
9、此，机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。机械优化设计问题分为：无约束优化约束优化无条件极值问题条件极值问题第一节 多元函数的方向导数与梯度一、方向导数 从多元函数的微分学得知，对于一个连续可微函数f(x)在某一点 的一阶偏导数为：()kx 1()kf xx 2()kf xx()knf xx，它表示函数f(x)值在 点沿各坐标轴方向的变化率。()kx有一个二维函数，如图2-1所示。图2-1 函数的方向导数其函数在 点沿d方向的方向导数为 0 x 000(0)112212211,f xx xxf xxxxx1200limxx 00001221222,f xxxf xxxx 001212
10、coscosf xf xxx 000(0)01122120,limf xx xxf xxf xd二、二元函数的梯度对于二维函数12,f x x在 0 x点处的梯度 000012,Txf xf xf xxx设12coscosd为d方向的单位向量，则有00Txff xdd 即00Txff xdd 0cos,Tf xf d 三、多元函数的梯度 000012,.Tnf xf xf xf xxxx沿d方向的方向向量即00Txff xdd 0cos,Tf xf d 12coscos.cosnd图2-5 梯度方向与等值面的关系若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点的必要条件一阶偏导数等于零，即*0f
11、x满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极小点，还得给出极值点的充分条件设目标函数在 点至少有二阶连续的偏导数，则*x在这一点的泰勒二次近似展开式为：第二节 多元函数的泰勒展开*2*1,112nniiijjii jiijf xf xf xf xxxxxxxxx x 2222112122222122222212.kkknkkkknkkknnnf xf xf xxx xx xf xf xf xG xx xxx xf xf xf xxxxxx 为N维函数f(x)在点()kx处的Hesse矩阵泰勒展开写成向量矩阵形式*12TTf xf xf xxxxxG x
12、xx*0fx*12Tf xf xxxG xxx*0f xf x（1）F(X*)=0；必要条件（2）Hesse矩阵G(X*)为正定。充分条件多元函数f(x)在 处取得极值，则极值的条件为*x*x为无约束极小点的充分条件其Hesse矩阵G(X*)为正定的。则极小点必须满足*0TxxG xxx为无约束优化问题的极值条件同学考虑二元函数在 处取得极值的充分必要条件。*x 120fxf xfx10020 xxx02221120222212xffxx xG xffx xx 各阶主子式大于零例：求函数的 极值22121212,425f x xxxxx第四节 凸集、凸函数与凸规划前面我们根据函数极值条件确定了
13、极小点*x则函数f(x)在 附近的一切x均满足不等式*x*f xf x所以函数f(x)在 处取得局部极小值，称 为局部极小点。*x*x而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内的全局极小点。函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？图2-7 下凸的一元函数一、凸集的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。一个点集（或区域），如果连接其中任意两点1x2x2x凸集的性质二、凸函数函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的011x2x及凸集域内的任意两点存在如下不等式：121211fxxf xx称 f x是定义在凸集上的一个凸函数。三、凸性条件1.根据一阶导数（函数的梯度）来判断函
14、数的凸性设f(x)为定义在凸集R上，且具有连续的一阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸集R内任意不同两点 ，不等式1x2x 21211Tf xf xxxf x恒成立。2.根据二阶导数（Hesse矩阵)来判断函数的凸性设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件Hesse矩阵在R上处处半正定。四、凸规划对于约束优化问题 min f x.st 0jgx 1,2,.,jm若 f x jgx都为凸函数，则此问题为凸规划。凸规划的性质：1.若给定一点 ，则集合0 x 0f xf xRx为凸集。2.可行域 1,2,.,0jjmgxRx为凸集3.凸
15、规划的任何局部最优解就是全局最优解第五节 等式约束优化问题的极值条件约束优化等式约束不等式约束求解这一问题的方法消元法拉格朗日乘子法 min fx.st 0khx 1,2,.,kl1.消元法（降维法）以二元函数为例讨论。二、拉格朗日乘子法（升维法）对于具有L个等式约束的n维优化问题*x处有*0Tdf xf xdx*10lTkkikiihdhxdxhxdxx 将原来的目标函数作如下改造：1,lkkkF xf xhx拉格朗日函数待定系数新目标函数的极值的必要条件0iFx0kF例2-4 用拉格朗日乘子法计算在约束条件1212,2360h x xxx的情况下，目标函数221212,45f x xxx的
16、极值点坐标。第六节 不等式约束优化问题的极值条件在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束条件的优化问题。有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式约束的多元函数的极值的必要条件。库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件一、一元函数在给定区间上的极值条件一元函数f(x)在给定区间a,b上的极值问题，可以写成下列具有不等式约束条件的优化问题：min f x.st 10gxax 20gxxb拉格朗日乘子法，除了可以应用于等式的极值问题，还可以用于不等式的极值问题。需引入松弛变量，将不等式约束变成等式约束。设a1和b1为两个松弛变量，则上述的不等式约束可写为：2211111,0h x agxaax
17、a 2221211,0hx bgxbxbb则该问题的拉格朗日函数 11121 11221,F x a bf xhx ahx b 221121f xaxaxbb1020根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件：1212120dgdgFfdfxxdxdxdx1 1120Fbb1 1120Faa 221212,0Fhx bgxb 211111,0Fh x agxa由1 10a110,0a110,0a 10gxax（起作用约束）10gxax（不起作用约束）同样 ，来分析 起作用何不起作用约束。2 10b 2gx因此，一元函数在给定区间的极值条件，可以表示为：12120dgdgdfdxdxdx 220gx
18、110gx1020多元库恩-塔克条件1212120dgdgdfdfdxdxdxdx分析极值点 在区间的位置，有三种情况*x当*axb时，此时120，则极值条件为*0df xdx当*xa时，此时120,0则极值条件为10dfdx即*0df xdx当*xb时，此时120,0，则极值条件为20dfdx*0df xdx即从以上分析可以看出，对应于不起作用的约束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用约束的下标集合。0,1,2jgxjJ xj一元函数在给定区间的极值条件，可以改写为：极值条件中只考虑起作用的约束和相应的乘子。000jjj JjjdgdfdxdxgxjJjJ二、库恩-塔克条件仿照一元函数给
19、定区间上极值条件的推导过程，可以得到具有不等式约束多元函数极值条件：*101,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjdf xdgxindxdxgxjmjm用起作用约束的下标集合表示*01,2,.,00jjj Jiijjdf xdgxindxdxgxjJjJ用梯度形式表示，可得*0jjj Jf xgx或*jjj Jf xgx库恩-塔克条件的几何意义：在约束极小点处，函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度的非负线性组合。下面以二维问题为例，说明K-T条件的几何意义从图中可以看出，*f x*1gx*2gx处在和角锥之内，即线性组合的系数为正，是在*x取得极值的必要条件。三、
20、库恩-塔克条件应用举例若给定优化问题的数学模型为 22122minf xxx.st 211210gxxx 223100gxxgxx *01,2,.,00jjj Jiijjdf xdgxindxdxgxjJjJK-T条件第三章一维搜索方法1kkkkxxa d采用数学规划法求函数极值点的迭代计算：K+1次迭代的搜索方向搜索的最佳步长因子当搜索方向 给定，求最佳步长kakd就是求一元函数的极值。1kkkkkf xf xa da称为一维搜索。是优化搜索方法的基础。求解一元函数 的极小点a*a，可用解析法。12TTf xadf xadf xadG ad上式求的极值，即求导数为零。212TTf xdf x
21、d Gd*0TTdf xd Gd则*TTdf xd Gd 从上式看，需要求导进行计算，对于函数关系复杂的，解析法十分不便。数值法的基本思路：确定 的搜索区间，在不断缩小区间，最终获得近似值。*第二节 搜索区间的确定和区间消去法原理一、确定搜索区间的外推法图3-2 正向搜索的外推法图3-3 反向搜索的外推法三、区间消去法原理)a 11f af b 11)b f af b 11)c f af b为了避免多计算函数值，将第三种情况合并到前两种情况中。)a 11f af b 11)b f af b三、一维搜索方法的分类从前面的分析可知，每次缩短区间，只需要在区间内在插入一点并计算其函数值。而插入点的位
22、置，可以由不同的方法来确定。就形成了不同的一维搜索方法。一维搜索方法分类试探法插值法黄金分割法二次插值法第三节一维搜索的试探法最常用的一维搜索试探法是黄金分割法，又称0.618法。要求插入点a1、a2的位置相对于区间a,b两端点具有对称性。1abba2aaba除对称要求外，黄金分割法还要求在保留下来的区间再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。212210 0.618所谓的“黄金分割”是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段的比值，即1:1第四节一维搜索的插值方法假定要在某一区间内寻找函数的极小点的位置，虽然没有函数表达式，但能够给出若
23、干试验点处的函数值。我们可以根据这些点处的函数值，利用插值的方法建立函数的近似表达式，进而求处函数的极小点，作为原来函数的极小点的近似值。这种方法称作插值法，也称函数逼近法。一、牛顿法（切线法）20000012ffff yf一维搜索函数，假定一给出极小点的一个较好的近似点0，因为一个连续可微的函数在极小点附近与一个二次函数很接近，因此，在 点附近用一个二次函数 逼近。0 10 求二次函数 的极小点作为 f极小点的新近似点1即0000ff0100ff依次继续下去，可得牛顿法迭代公式：1kkkkff0,1,2,.k 牛顿法的几何解释：牛顿法的计算步骤：给定初始点 ，控制误差 ，并令k=0。01）计
24、算kfkf2）求1kkkkff3)若1kkaa则求得近似解*1kaa，停止计算，否则作4。4）令1kk转1。优点：收敛速度快。缺点：每一点都要进行二阶导数，工作量大；要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极小点。二、二次插值（抛物线法）利用123 yf a在单谷区间中 的函数值123fff，作出如下的二次插值多项式 2012Paaa它应满足条件210112111Paaayf（1）220122222Paaayf230132333Paaayf从极值的必要条件求得1220ppPaa12/2paa（2）（3）要求出系数 和 ，联立方程组（1）、（2）、（3）。1a2a2212322
25、323a aaaaayy2211221212a aaaaayy2222222313121231122331aayaayaayaaaaaaa2313121232122331aayaayaayaaaaaaa 222222231312123122313121231/22paayaayaayaaaayaayaay 31131yycaa21121223yycaacaa113212pcaaac令所以则2()0paa h2()0paa h第四章无约束优化方法第一节 概述从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题是约束优化问题。约束优化问题的求解转化为一系列的无约束优化问题实现的。因此，无约束优化问题的解法是
26、优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。*0f x无约束优化问题的极值条件解析法数值法数学模型复杂时不便求解可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题1kkkkxxa d搜索方向问题是无约束优化方法的关键。各种无约束优化方法的区别：确定搜索方向的方法不同。无约束优化方法分类利用目标函数的一阶或二阶导数利用目标函数值（最速下降法、共轭梯度法、牛顿法）（坐标轮换法、鲍威尔等）第二节 最速下降法优化设计追求目标函数值最小，若搜索方向取该点的负梯度方向，使函数值在该点附近的范围内下降最快。按此规律不断走步，形成以下迭代算法：1kkkkxxaf x以负梯度方向为搜索方向，所以称最速下降法或梯
27、度法。搜索方向确定为负梯度方向，还需确定步长因子ka即求一维搜索的最佳步长，既有 1minminkkkkkkkf xfxaf xfxaf x 0Tkkkkfxaf xf x 10Tkkf xf x10Tkkdd由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。例4-1 求目标函数 221225f xxx的极小点。第三节牛顿型方法在第三章中，我们已经讨论了一维搜索的牛顿方法。得出一维情况下的牛顿迭代公式1kkkkfxxxfx对于多元函数，在kx泰勒展开，得 f xx 212TTkkkkkkf xf xxxxxf xxx设1kx为
28、函数的极小点，根据极值的必要条件10kx210kkkkf xf xxx112kkkkxxf xf x 这是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。例4-2 用牛顿法求 221225f xxx的极小值。对牛顿法进行改进，提出“阻尼牛顿法”112kkkkkxxf xf x1minkkkkkkf xfxa dfxad第四节共轭方向及共轭方向法为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展了一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。一、共轭方向的概念 12TTf xx Gxb xc共轭方向的概念是在研究二次函数时引出的。首先考虑二维情况如果按最速下降法，选择负梯度方向为搜索方向，会产生锯齿现象。为避免锯齿的发生，
29、取下一次的迭代搜索方向直接指向极小点，如果选定这样的搜索方向，对于二元二次函数只需进行两次直线搜索就可以求到极小点。1000 xxa d*111xxa d 1100Txff xdd 1d应满足什么条件？对于二次函数 在 处取得极小点的必要条件 f x*x*0f xGxb*111111f xG xa dbGxbaGd 1110f xaGd 等式两边同乘 得0Td010TdGd 0d1d是对G的共轭方向。三、共轭方向法1、选定初始点 ，下降方向 和收敛精度，k=0。0 x0d2、沿 方向进行一维搜索，得kd1kkkkxxa d3、判断 是否满足，若满足则打印1kf x1kx否则转4。4、提供新的共
30、轭方向 ，使 1kd10TjkdGd5、置 ，转2。1kk第五节 共轭梯度法共轭梯度法是共轭方向法的一种，共轭向量有迭代点的负梯度构造出来，所以称共轭梯度法。12TTf xx Gxb xc1kkkkxxa d1kkkkxxa dkkgGxb从点 出发，沿G某一共轭方向 作一维搜索,到达kxkd1kx11kkgGxb而在点 、处的梯度分别为：kx1kx11kkkkkkggG xxa Gd10TjkdGd0TjkdGd 10TjkkdG gg得出共轭方向与梯度之间的关系。此式表明沿方向kd进行一维搜索，其终点 与始点 的梯度值差1kxkx1kkgg与 的共轭方向 正交。kdjd图4-9 共轭梯度法
31、的几何说明第六节变尺度法1kkkkxxHf x变尺度法的基本思想：前面讨论的梯度法和牛顿法，它们的迭代公式可以看作下列公式的特例。变尺度法是对牛顿法的修正，它不是计算二阶导数的矩阵和它的逆矩阵，而是设法构造一个对称正定矩阵H来代替Hesse矩阵的逆矩阵。并在迭代过程中，使其逐渐逼近H-1。由于对称矩阵H在迭代过程中是不断修正改变的，它对于一般尺度的梯度起到改变尺度的作用，因此H又称变尺度矩阵。一、尺度矩阵的概念变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺度变换可以把函数的偏心程度降低到最低限度。对于一般二次函数 12TTf xx Gxb xc如果进行尺度变换xQx则在新的坐标系中，函数的二次项变
32、为1122TTTx Gxx Q GQx选择这样变换的目的：降低二次项的偏心程度。若矩阵G是正定的，则总存在矩阵Q使TQ GQI使得函数偏心度变为零。用Q-1 右乘等式两边，得1TQ GQ再用Q左乘等式两边，得TQQ GI所以1TQQG说明二次函数矩阵G的逆矩阵，可以通过尺度变换矩阵Q求得。这样，牛顿法迭代过程中的牛顿方向可写成：1kkTkdGf xQQf x 1kkkTkxxQQf x三、变尺度法的一般步骤第七节 坐标轮换法坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量的优化问题。因此又称变量轮换法。其基本原
33、理是将一个多维的无约束最优化问题转化为一系列较低维的最优化问题来求解，简单地说，就是先将(n-1)个变量固定不动，只对第一个变量进行一维搜索得到最优点x1（1）。然后，又保持(n-1)个变量不变，再对第二个变量进行一维搜索到x2（1）等等。图412 坐标轮换法原理图（动画演示）)0(2)0(1XX)0(2)1(1XX)1(2)1(1XX)2(2)2(1XX2.搜索方向与步长的确定（1）搜索方向的确定对于第k轮第i次的计算1kkkkiiiixxa d第k轮第I次的迭代方向，它轮流取n维坐标的单位向量。0.1.0kiide 3.搜索步长的确定关于 值通常有以下几种取法（1）加速步长法（2）最优步长
34、法 最优步长法就是利用一维最优搜索方法来完成每一次迭代，即此时可以采用0.618方法或二次插值方法来计算 的值。)(ki图413 加速步长法的搜索路线图414 最优步长法的搜索路线4.坐标轮换法存在的问题图415 坐标轮换法在各种不同情况下的效能（a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索无效第八节 Powell法（方向加速法）Powell法是利用共轭方向可以加速收敛的性质所形成的一种搜索算法。一、共轭方向的生成二、基本算法三、改进的算法在鲍维尔基本算法中，每一轮迭代都用连结始点和终点所产生出的搜索方向去替换原来向量组中的第一个向量，而不管它的“好坏”。改进的算法是：首先判断原向量组是否需要替换
35、。如需要替换，在产生新的向量。第六章 约束优化方法 根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法两类。1,2,.,1,2,.,umvpn()0()0uvgxh x()f xminnxR.st 机械优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题，其数学模型为：直接解法是在满足不等式约束的可行设计区域内直接求出问题的约束最优解。属于这类方法的有：随机实验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法，并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。间接解法中
36、具有代表性的是惩罚函数法。直接解法的基本思想：在由m个不等式约束条件gu(x)0所确定的可行域内，选择一个初始点x(0)，然后确定一个可行搜索方向S，且以适当的步长沿S方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可行的新点x(1)，即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算：x(k+1)x(k)+(k)S(k)(k=0,1,2,)逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域最优解
37、，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始点不同，而搜索到不同的局部最优解。3）要求可行域有界的非空集。a)可行域是凸集；b)可行域是非凸集间接解法的求解思路：将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优化问题。121211,mljkjkxf xG gxH hx 新目标函数加权因子然后对新目标函数进行无约束极小化计算。第二节随机方向法随机方向法的基本思路：在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为搜索方向d。从初始点x0出发，沿d 方向以一定
38、步长进行搜索，得到新点X，新点x应满足约束条件且f(x)f(x0)，至此完成一次迭代。基本思路如图所示。随机方向法程序设计简单，搜索速度快，是解决小型机械优化问题的十分有效的算法。一、随机数的产生下面介绍一种常用的产生随机数的数学模型3536371232,2,2rrr首先令取r=2657863，按一下步骤计算：令5rr若3rr则3rrr若则2rrr2rr1rrr1rr若则则1/qr r（0，1）之间的随机数在任意(a,b)区间内的随机数()xaq ba二、初始点的选择 随机方向法的初始点x0必须是一个可行点，既满足全部不等式约束条件。初始点可以通过随机选择的方法产生。1）输入设计变量的下限值和
39、上限值，即iiiaxb2）在区间（0，1）内产生n个伪随机数iq3）计算随机点x的各分量()iiiiixaq ba4）判别随机点x是否可行，若随机点可行，用x代替x0为初始点；若非可行点，转到步骤2）重新产生随机点，只到可行为止。三、可行搜索方向的产生产生可行随机方向的方法：从k个随机方向中，选取一个较好的方向。其计算步骤为：121211.jjjnjjinirrerr jir1）在(-1,1)区间内产生伪随机数，得随机单位向量je2)取一试验步长a0，按下式计算k个随机点00jjxxa e3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算余下的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标函数最小的
40、点XL。4)比较XL 和X0两点的目标函数值，若f(XL)f(X0)，则步长0 缩小，专步骤1）重新计算，直至f(XL)f(X0)为止。如果0 缩小到很小，仍然找不到一个XL，使f(XL)f(X0)则说明X0是一个局部极小点，此时可更换初始点，转步骤1）。产生可行搜索方向的条件为：00min1,2,.,LjLjLgxf xf xjkf xf x则可行搜索方向为：0Ldxx四、搜索步长的确定步长由加速步长法确定。五、随机方向法的计算步骤第三节复合形法复合形法是求解约束优化问题的一种重要的直接解法。它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到
41、目标函数最大的顶点（最坏点），然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新的复合形，复合形的形状没改变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数和约束函数无特殊要求，因此这种方法适应性强，在机械优化设计中应用广泛。初始复合形生成的方法：1）由设计者决定k个可形点，构成初始复合形。设计变量少时适用。2）由设计者选定一个可形点，其余的k-1个可形点用随机法产生。()iixar ba11LcjjxxL110.5LcLcxxxx3）由计算机自动生成初始复合形的所有顶点。二、复合形法的搜索方法1.反射1）计算复合形各顶点的目
42、标函数值，并比较其大小，求出最好点XL、最坏点XH 及 次坏点XG，即:min1,2,.,:max1,2,.,:max1,2,.,jLLjHHjGGxf xf xjkxf xf xjkxf xf xjk jH2）计算除去最坏点XH 外的（k-1）个顶点的中心XC 111Lcjjxxk3）从统计的观点来看，一般情况下，最坏点XH和中心点XC的连线方向为目标函数的下降方向。RCCHxxa xx4）判别反射点XR的位置 若XR 为可行点，则比较XR 和XH 两点的目标函数值，如果f(XR)=f(XH),则将缩小0.7倍，重新计算新的反射点，若仍不行，继续缩小，直至f(XR)1。内点法的特点：1初始点
43、必须为严格内点2不适于具有等式约束的数学模型 3迭代过程中各个点均为可行设计方案 4一般收敛较慢 5初始罚因子要选择得当6罚因子为递减，递减率c有0c1。三、混合惩罚函数法1.混合惩罚函数法及其算法步骤 在构造惩罚函数时，可以同时包括障碍项与惩罚项，并将惩罚因子统一用r（k）表示：21111,mlkjkjx rf xrhxgxr 由于内点法容易处理不等式约束优化设计问题，而外点法又容易处理等式约束优化设计问题，因而可将内点法与外点法结合起来，处理同时具有等式约束和不等式约束的优化设计问题。这种同时处理等式和不等式约束的惩罚函数法称为混合惩罚函数法。混合惩罚函数法与前述内点法和外点法一样，也属于
44、序列无约束极小化(SUMT)方法中的种方法。第八章机械优化设计实例第一节应用技巧一、机械优化设计的一般过程机械设计的全过程一般可分为：1.建立优化设计的数学模型。2.选择适当的优化方法。3.编写计算机程序。4.准备必须的初始数据并上机计算。5.对计算机求得的结果进行必要的分析。二、建立数学模型的基本原则 数学模型的建立要求确切、简洁的反映工程问题的客观实际。数学模型的三要素：设计变量、目标函数、约束条件。1.设计变量的选择 在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次，应尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。应注意各设计变量应相互独立，否则会使目标函数出现“
45、山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。3.约束条件的确定2.目标函数的确定 把最重要的指标作为目标函数，其余的次要的指标可作为约束条件。对于一般机械，可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数；对应力集中现象尤其突出的构件，则以应力集中系数最小为追求的目标。对于精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件。三、数学模型的尺度变换1.目标函数的尺度变换2.设计变量的尺度变换当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索方向上各自的灵敏度相差也很大。灵敏度大的搜索变化快，灵敏度小的搜索变化慢。为了消除这种差别，可以对设计变量进行重新
46、标度。使它成为无量纲或规格化的设计变量，这种处理称设计变量的尺度变换。iiiyk x01/iikx*/iiixyk3.约束函数的规格化约束函数的尺度变换称规格化。由于各约束函数所表达的意义不同，使得各约束函数值在量级上相差很大。例如某热压机框架的优化设计中，许用应力为=150MPa，而下横梁的许用挠度=0.5mm，约束函数为：1215000.50gxgx 两者对数值变化的灵敏度相差很大，这对优化设计是不利的。例如采用惩罚函数时，两者在惩罚项中的作用相差很大，灵敏度高的约束条件在极小化过程中首先得到满足，而灵敏度小的几乎得不到考虑。12/10/10gxgx 这样，各约束函数得取值范围都限制在0，
47、1之间，起到稳定搜索过程和加速收敛的作用。第二节机床主轴结构优化设计一、数学模型的建立 在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重；一是主轴伸出端c点的挠度。对于普通机床，不要求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度为约束条件。当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。孔径d、外径D、跨距l及外伸端长度a。由于机床主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定。不作为设计变量。故设计变量取为123TTxx x xlda 2213214f xxxxd机床主轴优化设计的目标函数为再确定约束条件 00g xyy在外力F给定的情况下，y
48、是设计变量x的函数,其值按下式计算23FalayI4464IDd 231304426403Fxxxg xyE xd 刚度满足条件，强度尚有富裕，因此应力约束条件可不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范围，即minmaxminmaxminmaxlllDDDaaa 将所有的约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型可表示为：2213223131044221min32min42max53min1464/1031/01/0/101/0f xxxxdFxxxgxyE xdgxxlgxxDgxxDgxxa 第三节 圆柱齿轮减速器的优化设计圆柱齿轮减速器是一种非常广泛的机械传动装置。目前我国减速器存在的问题：体
49、积大，重量重、承载能力低、成本高和使用寿命短等问题。对减速器进行优化设计，就要考虑：提高承载能力、减轻重量和降低经济成本。减速器的优化设计一般是在给定功率P、齿数比u、输入转速n以及其他技术条件和要求下，找出一组使减速器的某项经济技术指标达到最优的设计参数。不同类型的减速器，选取的设计变量使不同的。展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、螺旋角及变位系数等。行星齿轮减速器：除此之外，还可加行星轮个数。设计变量应是独立参数，非独立参数不可列为设计变量。例如齿轮齿数比为已知，一对齿轮传动中，只能取Z1或Z2一个为设计变量。又如中心距不可取为设计变量，因为齿轮齿数确定后，中心距就随之确定了。不同
50、的设计要求，目标函数不同。若减速器的中心距没有要求时，可取减速器最大尺寸最小或重量最轻作为目标函数。14minminf xmf xlrar 若中心距固定，可取其承载能力为目标函数。1/minf x减速器类型、结构形式不同，约束函数也不完全相同。（1）边界约束（2）性能约束一、单级圆柱齿轮减速器的优化设计第四节 平面连杆机构的优化设计 连杆机构的类型很多，这里只以曲柄摇杆机构两类运动学设计为例来说明连杆机构优化设计的一般步骤和方法。一、曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化设计1.设计变量的确定 决定机构尺寸的各杆长度，以及当摇杆按已知运动规律开始运动时，曲柄所处的位置角0 为设计变量。123451
