1、函数列及其一致收敛性 函数列一、函数列及其一致收敛性一、函数列及其一致收敛性 12(),(),(),nfxfxfx设设是一列定义在同一数集是一列定义在同一数集 E 上的函数上的函数,称为定义在称为定义在E上的函数列上的函数列.()(),1,2,.nnfxfxn记记为为或或0 xE 设设，10200(),(),(),.nfxfxfx1、定义：、定义：2、函数列的收敛、函数列的收敛0()nxfx以以代代入入得得数数列列：0()nfxx若若此此数数列列收收敛敛，则则称称在在 收收敛敛，0()nxfx为为的的收敛点；收敛点；0()nfxx若若此此数数列列发发散散，则则称称在在发发散散，0()nxfx为
2、为的的发散点；发散点；()().nnfxEfxE若若在在数数集集 上上每每一一点点都都收收敛敛，则则称称在在数数集集 上上收收敛敛()()nnfxfx使使收收敛敛的的全全体体收收敛敛点点的的集集合合，称称为为的的收收敛敛域域.,)(,上的函数由此定义了与之相对应的一个极限值都有数列对于任意的ExfExn3、函数列的极限、函数列的极限函数函数的为则称有若对每一个)()(),()(lim,xfxfxfxfExnnn极限函数，极限函数，).()(xfExfn上收敛于在或称)()(xfExfn上收敛于在.|)()(|,),(0 xfxfNnNxNNIxn有，对每一个例例1.)1,0(,)(收敛收敛证明
3、其在证明其在设设nnxxf,0lim),1,0(nnxx有有证：证：要要使使不不等等式式,0 nx|0|)()(|nnxxfxf 成立，成立，lnln,lnlnxNxn 取取解解得得例例1.1,1(,2,1,)(收敛证明此函数列在设nxxfnn,0lim),1,1(:nnxx有证要要使使不不等等式式,0 nx|0|)()(|nnxxfxf 成立，成立，.11lim)(lim1.,1lnln),(,|lnlnnnnxfxNnxxNNxn时，显然有当立时，就有上述不等式成当取解得例例2.),0(,2,1,1)(内收敛证明其在设nxnxfn,01lim),0(xnxn有证：要要使使不不等等式式,0
4、xn 1|01|)()(|xnxfxfn 成立，成立，即可取解得11,1Nnn1 例例3.),(,2,1,sin)(内收敛证明其在设nnnxxfn,0sinlim,1|sin|),(nnxnnnxxn于是有证：要要使使不不等等式式,0|0sin|)()(|nnxxfxfn 成立，成立，.11,1即可取解得Nnn14、函数列的一致收敛、函数列的一致收敛，上收敛于极限函数在设函数列)()(xfExfn,00 NN，.|)()(|,)(xfxfExNnNNNn都有).()(xfExfn上一致收敛于极限函数在则称函数列)()(xfExfn不一致收敛于极限函数在.|)()(|,000000 xfxfEx
5、Nnn有,0 若若n1 例例题题()nnfxx证证明明：函函数数列列一一致致收收敛敛；在在区区间间)10(,0)1 .)1,0)2不一致收敛在区间,0lim),1,0 nnxx有有证：证：0,1)()0.nxf x 即即函函数数列列在在的的极极限限函函数数要要使使不不等等式式,0,0)1 x|0|)()(|nnxxfxfnx n 成立，成立，1lnln,lnlnNn取解得.|0|,0,1lnln)(,0nxxNnNNN有于是，.)10(,0一一致致收收敛敛在在区区间间即即函函数数列列 nx有),1,0)21(,021)201000nxNnNN.21)21(|)()(|0100000nnnxfx
6、f.)1,0不一致收敛在区间即函数列nxOyx()yf x()nyfx ba()yf x ()yf x ()()nfxf x函函数数列列一一致致收收敛敛于于的的的的所所有有曲曲线线()yf x 都都落落在在曲曲线线与与()yf x 所所夹夹的的带带状状区区域域内内.()(),nyfxnN0,NNN,对对于于序序号号大大于于几何意义：几何意义：定理定理1(函数列的柯西一致收敛准则函数列的柯西一致收敛准则)()nfx函函数数列列|()()|.n pnfxfx 有有上一致收敛在D,)(,0DxNpNnNNN正整数定理定理2)()(xfIxfn一致收敛于极限函数在区间函数列limsup|()()|0.
7、nnx Ifxf x注注 柯西柯西收敛收敛准则的特点是不需要知道极限函数是什么准则的特点是不需要知道极限函数是什么,只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛收敛.)()(xfIxfn一一致致收收敛敛于于极极限限函函数数在在区区间间函函数数列列证证：必必要要性性|)()(|,)(,0 xfxfIxNnNNNn有即limsup|()()|0.nnx Ifxf x即即充分性充分性limsup|()()|0.nnx Ifxf x|)()(|sup,0 xfxfNnNNnIx有即|)()(|sup|)()(|,xfxfxfxfIxnIxn有)()(x
8、fIxfn一一致致收收敛敛于于极极限限函函数数在在区区间间函函数数列列|)()(|supxfxfnIx方法：方法：放大，即放大到先求极限函数，一般将|)()(|xfxfnn只只含含有有 且且容容易易求求极极限限的的时时候候，当当不不容容易易放放大大时时，可可转转而而.求求最最大大值值)()(xfIxfn不一致收敛于极限函数在区间函数列limsup|()()|0.nnx Ifxf x的一致收敛性：，在区间例题：判别下列函数列101)1xnnxxnnxxn 1lim,1,0有有解解：x.)(xxf 即即极极限限函函数数|1|)()(|xxnnxxfxfn xnxx 1)1(n 120,12sup|
9、()()|.1nxfxf xn0,1limsup|()()|0.nnxfxf x显显然然，.101一一致致收收敛敛，在在区区间间函函数数列列xnnx )1()2nxnx nnxnxx)1(lim,1,0 有有解解：0.0)(xf即即极极限限函函数数)(x设,)1(|)()(|nnxnxxfxf 1,0 x必有最大值必有最大值连续，连续，在在1,0)(x)1()1()(1nxxxnxn 111,0)(nx和和得得稳稳定定点点令令,0)0(,0)1(,)111()11(1 nnn 1)111(1,0)(nnx的最大值是的最大值是在在 0,10,1limsup|()()|limsup()nnnxxf
10、xf xx 11lim(1)1nnn01 e.1,0)1(不一致收敛在区间函数列nxnx例题).(0)(lim),0(.),0()(,2,1),0(,)(2xfxfxxfnxenxxfnnnnxn有证明：对于上不一致收敛在证明函数列设不一致收敛故,|)()(|suplim2)21(|)()(|sup,|)()(|),0(2/1),0(2xfxfennfxfxfenxxfxfnxnnnxnxn内闭一致收敛的定义).()(),(,)(,)()(xfIxfxfbaxfIbaIIxfxfnnn上内闭一致收敛于在区间则称上一致收敛于在的任意闭子区间若对于上定义在区间与其极限函数设函数列函数项级数及其一致
11、收敛性 函数项级数函数项级数及其一致收敛性()nuxE设设是是定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数列列,表表达达式式12()()(),(9)nu xuxuxxE称为定义在称为定义在E上的函数项级数上的函数项级数,1()nnux简简记记为为或或().nux称称1()(),1,2,(10)nnkkSxuxxE n为函数项级数为函数项级数(9)的部分和函数列的部分和函数列.0,xE若若数数项项级级数数10200()()()(11)nu xuxux001()()nnkkSxuxn 收敛收敛,即部分和即部分和当当时极限时极限 0 x0 x存在存在,则称级数则称级数(9)在点在点收敛收敛,称为级数
12、称为级数(9)的收的收 敛点敛点.若级数若级数(11)发散发散,则称级数则称级数(9)在点在点0 x发散发散.若若 级数级数(9)在在 E 的某个子集的某个子集 D 上每点都收敛上每点都收敛,则称级数则称级数(9)在在 D 上收敛上收敛.若若 D 为级数全体收敛点的集合为级数全体收敛点的集合,就称就称 D为为函数项函数项级数的收敛域级数的收敛域.级数在级数在 D上每一上每一 并记作并记作 12()()()(),nu xuxuxS xxD即即lim()(),.nnSxS xxD注：注：函数项级数的收敛性函数项级数的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性！.)(,)()
13、(,11的和函数称为函数项级数上的函数由此定义了一个在与之相对应的和都有数项级数对于nnnnxuDxSxuDx例题例题(,)定定义义在在上上的的函函数数项项级级数数(几几何何级级数数)21,(12)nxxx1().|11nnxSxxx的部分和函数为当时,的部分和函数为当时,1()lim().1nnS xSxx1(12)(1,1)();1S xx所所以以几几何何级级数数在在收收敛敛于于|1,.x 当当时时 几几何何级级数数是是发发散散的的定义定义()()nnSxux设设是是函函数数项项级级数数的的部部分分和和.()(),nSxDS x函数列 若在数集 上一致收敛于函数列 若在数集 上一致收敛于
14、则则称称()(),nuxDS x函函数数项项级级数数在在上上一一致致收收敛敛于于函函数数由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数 列来确定列来确定的的,由此可知由此可知)()(),()(xSDxuxSDxSnn数上内闭一致收敛于和函在数集则称函数项级数上内闭一致收敛于函数在数集若 函数项级数一致函数项级数一致收敛收敛性的性的判别法判别法定理定理1(函数项级数的函数项级数的柯西一致收敛准则柯西一致收敛准则)函数项级数函数项级数()nux在数集在数集 D 上一致收敛的上一致收敛的充要条件充要条件为为:对任对任,存在存在自然数自然数 N,nN 时时给的
15、正数给的正数,使使得得当当 对一切对一切 xD,p一一切切正正整整数数都都有有和和|()()|,n pnSxSx 或或12|()()()|.nnn puxuxux 此定理中当此定理中当 p=1 时时,得到函数项级数一致收敛的一得到函数项级数一致收敛的一 个必要条件个必要条件.推论推论(函数项级数一致收敛的必要条件函数项级数一致收敛的必要条件)函数项级函数项级 数数()nuxD在在数数集集上上一一致致收收敛敛的的必必要条件是函数要条件是函数()nuxD列列 在在上一致收敛于零上一致收敛于零.定理2：()(),nuxDS x设设函函数数项项级级数数在在上上的的和和函函数数为为称称()()()nnR
16、xS xSx().nux为为函函数数项项级级数数的的余余项项.0|)(|suplim|)()(|suplim)()(1xRxSxSxSDxunDxnnDxnnn上一致收敛于和函数在数集函数项级数 由由函数项级数函数项级数上进行讨论首先在闭区间内的一致收敛性在研究函数项级数)1(,.)1,1(0aaaxnn1().|11nnxSxxx的部分和函数为当时,的部分和函数为当时,1()lim().1nnS xSxx0nnx,sup|()()|sup1nnxa axa axSxS xx 0()1nana.,0上一致收敛在于是函数项级数aaxnn(1,1)(1,1)sup|()()|sup1111nnnx
17、xxnnSxS xnnx 1()1nnnnn 0(1,1)nnx知知道道级级数数在在内内不不一一致致收收敛敛.在区间在区间(-1,1)上讨论这个级数上讨论这个级数,则由则由 20(1)nnxx 0,1例题例题 讨论函数项级数讨论函数项级数在在上一致上一致 收敛性收敛性.先求和函数S(x).1,0,1)(lim)().1)(1()1(11)1()(,10).1(0)1(lim,2,1,0)1(,12210 xxxSxSxxxxxxxxSxSSnSxnnnnnkknnnn时当时当再估计表达式再估计表达式于是于是|()()|(1),0,1,nnS xSxxxx 由由1(1)(1)0nnnxxnxnx
18、 解得最大值点解得最大值点 01nxn ,故故|)()(|supxSxSnDx0,1sup|()()|nxS xSx 1011nnnn因此因此20(1)nnxx 在在0,1上一致收敛上一致收敛.注注：当和函数当和函数S(x)容易求出时容易求出时,上述判别法上述判别法是比较好用的一种方法是比较好用的一种方法.判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西 一致收敛一致收敛准则外准则外,有些还可以根据级数一般有些还可以根据级数一般 项的某些特性来判别项的某些特性来判别.定理定理3(魏尔斯特拉斯判别法，或魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法判别法)(),nuxD定
19、定义义在在数数集集上上nM设函数项级数设函数项级数为收为收 敛的正项级数，敛的正项级数，,xD若若对对一一切切有有|()|,1,2,(13)nnuxMn()nuxD则则函函数数项项级级数数在在上上一一致致收收敛敛.证证,nM由由假假设设正正项项级级数数收收敛敛 根根据据数数项项级级数数的的柯柯,存在某正整数存在某正整数N,使得当使得当 n N 西准则西准则,任给正数任给正数 及任何正整数及任何正整数 p,有有 11|.nn pnn pMMMM(13)xD又又由由式式对对一一切切有有11|()()|()|()|nn pnn puxuxuxux根据函数项级数一致收敛的柯西准则根据函数项级数一致收敛
20、的柯西准则,级数级数()nux在在 D 上一致收敛上一致收敛.1.nn pMM 例题例题 函数项级数函数项级数22sincos,nxnxnn(,)(,)x在在上上一一致致收收敛敛.因因为为对对一一切切有有 2222sin1cos1,nxnxnnnn21.n而正项级数是收敛的而正项级数是收敛的例题 用M判别法 判别下列函数项级数的一致收敛性.1,0,)2(;0,!)1(121上在闭区间上在闭区间nnnnnxRRRnx1()u t,a b例题例题 设设在在上可积上可积,1()()d,1,2,xnnauxu ttn 11()nnux ,a b证明证明 函数项级数函数项级数在在上一致收敛上一致收敛.1
21、()u t,a b0M 证证 因为因为在在上可积上可积,所以存在所以存在,使使 得得1|()|u xM,于是有于是有 21|()|()|d(),xauxu ttM xa 232()|()|()|d()d,2!xxaaxauxu ttM xatM 由数学归纳法容易得到由数学归纳法容易得到111|()|()|d()d!nxxnnaauxu ttMxatn 因为数项级数因为数项级数1()!nnbaMn 收敛收敛,所以根据所以根据M 判别法知原级数在判别法知原级数在,a b上一致收敛上一致收敛.()().!nnxabaMMnn利用利用Abel分部求和公式分部求和公式,可以得到可以得到与数项级数相似的判
22、别函数项级数一致收敛与数项级数相似的判别函数项级数一致收敛性性 的的Abel判别法和判别法和Dirichlet判别法判别法.设有定义在区间设有定义在区间I上形如上形如1122()()()()()()nnux vxu x vxux vx的函数项级数的函数项级数.对级数对级数(14)有有:()()(14)nnux vx定理定理(Abel判别法判别法)设设 (i)();nuxI在区间上一致收敛在区间上一致收敛(ii),();nxIvx对对于于每每一一个个是是单单调调的的(iii)(),nvxIxI在上一致有界 即对一切在上一致有界 即对一切和正整和正整数数 ,存在正数存在正数M0,使得使得 n|()
23、|,nvxM则级数则级数(14)在在 I 上一致收敛上一致收敛.证明：.)3()(2)(1Mxvxvpnn,|)()()(|,N)(,0)(21*1xuxuxuIxpNnNNIxupnnnnn有和任意的对于任意的自然数时上一致收敛可知在区间由于.)()(1一致收敛可知一致收敛准则根据函数项级数的xvxuCauchykkkpnnkkkxvxu1)()(定理定理(Dirichlet判别法判别法)设设(i)()nux 的部分和数列的部分和数列1()()(1,2,)nnkkUxuxn在在 I 上一致有界上一致有界;(ii),();nxIvx对对于于每每一一个个是是单单调调的的(iii)()0(),nI
24、vxn在在上上则级数则级数(14)在在I上一致收敛上一致收敛.证明因此当因此当 n,p 为任何正整数时为任何正整数时,12|()()()|()()|2.nnn pn pnuxuxuxUxUxM对任何一个对任何一个x I,得到得到 11|()()()()|nnn pn pux vxux vx12(|()|2|()|).nn pMvxvx.|)(|,0MxUnIxMn有和任意的正整数对于首先存在一个正数).8(|)(|,0,0)(MxvIxNnNIxvnn有对于一切时当总存在一个自然数故对于上一致收敛于在区间11|()()()()|nnn pn pux vxux vx12(|()|2|()|).n
25、n pMvxvx.)()(1一致收敛可知一致收敛准则根据函数项级数的xvxuCauchykkk推论推论 设设.)()1(),(0)(,)()(,)(1上一致收敛在则级数上在是单调的；关于对于每一个IxvnxvIiinxvIxinnnnn例题例题 函数项级数函数项级数11(1)()nnnnxnn在在0,1上一致收敛上一致收敛.(1)(),()1nnnnxuxvxnn记记nu,于是于是在在0,1 上一致收敛，上一致收敛，()nvx在在0,1上单调上单调递递增且一致有界增且一致有界,由由 Abel判别法就能得到结果判别法就能得到结果.cos(15)nanx,2(0)在在上上一一致致收收敛敛.证：证：
26、在在,2-上有上有11sin()12|cos|22sin2nknxkxx例题例题 若数列若数列 单调且收敛于零单调且收敛于零,则级数则级数na1111,222sin2 sin22x cos,2nx 所所以以级级数数的的部部分分和和数数列列在在上上一一致有界致有界,于是令于是令()cos,(),nnnuxnx vxa一致收敛一致收敛.则由则由Dirichlet判别法可得级数判别法可得级数(15)在在 上上 ,2 例题 利用利用Dirichlet判别法判别法判别下列级数的判别下列级数的 一致收敛性一致收敛性),(,1)1()2();,(,)1()1()1(2111221xnxxxxnnnnn例题.
27、1,0.1,0)1()1(0上不一致收敛在成的级数但是由其各项绝对值组敛上绝对收敛并且一致收在闭区间证明函数项级数nnnxx证明.).1,0,1)(lim).1()1(11)1()(,10.0)1(lim,2,1,0)1(,110故绝对收敛时当时当xxSxxxxxxxSxSnSxnnnnnkknnnn 用用Dirichlet判别法判别法可知原级数一致收敛可知原级数一致收敛.0)(,0|0)(|suplim),11()1()11()1(|0)(|sup.0)(.)(,1,0),1()(1,01,0上一致收敛于在估计的极限函数是并且函数列是单调递减的关于显然对于记Ixvxvnnnnnnnxvxvn
28、xvxxxxvnnxnnnnxnnnn10,1.1,0)().1,0,1)(lim)().1()1(11)1()(,10).1(0)1(lim,2,1,0)1(,110 xxxSxxSxSxxxxxxxSxSSnSxnnnnnkknnnn故和函数时当时当.1,0)1(,01|)()(|suplim1|)()(|sup01,01,0上不一致收敛在故级数nnnxnnxxxxSxSxSxS 一致收敛函数列的性质一致收敛函数列的极限函数的连续性.)(,)(,).()(:上连续也在则极限函数上连续都在若对于每一个自然数上一致收敛于极限函数在区间设函数列定理IxfIxfnxfIxfnn证明.3|)()(|
29、,|,0)(,.,1.3|)()(|,),(,0),()(0110010 xfxfxxIxxxfIxNnxfxfIxNnNNxfIxfNNNnn有时且使得当故存在正数处连续，在点由于任意取定上述式子也成立特别地取都有对于所有的时当总存在一个自然数故对于上一致收敛于在区间证明).()(lim.333|)()(|)()(|)()(|)()()()()()(|)()(|,|000101110010111000 xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxIxxxNNNNNNNN时且于是当以交换！在分别求极限时次序可与即两个独立变量有收敛的条件之下连续性定理指出在一致,).(l
30、imlim)(limlim,00nxxfxfnxxnnnxx 注：(1)逆否命题 若各项为连续函数的函数列在区间I上的 极限函数不连续,则此函数列在区间I上不一致收敛.例子：函数列 在区间(-1,1上不一致收敛.nx 注：(2)一致收敛性的条件是充分条件,但不是必要条件！推论.)(,)(,).()(:上连续也在则极限函数上连续都在若对于每一个自然数数内闭一致收敛于极限函上在区间设函数列推论IxfIxfnxfIxfnn一致收敛函数列的极限函数的可积性.)(lim)(lim)(,)(,).(,)(:bannnbaba nnndxxfdxxfdxxfbaxfnxfbaxf则上连续都在若对于每一个自然
31、数一致收敛于极限函数上在闭区间设函数列定理证明.)(|)()(|)()(|)()(|.|)()(|,),(,0),(,)(banbanbabannnabdxxfxfdxxfxfdxxfdxxfNnxfxfbaxNnNNxfbaxf时，故当都有对于所有的时当总存在一个自然数故对于上一致收敛于在闭区间的次序可以交换！有极限运算与积分运算收敛的条件之下可积性定理指出在一致,注：一致收敛性的条件是充分条件,但不是必要条件！反例110121222102)(xnnxnxnnnnxxnnxfn，当，当，当设函数1010101,0.)(0)(lim,2)(.1,0,|0)(|sup.0,1,0)(dxxfdx
32、xfnndxxfnxfxfnnnnxn由定积分的性质可知上不一致收敛故函数列在闭区间估计且其极限函数是上的连续函数列是闭区间容易推出函数列一致收敛函数列的极限函数的可微性).(lim)(lim()(,)(,)(,)(,).()(:xfxfxfIxfIxfIxfnxfIxfnnnnnnn且上连续可导也在则极限函数上一致收敛在区间且函数列上连续可导都在若对于每一个自然数上收敛于极限函数在区间设函数列定理证明,)(lim)(lim)(lim)(lim,)()()()(,0000000dttfdttfxfxfxxtfxfxfdttfLeibnizNewtonnIxIxnxx nxxnnnnnnnnnx
33、xn故上一致收敛，在闭区间公式可知根据和任意的自然数对于任意的取定一点证明).(lim)(,)(lim)(lim)()(000 xfxfdttfdttfxfxfnnnxx nxxnn故即推论).(lim)(lim()(,)(,)(,)(,).()(:xfxfxfIxfIxfIxfnxfIxfnnnnnnn且上连续可导也在则极限函数上内闭一致收敛在区间且函数列上连续可导都在若对于每一个自然数上收敛于极限函数在区间设函数列定理 注：一致收敛性的条件是充分条件,但不是必要条件！反例.0)(lim)(,0 1,01)(,0 1,0,2,1),1ln(21)(2222仍然成立但是不一致收敛，上收敛于在闭
34、区间导函数列上收敛于极限函数在闭区间设函数列xfxfxnnxxfnxnnxfnnnn 一致收敛函数项级数的性质一致收敛函数项级数的和函数的连续性.)(,)(,).()(:1上连续也在则和函数上连续都在若对于每一个自然数上一致收敛于和函数在区间设函数项级数定理IxSIxunxSIxunnn推论推论.)(,)(,).()(:1上连续也在则和函数上连续都在若对于每一个自然数内闭一致收敛于和函数上在区间设函数项级数推论IxSIxunxSIxunnn！限运算的次序可以交换即无限求和运算与求极有收敛的条件之下连续性定理指出在一致.)(lim)(lim,1100nnxxnnxxxuxu一致收敛函数项级数的和
35、函数的可积性.)(lim)(lim)(,)(,).(,)(:1bannnbaba nnnndxxSdxxSdxxSbaxunxSbaxu则上连续都在若对于每一个自然数一致收敛于和函数上在闭区间设函数项级数定理逐项求积分运算的次序可以交换！有无限求和运算与积分收敛的条件之下可积性定理指出在一致,.)()(11dxxudxxubannnban 一致收敛函数项级数的和函数的可微性).(lim)(lim()(,)(,)(,)(,).()(:11xSxSxSIxSIxuIxunxSIxunnnnnnnnn且上连续可导也在则和函数上一致收敛在区间且函数项级数上连续可导都在若对于每一个自然数上收敛于和函数在
36、区间设函数项级数定理推论).(lim)(lim()(,)(,)(,)(,).()(:11xSxSxSIxSIxuIxunxSIxunnnnnnnnn且上连续可导也在则和函数上内闭一致收敛在区间且函数项级数上连续可导都在若对于每一个自然数上收敛于和函数在区间设函数项级数推论逐项求导数运算的次序可以交换！有无限求和运算与求导收敛的条件之下可微性定理指出在一致,.)()(11nnnnxudxdxudxd首页首页例题例题 设设.,2,1,)1ln(1)(223 nxnnxun证明函数项级数证明函数项级数un(x)0,1上一致收敛上一致收敛，并讨论其并讨论其和函数在和函数在0,1上的连续性上的连续性、可
37、积性与可微性可积性与可微性证明.1,0 1,0)(,1|)1(2|)(|.1,0 1,0)(.1,0)(),()1ln(,)1ln(|)(|,1,01222113232上可微和函数在上一致收敛，也在故而上连续并可积故和函数在上连续，在闭区间上一致收敛在故函数项级数为什么？收敛而数项级数有对于xunxnnxxuxuxunnnnxuxnnnnnnnn例题xnnnxnnnxnnnxdtntdttSMnxdttSxnxxS01310211210121.)()(1,1.)(,1,1,)(判别法由上一致收敛在解：函数项级数求积分设例题xnnxnxnnnnxdtnnntdttSMnnnxdttSxnnnxx
38、S01210101.sincos)()(),(cos.)(),(,cos)(判别法由上一致收敛在解：函数项级数求积分设例题3ln2ln113ln2ln13ln2ln1.21)3121()()(3ln,2ln.)(),0(,)(nnnnnxnnxnnxdxendttSMendttSxenxS判别法由上一致收敛在闭区间解：函数项级数求积分设例题.2)cos(,10200dxnxrrnn证明：设例题.),1(1)(:1内有连续的各阶导函数在函数证明nxnx证明上一致收敛在闭区间收敛由于有的任一闭子区间为记则设,)()(ln,0)(lnlim1)(lnlim.)(ln|)(|,).1(,),1(.,2,1,)(ln)1()(,1)(1)(1212)1()()(baxunnnnnnnnnxubaxbabaknnxunxunknnakaknaaknakknxkkknxn证明1)(1)(.,2,1,)(ln)1()(,),1()(nxkkknknknnxxu内闭一致收敛在即函数项级数
