1、复习准备复习准备 对于给定区间对于给定区间I上的函数上的函数f(x)，若对于若对于I上的任意两个值上的任意两个值x1,x2，当当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2),则称则称f(x)是是I上的上的增增（减）（减）函数，区间函数，区间I称为称为f(x)的增的增（减）（减）区间。区间。1、函数单调性的、函数单调性的定义是什么？定义是什么？复习准备复习准备1、函数单调性的、函数单调性的定义是什么？定义是什么？2、证明函数单调、证明函数单调性的步骤是什么？性的步骤是什么？证明函数单调性应该按证明函数单调性应该按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步：取值第一步：取值第二步：作差第二步：作差第三步：
2、第三步：变形变形第四步：定号第四步：定号第五步：判断下结论第五步：判断下结论复习准备复习准备1、函数单调性的、函数单调性的定义是什么？定义是什么？2、证明函数单调、证明函数单调性的步骤是什么？性的步骤是什么？3、现在已经学过的、现在已经学过的判断函数单调性有判断函数单调性有些什么方法？些什么方法？正比例正比例函数：函数：y=kx (k0)反比例函数：反比例函数：y=k/x (k0)一次函数一次函数kxb (k0)二次函数二次函数y=ax2+bx+c (a0)另另:).0,0(,baxbaxyxaxybaxdcxyxy.)11(1)(.12的单调性讨论函数练习xxaxxf)1)(1()(1(11
3、)()(,11:222112212222112121xxxxxxaxaxxaxxfxfxx则设解.0,0时为常数函数当时为增函数当aa01,01,0,0122211221xxxxxx.,0,)1,1()(为减函数时当上在axf结论结论1：yf(x)(f(x)恒不为恒不为0），与），与 的单调性相反。的单调性相反。)(1xfy 例1：判断函数xxxy4)2(22 在(1,+)上的单调性。）上上为为减减函函数数。在在递递减减，故故原原函函数数）（为为正正数数且且增增函函数数，时时，而而当当（解解：,1(4244)2(1,4)241222xxuxxy复合函数复合函数单调性单调性:1.1.利用已知函数
4、单调性进行判断利用已知函数单调性进行判断例2：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y32f(x)在A上的单调性，并说明理由。解：解：y=32f(x)在在A上是增函数，上是增函数，因为：因为：任取任取x1，x2A，且且x1f(x2),故故2 f(x1)2f(x2)所以所以32 f(x1)32f(x2)即即有有y10时，单调性相同；时，单调性相同；当当k0)在某个区间上在某个区间上为增函数，则为增函数，则 也是增函数也是增函数)1()(,)(nxfxfnn结论结论6：复合函数复合函数fg(x)由由f(x)和和g(x)的单调性共同决定。的单调性共同决定。它们之间有如下关系：它们之间有如下关系：f(
5、x)g(x)fg(x)复合函数复合函数单调性单调性:1.1.利用已知函数单调性进行判断利用已知函数单调性进行判断复合函数单调性复合函数单调性:2.:2.单调区间的求法单调区间的求法例3：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2x)的单调区间。上是单调递减的。），（在，由复合函数单调性可知是单减的，上在又），（），（而）上是增函数，（在则由已知得解：令04)()2()0,4(2)(04622)(62)(,2)(xxtfxfxxxtxxxtttfxxt），的的单单减减区区间间是是（04)2(xf 练习练习2：求函数：求函数54)(2xxxf的的单调区间。单调区间。答案：答案：2,5单
6、减区间单减区间-1,2单增区间单增区间注意：注意：求单调区间时，一定求单调区间时，一定要先看定义域。要先看定义域。.)2()2(218222的单调区间思考求xxy复合函数单调性复合函数单调性:2.:2.单调区间的求法单调区间的求法3.函数单调性解题应用例4：已知函数y=x22axa21在(,1)上是减函数，求a的取值范围。1,a)1,1222 aaaaxxy即即，（，显然，（显然，（，的减区间是（的减区间是（解：解：解此类解此类由二次函数单调性求由二次函数单调性求参数范围参数范围的题，最好将二次的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的象进行分析，
7、可以将抽象的问题形象化。问题形象化。练习：如果f(x)=x2(a1)x+5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？答案：7,）例5：已知x0,1,则函数的最大值为_最小值为_xxy 122211201,0)()(1,0)(1,0)(1)(22)(maxmin yxyxxgxfyxgxfxxgxxf时，时，当当时，时，当当上的增函数，上的增函数，是是上的减函数上的减函数是是上的增函数，上的增函数，是是则则解：令解：令 利用函数的单调性利用函数的单调性求函数的值域求函数的值域，这是，这是求函数值域和最值的求函数值域和最值的又一种方法。又一种方法。3.函数单调性解题应用例6：已
8、知：f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(x21),求x的取值范围。可转化为不等式组可转化为不等式组解：依题意，解：依题意，)1x()1(2 fxf 1111111122xxxx 1020202xxxx或或21 x注：注：在在利用函数的利用函数的单调性解不等式单调性解不等式的的时候，一定要注意时候，一定要注意定义域的限制。定义域的限制。保证实施的是等价保证实施的是等价转化转化3.函数单调性解题应用例7：已知f(x)在其定义域R上为增函数，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x2)33)2()4()8(2)2()2()4()()()(ffffffyfx
9、fxyf解解：)2()2()(2xxfxfxf 又又)8()2(2fxxf 由题意有由题意有 82020R)(2xxxxxf上的增函数上的增函数为为 42，解得解得 x 解此类题型关解此类题型关键在于键在于充分利用题充分利用题目所给的条件目所给的条件，本，本题就抓住这点想办题就抓住这点想办法构造出法构造出f(8)=3,这这样就能用单调性解样就能用单调性解不等式了。不等式了。4.函数单调性解题应用已知函数f(x)定义在(0,+)上是单调递增,满足(1)f(xy)=f(x)+f(y);(2)f(2)=1;(3)f(x)+f(x+)2,则x_.解：f(xy)=f(x)+f(y)f(2)=1又f(x)
10、在(0,+)上递增.f(x)+f(x+3)2 即是fx(x+)f(2)+f(2)=f(4)4)3(00 xxyxx 1,0(,10 xx即解之得22(),(,0).(21)(321),yf xRfaafaaa设函数是定义在 上的偶函数 并在区间内单调递增求 的取值范围.)0,(,)(:内单调递增并在区间上的偶函数是定义在函数解Rxfy.),0(上递减在区间023)21(2)2121(212222aaaaa又)123()12(032)31(3)3132(312322222aafaafaaaaa1231222aaaa30 a解之得小结小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方
11、法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？取值取值作差作差变形变形定号定号下结论下结论小结小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？1、定义法、定义法2、图象法、图象法3、利用已知函数的单调、利用已知函数的单调性，通过一些简单结论、性，通过一些简单结论、性质作出判断。性质作出判断。4、利用复合函数单调、利用复合函数单调性的规则进行判断。性的规则进行判断。小结小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？1、已知单调性，求参数范、已知单调性，求参数范围。（有时候需要讨论）围。（有时候需
12、要讨论）3、利用单调性求解不等、利用单调性求解不等式。（重在转化问题）式。（重在转化问题）2、利用函数单调性求函、利用函数单调性求函数的值域或最值。数的值域或最值。4、求函数单调区间的题、求函数单调区间的题型（包括求复合函数单型（包括求复合函数单调区间）调区间）.1)(.32是减函数在其定义域内证明函数练习xxxf证明:函数f(x)的定义域为R.解法一：设x1,x2R且x1 x2则)(11)()(12212221xxxxxfxf)(111222212122xxxxxx11)1()1()(222122221112xxxxxxxx1111)(222122212112xxxxxxxx011022211212xxxxxx且.1)(2在其定义域内单调递减函数xxxfxxxx|122又0122xxxx即01,01222211xxxx)()(,0)()(1212xfxfxfxf即;1)(,2也减小因此也减小同时xxxfx,)(:Rxf的定义域为易知解法二,0)1(2减小则增大若时当xxx,12也减小x.,1,122为此变形的增减不明显但也增大xxx.1)()2(),1(2内是减函数在已知综合Rxxxf,0)2(增大若时当xx xxxxxf111)(22.1,1,022反而减小所以也随之增大且不断增大时当xxxxx
