1、Generalized Variational Principles in Elasticity and Plasticity第三节第三节 主要参考文献主要参考文献 第一节第一节 主要内容主要内容第四节第四节 变分问题简例变分问题简例 第二节第二节 本课程的目的本课程的目的第五节第五节 变分法的预备知识变分法的预备知识1 1、弹塑性力学中系列问题的变分描述、弹塑性力学中系列问题的变分描述 0-1 0-1 主要内容主要内容 a a、小位移弹塑性静力问题、小位移弹塑性静力问题 b b、有限位移问题、有限位移问题 c c、稳定问题、稳定问题 d d、动力问题以及场问题、动力问题以及场问题 第一节第一
2、节 主要内容主要内容 主要内容 从自然变分原理到广义变分原理及各种从自然变分原理到广义变分原理及各种修正变分原理。修正变分原理。2 2、主要变分原理的推证、主要变分原理的推证3 3、数值计算模型和计算方法的建立、数值计算模型和计算方法的建立1 1、固体力学的任务、固体力学的任务 0-2 0-2 本课程的目的本课程的目的 给出考察体的变形和应力，分析该结构的强度、给出考察体的变形和应力，分析该结构的强度、刚度和稳定性，确定结构的安全、经济和实用。刚度和稳定性，确定结构的安全、经济和实用。量化描述结构的变形和应力状态：量化描述结构的变形和应力状态：（1 1）解析求解方法；）解析求解方法；（2 2）
3、物理模型试验；）物理模型试验；（3 3）数值模型分析。）数值模型分析。第二节第二节 本课程的目的本课程的目的 研究方法 （1 1）传统方法；）传统方法；（2 2）现代数值方法。）现代数值方法。例岩石力学研究方法：例岩石力学研究方法：传统方法：传统方法：第二节第二节 本课程的目的本课程的目的 （a a）岩体试验）岩体试验 由于岩体的不连续和非均匀引起试样明由于岩体的不连续和非均匀引起试样明显的尺寸效应；实际岩体的强度和刚度较室显的尺寸效应；实际岩体的强度和刚度较室内试验值小得多；对各向异性岩体，其规律内试验值小得多；对各向异性岩体，其规律性尚不清楚。性尚不清楚。传统方法：传统方法：第二节第二节
4、本课程的目的本课程的目的 （b b）物理模型试验）物理模型试验 物理模型的力学参数与原型结构的力学物理模型的力学参数与原型结构的力学参数之间的相似关系不清楚；各物理量比尺参数之间的相似关系不清楚；各物理量比尺难以相容和统一；模型试验成本高。难以相容和统一；模型试验成本高。传统方法：传统方法：第二节第二节 本课程的目的本课程的目的 （c c）岩体现场试验）岩体现场试验 受地形、地质、施工条件的限制，试受地形、地质、施工条件的限制，试验分析结果不具代表性，很难推广到其它验分析结果不具代表性，很难推广到其它工程；耗费巨大、也影响工期。工程；耗费巨大、也影响工期。传统方法：传统方法：第二节第二节 本课
5、程的目的本课程的目的 （d d）工程经验类比）工程经验类比 基于大量实例工程，估计岩体对岩层基于大量实例工程，估计岩体对岩层条件、支护型式等的影响，但对地下工程条件、支护型式等的影响，但对地下工程围岩的变形和稳定性机理一般无法确定。围岩的变形和稳定性机理一般无法确定。现代数值方法：现代数值方法：第二节第二节 本课程的目的本课程的目的 （1 1）灵活性；）灵活性；（2 2）利用个别基本物理模型试验效准数）利用个别基本物理模型试验效准数值模型的本构关系、破坏准则与物理参数，值模型的本构关系、破坏准则与物理参数，用计算机的数值模型试验代替或补充物理模用计算机的数值模型试验代替或补充物理模型试验；型试
6、验；（3 3）基于现场原型或试验手段的实测与）基于现场原型或试验手段的实测与反演分析，效准复杂岩体的等效力学模型。反演分析，效准复杂岩体的等效力学模型。2 2、传统弹塑性力学教科书存在的问题、传统弹塑性力学教科书存在的问题第二节第二节 本课程的目的本课程的目的 偏重于微分描述和偏微分方程组求解的偏重于微分描述和偏微分方程组求解的研究。研究。现代工程数值方法的弹塑性力学理论基现代工程数值方法的弹塑性力学理论基础，主要为弹塑性力学中的广义变分原理。础，主要为弹塑性力学中的广义变分原理。3 3、现代数值方法与变分原理、现代数值方法与变分原理第二节第二节 本课程的目的本课程的目的 （1 1）现代数值方
7、法）现代数值方法有限差分法（有限差分法（Finite Difference Method,FDMFinite Difference Method,FDM）有限单元法（有限单元法（Finite Element Method,FEMFinite Element Method,FEM）边界元法（边界元法（Boundary Element Method,BEMBoundary Element Method,BEM）离散元法（离散元法（Discrete Element Method,DEMDiscrete Element Method,DEM）无单元法（无单元法（Element Free Method,
8、EFMElement Free Method,EFM）不连续变形分析（不连续变形分析（Discontinuous DeformationDiscontinuous Deformation Analysis,DDA Analysis,DDA）流形元法（流形元法（Numerical Manifold Method,NMMNumerical Manifold Method,NMM）第二节第二节 本课程的目的本课程的目的 现代数值方法的突出代表为有限单元法，而现代数值方法的突出代表为有限单元法，而有限单元发的诞生、发展和强大有赖于变分原理的有限单元发的诞生、发展和强大有赖于变分原理的发展。发展。（2
9、2）现代数值方法与变分原理）现代数值方法与变分原理 变分原理的可靠性、开拓性为有限元的建立和变分原理的可靠性、开拓性为有限元的建立和持续发展提供了理论基础和拓宽了应用空间。持续发展提供了理论基础和拓宽了应用空间。有限元法中丰富的单元类型及计算方法的发有限元法中丰富的单元类型及计算方法的发展必须系统地了解广义变分原理的理论知识。展必须系统地了解广义变分原理的理论知识。0-3 0-3 主要参考文献主要参考文献 1 1、卓家寿，、卓家寿，弹塑性力学中的广义变分原理弹塑性力学中的广义变分原理，中国水利，中国水利 水电出版社，水电出版社，19891989年第一版，年第一版，20022002年第二版。年第
10、二版。2 2、钱伟长，、钱伟长，变分法及有限元法变分法及有限元法（上册），科学出版社（上册），科学出版社 ，19801980年。年。3 3、胡海昌，、胡海昌，弹性力学中的变分原理及其应用弹性力学中的变分原理及其应用，科学出，科学出 版社，版社，19811981年。年。4 4、熊祝华、刘子庭，、熊祝华、刘子庭，弹性力学变分原理弹性力学变分原理，湖南大学出，湖南大学出 版社，版社，19841984年。年。5 5、钱伟长，、钱伟长，广义变分原理广义变分原理，知识出版社，知识出版社，19851985年。年。0-4 0-4 变分问题简例变分问题简例 问题问题1 1、过两点连线长度最短问题。、过两点连线长
11、度最短问题。连接连接P P0 0，P P1 1两点曲线有无数条，对应弧长两点曲线有无数条，对应弧长L L为为无数个，求出使弧长无数个，求出使弧长L L是最短的哪一条。是最短的哪一条。min1)(102dxydsxyLxxs 问题归结为求容许函数中使问题归结为求容许函数中使 为极值的为极值的特定函数特定函数 。)(xyL)(*xy第四节第四节 简例简例 设有一放在弹性地基上的梁，承受分布横向设有一放在弹性地基上的梁，承受分布横向荷载荷载 的作用，已知梁的一端（的作用，已知梁的一端（x=0 x=0）是固定）是固定的，另一端（的，另一端（X=lX=l）自由，问梁取怎样的挠度使这）自由，问梁取怎样的挠
12、度使这个系统的总势能个系统的总势能 取极小值。取极小值。问题问题2 2、弹性基础梁问题。、弹性基础梁问题。问题归结为在区间内找一个函数问题归结为在区间内找一个函数 ，使，使 满足边界条件（满足边界条件（*），并使（），并使（*）取最小值。）取最小值。)(xqmin21)(2102222dxqwkwdxwdl（*）边界条件：边界条件：0,000 xxdxdww（*）)(xw)(xw第四节第四节 简例简例 质点沿曲线质点沿曲线 由由A A点滑到点滑到B B点所需的时间为：点所需的时间为：问题问题3 3、重力场最速降落问题。、重力场最速降落问题。问题归结为在通过两点的函数族问题归结为在通过两点的函数
13、族 ，求出，求出 能使（能使（*）取得极值的哪个函数。）取得极值的哪个函数。)(xymin)(1212dxvdxdyIxx因：因：gyvmgymv2,212（*）)(xymin21212dxgyyIxx有：有：第四节第四节 简例简例 上述三例中上述三例中 或或 满足端点条件的满足端点条件的可变函数族（容许函数），称为宗量（或自可变函数族（容许函数），称为宗量（或自变函数）。变函数）。而而 或或 或或 称为宗量的泛函。称为宗量的泛函。变分命题：实质上就是求泛函的极值变分命题：实质上就是求泛函的极值（驻值）问题。（驻值）问题。)(xw)(xyLI0-5 0-5 变分法预备知识变分法预备知识 一、函
14、数与泛函一、函数与泛函 函数：函数：对应于自变量对应于自变量x x在某一区域上的每个值，在某一区域上的每个值，均有一个因变量均有一个因变量y y的值与之对应，这种自变量与因的值与之对应，这种自变量与因变量的对应关系称为函数。记为：变量的对应关系称为函数。记为：；（数集）定义域（数集）定义域 （数集）值域（数集）值域Yy Xx)(xyy 函数函数是实数空间到实数空间的映射。是实数空间到实数空间的映射。第五节第五节 预备知识预备知识 泛函：泛函：如果对于某一类函数中的每一个函数如果对于某一类函数中的每一个函数 ，就有一个变量，就有一个变量I I的值与之对应，则称的值与之对应，则称I I为依为依赖于
15、函数赖于函数 的泛函。记为：的泛函。记为：泛函泛函是函数空间到实数空间的映射。简称泛函是函数空间到实数空间的映射。简称泛函就是函数的函数。就是函数的函数。)(xy)(xyII；（函数集合）定义域（函数集合）定义域 （实数集合）值域（实数集合）值域1)(Rxy)(xy)(xy2RI 称称 为自变函数（宗量）（为自变函数（宗量）（function)function)；称称I I为泛函（为泛函（functionary)functionary)。第五节第五节 预备知识预备知识 二、函数的微分与变分二、函数的微分与变分 显然显然 也是也是x x的函数。可用图示给出微分和变的函数。可用图示给出微分和变分的
16、几何意义。分的几何意义。)(xy 函数的微分函数的微分：由于自变量：由于自变量x x有微小增量有微小增量dxdx，函，函数数 也有对应的微小增量也有对应的微小增量dydy，则增量，则增量dydy称为函称为函数的微分。记为：数的微分。记为：)()(xyxyydxxydy)(函数的变分：若函数函数的变分：若函数 形式发生改变为新形式发生改变为新函数函数 ，函数，函数 与与 之差称为函数的变之差称为函数的变分。记为：分。记为：)(xybax,y)(xy)(xy)(xy第五节第五节 预备知识预备知识 三、泛函的变分三、泛函的变分 一般情况下，泛函具有下列形式：一般情况下，泛函具有下列形式：),(),(
17、yyfyyfyyxfyyyyxfdxdxdyyxfxyIba),()(若函数若函数 具有变分时具有变分时 ，导数，导数 也将有也将有变分变分 。被积函数按泰勒级数展开，其增量可表。被积函数按泰勒级数展开，其增量可表示为：示为：)(xyy)(xyy第五节第五节 预备知识预备知识 定义上式的主部为被积函数的变分：定义上式的主部为被积函数的变分：babadxyyxfdxyyyyxf),(),(泛函泛函 的增量为：的增量为：yyfyyff)(xyI babadxfdxyyxfyyyyxf)(),(),(dxyyfyyffdxIbaba)(定义泛函定义泛函 变分为变分为 ，有：，有：)(xyII第五节第
18、五节 预备知识预备知识 四、函数和泛函的极值问题四、函数和泛函的极值问题 函数的极值问题：若函数函数的极值问题：若函数 在在 的邻的邻近任一点上的值均不大于或均不小于近任一点上的值均不大于或均不小于 ，即：，即：)0(0)()(0 xyxy 则称函数则称函数 在在 处达到极大值或极小值。处达到极大值或极小值。必要条件为必要条件为 或或 。)(xy0 xx)(0 xy0dy)(xy0 xx 0dxdy第五节第五节 预备知识预备知识 泛函的极值问题：若泛函泛函的极值问题：若泛函 在在 的邻近任一函数的邻近任一函数 的值均不大于或的值均不大于或均不小于均不小于 ，即：，即：)0(0)()(0 xyI
19、xyI 则称则称 使泛函使泛函 取极大值或极小值。取极大值或极小值。必要条件为必要条件为 。)(xyI)(0 xyy yxyxy)()(00I)(0 xy)(0 xyI)(xyI 而曲线而曲线 称为称为 的极值曲线。的极值曲线。)(0 xyy)(0 xyI第五节第五节 预备知识预备知识 凡是研究泛函的极值（或驻值）问题，凡是研究泛函的极值（或驻值）问题，称为称为变分问题变分问题。研究如何求解泛函极值（或驻值）的方研究如何求解泛函极值（或驻值）的方法，称为法，称为变分方法变分方法。第五节第五节 预备知识预备知识 五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件 设函数曲线设函数曲线 被指定通
20、过被指定通过A A、B B两点，也就两点，也就是是 具有边界条件。具有边界条件。0)(,0)(byay 试由泛函试由泛函 的极值（驻值）条的极值（驻值）条件求出函数件求出函数 所应满足的方程。所应满足的方程。)(xy0)(,0)(byaybadxyyxfI),()(xy)(xy第五节第五节 预备知识预备知识 因因 任意，由任意，由 得到极值或驻值条件：得到极值或驻值条件：（Euler EquationEuler Equation）dxyyfyyfIba)(0)(yfdxdyfyydxyfdxdyyfdxyyfbababa)()(ydxyfdxdyfba)(0I第五节第五节 预备知识预备知识 一
21、般情况下，由泛函的极值（或驻值）条件，一般情况下，由泛函的极值（或驻值）条件，即即 ，推出的自变函数所应满足的方程和边界，推出的自变函数所应满足的方程和边界条件，分别称为条件，分别称为欧拉方程（欧拉方程（Euler EquationEuler Equation）和和自自然边界条件（然边界条件（Natural Boundary ConditionNatural Boundary Condition）。而自变函数事先必须满足的边界条件称为而自变函数事先必须满足的边界条件称为本质本质边界条件边界条件（或称（或称基本边界条件基本边界条件、或称、或称固定边界条固定边界条件件）。）。0I第五节第五节 预备
22、知识预备知识 就本质而言，要把力学中的就本质而言，要把力学中的微分方程定解问题微分方程定解问题，变为求变为求泛函的极值（驻值）问题泛函的极值（驻值）问题；而在求解问题的；而在求解问题的近似解时，泛函的极值（驻值）问题进而变成近似解时，泛函的极值（驻值）问题进而变成函数函数的极值（驻值）问题的极值（驻值）问题；最后把问题归结为；最后把问题归结为求解代数求解代数方程组的问题方程组的问题。变分方法的实质：变分方法的实质：第五节第五节 预备知识预备知识 力学中的力学中的微分方程定解问题微分方程定解问题（找到对应的泛函）（找到对应的泛函）泛函的极值（驻值）问题。泛函的极值（驻值）问题。问题的转化：问题的
23、转化：泛函的极值（驻值）问题泛函的极值（驻值）问题（经变分运算）（经变分运算）函数的极值（驻值）问题；函数的极值（驻值）问题；求解线性代数方程组问题。求解线性代数方程组问题。求近似解时：求近似解时：第五节第五节 预备知识预备知识 1 1、人们可从欧拉方程求解或从变分法直接求近似解、人们可从欧拉方程求解或从变分法直接求近似解（例有限元法、立兹法、伽辽金法等），其效果是一样的。（例有限元法、立兹法、伽辽金法等），其效果是一样的。但从泛函变分求近似解并不困难，这也是变分法被重视的一但从泛函变分求近似解并不困难，这也是变分法被重视的一个原因。个原因。关于泛函的驻值问题与欧拉方程的边值问题关于泛函的驻值
24、问题与欧拉方程的边值问题 2 2、力学问题的微分方程（即欧拉方程）可从泛函求极、力学问题的微分方程（即欧拉方程）可从泛函求极值得到。但也有一些问题，微分方程是已知的，但求解很困值得到。但也有一些问题，微分方程是已知的，但求解很困难，若把它们化成相当的泛函变分求极值问题，求其近似解，难，若把它们化成相当的泛函变分求极值问题，求其近似解，则就能解决。则就能解决。3 3、值得指出，并不是所有微分方程都能找到相当的泛、值得指出，并不是所有微分方程都能找到相当的泛函，对这类问题只能借助于其它方法（如伽辽金法、最小二函，对这类问题只能借助于其它方法（如伽辽金法、最小二乘法、加权余量法等）求近似解。乘法、加权余量法等）求近似解。第五节第五节 预备知识预备知识 注注1 1：变分法与欧拉方程代表同一问题，但微分方变分法与欧拉方程代表同一问题，但微分方 程求解难，而变分求近似解易。程求解难，而变分求近似解易。注注3 3：微分方程给定，但难以找到相当的泛函微分方程给定，但难以找到相当的泛函 伽辽金法、最小二乘法、加权余量法等求近似解。伽辽金法、最小二乘法、加权余量法等求近似解。注注2 2：微分方程（欧拉方程）微分方程（欧拉方程）由泛函求变分得到由泛函求变分得到 已知的（但求解难）已知的（但求解难）相当的泛函极值（驻值）问题相当的泛函极值（驻值）问题 用近似解解决。用近似解解决。
