1、第5讲量子发展史ppt 统计热力学统计热力学 经过玻尔兹曼、麦克斯韦等人的工作，用统计方法经过玻尔兹曼、麦克斯韦等人的工作，用统计方法来研究分子热运动已被证明是很成功的。麦克斯韦来研究分子热运动已被证明是很成功的。麦克斯韦发现统计热力学的一条重要规律单原子气体的发现统计热力学的一条重要规律单原子气体的速度分布律：速度分布律：最可几速度：最可几速度：气体分子服从能量均分定律：气体分子服从能量均分定律：E为气体总动能，为气体总动能，N为分子数。为分子数。，分子平均动能，分子平均动能：阻尼摆和钟摆的相空间图多粒子体系v6N维空间中的一点可以表示在3维空间中运行的一个多粒子系统的位置和速度。在相空间中
2、，两个动力学系统的轨迹不可能相交。v有时会使用空间表示：用6维空间中（不是6N维空间）的N个点来描述由N个粒子组成的系统的全部动力学状态。这样，N条轨迹线就描述出所有粒子的运动。在这种描述中，经典的决定论就被表述成：在某一时刻，各由N条轨迹线组成的两组轨迹集不可能完全重合。我们把这样的空间叫做空间。对于单粒子体系而言，空间与相空间是重合的。v在一定能量的超曲面上，无论初始条件是什么，系统的演变必须使它能达到给定能量超曲面上的所有点，这就是遍历系统。一个有限的且相对复杂的系统的能量超曲面上的非遍历点所占的面积近乎为零。多粒子体系v任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能存在的热力学状态都可能
3、对应着该系统在相空间中的不同区域。在日常使用的语言中，我们把整个宇宙的相空间划分为若干个块。热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：上述划分是极不均衡的，其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情都未发生”。v玻尔茨曼早先把在长时间内观察到系统处于Si 状态的时间i的时间之比的极限（令）：i/定义为系统处于Si 状态的几率，爱因斯坦喜爱这个定义，而对几率的配容数定义不满。微观配容数v以一个长方体的容器内的气体为例来研究空间，将该空间先划分为若干个大小相等的正方体单元。把N个相同气体粒子中某个粒子处于某个单元这样的描述称作一种排列，而把某个单元内的
4、粒子数量这样的描述称作一种分布，这里的分布不是指哪些特定的粒子处于哪些特定的单元里。这样，一种分布就必然和若干种不同的排列对应；一种分布所能传达的信息也要比一种排列所传达的信息少得多。vN个粒子在相空间的r个“相格”中分布，其中在第i格中的粒子数为ni,则N个粒子的微观态vWx=N!/n1!n2!nr!v总而言之，粒子的分布越分散，排列的种类就越多，N代表的数越大，排列的种类也越多。分布分布（宏观态）（宏观态）详细分布详细分布（微观态）（微观态）14641微观态数（热力学几率）微观态数（热力学几率）W W熵的几率解释v统计力学的一个基本假设是所有微观态都是等几率发生的。如果组成一个系统有种方式
5、（是所有W的总和），那么经过一段较长时间后，系统处于某个特定宏观态X的概率是Px=Wx/，式中Wx是对应于宏观态X的微观排列数。v玻尔茨曼通过把一个分布的热力学熵作为与之相对应的排列数的因变量，建立了一个表达式：S=klnW。v宏观状态的熵是与之相对应的微观状态的相空间体积的度量单位；如果微观状态不是连续的，它也是与之对应的微观状态数量的度量单位。这意味着熵与信息有某种联系。某一宏观态的熵越大，其对应的相空间体积就越大，也更容易出现，但携带的信息量就越少，混乱度越大。刘维定理与彭加勒定理v可到达态：一个态的性质如果与系统的规定一致，这个态就是该系统的可到达态。v这意味着这个态的能量必定在系统规
6、定的能量范围内，所代表的粒子数必定等于系统规定的粒子数。v设想相空间中一系列的点，某个地区，某个斑点。思考此斑点中的每一点的发展，后一系列一定会组成另一个斑点，此斑点假定和第一个相比有不同的形状，处于相空间的不同位置。刘维定理是说，那两个斑点的体积必须是相同的。在相空间中点的运动和不可压缩液体中的水有着同样的数学结构。v根据彭加勒的回归定理，任何限制在它的相空间内的有限区域内的经典系统在不久的将来总是会回到它的原始状态，或任意地停止在它的原始状态（相邻微观态有26N 个）。复杂体系的不可遍历性v因此，基于牛顿力学的统计力学不满足热力学不可逆性。但由于宇宙在复杂有机分子的复杂性层次上是不可遍历的
7、，宏观不可逆性成了不可还原的突现属性。复杂体系肯定不是原子与分子随机碰撞形成的，而是存在着不同层次的自组织机制，如同元件先组装为部件，不同层次的部件再组装为机器。v比如，将200种氨基酸以不同的编码组成蛋白质链，因为在200个位置上，每一个都有20种选择，那么长为200的可能的蛋白质的数量就是20100，相当于10260。按照普朗克时标（10-43 秒），宇宙充其量只能随机创造10221 个长为200的蛋白质。黑体辐射v1859年，通过基尔霍夫等人的研究，已经证明黑体辐射的“成分”（能量按频率的分布）只依赖于周围腔壁的温度而不依赖于腔壁的材料，或者说：“在相同的温度下的同一波长的辐射，其发射率
8、和吸收率之比，对于所有物体都是相同的。”这里涉及的就是某个确定温度的黑体，电磁辐射和粒子处于平衡态。vdE=c(,T)dv黑体辐射光谱是连续的，光谱中间没有间隙v光谱的能量分布与温度有关，与物质性质无关。维恩位移定律（1893）和斯蒂藩（1870）玻耳兹曼定律（1884）v维恩定律是经验公式v斯蒂藩定律也是经验公式，后被玻耳兹曼所证明。v1900年，瑞利和琼斯根据能量均分原理计算出，物体的所有能量都会被场吸收完没有极限！此处发生了物理上荒谬的事情紫外灾难：如果物质和辐射振子按照经典观念是完全连续的，物体分子和原子热运动的能量就会不断地跑到电磁场中去，用来激发越来越高的频率的电磁辐射振荡，从而使
9、热平衡永远无法达到，因为热平衡意味着需要无穷大的辐射能，即“紫外灾难”。v 琼斯提出了琼斯提出了“琼斯立方体琼斯立方体”形象地表形象地表达了这一佯谬。达了这一佯谬。v(,T)=(82/c3)kT.v另一个维恩公式在短波段与实验事实一致，而在长波段有较大误差:v(,T)=(83/c3)a e-a/T .紫外灾难紫外灾难破缺热力学第三定律v有重物体是原子等小颗粒构成的系综，内部自由度是有限的。电磁场是连续的三维体，它的自由度是连续的无穷大。当我们考虑电磁场与物体的相互作用时，特别是考虑二者的能量平衡时，我们就在自由度方面遇到分立有限值和连续无限值的对立。v假如能量均分原理还能成立，只要有那么一点点
10、极微弱的电磁场，则当场和物体之间的相互作用达到能量平衡（热力学平衡）时，每一个物体的温度都只能是绝对零度，而全部能量都被吸收到了电磁场中去。这个紫外灾难问题的深入分析得出的结论是，连续的电磁场和分立的质点体系在能量均分条件下达到热平衡态时，必然破缺热力学第三定律。在能量均分原理应当取得胜利的地方，事实上却存在着遮断阳光的“乌云”。连续电磁波的假设也无法解释高强度低频光为何不能轰击金属电子来引发光电效应。普朗克的探索过程v普朗克（1858-1947）研究黑体辐射的第一阶段是电磁阶段。根据经典电动力学，带电粒子作加速运动时会辐射电磁波；反过来，凡是能辐射电磁波的物体，一定可以比拟为是带电粒子在作加
11、速运动。因此，普朗克就把黑体看成是一些作简谐运动的普朗克振子所组成的物理体系。1899年，普朗克得出了一个黑体辐射公式：(,T)=83 u/c3，式中u为频率为的一个振子的平均能量。v第二阶段是热力学阶段。他发现，瑞利-琼斯公式与维恩公式所代表的热力学体系，它的熵S与能量u的关系分别是vd2 S/du2=-c/u2，c为常数，vd2 S/du2=-1/au。v比较这两个式子，普朗克得到启示：正确的黑体辐射公式，其热力学体系的熵和能量的关系很可能是：vd2 S/du2=a/u(u+)，式中和是两个常数。普朗克有了这个猜想后，就得到了正确的黑体辐射公式。能量子假说v1900年10月19日,普朗克推
12、导出了跟实验吻合的黑体辐射能量-频率分布定律,这就是普朗克定律,它在低温时与瑞利-琼斯定律一致,在高温时与维恩定律一致。v=(82/c3)(h/exph/kT-1)v在研究的第三阶段（统计力学阶段），他引入了两条假设论证u=h/exph/kT-1。一是量子假设，即谐振子系统总能量是由有限个大小为E=h的不可分解的能包所组成；二是记数假设，即计算谐振子的熵时，把粒子视为全同粒子。于是，P个能量子在N个振子中进行分配时，配容数不同于玻尔茨曼分布：vW=(N+P-1)!/(N-1)!P!能量子假说的意义v普朗克的量子假说打破了“自然界无飞跃”的古老观念，把经典物理学中被视为连续的，无限可分的物理量理
13、解为由不可再分的单位（能量子）组成的间断性分布,实际上是“牛顿以来最伟大的发现”。量子假说可以看作是加在能量均分原理上乃至整个经典统计物理学上的一种限制和修正，它避免了原子的电塌缩，以及电磁场与有重物体达到热平衡时破缺热力学第三定律等经典物理学的困境。v普朗克常数的引入，意味着自然而然地扬弃紫外灾难：要激发越来越高的振荡频率，就要有越来越大的能量份数，以至使这种过渡的几率急剧降低，对于充分高的频率来说，它迅速趋向于零。v由于能量子的发现，普朗克获得了1918年度的诺贝尔物理学奖。爱因斯坦与光电效应v1905年，爱因斯坦发表了关于光的产生和转化的启发性观点一文，根据维恩猜想，把黑体辐射本身看作是
14、一个热力学体系，类比为理想光子气体系综。研究了辐射的熵密度，从中引申出光量子假说。按照爱因斯坦观点，作为辐射基本单位的光量子，是一些携带着能量和动量而运动的粒子，作为光子气体系综的黑体辐射与理想气体非常相似。爱因斯坦成功地解释了光电效应等现象，并因此获得1921年诺贝尔物理学奖。v1909年，爱因斯坦在关于辐射的本质中发现，辐射压的能量与动量起伏似乎有两个原因：第一种机制（独立的光量子）将导致维恩定律，第二种机制（经典波）将单独导致瑞利-金斯定律，只有两种机制的结合才能导致普朗克定律。v1924年，玻色直接用能量量子化和光量子不可区别假设来推导普朗克公式，彻底解决了这个问题。1925年，爱因斯
15、坦指出，玻色-爱因斯坦气体满足热力学第三定律。普朗克与爱因斯坦康普顿效应v根据经典电磁理论，散射的光波长是不会改变的。A.H.康普顿（18921965）于19221923年，在研究X射线射入石墨，金属等物质的散射现象时，用光子与静止电子的弹性碰撞解释了散射光波长的改变，还得出了波长移动的公式，这就是康普顿效应。vh/c=p+h/c，vh+m0 c2=h+mc2 。v得到=c(1-cos)v=(h/mc)(1-cos)vc为康普顿波长。原子稳定性问题v1911年，卢瑟福根据有关实验资料提出了原子的太阳系模型。公转的电子处于行星的地位，中心的太阳为原子核所取代，它们在很微小的尺度上由电磁力而不是引
16、力绑在一起。v当一个公转电子绕着核子时，按照麦克斯维理论应发射出电磁波，同时它以螺旋形的轨道撞到核上去！如果电子在原子中静止，它们也无法借助于静电力保持平稳的构型；原子在不太强的外来干扰下高度稳定，经典物理无法理解原子稳定性。光谱是分立的v原子会发射出电磁波（光），但是只能以突发的形式，具有非常特别分立的频率，这就是被观察到的狭窄光谱线，而且光谱服从经典理论无法理解的规则。v1885年，巴尔末发现氢光谱线频率符合以下公式：v=R1/22-1/n2 v更一般的公式是里德堡原理：v=R1/n1 2-1/n2 2 玻尔原子模型v1912年3月至7月，玻尔在卢瑟福实验室进修，孕育了新的原子模型。在19
17、13年7月，9月和11月发表了长篇论文论原子构造和分子构造的三个部分。v玻尔的原子理论给出了这样的图象：电子在一些特定的可能轨道绕核作圆周运动，离核越远能量越高：可能的轨道由电子的角动量必须是h/2的整数倍决定；最里面的轨道最稳定，称为基态。v当电子在这些轨道上运动，原子既不发射也不吸收能量（定态假设）。电子在能级间跃迁时是以一种无法形象化的方式发射一个光子，光子的频率由普朗克爱因斯坦公式确定，与电子的轨道旋转频率f无关。玻尔认为，这是与麦克斯韦的电动力学相矛盾的假设。v量子定态是指：量子体系在任一体积元内发现一个粒子的几率与时间无关，在此状态中所有可观测的物理性质都与时间无关。量子态的数目是
18、无限的，但一般都是可数的。量子跃迁v只有当电子从一个轨道跃迁到另一轨道时，原子才发射或吸收能量；而且发射或吸收的能量是单频的，辐射的频率和能量之间的关系由E=h 给出（跃迁假设）。玻尔的理论成功地说明了原子稳定性和氢原子光谱线规律，并预言了未曾观测的氢光谱；还计算出里德伯常数和精细结构常数。v玻尔综合了三方面的工作：1，普朗克和爱因斯坦的E=hv；2，光谱学经验材料；3，卢瑟福原子模型。v他认为，在亚微观领域，能量仍然守恒。并提出了对应原理：即为新理论设置经典极限（相对论也有经典极限）。当跃迁发生在能量、振动频率等相差极小近乎连续的两个定态之间时，应该等同于经典物理。通向量子力学的两条路径v从
19、爱因斯坦的光的波粒二象性出发，构造德布罗意的物质波理论，引出了薛定谔的波动力学。v沿着玻尔指出的对应原理的道路，人们不再把力学规律写成电子的位置和速度的方程，而是写为电子轨道傅立叶展开式中频率和振幅的方程，找到同发射辐射的频率和强度相对应的那些量的关系，建立矩阵形式的量子力学。以太的量子波动v法兰西学院的物理学教授布里渊，在1919年至1921年发表论文，设想原子核周围有一种类似以太的特殊媒质，当电子在核周围运动时，就会在媒质中激起波动。当电子轨道的长度等于波长的整数倍时，电子激起的波动就在轨道上引起驻波。v布里渊认为，这样的轨道就是玻尔的定态轨道，他把电子的动量与以太波的波长联系起来，并为玻
20、尔的量子条件提供了一种直观的图象，这就启发了德布罗意。德布罗意与物质波物质波理论（1923）几何光学质点力学费马原理：光沿最短路径传播莫培督原理：粒子运动遵守最小作用原理波动光学波动力学0 =m0 c2/h,根据洛伦兹变换得出德布罗意关系：最小作用原理v惯性定律表明，物体的自然运动是最短距离的直线运动。1744年，莫培督提出“最小作用原理”，他含糊地把质量，速度和所通过的距离的乘积作为作用量的量度。v1755年，拉格朗日提出“变分方法”，明确把“作用”定义为运动量的空间积分或动能的时间积分的两倍。v1834-1835年，哈密顿利用拉格朗日函数L=T-V来构造作用量S=Ldt，其中动能T为系统的
21、广义坐标qi,dqi/dt的函数，势能V是系统的广义坐标，时间t和广义速度的函数。v哈密顿原理断言：系统在任意二时刻t0和t1之间所发生的运动，是使哈密顿作用量的数值比在这段时间内任何其他可能运动的哈密顿作用量的数值都要小或大：S=0。v哈密顿利用广义坐标以及共轭的广义动量定义了哈密顿函数，得到了哈密顿正则方程：vH/qi=-dpi/dt,H/pi=dqi/dt,i=1,2,nv其中H=T+V,等于系统的总能量。薛定谔方程v1926年1月-6月，薛定谔以同一题目作为本征值问题的量子化发表了4篇论文。他通过爱因斯坦关于量子统计的论文了解德布罗意思想，从哈密顿-雅可比方程出发，引入波函数，作出几何
22、光学-经典力学与波动光学-波动力学的类比，建立了薛定谔波动方程：v(ih/2)/t=Hv在量子力学的公理体系中，这个方程意味着，处在Hilbert空间中，假使有一个唯一族的单参数的幺正算符U(t)作用在系统的Hilbert空间上，使得(t)=U(t)(0)，那么就存在一个唯一的自伴算符，使得U(t)=exp(-itH)。vUU=I（U是幺正算符）波粒二象性Plank公式的协变性v如果把爱因斯坦的论运动物体的电动力学中关于时空坐标的洛伦兹变换代入波函数的相位因子中，就得到频率变换公式是 v 或v v故 其中h必然为常量，且须为与参考系无关的不变量才能确保上式成立，由此可见，仅仅从相对论原理下的L
23、orentz变换或迈克耳逊-莫雷实验的零结果，或者静止系中的球面光波在洛伦兹变换中成为运动系中的椭球光波出发，都可以推证场速为光速c的波动，能量应与其频率相关公设之下，必须是线性相关函数。量子假说并不像多数学者想象的那样，独立于相对论，根据波粒二象性，能够从相对论推导出量子假说。21()1c o scvc21(/)()/()1 coscEf vv vEf vc (),E f v hv海森伯矩阵力学v1925年，海森伯对玻尔理论进行了仔细的研究。他认为，玻尔原子中具有确定的半径和转动周期的电子轨道是不可观察的，应该没有物理意义。而在实验中能观察到的只是光谱的频率和振幅。因此，应该原则上在可观察量
24、之间的关系上建立量子力学。矩阵力学v因为使用坐标q,动量p的傅立叶展开式能把p和q分解为谐波项的和，用展开式中的可观察量谐波的“频率”和“振幅”所列成的表（矩阵）去替代p,q本身，由此得到一个仅以可观察量为基础的量子力学运动方程：pqqp=hI/2 (其中I为单位矩阵）.v狄拉克对经典泊松符号改造为量子泊松符号得到：v 广义力：dpk/dt=(2i/h)H,pk ,广义速度：dqk/dt=(2i/h)H,qk。v其中力学量被表示为厄密矩阵（与自身的转置矩阵相等的矩阵），各矩阵元对应着定态间一切可能的跃迁过程，发现了可以导出这些态的能量和相应的跃迁过程的几率。从这些方程出发，可以自然地得出符合量
25、子化条件的解，而不必像玻尔那样附加几条假说。量子论表象是等价的v量子论的算符形式是玻恩和维纳发展起来的矩阵力学的推广形式，狄拉克和约尔丹从中发展出表象变换理论,证明了各种量子论表象的等价性。后来，冯诺依曼用希尔伯特空间的厄密算子的算法来表述量子力学，并证明了矩阵力学与波动力学的函数空间的同构性。v实际上，薛定谔在建立波动力学不久，就证明了波动力学与矩阵力学在物理上的等价性，当然波动力学比矩阵力学多了相位因子，而且使用的数学工具更容易被传统的物理学家接受。Klein-Gordon方程(1926)v在相对论中，能量、动量和质量存在如下关系（在c=1的自然单位制下）：vp2+m2=0，其中p2=pp
26、=p2 E2 v利用算符替换Ei/t，p-iv就得到-2/2t=-2+m2=0，v即（2 m2）=0v这就是Klein-Gordon方程，后来发现只适用于自旋为0的粒子，如光子，介子。狄拉克方程v1928年，狄拉克建立了时空坐标对称而又避免负几率困难的一阶矩阵方程，从而把量子假设与相对论假设统一了起来：v（i/x-m0 c）=0v狄拉克方程中的电子波函数是4分量的双旋量（1/2秩的张量）函数。在适用于电子的相对论性波动方程中，共有四个依赖于空间坐标和时间的波函数。它在本征值E远小于mc2的时，重新得到薛定谔方程的一般结果。它还能自动得到电子自旋和电子轨道的托马斯进动。v当考虑到能量和动量的相对
27、论函数关系时，狄拉克方程允许同时正能解和负能解。如果负能态没有下限的话，那么，处于任意态的电子会通过辐射光子而无限制地向更低的能态跃迁，即使是自由电子也是不稳定的。正电子是负能电子海洋的空穴v1930年，狄拉克大胆假设电子的负能区域全部被占据，泡利不相容原理就会阻止正能电子向负能物质跃迁。但负能海洋所产生的总效果为零；电荷，质量，动量等等所有可观察量都为零，而这样的区域实际上就是通常所说的真空。我们很难发现负能海洋，如同鱼最后才知道自己生活于水中。v当时，狄拉克把负能级中的“空穴”视为质子。v但是，数学家韦尔指出“电子的空穴”应当具有与电子相等的质量，另外原子核中质子作为“空穴”存在，为何不被
28、电子填充，也无法理解。v于是狄拉克推测“空穴”是带正电的电子反电子。正电子的发现v根据狄拉克理论，当电子从负能区逸出后，在正能区域就出现了一个电子e-，而在负能区域留下的空穴就是正电子e+，同时吸收光子。v如果e-再填补那个空穴，则e-与 e+湮灭而放出光子。v1932年，美国的安德森在研究宇宙射线时，发现了正电子。1955年以后，反质子、反中子相继发现，理论推测的所有反粒子也在20世纪60年代后全部找到，并人工合成了简单的反氘与反氦原子。粒子的自旋v电子的自旋很容易从狄拉克方程中自然地得出；而在非相对论量子力学中，电子自旋既有实验依据，又被看成是第四个自由度。v如果考虑电子在中心力场中的运动
29、，守恒的总动量将是电子的单纯轨道角动量与附加的自旋角动量之和。一个电子的自旋波函数空间是一个复二维实四维的空间，对应一个黎曼复数球面（量子信息的布洛赫球面）。v因此，把电子自旋理解为微观转动小球的角动量是错误的，因为转动小球的表面速度将是超光速的。合理的理解是，电子自旋代表着转动的电子场中电力线与磁矩的量子变化（自旋网络）。自旋与量子统计相关的根源v具有整数自旋（=h/2的整数倍）的是光子之类的玻色子，具有半奇整数自旋的是电子和质子之类的费米子。v1924年10月，斯通纳提出以下规则：“在每一个填满的壳层中，电子数等于内量子数的两倍。”泡利提出不相容原理解释这个规则：“在原子中不能存在两个或更
30、多的等价电子，在强场中所有量子数n,l,ml,mR的值都相重合。如果在原子中有一个电子，它的各个量子数有了确定的数值，那么这个状态就是被占据了。”v1940年，泡利给出了自旋与统计法相关性的证明，即相对论不变性与微观因果性，要求用对易子去使整数自旋场量子化，而用反对易子去使半奇整数自旋场量子化。v否则，将会导致矛盾。v反常塞曼效应兰德规则二值性v不相容原理v v斯通纳规则量子统计的一种形象理解v我们可以把粒子的波函数想象为某种高维波动的投影。v费米子是横列化投影：v两个费米量子态“，”置换有符合泡利不相容原理的两个投影：“”与“”v玻色子是纵塔化投影：v两个玻色量子态“，”置换的投影是一个不可
31、区分的“十”。经典统计与量子统计v范弗拉森想象玻色-爱因斯坦统计(BE)和费米-狄拉克统计(FD)，经典的麦克斯韦-玻尔茨曼统计（MB）分别运用于投掷两个“全同”硬币a和b的情形，发现：v 费米子聚合（微观态数最小）显示负关联，玻色子聚合（微观态数次之）显示正关联，而经典粒子集合（微观态数最大）显示零关联。v在量子论中，量子粒子作为全同粒子，既不能被重新识别，也不能从其同类粒子中区分出来。因此，它不是个体，但仍解释为粒子，主要是因为静止质量，电荷与自旋的守恒。全同粒子之间的关联 v 正面向上反面向上 Pmb PfdPbeCase1 2（a,b）014 013 Case 2（i）1（a）1（b）
32、14 12 16 Case 2（ii）1（b）1（a）14 12 16 Case 302（a,b）14 013 经典力学与量子力学的关系v大多数学者认为量子力学与经典力学有本质的区别，复旦大学的金尚年教授（海森伯学生王福山的学生）认为：v1.量子力学离不开哈密顿函数和相互共轭的正则坐标和正则动量，这是经典力学哈密顿理论的核心内容，量子力学继承了这个衣钵。v2.非相对论量子力学的三种理论形式：海森伯的矩阵力学，薛定谔的波动力学，以及费曼的路径积分表象，其数学形式正好与经典力学哈密顿理论的三种动力学方程的形式：正则方程，哈密顿-雅可比方程，哈密顿原理（拉格朗日形式）一一对应。量子力学的表象变换理论
33、，无论其思想实质和数学形式，都与经典力学哈密顿理论的正则变换十分相似。v3.经典力学的拉格朗日-哈密顿理论，能够扩充到经典统计力学与经典电磁理论中，这意味着把量子力学纳入经典力学的哈密顿理论中是可能的。不确定关系与经典力学v金尚年指出，经典力学的拉格朗日函数具有不确定性，L1(q,dq/dt,t)与 L2(q,dq/dt,t)=L1(q,dq/dt,t)+df(q,t)/dt是等价的，其中f(q,t)是坐标和时间的一个任意函数。因此，对于一个确定的正则坐标q，与它共轭的正则动量是不确定的，可以有无限多个。v不论是海森伯的量子力学，还是薛定谔的量子力学，都要用到哈密顿函数，因此现行量子力学中一对
34、共轭的正则动量之间具有不确定性，其根源在于经典力学的哈密顿理论。v一对共轭的坐标与动量，在经典力学中具有确定值，是因为加上了某种规范条件。在力学范围内，通常我们都取L=T-V，这相当于给L2=L1+df/dt加上限制条件df/dt=常数。v但在量子力学中，作用量子化h=常数是一个基本的独立量子假设，它比经典力学的规范条件df/dt=常数要弱，不能使p和q之间的独立性完全消失，通过简单分析，可以证明作用量子化的规范条件能够推导出p与q的不确定关系。时间：相对论与量子论的深刻冲突相对论量子论空间(x,y,z,ict)与(px,py,pz,iE/c)是洛伦茨协变的四维矢量x,px,y,py,z,pz
35、是服从对易关系PX-XP=h/2i的厄密算符时间E和t在形式上类似于P和x的正则共轭变换，似乎应该存在满足关系的算符Et-tE=h/2i.但是泡利在1933年证明了不存在满足E,t对易关系的厄密算符t=(h/2i)/E.对波函数的不同理解v按照德布罗意的原始假定，所谓电子的波动性，是指总有一个相位波伴随着电子的运动，电子是物理的粒子，相位波提供的是粒子在空间中的递次位置的信息。v爱因斯坦把电子运动的波动性归之为一种非物理的鬼场，鬼场不携带能量和动量，但指引着粒子的运动。薛定谔的电磁解释v与德布罗意的相位波和爱因斯坦的鬼场不同，薛定谔认为波函数描写的不是虚拟的而是类似麦克斯韦电磁场的真实物理场，
36、这就是“电磁解释”；在薛定谔看来，粒子不外是由作为物理实体的波场集中积聚在微小空间内而形成的波群或波包。*代表电荷密度的权重。v但是，薛定谔的解释面临波包扩散，波包收缩，动量表象和位置表量变化的理解，以及波函数多维空间和复数表达等问题。玻恩的量子几率解释v1926年，玻恩在论碰撞过程的量子力学中，认为波函数服从统计规则，波函数模量的平方|2，给出粒子出现的几率。因此，在量子信息转化为经典信息的时候，玻恩的几率解释破坏了复变波函数的全纯性。v“我把薛定谔波场理解为你用字意义上的幽灵场，在当时是有用的，当然，几率场不是在通常空间中而是在相空间（或组态空间）中传播的。”v （玻恩致爱因斯坦，1926
37、）v爱因斯坦在1936年写道：“函数不能以任何方式描述单个系统所具有的条件，而只能与许多系统，即统计力学意义上的整个系统有关。”从现实空间转向位形空间v量子几率解释放弃了对波函数的现实空间描述，而转向位形空间描述。比如，一个1010的磁极方阵，每个磁极具有要么向上与要么向下的自旋，位形空间与自旋的位形有关，那么有2100 个不同的自旋位形。v于是，量子力学就可以在数学上归结为抽象空间论。量子测量问题的实质就是如何把希尔伯特空间中发生的量子相互作用，重新在普通的物理时空中体现出来。v虽然对波函数的本质以及几率的哲学解释有很大的争论，但是由于玻恩解释规则的有效性，量子几率概念已经成为多数量子力学解
38、释的内在环节。哥本哈根解释v哥本哈根解释的主要信徒是玻尔，泡利，狄拉克，维格纳等人。他们接受目前的量子力学体系的数学结构和内在的物理意义，即互补性思想。他们普遍相信现行量子力学体系是一种“完备”的理论，回答了所有量子力学中有意义的问题。因此，量子力学几率的概念，按照玻尔的意见，具有内在的本性，而若要问理论所预言的“概然的”结果背后的问题，则是“无意义的”和“不允许的”。与牛顿-爱因斯坦的“物质，时空，运动”的自然哲学路线不同，哥本哈根学派的研究路线是“定态，跃迁，几率”。v哥本哈根学派的信条是：量子现象中客体与主体不可区分v（1）玻尔和海森伯常说：“我们既是观众，又是演员。”他们认为原子领域的
39、物理规律，是在人为安排的特殊条件下各个观测结果之间关系的定律，既有客观因素，也有主观因素内含其中。v所有包含能量或动量转换的基元过程，因为h的大小有限，所以是不连续的；在经典力学中，h太小，其后果被消除了。因此，所有测量，包括被测量系统和测量仪器的相互作用，总包含一种不可消除的相互扰动。这种不连续性构成人们对微观客体认识的极限。互补原理v（2）物理学中的一切概念，只有在由它们的实验测量（实际上或想象中的）所定义的范围内才有意义，而且测量程序及所得结果必须能以经典物理学的概念来表述。但是，在不同的实验条件下得到的证据，并不能概括在单一的一个图景中；量子现象在不能同时进行的实验中呈现为互相排斥的两
40、个经典图象，而这两个互斥的经典图象必须认为是互补的；所谓互补，就表示这些互斥现象的总体才能将关于客体的可能知识包罗殆尽。波粒二象性v互补性的意义包括：v首先，微观粒子具有波粒二象性，波动性和粒子性如何显现，决定于我们如何观察。波动性和粒子性代表着量子现象在不同场合下的两种经典的理想化描述，互斥又互补。因果描述与时空描述v其次，由于在每一个测量过程中，存在着不可控制的作用量子的参与，测量过程中出现的每一个时空事件不可能有因果描述；同时，在中间阶段没有进行观察，两次相继测量之间的时空坐标的概念失去了可认知的意义。因此，在对量子现象的描述中，因果性要求与时空坐标描述都是必需的，但这两者是互相排斥的，
41、各在不同场合互补地起作用。实验装置的不相容v再次，在量子力学表述体系中，共轭力学变量的不可对易性，表现在对应于测量共轭变量的实验装置的不相容性，也就是说，不可能设计出量子测量装置来同时测量一对共轭力学量的准确值。vpq-qp=hI/2i关于互补原理的争论v玻尔认为，由于量子作用的整体性和不可分性,我们不能明确地区分原子客体的行为和测量仪器之间的相互作用；任何将量子现象加以细分的企图都将要求实验装置的改变，从而引入新的不可控制的相互作用，引发新的量子现象。这是现象整体论的立场。他的学生罗森菲尔德认为应当用辩证唯物论来理解互补性。v爱因斯坦致薛定谔的信中指出：“海森伯-玻尔的绥靖哲学给信徒提供了安
42、眠的软枕。他是不容易从软枕上惊醒的。那就让他好好躺着吧。但是这种宗教对我的影响是极小的，所以我不管这一切还是说：不是E和，而是E或。而且正好不是，而是E归根到底这个量具有实在性。但是，数学上我还看不出它的眉目来。”对互补原理的批评v互补原理导致量子测量问题陷入概念困难：一方面，我们借助于宏观仪器和经典概念确定和描述量子态；另一方面，量子测量过程又必须全部用量子概念来理解。测量仪器究竟是经典的，量子的，还是半经典半量子的？v对于各种非正统量子力学解释来说，大多认为互补性是可疑的甚至自相矛盾的概念，应当寻求互补原理的替代品，或者主张对互补原理作出辨证的扬弃。波普尔认为，互补原理是哥本哈根学派特有的
43、意识形态，马里奥本格认为互补原理包含着微观层次的主观唯心主义与宏观层次的实在论态度的矛盾。v公认的态度是：尽管经典思维方式在量子理论形式体系的每一点中事实上都是必要的，然而对量子理论的完备理解需要寻求更确切的概念集。不确定关系v（3）从爱因斯坦德布罗意关系出发，海森伯的不确定关系可以作为推论得出。这不仅意味着在测量两个互补的性质时，要求它们同时达到人们所希望的准确度，在实践上是不可能的；而且还意味着要超越不确定关系，从概念上定义这样两种性质，也有内禀的不可能性。v不确定关系有助于理解电子不是原子核的成分。v徳布罗意认为，不确定关系意味着芝诺悖论的推理在微观世界有效：居于一点就无运动，而运动是既
44、在此处又在彼处。而在宏观领域，无论是经典的波动概念还是经典的粒子概念，对于描述量子运动都是过度理想化的，并且是在不同条件下互斥又互补的，不应当把时空图景与动力学图景的冲突极端化，它们是近似相容的。能量-时间不确定关系v朗道认为，能量-时间不确定关系的意义是两次测量的时间差与能量差的不确定关系.v曼捷尔斯塔姆认为，这是能量弥散与力学变化的统计关系。v克雷洛夫和福克认为，能量-时间不确定关系，可以借助动量能量守恒律从动量和位置的不确定关系推出。v马里奥本格认为，由于时间坐标在量子论中不同于空间坐标，时间没有对应的厄密算符，能量与时间的不确定关系应当在量子力学的一切讨论中去掉。vJan Hilgev
45、oord认为，量子论中的时间没有厄米算符的原因是：时间t代表着包括测量仪器在内的参照系的外部时间坐标，而与能量-时间不确定关系有关的时间涨落却是与局部粒子系综的量子波动的内部时钟变量有关的。更基本的是，位置-动量的不确定关系没有涉及空间坐标的不确定性，而是粒子的位置变量的不确定性。尽管在量子论中，时空坐标是协变的，但物质系统的动力学位置变量和时间变量是本质上不协变的量，这意味着微观粒子的时空形态需要研究。量子态v（4）经典物理学的严格决定论特征在量子力学中不存在。v人们设定：一个系统的态，要么用坐标和时间的函数来完备表示，要么用动量和时间的函数来完备表示，但不能坐标和动量两者完备表述。一部分物
46、理量不能用普通的数描述，只能用算符描述，后者是使理论能容纳在经典物理学中不存在的不确定关系的一种形式。随时间演变被设定为受薛定谔方程支配。波函数：客观状态还是微观信息v（5）为了能与不确定关系相一致，对的几率解释被设定为甚至可以应用于单个的粒子。玻尔认为，态矢量是我们关于量子体系状态信息的“知识波”，并不是量子实在的客观描述，它依赖于我们选择的表象。v这就出现了态矢量的客观性问题，如果态矢量是知识波，那么应该是谁的知识呢？实际上，尽管实验装置依赖于人的选择，波函数的表象也与我们的选择有关，但是实验记录的结果却是主体间性的，甚至可以利用自动机器记录量子实验结果来保证客观性。玻尔自恰吗？v（6）在
47、这些基本假设的基础上，有可能给出一个与量子力学测量相一致的理论。因此，互补性质的测量（借助于实际的实验程序），在不确定关系的意义上是相互排斥的。v按照哥本哈根学派的观点，量子力学目前的体系和它们的解释的逻辑一致性已经确定地建立起来了。有诗描绘哥本哈根学派的风格：v吾土吾民多忠义，玻尔是俺导航仪。v顶礼膜拜休犹豫，无限忠诚莫置疑。v最高指示云雾里，生吞活剥龙凤笔，v干杯干杯再干杯，管它藏有啥玄机。统计系综解释v爱因斯坦，波普尔等人的统计系综与哥本哈根学派不同的是，把不确定关系理解为互补观察量之间的统计弥散度，而不是每次测量的精确度。在波普尔看来，希尔伯特空间中的矢量提供的是统计学的断言，它得不出
48、关于单个粒子行为的精确预示。量子论中的概率是相对概率（即条件概率），解释量子力学的问题可以全部归结为解释概率运算的问题。v在波普尔看来，哥本哈根学派颠倒了不确定关系与量子力学的统计学解释的逻辑关系。他指出，我们能够从薛定谔方程（对它应作统计解释）推导出不确定关系，而不能从后者推导出前者。哥本哈根学派的另一些误解是把测量的不精确性归结为观察仪器的量子特性带来的不可控制的干扰，但是粒子的波动本性带来的不确定性与干扰无必然联系。1953年，波普尔将“几率”解释为一种“倾向性”，一种附属于进行重复测量的整个实验装置，可以同对称性或其他广义力相比拟的物理属性。重新理解薛定谔方程v金尚年认为，量子力学虽然
49、打上难以抹去的薛定谔方程的印记，但其物理观念完全来自以玻尔，海森伯为首的哥本哈根学派的科学思想与哲学倾向，而爱因斯坦和薛定谔对此持反对态度。我们不应该盲目推崇一方，贬低另一方。我们应当从经典力学的哈密顿理论与量子客体的波粒二象性出发，重新推导薛定谔方程，并借助于热力学熵与量子作用量的类比，从熵的几率解释引申出量子力学几率解释。v从哈密顿-雅可比方程S/t+(q,S/t；t)=0出发，先对作用函数S(q,t)作一变换，令S(q,t)=-iln(q,t)，可以得出vS/t=(-i/)(/t)，代入哈密顿-雅可比方程，就有vi/t=，但这个方程只适用于纯经典的单个质点，是哈密顿量，不是算符。v对于波
50、动性质的体系，平均动能密度等于平均势能密度，平均拉格朗日密度为0，把这个性质作为约束条件代入方程，就得到v薛定谔方程i/t=H，H是哈密顿算符。量子几率的经典根源v在重新推导薛定谔方程的时候，波函数最早是通过S(q,t)=-iln(q,t)引入的，它和统计热力学中联系热力学熵S和微观状态几率W的公式S=klnW的数学结构是类似的，为了区分作用量action与熵entropy，重写这两个公式：vSa=-iln，Se=klnWe 。v不论是牛顿形式，还是拉格朗日-哈密顿形式，都没有力学系统状态的几率分布概念，但在玻尔茨曼建立统计力学的时候，把同一相格的运动状态视为相同，而不同相格之间的q,p值是跳
