1、第第5章章数字滤波器的结构数字滤波器的结构DF（Digital Filter)第一节第一节 引引 言言一、什么是数字滤波器一、什么是数字滤波器 顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用；即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。它的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。二、数字滤波器的工作原理则：是其付氏变换。是系统的输出，是其付氏变换。是系统的输入，设)()()()(jwjweYnyeXnxh(n)x(n)y(n)作原理。这就是数字滤波器的工符合我们的要求，使滤波器输出选取表示）后变成其系统性能用经过滤波器看出：输入序列的频谱)
2、()(),()()()()()()()()()(1jwjwjwjwjwjwjwjwjwmeHeXeHeHeXeHeXeHeXFmxmnhny则LTI系统的输出为：三、数字滤波器表示方法 有两 种表示方法：方框图表示法；流图表示法.数字滤波器中,信号只有延时延时，乘以常数乘以常数和相加相加三种运算。所以DF结构中有三个基本运算单元：加法器，单位延时，乘常数的乘法器。1、方框图、流图表示法、方框图、流图表示法Z-1单位延时系数乘相加Z-1a方框图表示法：方框图表示法：信号流图表示法：信号流图表示法：a把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或运算结构，也有方框图表示法和流图表示法。2.例子)()
3、2()1()(021nxbnyanyany例：二阶数字滤波器：其方框图及流图结构如下：Z-1Z-1x(n)y(n)b0a1a2x(n)y(n)b0a1a2Z-1Z-1看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。以后我们用流图来分析数字滤波器结构。DF网络结构或DF运算结构二个术语有微小的差别，但大抵一样，可以混用。四、数字滤波器的分类 滤波器的种类很多，分类方法也不同。1.从功能上分；低、带、高、带阻。2.从实现方法上分:FIR、IIR 3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器 等等。1、经典滤波
4、器 假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n）经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。|X(ejw)|wwc有用无用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc2.现代滤波器 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在40年代及其
5、以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。本课程主要讲经典滤波器，外带一点自适应滤波器3.模拟滤波器和数字滤波器 经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass analog filter带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filter 即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。4.模拟滤波
6、器的理想幅频特性cc)(jHcc)(jHcc)(jH)(jH1c2c1c2cLPAFHPAFBPAFBSAF5.数字滤波器的理想幅频特性2c)(jweHLPDFHPDFBPDFBSDF.23.2.2)(jweH)(jweH)(jweH五、研究DF实现结构意义1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。六、本章介绍主要的内容1.分别
7、介绍FIR、IIR滤波器实现的基本结构。2.介绍一种特殊的滤波器结构实现形式：格型滤波器结构.第二节 IIR DF的基本结构一、IIR DF特点1.单位冲激响应h(n)是无限长的n2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|)有极点存在。3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的。4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位园内。二、IIR DF基本结构IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。1、IIR DF系统函数及差分方程 一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：)()(1)10zXzYZaZbzHNiiiMiii（
8、以下我们讨论M=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。(3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。例子81434521148)21)(41(21148)2323223zzzzzzzzzzzzzH（已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-125/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-41128y(n)x(n)注意反馈部分系数符号4、级联型结构(1)系统函数因式分解一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分
9、子、分母进行因式分解：NiiMiiNiiiMiiizdzCAZaZbzH111110)1()1(1)(可以展开为：或者是共轭复根或者是实根只有两种情况：和零、极点都是实数，的系数)()(,)(badcbazHiiii(2)系统函数系数分析11211*1111211*111111)1)(1()1()1)(1()1()1()1()(NiNiiiiMiMiiiiNiiMiizqzqzpzhzhzgAzdzcAzH:22:,2121则的二阶因子，并起来构成一个实系数若将每一对共轭因子合；其中为复根。为实根；式中：MMMNNNqhpgiiii11212211111212,111)1()1()1()1()
10、(NiNiiiiMiMiiiizzzpzzzgAzH(3)基本二阶节的级联结构112122111112122111)1()1()1()1()(NiNiiiiMiMiiiizzzpzzzgAzHMiiiiizzzzAzH122112211)1(1)(）（数二阶因子形式：就可以完全分解成实系那么，整个)(zH的二阶因子。即为二次项系数看作二阶因子的特例。及若把单实因子0),()1()1(22111111iiMiiMiizpzg(4)滤波器的基本二阶节所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：2211
11、221111)(zzzzzHiiii一般用直接II型（正准型、典范型表示）x(n)1ia2iZ-1Z-1a1i2iy(n)(5)用二阶节级联表示的滤波器系统整个滤波器则是多个二阶节级联MiizHAzH1)()(x(n)11a21Z-1Z-1a112112a22Z-1Z-1a12221Ma2MZ-1Z-1a1M2My(n).例子)1)(1()1)(1(21221)21121131321zzzzzzzzzzzzH（设IIR数字滤波器系统函数为：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)(6)级联结构的特点从级联结构中看出：它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。调整1i,2i,只
12、单独调整滤波器第I对零点，而不影响其它零点。同样，调整a1i,a2i,只单独调整滤波器第I对极点，而不影响其它极点。级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。(b)分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同。5、并联型(1)系统函数的部分分式展开将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。）时，当0(11111)(01122111011010ANMzdAzdAzdAAzdAAZaZbzHNNNiiiNiiiMiii“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分
13、式。(2)基本二阶节的并联结构212211110111011)(NkkkikNiizzzzAiAzHAN1Z-1a1x(n)aN1a11Z-1Z-1A111y(n)A0.01a21a1N2a2N20N21N2其实现结构为：(3)并联型基本二阶节结构21111101)(zzzzzHi并联型的基本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)0a2Z-1Z-1a11y(n)(4)并联型特点(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但
14、总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).注意：(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。（5）例子21113132114616121221)zzzzzzzzzzH（其并联结构为：x(n)Z-1Z-114y(n)161-6-1Z-1第三节FIR DF的结构（有限长冲激响应滤波器）一、FIR DF的特点(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(
15、即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。二、FIR的系统函数及差分方程长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：100010)()()(,01)()()NmiNiiMiiiNnnmnxnhnyaaizzbzHZnhzH其差分方程为：即无反馈情况中它实际上为一般（三、FIR滤波器实现基本结构（1）FIR的横截型结构（直接型）（2）FIR的级联型结构（3）FIR的线性型 结构（4）FIR的频率抽样型结构（5）FIR的轨迹卷积型结构1.FIR直接型结构（卷积型、横截型）(1)流图h(0)h(1)h(2)h(N
16、-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)（2）框图Z-1Z-1Z-1Z-1.x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2.级联型结构（1）流图 当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：212211010)()()NiiiiNnnzzZnhzH（即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)11Z-1Z-12112Z-1Z-1221N/2Z-1Z-12N/2y(n).01020N/21（2）级联型结构特点 由于这种结构所需的系数比直接型多
17、，所需乘法运算也比直接型多，很少用。由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。3.线性相位FIR型结构（1）定义 所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。（2）线性相位FIR DF具有特性 h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件：h(n)=h(N-1-n)其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1-n);下面我们针对h(n)奇、偶进行讨论。（3）h(n)为偶数，N=偶数时(a)FIR的线性相位的特性120)1120)1(120012)1(1201212010)()1()()1()(
18、)()()()NnnNnNnnNNnnNnnNNnnNNnnNnnNnnzznhznNhznhznNhznhznhznhznhzH（令n=N-1-n代入用n=n再用n=n,并应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)(b)h(n)为偶数，N=偶数时,线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1).h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)（4）h(n)为偶数，N=奇数时(a)FIR的线性相位的特性当N=奇数时，有一中间项h(N-1)/2)无法合并，需提出：3
19、20)1)21(10)()21()()NnnNnNNnnzznhzNhznhzH（(b)h(n)为偶数，N=奇数时,线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3).h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2)21(Nh)23(Nh共有（N-3）/2项（5）总结：h(n)为偶数，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性 同理，当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:320)1)21()()21()NnnNnNzznhzNhzH（120)1)()NnnNnzznh
20、zHN（偶数时，奇数时，NN=奇数时，（6）h(n)为奇数，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性 同理，当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:320)1)21()()21()NnnNnNzznhzNhzH（120)1)()NnnNnzznhzHN（偶数时，奇数时，NN=奇数时，4.快速卷积结构（1）原理 设FIR DF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出y(n)=x(n)*h(n),且长度L=N+M-1 若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)
21、线卷积。其中：而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。)()()()()(nxnhnxnhnyLnNNnnxnx010)()(LnMMnnhnh00)()(（2）快速 卷积结构框图L点DFTL点DFTL点DFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)()()()()(nxnhnxnhny1202)()1)(NnknLjekHkXLny（此时，当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。5、频率抽样型结构(1)频率抽样型结构的导入 若FIR DF 的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)(kHDFT取主值序列N等分抽样单位园上
22、频响Z变换内插所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：1011)(1)1()(NnkNNzWkHNzzH来表示系统函数。（2）频率抽样型滤波器结构1011)(1)1()(NnkNNzWkHNzzH由：得到FIR滤波器提供另一种结构：频率抽样型结构。它是由两部分级联而成。10)(1)()(NnkczHNzHzH其中：级联中的第一部分为梳状滤波器：第二部分由N个谐振器组成的谐振柜。)1()(NczzH11)()(zWkHzHkNk(3)梳状滤波器(a)零、极点特性 它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位园上有N个等分的零点、无极点。)1()(NczzH由看出：NwN
23、kezkNWererrezzkNjkkjwNNjwjwN2:10210)(1,10102而等间隔角度之间为零点。即代入单位园令：N2(b)幅频特性及流图2sin2)cos1(2sin)cos1()(sincos11)(22NwNwNwNweHNwjNweeHjwcjNwjwc频率响应为：w|H(ejw)|N20.幅频曲线：1x(n)y(n)-Z-N梳状滤波器信号流图：（4）谐振器 谐振器：是一个阶网络。11)()(zWkHzHkNkZ-1W-kH(k)Hk(z)谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：)(2)1(2zHkNwrreewzkjwkNjk处响应为无穷大，此时一阶网络频率在单位园(5
24、)谐振柜 谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。101101)()(NkkNNkkzWkHzH这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消，从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于H(k).将两部分级联起来，得到频率抽样结构。)()()()()()(22kHezkHezzHzHNkjkNkjkkc（6）频率抽样型结构流图Z-1W-kH(0)Z-1W-kH(1)Z-1W-kH(2)Z-1W-kH(N-1)N1-Z-Nx(n)y(n)(7)频率抽样型结构特点(1)它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的频率响应。因此，控制滤波器的频率响应是很直接的。(2)结构有两个主要缺点：(a)
25、所有的相乘系数及H(k)都是复数，应将它们先化成二阶的实数，这样乘起来较复杂，增加乘法次数，存储量。(b)所有谐振器的极点都是在单位园上,由 决定考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。（零点由延时单元决定，不受量化的影响）系统就不稳定了。kNwk2kNw6、修正的频率抽结构（1）产生的原因 为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位园内某一靠近单位园、半径为r(r1)的园上，同时梳状滤波器的零点也移到r园上。（即将频率采样由单位园移到修正半径r的园上）(2)修正的频率抽样结构的系统函数1,2,1,0,
26、)()()()()()(,1)(1)(1)1()(2101NkrezzHkHzHzHkHkHkHrkHzrWkHNzrzHkNjkWztwzrrrNnkNNNkNkN的极点为则谐振器的各个根即（因此有，但是由于为新抽样点上的抽样值 为了使系数是实数，可将共 轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布。(3)修正的频率抽样结构的系统 极点分布00N2|z|=r2N12N12N1N10kRezzj Imzj ImRez0kN=8N=7*kkNzz(4)修正频率结构的复根部分：第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络 因为h(n)是实数，它的DFT也是圆周共轭对称的。因此，可以将
27、第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络。1,3,2,1)()*NkkNHkH（)Re2),Re2)2cos(211)(1)(1)(1)(1)()(102211102*2*11*11)(1kNkkkkkkkNkNkNkNkNNkNkWkHrkHzrNkrzzzWWrrWWzkHzrWkHzrWkHzrWkNHzrWkHzH（其中：(5)有限Q的谐振器 第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位园内，而不是在单位园上，因而从频率响应的几何解释可知，它相当于一个有限Q的谐振器。其谐振频率为：kNwk2)2cos(2Nkr2r1z1zk0k1(6)修正频率抽样结构的谐振器的实根部分除了共轭
28、复根外，还有实根。当N=偶数时，有一对实根，它们分别为 两点。2,0Nkk101)0()(rzHzH121)2()(rzNHzHN当N=奇数时，只有一个实根z=r(k=0），即只有H0(z).1zr1z-r）2(NH）0(H(7)修正频率抽样结构流图（N=偶数）1zr）0(H1z-r）2(NHNNzrx(n)2cos(2Nr2r1z1z0111)2cos(2Nkr2r1z1z20N21NN1y(n).12/122111011)2cos(2112(1)0(1)1()(NkkkNNzrkNrzzrzNHrzHNzrzH）(8)修正频率抽样结构流图（N=奇数）1zr）0(HNNzrx(n)2cos(
29、2Nr2r1z1z0111)2cos(2Nkr2r1z1z20N21NN1y(n).12/12211101)2cos(211)0(1)1()(NkkkNNzrkNrzzrzHNzrzH(9)修正频率抽样结构的特点（1）结构有递归型部分谐振柜又有非递归部分-梳状滤波器。（2）它的零、极点数目只取决于单位抽样响应的长度，因而单位冲激响应长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数0k,1k,H(0),H(N/2)不同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器（3）其结构可以高度模块化，适用于时分复用。(10)频率抽样结构的应用范围(1)如果多数频率特性的采样值H(k)为零，例：窄带低通情况下，这时谐振器中剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存储器还是比直接型多用一些。（2）可以共同使用多个并列的滤波器。例：信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时可采用频率采样结构的滤波器，大家共用一个梳状滤波器及谐振柜，只是将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需的滤波器。这样结构具有很大的经济性。（3）常用于窄带滤波，不适于宽带滤波。
