1、第第1章章信号与系统的基本概念信号与系统的基本概念1.1 1.1 信号的描述和分类信号的描述和分类1.1.1信号的描述信号的描述信号可以由很多方式来描述，但在通常情况下，信号所信号可以由很多方式来描述，但在通常情况下，信号所包含的信息都是寄予在某种变化形式的波形中。在数学上，包含的信息都是寄予在某种变化形式的波形中。在数学上，信号可以表达成一个或多个变量的函数。信号可以表达成一个或多个变量的函数。1.1.2信号的分类信号的分类1.确定信号与随机信号确定信号与随机信号 确定信号确定信号是在任意时刻，在其定义域内都是在任意时刻，在其定义域内都有对应的确定的函数值。例如正弦信号等。有对应的确定的函数
2、值。例如正弦信号等。随机信号随机信号具有不可预知的不确定性，我们具有不可预知的不确定性，我们只能知道其统计特性。只能知道其统计特性。1.1.2信号的分类信号的分类2.连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号连续时间信号是指在在所讨论的时间间隔内，除若连续时间信号是指在在所讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对任意时间值都可给出确定的函数值，干不连续点之外，对任意时间值都可给出确定的函数值，通常用表示，例如，声音信号等，如图（通常用表示，例如，声音信号等，如图（a）所示。）所示。离散时间信号是指在时间上是离散的，只在某些不离散时间信号是指在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给
3、出函数值，在其他时间无意义，常用连续的规定瞬时给出函数值，在其他时间无意义，常用表示，例如，股票市场的每周道琼斯指数等，如图（表示，例如，股票市场的每周道琼斯指数等，如图（b）所示。所示。O12O(a）(b）1.1.2信号的分类信号的分类3.周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号周期信号周期信号指每隔一定时间指每隔一定时间T，周而复始且，周而复始且无限的信号。满足无限的信号。满足 非周期信号非周期信号，在时间上不具有周而复始的特，在时间上不具有周而复始的特性。可看成性。可看成T趋于无穷大的周期信号。趋于无穷大的周期信号。)(,2,1,0 )()(任意整数nnTtftf1.2 1.2 信号的基
4、本运算信号的基本运算1.2.1移位、反转和尺度（自变量变换）移位、反转和尺度（自变量变换）1.移位移位，相当于相当于的波形在轴上整体移动，当的波形在轴上整体移动，当0时波形左移，当时波形左移，当 r=4.33 l=2*pi*r s=pi*r*rr=4.3300l=27.2062s=58.9014表2-3 命令行编辑中常用的控制键及其功能向后寻回翻滚一页PgDn删除当前行全部内容Esc向前寻回翻滚一页PgUp删除光标左边的字符Backspace在当前行中右移光标删除光标右边的字符Del在当前行中左移光标将光标移到当前行末尾End向后寻回调用已输入过的命令将光标移到当前行行首Home向前寻回调用已
5、输入过的命令功功 能能控制键名控制键名功功 能能控制键控制键2.2.2MATLAB的基本运算的基本运算1、基本算数运算、基本算数运算MATLAB的基本算数运算有：的基本算数运算有：+（加）、（加）、-（减）、（减）、*（乘）、（乘）、/（右除）、（右除）、（左除）、（左除）、（乘方）（乘方）（1）加法运算）加法运算例如：变量例如：变量x=12，y=34，求，求z=x+yx=12;y=34;z=x+yz=46（2）乘法运算例如：变量x=11，y=12，求z=x*y x=12;y=34;z=x*yz=408（3）乘方运算例如：变量x=11，y=12，z=x*y，求变量z的平方。x=12;y=34;
6、z=x*y;m=z2m=166464表2-4 常用数学函数及其含义最小公倍数lcm不小于自变量的最小整数ceil最大公因子gcd不大于自变量的最大整数floor符号函数sign向零方向取整fix四舍五入到最邻近的整数round模运算mod求余数或模运算rem反双曲正切函数atanh复数共轭运算conj反双曲余弦函数acosh复数的虚部imag反双曲正弦函数asinh复数的实部real双曲正切函数tanh复数的幅角angle双曲余弦函数cosh绝对值函数abs双曲正弦函数sinh2的幂pow2反正切函数atan自然指数函数exp反余弦函数acos以2为底的对数函数log2反正弦函数asin常用对
7、数函数（以10为底）log10正切函数tan自然对数函数log余弦函数cos平方根函数sqrt正弦函数sin含含 义义函数名函数名含含 义义函数名函数名3、关系运算MATLAB提供了6种关系运算符：（小于）、（大于）、=（大于或等于）、=（等于）、=（不等于）。具体的关系运算法则为：当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，表达式结果为立，表达式结果为1，否则为，否则为0。当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，将两矩阵相同当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，将两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出比较结果。位置的元
8、素按标量关系运算规则逐个比较，并给出比较结果。最终的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由最终的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或或1组成。组成。当参与比较的一个是标量，另一个是矩阵时，则把标量与当参与比较的一个是标量，另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出比矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出比较结果。最终的运算结果是一个维数与矩阵相同的矩阵，它较结果。最终的运算结果是一个维数与矩阵相同的矩阵，它的元素由的元素由0或或1组成。组成。【例题2-2】判断一常数能否被3整除。解 a=49874;b=rem(a,3)=0b=04
9、、逻辑运算 MATLAB提供了3种逻辑运算符：&（逻辑与）、|（逻辑或）、（逻辑非）。具体的逻辑运算法则为：在逻辑运算中，确认非零元素为真，表达式结果为1，否则为0。若两个同维矩阵进行逻辑运算时，将两矩阵相同位置的元素逐个比较，并给出比较结果。最终的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。当参与比较的一个是标量，另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量逻辑运算规则逐个比较，并给出比较结果。最终的运算结果是一个维数与矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，关系运算优先级其次，逻辑运算优先级最低。【例题2-3】在0，4区间，求y=
10、cosx的值，要求：消去负半波 区间内的函数值置0。和区间内取值均为。分析：先根据自变量x产生函数y，并按要求对y进行处理解：x=0:pi/300:4*pi;y=cos(x);y1=(x3*pi/2).*y;%题目要求消去负半波 a=(xpi/2&x5*pi/2&x b=a;y2=a*cos(pi/3)+b.*y1;%题目要求处理函数y plot(x,y1,.,x,y2)%将题目函数图形绘制出图2.2 例题2-2运行结果图2.2 例题2-2运行结果2.2.3仿真的一般过程和步骤仿真的一般过程和步骤系统仿真一般分为3个步骤，及仿真建模、仿真实验和仿真分析。这3个步骤往往需要循环执行多次之后才能够
11、获得令设计者满意的仿真结果。（1）仿真模型、（2）仿真实验、（3）仿真分析上述三个步骤在实际分析时应该是一个循环操作，在循环过程中，得到的结果并不十分满意，设计者还需要不断修改仿真模型，不断对取得的实验数据进行分析，直到达到预期目的为止。2.3MATLAB在信号与系统中的应用在信号与系统中的应用2.3.1连续信号系统的分析连续信号系统的分析这里讨论用MATLAB表示和分析连续信号系统的问题，严格地说，分析连续信号系统应该用符号推理方法，而非数值方法。因为数值只能给出采样数据，只有采样数据到达一定密度才能近似模拟连续信号系统。【例题2-4】假定相对于采样点密度而言，信号变化足够慢的情况下。用MA
12、TLAB描述连续信号系统。单位冲激响应 单位阶跃响应 复指数函数解：建立仿真模型 单位冲激响应单位冲激响应函数 可以看作是宽度为 ，数学模型中用 表示，幅度为 的矩形脉冲，即表示在 处的脉冲。()tdt111111 ()()-0tttx ttt （2 2）其它1tt单位阶跃响应 在 处的阶跃可以写成 。即 复指数函数若 ，它是实指数函数，如 ，则为虚指数函数，其余部分为余弦函数，虚部为正弦函数。本例题中令1tt1()u tt11111 ()()2-30 tttx tu ttt（）0()3()(24)ujtx te=00u0.5,10u MATLAB程序clear;clc;t0=0;tf=5;d
13、t=0.005;t1=1;t=t0:dt:t1;st=length(t);n=floor(t1-t0)/dt);%t1的采样信息%单位冲激响应信号%在t1处有一个持续时间为dt,面积为1的脉冲信号，其余时间为0 x1=zeros(1,st);x1(n)=1/dt;%给出t1处的脉冲信号subplot(2,2,1),stairs(t,x1)grid on%绘制图形,图为第一行左1axis(0,5,0,25)%设置图形坐标%单位阶跃响应信号%从t0到tf,在t1前信号为0，从t1处信号跳变为1x2=zeros(1,n-1),ones(1,st-n+1);%产生阶跃信号 subplot(2,2,2)
14、,stairs(t,x2),grid on%绘制图形，图为第一行左2axis(0,5,0,1.5)%设置图形坐标%复指数信号alpha=-0.5;w=10;x3=exp(alpha+j*w)*t);%产生复指数信号 subplot(2,2,3),plot(t,real(x3),grid on%绘制图形，图为第二行左1subplot(2,2,4),plot(t,imag(x3),grid on%绘制图形，图为第二行左2图2-3 例题2-4运行结果 从上图中可以看出，复数指数信号可以分解为余弦信号和正弦信号，它们分别是复数信号的实部和虚部。图中第二行的两个衰减振荡信号就代表 这两个分量的相位差是2
15、.3.2MATLAB在模拟通信链路中的应用在模拟通信链路中的应用【例题2-5】卷积编码器和解码器在模拟通信链路中的应用。解：MATLAB程序及仿真图形EbNo=4.5:.5:7;linEbNo=10.(EbNo(:).*0.1);M=4;codeRate=1/2;constlen=7;k=log2(M);codegen=171 133;tblen=32;%反馈长度 trellis=poly2trellis(constlen,codegen);dspec=distspec(trellis,7);expVitBER=bercoding(EbNo,conv,hard,codeRate,dspec);
16、semilogy(EbNo,expVitBER,g);xlabel(Eb/No(dB);ylabel(BER);title(Performance for R=1/2,K=7 Conv.Code and QPSK with Hard Decision);grid on，axis(4 8 10e-7 10e-3)，legend(Union Bound)%绘制图形并添加标注 图2-4 建立例题2-5QPSK通信系统模型 numSymb=100;numPlot=20;Nsamp=4;%溢出率 EbNoDemo=3;EsN0=EbNoDemo+10*log10(k);seed=654321 12345
17、6;rand(state,seed(1);randn(state,seed(2);msg_orig=randi(0 1,numSymb,1);stem(0:numPlot-1,msg_orig(1:numPlot),bx);axis(0 numPlot-0.2 1.2);xlabel(Time);ylabel(Amplitude);title(Binary Symbols Before Convolutional Encoding);legend off 图2-5 对建立的模型进行二进制编码 msg_enc=convenc(msg_orig,trellis);numEncPlot=numPlo
18、t/codeRate;tEnc=(0:numEncPlot-1)*codeRate;stem(tEnc,msg_enc(1:length(tEnc),rx);axis(min(tEnc)max(tEnc)-0.2 1.2);xlabel(Time);ylabel(Amplitude);title(Binary Symbols After Convolutional Encoding);图2-6 卷积之后的二进制编码 randn(state,seed(2);hMod=modem.pskmod(M,M,PhaseOffset,pi/4,.SymbolOrder,Gray,InputType,Bit
19、);msg_tx=modulate(hMod,msg_enc);msg_tx=rectpulse(msg_tx,Nsamp);msg_rx=awgn(msg_tx,EsN0-10*log10(1/codeRate)-10*log10(Nsamp);numModPlot=numEncPlot*Nsamp/k;tMod=(0:numModPlot-1)/Nsamp*k;plot(tMod,real(msg_tx(1:length(tMod),c-,.tMod,imag(msg_tx(1:length(tMod),m-);axis(min(tMod)max(tMod)-1.5 1.5);xlabel
20、(Time);ylabel(Amplitude);title(Encoded Symbols After QPSK Baseband Modulation);legend(In-phase,Quadrature);图2-7 对信号相移、整形，建立同相和正交分量的无声信号 hDemod=modem.pskdemod(M,M,PhaseOffset,pi/4,.SymbolOrder,Gray,OutputType,Bit);msg_rx_int=intdump(msg_rx,Nsamp);msg_demod=demodulate(hDemod,msg_rx_int);stem(tEnc,msg_
21、enc(1:numEncPlot),rx);hold on;stem(tEnc,msg_demod(1:numEncPlot),bo);hold off;axis(0 numPlot-0.2 1.2);xlabel(Time);ylabel(Amplitude);title(Demodulated Symbols);图2-8 利用INTDUMP and MODEM解调信号msg_dec=vitdec(msg_demod,trellis,tblen,cont,hard);stem(0:numPlot-1,msg_orig(1:numPlot),rx);hold on;stem(0:numPlot
22、-1,msg_dec(1+tblen:numPlot+tblen),bo);hold off;axis(0 numPlot-0.2 1.2);xlabel(Time);ylabel(Amplitude);title(Decoded Symbols);图2-9 利用VITDEC解码信号 cla;load(vitsimresults.mat);semilogy(EbNo,expVitBER,g,EbNo,ratio,b*-);xlabel(Eb/No(dB);ylabel(BER);title(Performance for R=1/2,K=7 Conv.Code and QPSK with Ha
23、rd Decision);axis(4 8 10e-7 10e-3);legend(Union Bound,Simulation Results);grid on;图2-10 卷积运算后结果以上例题简述了MATLAB在信号与系统中的部分应用成果，其它具体的应用实例将在后续章节中陆续给同学们进行详细介绍。习题习题1、与其他高级语言相比，MATLAB有哪些显著特点。答：MATLAB语言有如下特点：友好的工作平台和编程环境。MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。简单易用的程序语言。MATLAB高级编程语言，它包含控制语句、函数、
24、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。强大的科学计算机数据处理能力。MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。出色的图形处理功能。MATLAB有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图，可用于科学计算和工程绘图。2、试说明MATLAB的6种关系运算符。答：MATLAB提供了6种关系运算符：（小于）、（大
25、于）、=（大于或等于）、=（等于）、=（不等于）。3、在MATLAB的三种基本运算中，优先级顺序是什么？答：在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，关系运算优先级其次，逻辑运算优先级最低。4、简述MATLAB系统仿真的一般步骤。答：系统仿真一般分为3个步骤，及仿真建模、仿真实验和仿真分析。这3个步骤往往需要循环执行多次之后才能够获得令设计者满意的仿真结果。（1）仿真模型仿真建模是根据实际系统建立仿真模型的过程，它是整个仿真过程中的一个关键步骤。因为模型建立的好坏直接影响着仿真结果的真实性和可靠性。（2）仿真实验仿真实验是一个或一系列针对仿真模型的测试。在仿真实验过程中，往往需要多次改变模
26、型中输入信号的数值，使得其仿真的输入数据具有一定的代表性，能够尽量的模拟实际模型的输入条件，从而提高系统仿真的效率。（3）仿真分析仿真分析是一个仿真流程的最后一步。在仿真分析过程中，设计者已经获得到足够多的系统信息，但是这些信息仅仅是一些原始数据，还需要进行分析和处理。常用的系统性能尺度包括平均值、方差、标准差、最大值和最小值等等。上述三个步骤在实际分析时应该是一个循环操作，在循环过程中，得到的结果并不十分满意，设计者还需要不断修改仿真模型，不断对取得的实验数据进行分析，直到达到预期目的为止。第第3章章连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析3.1 3.1 连续时间基本信号连续时间基本
27、信号 连续时间信号：连续时间信号：是指在信号的定义域内，任意时刻是指在信号的定义域内，任意时刻都有确定的函数值的信号，通常用都有确定的函数值的信号，通常用f(t)f(t)表示。连续表示。连续时间信号最明显的特点是自变量时间信号最明显的特点是自变量t t在其定义域上除在其定义域上除有限个间断点外，其余是连续可变的。有限个间断点外，其余是连续可变的。连续信号举例连续信号举例3.1.23.1.2 奇异信号奇异信号 奇异信号在我们学习的范围内，主要是阶奇异信号在我们学习的范围内，主要是阶跃信号与冲激信号。跃信号与冲激信号。奇异信号：奇异信号：是指信号本身包含不连续点是指信号本身包含不连续点(幅幅值上的
28、值上的),),或其导数与积分存在不连续点或其导数与积分存在不连续点,而且而且不能以普通函数的概念来定义不能以普通函数的概念来定义,而只能以而只能以 分布分布函数函数 或或 广义函数广义函数 的概念研究的信号。的概念研究的信号。（1 1）阶跃信号阶跃信号:定义定义:阶跃信号又称单位阶跃信号，阶跃信号又称单位阶跃信号，以符号以符号 表示，其定义为表示，其定义为 阶跃信号在阶跃信号在t=0t=0处存在间断点，在此点没处存在间断点，在此点没有定义。有定义。()t10()00ttt 阶跃信号也可延时任意时刻阶跃信号也可延时任意时刻t0t0，以符号，以符号u(t-t0)u(t-t0)表示，对应的表示式为表
29、示，对应的表示式为 0001()0tttttt 阶跃信号可以实现信号的加窗或取单边阶跃信号可以实现信号的加窗或取单边 例如，函数例如，函数 波形表示如下：波形表示如下：0()()()tf tettt 1t0f(t)（2 2）冲激信号）冲激信号 冲激信号记为冲激信号记为(t)(t)，其一般定义式为，其一般定义式为其波形如图所示：其波形如图所示：()00()0()1ttttt dt 0(1)(t)t 冲激信号的作用不一定仅是冲激信号的作用不一定仅是t=0t=0时刻，可以延时刻，可以延时至任意时刻时至任意时刻t t0 0。以符号。以符号(t-t(t-t0 0)表示，定义式为表示，定义式为 (t-t
30、(t-t0 0)=0 tt)=0 tt0 0；(t-t (t-t0 0)t=t)t=t0 0；其其(t-t(t-t0 0)的波形图如下图所示：的波形图如下图所示：0()1tt dt0(1)(t-t0)tt0 冲激信号具有以下重要性质：冲激信号具有以下重要性质：（1 1）抽取特性，以下有四个重要公式：）抽取特性，以下有四个重要公式：()()()t f t dtf t00()()()ttf t dtf t)0()()(fttf)()()(00tftttf （2 2）尺度变换特性）尺度变换特性（3 3）偶函数性：）偶函数性：1()()|atta()()tt函数导数的性质：函数导数的性质：函数的一阶导
31、数为函数的一阶导数为 ，又叫冲激偶，且，又叫冲激偶，且冲激偶为奇函数冲激偶为奇函数 ，即：，即：()()dttdt()()tt()0t dt冲激函数与阶跃函数的关系：冲激函数与阶跃函数的关系：()()tdu t()()du ttdt例例3-3:3-3:信号信号 如图示，求其导数如图示，求其导数 解：解：()f t()f t3.1.23.1.2 正弦信号正弦信号定义：正弦信号一般定义式为定义：正弦信号一般定义式为()sin()f tKt 其中其中K K为振幅、为振幅、为角频率、为角频率、为初始相为初始相位，振幅、角频率、初始相位为正弦信号的位，振幅、角频率、初始相位为正弦信号的三要素。其波形如下
32、图所示：三要素。其波形如下图所示：欧拉欧拉(Euler)(Euler)公式：公式：cos()sin()cos()sin()1cos()()21sin()()2j tj tj tj tj tj tetjtetjtteeteej3.1.33.1.3 指数信号指数信号()etf tK正弦信号，其一般定义式为正弦信号，其一般定义式为当当 时，时，为直流信号；，为直流信号；当当 ，是递增函数，既此时指是递增函数，既此时指数信号是发散信号；当数信号是发散信号；当 时，时，是递减函数，既此时指数信号是收敛信号，是递减函数，既此时指数信号是收敛信号，当趋于无穷时，信号无限接近于零。其波当趋于无穷时，信号无限接
33、近于零。其波形如图形如图3.73.7所示：所示：0()f tK0()f t0()f t0t 00()=tetf t单边指数信号：单边指数信号：其波形如图所示：其波形如图所示：3.1.43.1.4 连续信号的连续信号的MATLABMATLAB表示表示 1 1、阶跃信号、阶跃信号用符号函数用符号函数sgn(t)sgn(t)来生成阶跃函数，即来生成阶跃函数，即而而 可调用可调用MATLABMATLAB中的符号函数中的符号函数sign(t)sign(t)来实现。来实现。11()sgn()22ttsgn()t。命令如下：命令如下：t=-5:0.05:5;t=-5:0.05:5;f=sign(t);f=s
34、ign(t);plot(t,y),axis(-5,5,-0.1,1.1plot(t,y),axis(-5,5,-0.1,1.1绘制出符号函数的波形，如图所示绘制出符号函数的波形，如图所示 2 2、单位阶跃信号、单位阶跃信号 首先需要在在自己工作的目录首先需要在在自己工作的目录workwork下创建下创建M M文件，文件，编辑冲激函数，命令如下编辑冲激函数，命令如下function chongji(t1,t2,t0)function chongji(t1,t2,t0)dt=0.01;dt=0.01;t=t1:dt:t2;t=t1:dt:t2;n=length(t);n=length(t);x=z
35、eros(1,n);x=zeros(1,n);x(1,(-t0-t1)/dt+1)=1/dt;x(1,(-t0-t1)/dt+1)=1/dt;stairs(t,x);stairs(t,x);axos(t1,t2,0,1.2/dt)axos(t1,t2,0,1.2/dt)title(title(单位冲激信号单位冲激信号（t t）)下面调用下面调用chongjichongji函数绘制函数绘制(t)(t)，MATLABMATLAB调用命令为：调用命令为：chongjie(-1,5,0)chongjie(-1,5,0)波形如下图所示：波形如下图所示：15t 3 3、正弦信号、正弦信号 我们用我们用MA
36、LABMALAB绘制正弦信号绘制正弦信号当当 ，的时域波形，对应的的时域波形，对应的MATLABMATLAB命令如下：命令如下：f=sym(3f=sym(3*sin(w)sin(w)*t)t)f1=subs(f,w,pi/2)f1=subs(f,w,pi/2)ezplot(f1,0,4ezplot(f1,0,4*pi)pi)f=subs(f2,w,pi)f=subs(f2,w,pi)ezplot(f2,0,4ezplot(f2,0,4*pi)pi)f3=subs(f,w,3/2f3=subs(f,w,3/2*pi);pi);ezplot(f3,0,4ezplot(f3,0,4*pi)pi)()
37、sin()f tt2 32绘制的正弦信号时域波形如图所示：绘制的正弦信号时域波形如图所示：4 4、指数信号、指数信号下面用下面用MATLABMATLAB来绘制指数信号，当来绘制指数信号，当 ，,时的时域波形，对应的时的时域波形，对应的MATLABMATLAB命令为：命令为：f=sym(exp(a)f=sym(exp(a)*t);t);f1=subs(f,a,-1);f1=subs(f,a,-1);ezplot(f1,-2,2);ezplot(f1,-2,2);f2=subs(f,a,1);f2=subs(f,a,1);ezplot(f2,-2,2);ezplot(f2,-2,2);f3=sub
38、s(f,a,0);f3=subs(f,a,0);ezplot(f3,-2,2);ezplot(f3,-2,2);()eatf t 1a 0a1a 仿真波形如图所示：仿真波形如图所示：3.23.2 卷积积分卷积积分 卷积积分是现代电路与系统分析的重要工具，卷积积分是现代电路与系统分析的重要工具，也是研究系统中信号传递规律的关键所在。如图为也是研究系统中信号传递规律的关键所在。如图为图像经过卷积变换后的效果。图像经过卷积变换后的效果。3.2.13.2.1 卷积的定义：卷积的定义：设有定义在设有定义在 的两个函数的两个函数 和和 ，则积，则积分分 为为 和和 的卷积积分，的卷积积分，简称卷积。简记为
39、简称卷积。简记为 定义式中的定义式中的 为积分变量，积分结一般是关于为积分变量，积分结一般是关于参数变量参数变量t t的函数的函数y(t)y(t)。,1ft 2ft 12y tfftd 1ft 2ft 12y tftft3.2.23.2.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 图解卷积的具体步骤图解卷积的具体步骤:例例3535已知信号已知信号 与与 的波形如图所示，试计算其的波形如图所示，试计算其卷积卷积()f t()h t()()()y tf th t1.1.对于图对于图3.153.15所示所示 和的和的 波形，把波形，把 变为变为 ，得到得到 和和 的图形。如下图所示。的图形。如下图所示。()f
40、 t()h tt()f()h2.2.以纵轴为基准反褶以纵轴为基准反褶 得到得到 ，如下图所示。，如下图所示。()h()h3.3.把把 的图形沿的图形沿 轴平移轴平移 ,得到得到 ，如下图，如下图所示。所示。()ht()h t4.4.将将 与与 相乘，求其面积。相乘，求其面积。是连续变量，是连续变量，相当于相当于 的图形从左向右连续扫描，从而的图形从左向右连续扫描，从而 的的“面积面积”是随着是随着 的变化而变化的。将的变化而变化的。将t t分成不分成不同的区间，分别计算其卷积积分的结果，如下图所同的区间，分别计算其卷积积分的结果，如下图所示。示。()f()h tt()h t()h()()fh
41、tt3.2.33.2.3 卷积性质卷积性质1 1、代数性质：卷积积分是一种线性运算，它具有以、代数性质：卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。下基本特征。（1 1）交换律：）交换律：说明两信号的卷积积分与次序无关，也就是说系统输说明两信号的卷积积分与次序无关，也就是说系统输入信号入信号f(t)f(t)与系统的冲激响应与系统的冲激响应h(t)h(t)可以互相调换，可以互相调换，其零状态响应不变。其零状态响应不变。1221ftftftft （2 2）结合律：）结合律：结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应等于各子系统冲激响应的卷积，如下图所示
42、等于各子系统冲激响应的卷积，如下图所示 123123ftftftftftft（3 3）分配律：）分配律：分配律在系统分析中，相当于并联系统的冲激响应分配律在系统分析中，相当于并联系统的冲激响应等于各子系统的冲激响应之和，如图所示：等于各子系统的冲激响应之和，如图所示：1231323ftftftftftftft微积分性质：微积分性质：若若则则任意信号任意信号 与冲激信号与冲激信号 卷积恢复卷积恢复 本身，即本身，即 由微分性质，有由微分性质，有即信号即信号 与冲激信号导数的卷积等于与冲激信号导数的卷积等于 的导数。的导数。12y tftft 1212y tftftftft f t t f t f
43、 ttf t f ttft f t f t积分性质：积分性质：若若则则任意信号任意信号 与阶踟信号的卷积等于与阶踟信号的卷积等于 的积分，即的积分，即延时性质：延时性质：若若则则 12y tftft 1111212ytftftftft f t f t tf ttfd 12y tftft 11221212f ttttf tttty tttttt3.2.43.2.4 常用信号的卷积公式常用信号的卷积公式1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.6.6.00f tttf tt1212tf ttttf ttt f ttft tf ttfd kkf ttft 00kkf tttftt 3.3 LTI3.3
44、 LTI 系统的微分方程系统的微分方程 1.1.元件约束条件元件约束条件VARVAR 在电流、电压取关联参考方向条件下：在电流、电压取关联参考方向条件下：(1)(1)电阻电阻R R，u(t)=Ri(t)u(t)=Ri(t)；(2)(2)电感电感L L，(3)(3)电容电容C C，(4)(4)互感互感(同、异名端连接同、异名端连接)、理想变压器等原、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。副边电压、电流关系等。00()1(),()()tLLLLLtditutLiituddtL00()1(),()()()tCCCCCtdutitCututiddtC2.2.电路结构约束条件电路结构约束条件KCLKCL
45、与与KVLKVL。例例3-7 3-7 下图所示电路，输入激励是电流源下图所示电路，输入激励是电流源iS(t),iS(t),试列出以电流试列出以电流iL(t)iL(t)为输出响应变量为输出响应变量的方程式。的方程式。iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L解：由解：由KVLKVL，列出电压方程，列出电压方程对上式求导，考虑到对上式求导，考虑到 11()()()()CCCdutitCRitu tdt122()()()()()()CLLLLutu tutR i tdi tLR i tdt211221()()()1()LLdi tditdi tu tLRRCdtdtdt根据根据KCLKCL，
46、有，有 ，又因又因 ，故故 ，整理上式后，可得整理上式后，可得SL()()-()Citi t i t1()()ci ti t11 1()R()u ti t11 C()R()u ti t1 C1SLR()R ()-()iti t i t3.43.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应，用系统的初始状态所引起的响应，用 表示；零状表示；零状态响应是系统的初始状态为零态响应是系统的初始状态为零(即系统
47、的初始储能即系统的初始储能为零为零)时，仅由输入信号所引起的响应，用时，仅由输入信号所引起的响应，用 表表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即应和零状态响应之和，即 经微分方程的经典求解过程，导出其零输入响应的通经微分方程的经典求解过程，导出其零输入响应的通式为式为其中其中n n为微分方程阶数；为微分方程阶数；为待定常数，可根据方程为待定常数，可根据方程初始条件求得，初始条件求得，为特征根。为特征根。y()zitzsy()tzsy(t)=y()y()zitt1()intziiiytc eici 3.4.1 3.4.1 系
48、统初始条件系统初始条件 前面提到了求解系统零输入响应通式，若想求前面提到了求解系统零输入响应通式，若想求得某系统的零输入响应就需要确定响应中的各参数，得某系统的零输入响应就需要确定响应中的各参数，即为待定常数，即为待定常数，为特征根。为特征根。首先说首先说 为待定常数，其值是由微分方程的初为待定常数，其值是由微分方程的初始条件，也就是系统的初始条件求得。在电路基础始条件，也就是系统的初始条件求得。在电路基础课程中，我们曾经学过关于动态电路中，系统的初课程中，我们曾经学过关于动态电路中，系统的初始条件，指的是系统换路后瞬间各元件包括储能元始条件，指的是系统换路后瞬间各元件包括储能元件（电容、电感
49、），上的电压或电流值。在这个问件（电容、电感），上的电压或电流值。在这个问题上，我们最好在来看一下经典的换路定律，若换题上，我们最好在来看一下经典的换路定律，若换路发生在路发生在t=t0t=t0时刻，有时刻，有 此定律的主要依据是储能元器其能量在换路前后此定律的主要依据是储能元器其能量在换路前后不能突变，对于电容来说其能量反映在其电压值上，不能突变，对于电容来说其能量反映在其电压值上，对于电感来说其能量反映在电流上。对于电感来说其能量反映在电流上。iciic(0)(0)(0)(0)CCLLuuii3.4.23.4.2 简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应例例3838如图如图(a)(a)所示
50、的电路，已知所示的电路，已知L=2HL=2H，C=0.25FC=0.25F，R1=1R1=1，R2=5R2=5；电容上初始电压；电容上初始电压 =3V,=3V,电感初电感初始电流始电流 =1A =1A；激励电流源；激励电流源iS(t)iS(t)是单位阶跃函数，是单位阶跃函数，即即iS(t)=iS(t)=。试求分别求出电感电流。试求分别求出电感电流 的零输入的零输入响应。响应。(0)Cu(0)Li()t()Li tuC(t)uL(t)iS(t)iL(t)R1R2CR1R2uCx(0)iLx(0)uLx(0)3 V1 AiS(0)R1R2iLf(0)uLf(0)(a)(b)(c)解：解：若以若以
