1、对流-扩散问题的有限体积法n第八讲流体仿真与应用对流扩散问题的有限体积法 通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程SgraddivUdivt)()(瞬变项瞬变项 对流对流项项 源项源项 扩散扩散项项 稳态的对流稳态的对流-扩散问题的守恒方程扩散问题的守恒方程 SgraddivUdiv)()(一维稳态对流扩散问题的有限体积法一维无源项的稳态对流一维无源项的稳态对流-扩散扩散 流动过程同时必须满足连续性方程流动过程同时必须满足连续性方程 dxddxdudxd0udxd一维稳态对流扩散问题的有限体积法一维稳态问题有限体积法一维稳态问题有限体积法wewedxdA
2、dxdAuAuA0weuAuA连续性方程连续性方程 uFxDwwuFeeuFWPwwxDPEeexD当当 时，对扩散项采用中心差分，则对流时，对扩散项采用中心差分，则对流-扩散积分方程扩散积分方程weAA WPwPEewweeDDFF一维稳态对流扩散问题的有限体积法中心差分格式中心差分格式均匀网格均匀网格 2PWw2PEeWPwPEePWwPEeDDFF22EeeWwwPeewwFDFDFDFD2222EeeWwwPweeewwFDFDFFFDFD2222一维稳态对流扩散问题的有限体积法中心差分格式中心差分格式通用的形式通用的形式 WWEEPPaaaweEWPeeEwwWFFaaaFDaFDa
3、22中心差分格式在扩散问题中，中心差分格式在扩散问题中，精度较高，收敛性也较好精度较高，收敛性也较好。但当有。但当有对流时，对控制容积界面处的输运量对流时，对控制容积界面处的输运量 如果采用相邻两节点的如果采用相邻两节点的平均计算值，在一定条件下将出现不合理的结果。平均计算值，在一定条件下将出现不合理的结果。一维稳态对流扩散问题的有限体积法中心差分格式（例子）中心差分格式（例子）节点增加到节点增加到20个结果个结果一维稳态对流扩散问题的有限体积法离散格式的性质离散格式的性质通常，离散方程的误差都是因离散而引起，通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，当网格步长无限小时，各种误
4、差都会消失各种误差都会消失。然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算。然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。因此，时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或要稳定或网格必须满足稳定性条件网格必须满足稳定性条件。在物理上，在
5、物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。主要的物理性质包括：主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性守恒性、有界性和迁移性。一维稳态对流扩散问题的有限体积法离散格式的性质离散格式的性质守恒性守恒性所谓守恒，就是说通过一个控制容积的界面离开该控制容积、进所谓守恒，就是说通过一个控制容积的界面离开该控制容积、进入相邻的控制容积的某通量相等。入相邻的控制容积的某通量相等。为保证在整个求解域上的每个控制容积上的某通量守恒，则通过为保
6、证在整个求解域上的每个控制容积上的某通量守恒，则通过相同的界面该通量的表达式应有相同的形式。相同的界面该通量的表达式应有相同的形式。12345q1q5xqe1211xxew232122xxew343233xxew4543445455qxw一维稳态对流扩散问题的有限体积法离散格式的性质离散格式的性质守恒性守恒性12345q1q5xxxqewe2321221211515455343233qqqxxxwew用有限体积法建立离散方程时，在下列条件下满足守恒要求用有限体积法建立离散方程时，在下列条件下满足守恒要求 微分方程具有守恒形式；微分方程具有守恒形式；在同一界面上各物理量及一阶导数连续。在同一界面
7、上各物理量及一阶导数连续。一维稳态对流扩散问题的有限体积法离散格式的性质离散格式的性质守恒性守恒性满足守恒性的离散方程不仅使满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物计算结果与原问题在物理上保持一致理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。域取单个控制容积上的格式所估计的误差。一维稳态对流扩散问题的有限体积法离散格式的性质离散格式的性质有界性有界性迭代法收敛的充分条件迭代法收敛的充分条件 1Pnbaa1Pnbaa在所有节点在
8、所有节点 至少有一个节点至少有一个节点 为节点为节点P的净系数，如无源项时在内部节点它实际就是的净系数，如无源项时在内部节点它实际就是 ，有源项时在内部节点和边界点它就是有源项时在内部节点和边界点它就是 ，为为P点所点所有相邻节点的系数的和。有相邻节点的系数的和。PanbPaaPnbPSaa对内部节点来说，无源项时该收敛条件取对内部节点来说，无源项时该收敛条件取“=”，有源项时该收敛条件取，有源项时该收敛条件取“”，而对边界节点必须要取，而对边界节点必须要取“”。nba一维稳态对流扩散问题的有限体积法离散格式的性质离散格式的性质有界性有界性若离散格式产生的各节点系数能够满足上面的收敛条件，则离
9、散方若离散格式产生的各节点系数能够满足上面的收敛条件，则离散方程组的节点系数矩阵为对角占优的，从而保证能收敛。为保证离散程组的节点系数矩阵为对角占优的，从而保证能收敛。为保证离散方程组的节点系数矩阵对角占优，对源项的线性化处理应保证使方程组的节点系数矩阵对角占优，对源项的线性化处理应保证使 取负值（取负值（取负值，则取负值，则 ，从而保证了在边界，从而保证了在边界节点满足收敛条件取节点满足收敛条件取“”。）。）对角占优对角占优是满足有界性的特征。是满足有界性的特征。对于有界性的必要条件是：对于有界性的必要条件是：离散方程的各系数应个有相同的符号，一般离散方程的各系数应个有相同的符号，一般为正。
10、为正。如果离散格式不满足有界性条件，则其解可能不会收敛；若收敛，则可如果离散格式不满足有界性条件，则其解可能不会收敛；若收敛，则可能会振荡。能会振荡。PSPSnbPnbPaSaa一维稳态对流扩散问题的有限体积法离散格式的性质离散格式的性质迁移性迁移性xuDFPe/在对流在对流-扩散问题中，引入一个控制容积的扩散问题中，引入一个控制容积的Peclet数，它表征对流与扩数，它表征对流与扩散的相对大小散的相对大小 一维稳态对流扩散问题的有限体积法离散格式的性质离散格式的性质迁移性迁移性当当Pe为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。随
11、着下游相邻节点。随着Pe的增加，下游受的影响逐渐增大，的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。而上游受的影响逐渐变小。，即纯扩散，无对流。，即纯扩散，无对流。，即纯对流，无扩散。，即纯对流，无扩散。0PePe一维稳态对流扩散问题的有限体积法中心差分格式的性质中心差分格式的性质由必要条件知由必要条件知 ：假设：假设 ，从而满，从而满足有界性的必要条件。如果足有界性的必要条件。如果 ，则为负数，不符合有界性则为负数，不符合有界性的必要条件。的必要条件。守恒性守恒性 有界性有界性 对流对流-扩散问题的中心差分格式满足守恒性。扩散问题的中心差分格式满足守恒性。离散方程内部节点：由连续性方
12、程离散方程内部节点：由连续性方程 ，因此，因此 ，在所有内部节点满足收敛条件。在所有内部节点满足收敛条件。weFF nbEWPaaaa0wF0eF202eeeeeEPeDFFDa2PeEa一维稳态对流扩散问题的有限体积法中心差分格式的性质中心差分格式的性质中心差分格式的截断误差为中心差分格式的截断误差为2阶，精度较高，但有条件地满足有界性，阶，精度较高，但有条件地满足有界性，当当 时稳定。对给定的流体时稳定。对给定的流体 和和 ，取决于流速取决于流速u和网格和网格步长步长 。时，则要求时，则要求u和和 很小。因此，它有一定的局限很小。因此，它有一定的局限性。性。迁移性迁移性 中心差分格式的特点
13、中心差分格式的特点由于该格式在计算由于该格式在计算P点对流和扩散通量时对各个方向的相邻节点的影响点对流和扩散通量时对各个方向的相邻节点的影响都考虑到了，而没有考虑到对流与扩散的相对大小。因此，在高都考虑到了，而没有考虑到对流与扩散的相对大小。因此，在高Pe时时不满足迁移性要求。不满足迁移性要求。2DFPePex2Pex中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向。中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向。一维稳态对流扩散问题的有限体积法迎风格式迎风格式 迎风格式（迎风格式（Upwind Differencing Scheme）在确定控制容积界面上）在确定控制容积界面上的的 值时就考虑了流动的方
14、向性，其思想为：在控制容积界面上对流值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的项的取上游节点处的 值，称之为第二类迎风格式。值，称之为第二类迎风格式。中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上 的值取相邻上、下游节点的平均值。当对流作用较强时，这样的处理就的值取相邻上、下游节点的平均值。当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。一维稳态对流扩散问题的有限体积法迎风格式迎风格式
15、 一维稳态对流扩散问题的有限体积法迎风格式迎风格式 在控制容积界面上对流项的取其在控制容积界面上对流项的取其 上游节点处的值上游节点处的值 EW WwPeWPwPEeWwPeDDFFEeWwwPweewwDFDFFDFDWE PwEe EeeWwPweeewFDDFFFDD一维稳态对流扩散问题的有限体积法迎风格式迎风格式 通用形式通用形式 WWEEPPaaaweEWPFFaaaEW wwWFDaeEDaWE wWDaeeEFDa一维稳态对流扩散问题的有限体积法迎风格式的特点迎风格式的特点 迎风格式满足迎风格式满足守恒性守恒性。离散方程的系数均为正，满足有界性条件，同时也满足迁离散方程的系数均为
16、正，满足有界性条件，同时也满足迁移性要求。因此，它能够取得比较好的解。移性要求。因此，它能够取得比较好的解。其主要缺点是精度较低，为一阶截断误差格式。其主要缺点是精度较低，为一阶截断误差格式。当流动方向和网格线不一致时计算误差较大，此时它的解当流动方向和网格线不一致时计算误差较大，此时它的解类似于扩散问题，因而被称为类似于扩散问题，因而被称为伪扩散伪扩散。一维稳态对流扩散问题的有限体积法混合格式混合格式中心差分格式中心差分格式精度较高精度较高，但不具有，但不具有迁移性迁移性。迎风格式满足。迎风格式满足离散方程的离散方程的3个性质要求，但个性质要求，但精度较低精度较低。Spalding（1972
17、）把这）把这2种格式结合起来，提出了混合格种格式结合起来，提出了混合格式（式（Hybrid Differencing Scheme）：）：在在 时应用具有二阶精度的中心差分格式，时应用具有二阶精度的中心差分格式，在在 时应用迎风格式。时应用迎风格式。2Pe2Pe一维稳态对流扩散问题的有限体积法混合格式混合格式在每个控制容积上各界面的在每个控制容积上各界面的Pe数，如左侧界面上数，如左侧界面上 单位面积穿过左侧界面的净通量单位面积穿过左侧界面的净通量 WPwwwwwxuDFPe/PwWwwwPePeFq2121212122PeWwwFq2PePwwFq2Pe混合格式的离散方程在低混合格式的离散方
18、程在低Pe时，对对流项和扩散项都采用了中心差分时，对对流项和扩散项都采用了中心差分格式；在高格式；在高Pe时，对对流项采用了迎风格式，而令扩散项为时，对对流项采用了迎风格式，而令扩散项为0。一维稳态对流扩散问题的有限体积法混合格式混合格式通用形式通用形式 一维无源稳态对流一维无源稳态对流-扩散问题混合差分格式各系数扩散问题混合差分格式各系数 当流动方向和坐标（当流动方向和坐标（x）同向时，）同向时，u为正，反之为负。为正，反之为负。WWEEPPaaaweEWPFFaaa0,2,maxwwwWFDFa0,2,maxeeeEFDFa一维稳态对流扩散问题的有限体积法混合格式的特点混合格式的特点混合格
19、式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优点，具混合格式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优点，具有有守恒性、有界性和迁移性守恒性、有界性和迁移性。其缺点是按其缺点是按Taylor级数展开后截断误差为一阶，级数展开后截断误差为一阶，精度不高精度不高。一维稳态对流扩散问题的有限体积法幂指数格式幂指数格式Patankar（1981）提出了一种幂指数格式（）提出了一种幂指数格式（Power-law Differencing Scheme）对一维问题，它比混合格式精度高。）对一维问题，它比混合格式精度高。扩散项取扩散项取0 10Pe100 Pe用一个多项式计算穿过控制容积界面的通用一个多项式计算穿过控制容积界
20、面的通量，如左侧单位面积的净通量计算量，如左侧单位面积的净通量计算 WPwWwwFq100 PewwwPePe/1.015WwwFq10Pe一维稳态对流扩散问题的有限体积法幂指数格式幂指数格式一维无源稳态对流一维无源稳态对流-扩散问题幂指数格式各系数计算扩散问题幂指数格式各系数计算 通用形式通用形式 WWEEPPaaaweEWPFFaaa0,max1.01,0max5wwwWFPeDa0,max1.01,0max5eweEFPeDa幂指数格式的性质与混合格式类似，不过幂指数格式的性质与混合格式类似，不过精度更精度更高高。FLUENT4.2曾取该格式为默认格式。曾取该格式为默认格式。一维稳态对流
21、扩散问题的有限体积法对流对流-扩散问题的高阶差分格式扩散问题的高阶差分格式QUICK格式格式QUICK（Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics）格式，它采用了上游三点加权的二次插值来计算控制界面容）格式，它采用了上游三点加权的二次插值来计算控制界面容积界面上的积界面上的 值，即界面上的值，即界面上的 值由界面两侧的值由界面两侧的2个节点及其上游的另个节点及其上游的另一个节点的二次插值来计算。一个节点的二次插值来计算。对于均匀网格，节点对于均匀网格，节点i和和i-1之间的界面处（记作之间的界面处（记作i-1/2）的值可按）
22、的值可按下式计算下式计算 212/1818386iiii一维稳态对流扩散问题的有限体积法对流对流-扩散问题的高阶差分格式扩散问题的高阶差分格式QUICK格式格式w和和e界面的值的界面的值的QUICK格式计算式格式计算式 对流项采用上式离散，扩散项采用中心差分格式离散对流项采用上式离散，扩散项采用中心差分格式离散。则则QUICK格式的一维对流格式的一维对流-扩散问题的离散方程扩散问题的离散方程 WWPWWWWPWw81838622381WEPWPEPe81838622381WPwPEeWWPWwWEPeDDFF8183868183860wu0eu一维稳态对流扩散问题的有限体积法QUICK格式格式
23、通用形式通用形式 WWWWWWEEPPaaaaewwWFFDa8183eeEFDa83wWWFa81eewwweWWEWPFDFDFFaaaa86830wu0eu一维稳态对流扩散问题的有限体积法QUICK格式格式w和和e界面的值的界面的值的QUICK格式计算式格式计算式 对流项采用上式离散，扩散项采用中心差分格式离散对流项采用上式离散，扩散项采用中心差分格式离散。则。则QUICK格式的一维对流格式的一维对流-扩散问题的离散方程扩散问题的离散方程 0wu，0euEWPEPWPw8183862381EEPEEEEPEe8183862381一维稳态对流扩散问题的有限体积法QUICK格式格式通用形式通
24、用形式 EEEEWWEEPPaaaawwWFDa83weeEFFDa8186eEEFa81eewwweEEEWPFDFDFFaaaa83860wu0eu一维稳态对流扩散问题的有限体积法QUICK格式格式两种条件通用形式两种条件通用形式 EEEEWWWWWWEEPPaaaaawweewwwWFFFDa1838183wweeeeeEFFFDa18118683wWWFa81eEEFa81eeewwwwweEEWWEWPFDFFDFFaaaaa183183830wu0eu1w1e0wu0eu0w0e一维稳态对流扩散问题的有限体积法QUICK格式的特点格式的特点QUICK格式满足格式满足守恒性守恒性，因
25、为它在计算控制容积界面上的值都采用了，因为它在计算控制容积界面上的值都采用了相同形式的二次插值表达式。它的相同形式的二次插值表达式。它的Taylor级数截断误差具有三阶精度。级数截断误差具有三阶精度。此外，满足此外，满足迁移性迁移性和和有界性有界性的充分条件。的充分条件。对于有界性的必要条件它有条件地满足对于有界性的必要条件它有条件地满足 由于由于QUICK格式涉及格式涉及4个相邻节点，因此它离散后的线性方程组个相邻节点，因此它离散后的线性方程组的系数矩阵不是三角阵，的系数矩阵不是三角阵，TDMA算法不能应用。算法不能应用。一维稳态对流扩散问题的有限体积法QUICK格式改进格式改进0wu0eu
26、WWWPWw22381WPEPe223810wu0euEPWPw2381EEEPEe22381一维稳态对流扩散问题的有限体积法QUICK格式改进格式改进两种条件通用形式两种条件通用形式 0wu0eu1w1e0wu0eu0w0eSaaaWWEEPPweEEEWPFFaaaawwwWFDaeeeEFDa1eePEEEwwEPWeeEPWwwWWWPFFFFS132811238132812381一维稳态对流扩散问题的有限体积法QUICK格式改进格式改进它满足守恒性、迁移性和有界性。它满足守恒性、迁移性和有界性。WdccPuccuEdccPdcdeSSSSSSSSSSSSS21108/1中心差分中心差
27、分 二阶迎风格式二阶迎风格式 标准标准QUICK格式格式 多维对流扩散问题的离散格式二维对流二维对流-扩散问题的离散方程扩散问题的离散方程 uNNSSWWEEPPSaaaaa0,maxeeeEFPeADa0,maxwwwWFPeADa0,maxnnnNFPeADa0,maxsssSFPeADa00PPcuayxSStyxaPP00yxSaaaaaaPPNSEWP0多维对流扩散问题的离散格式二维对流二维对流-扩散问题的离散方程扩散问题的离散方程 yuFwwyuFeexvFnnxvFssWPwwxyDPEeexyDPNnnxxDSPssxxD多维对流扩散问题的离散格式二维对流二维对流-扩散问题的离
28、散方程扩散问题的离散方程 eeeDFPe wwwDFPe nnnDFPe sssDFPe PeA格式格式中心格式中心格式迎风格式迎风格式混合格式混合格式幂指数格式幂指数格式Pe5.01Pe5.01,0max55.01,0maxPe1多维对流扩散问题的离散格式三维对流三维对流-扩散问题的离散方程扩散问题的离散方程 uBBTTNNSSWWEEPPSaaaaaaa0,maxeeeEFPeADa0,maxwwwWFPeADa0,maxnnnNFPeADa0,maxsssSFPeADa0,maxtttTFPeADa0,maxbbbBFPeADa00PPcuazyxSStzyxaPP00zyxSaaaaaaaaPPBTNSEWP0多维对流扩散问题的离散格式三维对流三维对流-扩散问题的离散方程扩散问题的离散方程 zyuFwwzyuFeezxvFnnzxvFssyxwFttyxwFbbWPwwxzyDPEeexzyDPNnnxzxDSPssxzxD多维对流扩散问题的离散格式三维对流三维对流-扩散问题的离散方程扩散问题的离散方程 PTttzyxDBPbbzyxDeeeDFPe wwwDFPe nnnDFPe sssDFPe tttDFPe bbbDFPe
