1、第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法自动控制系统的组成及方块图自动控制系统的组成及方块图一、被控对象的数学模型一、被控对象的数学模型调节器调节器(控制器控制器)被控对象被控对象测量变送环节测量变送环节(传感器、变送器传感器、变送器)+x执行器执行器zeuqyf“”“”控制通道控制通道干扰通道干扰通道干扰变量干扰变量被控变量被控变量参量模型的微分方程的一般表达式：参量模型的微分方程的一般表达式：y y(t t)表示输出量，表示输出量，x x(t t)表示输入量，通常输出量表示输入量，通常输出量的阶次不低与输入量的阶次的阶次不低与输入量的阶次(n nm m)通常通常n n=1=1，称
2、该对象为称该对象为一阶对象模型一阶对象模型；n n=2=2，称称二二阶对象模型阶对象模型。1、微分方程、微分方程any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(t)+a0y(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+b1x(t)+b0 x(t)2、传递函数、传递函数 所谓传递函数就是在零初始条件下，输出变量所谓传递函数就是在零初始条件下，输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比，记为：的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比，记为：0111101111)()()(aassasasabbssbsbsbsUsYsGnnnnmmmm+=-3、差分方程差分方程 差分方程是一种时间离散形
3、式的数学模型，适用差分方程是一种时间离散形式的数学模型，适用于现在的计算机数字控制系统。描述形式为：于现在的计算机数字控制系统。描述形式为：any(k+n)+an-1y(k+n-1)+a1y(k+1)+a0y(k)=bmx(k+m)+bm-1x(k+m-1)+b1y(k+1)+b0 x(k)iq0q0qiq0/qH R=根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤：步骤：（1 1）确定系统中各元件的输入输出物理量；）确定系统中各元件的输入输出物理量；（2 2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程
4、，在条件允许的情况下忽略次要因素，适的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；当简化；机械运动：牛顿定律、物质（或能量）守恒定律机械运动：牛顿定律、物质（或能量）守恒定律 电学：欧姆定律、基尔霍夫定律电学：欧姆定律、基尔霍夫定律 热学：传热定律、热平衡定律热学：传热定律、热平衡定律 （3 3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系；）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系；（4 4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。iq0q AhdVqqiodt=-VAh=dhAqqiodt=-ohqR=idhhAqdtR=-()i idhThK q
5、TAR KRdt+=、（）0000 iiiihhhhqqqq=+=+记(、为平衡状态的值）000 0idhhKqdt=由于有 iiid hThKqdt+=（）()()()iTsH sH sK Q s+=()()1iH sKQ sTs=+()iaQss=()()1(1)iKKaH sQ sTss Ts=+11()()(1)Kah tLH sLs Ts-=+11KaKaTLsTs-=-+11*()1TKaLsTs-=-+(1)tTKae-=-无源网络：1111)()(111111+=+=sCRsCRsCsUsUi ui=uR1+u1 uR1=iR1 u1=1/c1idt i=c1du1/dt R1
6、c1du1/dt+u1=ui整理得：R1c1du1/dt+u1=ui R1c1SU1(s)+U1(s)=Ui(s)U1(s)/Ui(s)=1/(R1c1s+1)或：idhThK qdt+=()()1iH sKQ sTs=+()(1)tTh tKae-=-h()h(t)T0.632h()qita01(0)(1)0()(1)()(1)0.632()TThKaehKaeKah TKaeh-=-=-=-=iq11 A h11 R q22 Ah20 R q111111 ()idhhAqqqdtR=-=2212 ()2oodhhAqqqdtR=-=22212121122222()id hdhA A R R
7、R AR AhRqdtdt+=2221 212211122222()()id hdhTTTThK qTAR TA R KRdtdt+=221 21212()()()1(1)(1)iHsKKQ sTT sTT sTsT s=+iq11 Ah11 Rq22 Ah20 Rq1111()()1iH sRQ sAR s=+111()()H sQ sR=111()1()1iQ sQ sAR s=+22122()()1HsRQ sA R s=+221 21212()()()1(1)(1)iHsKKQ sTT sTT sTsT s=+1211221222112211212122121()()(1)(1)111
8、()111ttTTKah tLHsLs TsT sTTLKasTT TsTT T sTTKaeeTTTT-=+=+-+-+=+-2221212221112222()()id hdhTTTThK qdtdtTA RTA R KR+=221 21212()()()1(1)(1)iHsKKQ sTT sTT sTsT s=+121222121()1ttTTTTh tKaeeTTTT-=+-qita不相关双容2()htiq11 Ah11 Rq22 Ah20 Rqiq11 Ah11 Rq22 Ah20 Rqqita不相关不相关双容双容 响应曲线比较响应曲线比较 2()/()ht h t单容单容相关双容相
9、关双容iq=dtdh(t)A动态方程为：动态方程为：传递函数为：传递函数为：积分对象积分对象0qiqASsG1)(=iq11 Ah11 Rq0qA2 h2111111 ()idhhAqqqdtR=-=1q=dt(t)dhA22)()()()()()()(12211111sQSSHARsHsQsQSQSSHi=-=1ASASRRSASRARSQSHRSSHASQSHSASSHASHRsHSSHARsHSQSSHiii2112212121222222211122111)1)()()()()()()()()()()()(+=+=-=-=1111(AAAAqita2()/()ht h t单容对象单容对
10、象多容双容多容双容iq0q,A hfq/l v=在工业过程中常有一些输送物料的中间过程，如图所示，在工业过程中常有一些输送物料的中间过程，如图所示，qi为操纵变量，但需要经过导流槽才送入水箱。如果把水箱入为操纵变量，但需要经过导流槽才送入水箱。如果把水箱入口的进料量记为口的进料量记为qf，并设：导流槽长度并设：导流槽长度l，流体平均速度流体平均速度v，流流体流经导流槽所需的时间体流经导流槽所需的时间，所以当所以当qi发生改变以后，经过发生改变以后，经过 时时间以后间以后qf才有变化：才有变化：)()(-=tqtqif对于对于qf与与h来说，根据前面的推导，可知：来说，根据前面的推导，可知：()
11、()()fdh tTh tK qtdt+=()()()idh tTh tK q tdt+=-传递函数传递函数()()()()()1sisiTsH sH sKeQ sH sKeQ sTs-+=+()()()idh tTh tK q tdt+=-()()1siHsKeQsT s-=+0 t()(1)ttTh tKae-=-qitah()hT0.632h()idhThK qdt+=()()1iH sKQ sTs=+()(1)tTh tKae-=-h()h(t)T0.632h()qitaTCAy(0)0y()yy(t)DB12h()hT0.632h()qita2()/()ht h t单容对象单容对象多
12、容双容多容双容01(0)(1)0()(1)()(1)0.632()TThKaehKaeKah TKaeh-=-=-=-=u f y uyKo=fyKf=K 其它参数不其它参数不变变()(1)tTh tKae-=-01(0)(1)0()(1)()(1)0.632()TThKaehKaeKah TKaeh-=-=-=-=TteTkadtdh-=0tdtdhkaT=Tkadtdh=0th()h(t)T0.632h()qita阶跃输入阶跃输入t0At0A矩形脉冲矩形脉冲t1seTsKsG-+=1)(TCAy(0)0y()yy(t)DB12TCAy(0)oy()yy(t)DB12EseTsKsG-+=1
13、)(温度温度121-无套管热电阻对介质真实温度的响应曲线无套管热电阻对介质真实温度的响应曲线2-有套管热电阻对介质真实温度的响应曲线有套管热电阻对介质真实温度的响应曲线时间时间实际温度实际温度接线盒接线盒保护套管保护套管绝缘管绝缘管热电偶热电偶安装法兰安装法兰引线口引线口图图3-45普通型热电偶的典型结构普通型热电偶的典型结构调节器调节器执行器执行器对象对象传感器、变送器传感器、变送器+SPxzeuqyf已知，设定值发生单位阶跃变化，请问：该闭环系统已知，设定值发生单位阶跃变化，请问：该闭环系统的输出是什么？的输出是什么？为为简化起见，设有两个串联环节：简化起见，设有两个串联环节：1()f 2
14、()f xyz已知：210210ya ya ya yb xbxb x+=+210210zc zc zc zd yd yd y+=+求：()zf x=拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉氏变换的实质：将实变量拉氏变换的实质：将实变量t的函数的函数f（t），），变换成变换成复变量复变量s（s=+j）的函数的函数F（s）。）。0()()()stFsft edtLft-=其中：其中：f（t）为原函数，为原函数，F（s）为拉氏变换式（为拉氏变换式（或象函数）或象函数）记为：记为：F(s)f(t)sFLtf对应1 ),()(一一=-拉氏 变换拉氏反变换()()FsLft=例例1 0 0()0tf tat=解：解：
15、根据定义根据定义 求阶跃函数的求阶跃函数的 拉氏变换。拉氏变换。0()()stF sf t edt-=于是于是()()F sL f t=0staedt-=0staes-=-as=0stades-=-例例2 求斜坡函数的求斜坡函数的f(t)=tf(t)=t t0 t0 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：根据定义根据定义 0()()stF sf t edt-=于是于是()()F sL f t=0sttedt-=0011 ststtee dtss-=-+21s=f(t)=atn t0 的拉氏变换的拉氏变换?1!nnas+解：解：根据定义根据定义 0()()stF sf t edt-=于是于是()()F
16、 sL f t=例例3 求指数函数的求指数函数的 的拉氏变换。的拉氏变换。atetf-=)(0atsteedt-=()01s a tesa-+=-+1sa=+部部分分常常用用的的拉拉氏氏变变换换公公式式表表 象函数象函数 F(s)原函数原函数 f(t)，t0aasat2asnt1!+nsnate-as+1TteT-111+Tstsin22+stcos22+ss象函数象函数 F(s)原函数原函数 f(t)，t0natte-1)(!+nasn线性性质线性性质 1 122()()L a f ta f t+1 122()()aF sa F s=+11 12 21 12 2()()()()a f ta
17、f tL aF saF s-+=+平移性质（时移）平移性质（时移）)()(00sFettfLst-=-平移性质（频移）平移性质（频移）)()(00ssFtfeLts-=微分性质微分性质)()(ssFtfL=)()()(sFstfLnn=积分性质积分性质 ssFdttfLt)()(0=卷积性质卷积性质 1212()*()()()()()()*()L f tg tF s G sff tdf tf t+-=-=卷积定义：极限性质极限性质)(lim)()(lim)0(0ssFfssFfss+=nttssFdttfdtL)()(00=设有两个串联环节：设有两个串联环节：1()f 2()f xyz已知：已
18、知：210210ya yaya y bxbxbx+=+210210zczcz cz d ydy d y+=+求：求：()zf x=解：210210ya ya ya yb xb xb x+=+322210210()()()()()()()s Y sa s Y sasY saY sb s X sbsX sb X s+=+221032210()()b sbs bY sX ssa sas a+=+同样221032210()()d sds dZ sY ssc scs c+=+所以1()()z tLZ s-=2212102103232210210()b sbs bd sd sdLX ssa sasasc
19、scs c-+=+已知，设定值发生单位阶跃变化，请问：该闭环系统的已知，设定值发生单位阶跃变化，请问：该闭环系统的输出是什么？输出是什么？即使上述四个环节的时域特性均知道，要直接求取闭环即使上述四个环节的时域特性均知道，要直接求取闭环输出也是有困难的。如果把上述四个环节的时域特性转输出也是有困难的。如果把上述四个环节的时域特性转化为拉氏变换（传递函数）的形式，并分别记为：化为拉氏变换（传递函数）的形式，并分别记为：Gc(s)、Gv(s)、Go(s)和和Hm(s)，则方块图可以转化为：则方块图可以转化为：调节器调节器执行器执行器对象对象传感器、变送器传感器、变送器+SPxzeuqyfGc(s)G
20、v(s)Go(s)Hm(s)+SPxzeuqyf因此，只要根据左边的方块图，求取出因此，只要根据左边的方块图，求取出Y(s)，就可以就可以利用拉氏反变换求出利用拉氏反变换求出y(t)。()G s()Xs()Ys()Ys()Ys()Ys1()G s2()G s3()G s1()x s2()x s3()x s4()x s41231()()()()()xsGs Gs Gsxs=串 联：1()G s2()Gs3()Gs1()y s2()ys3()ys()y s()x s+123()()()()()y sG sG sG sx s=并联：()G s()H s()y s()x s+()()()1()()y
21、sG sx sG s Hs=反 馈：如图所示的控制系统的方块图，求：如图所示的控制系统的方块图，求：Y(s)/X(s),Y(s)/F(s)Y(s)/X(s),Y(s)/F(s)Gc(s)Gv(s)Go(s)Hm(s)+X(s)Z(s)E(s)Y(s)F(s)Gf(s)解：解：先求先求Y(s)/X(s)，此时此时F(s)=0 Gc(s)Gv(s)Go(s)Hm(s)+X(s)Z(s)E(s)Y(s)于是方块图可以变为：于是方块图可以变为：cvoG G GmH()Y s()X s+-()()1cvocvomG G GY sX sG G G H=+再求再求Y(s)/F(s)，此时此时X(s)=0 m
22、H()Y s()F s-fG+cGvGoGF()?()Y sF s=11cvomG G G H+()()()()()fY sY sF sG s F s=11cvomG G G H=+()()1fcvomGY sF sG G G H=+例：某原油加热控制系统图。例：某原油加热控制系统图。TT为温度测量变送环节，为温度测量变送环节，TC为温度控制器。若被控对象控制通道的传递函数为为温度控制器。若被控对象控制通道的传递函数为 3/(5s+4)3/(5s+4)；控制器控制器TC的传递函数为的传递函数为1 1；调节阀的传递函数调节阀的传递函数为为1 1；TT的传递函数为的传递函数为1 1；当设定值发生单
23、位阶跃变化时；当设定值发生单位阶跃变化时，求原油出口温度的稳态变化量，求原油出口温度的稳态变化量T（）。）。解：解：先先画出方块图画出方块图 1 354s+()T s()X s 1 1 31*1*()543()1 1*1*1*54T ssX ss+=+3354 3 57ss=+因为设定值发生单位阶跃变化，因为设定值发生单位阶跃变化，1()X ss=3()()57T sX ss=+3(57)ss=+()T=03lim*(57)ssss+37=当控制器当控制器TCTC的传递函数分别为的传递函数分别为 2 2 3 3 1 11/10s1/10s时，分别求原油出口温度的稳态变化量时，分别求原油出口温度的稳态变化量T（）。）。比较控制器特性变化时，对控制系统的影响比较控制器特性变化时，对控制系统的影响有一复杂系统方块图如图所示，求其传递函数有一复杂系统方块图如图所示，求其传递函数 G(s)=Y(s)/X(s)()y s()x s+1G2G3G+-()y s()x s+1G2G3G+-12G-()Ys()X s+1G2G3G+-12G-112GG-+23231G GG G+3233211GGGGGGG+=有一复杂系统方块图如图所示，求其传递函数有一复杂系统方块图如图所示，求其传递函数 G(s)=Y(s)/X(s)3213221213211)(GGGGGHHGGGGGsG+-=
