1、函数的函数的极值极值及其求法及其求法小结小结 思考题思考题 作业作业最大值最小值问题最大值最小值问题第五节第五节 函数的函数的极值极值与与 最大值最小值最大值最小值第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用(extreme value)1定义定义,0的某邻域内的某邻域内若在若在x),()(0 xfxf 或或的一个的一个为函数为函数则称则称)()(0 xfxf)()(0 xfxf 极大值极大值(或极小值或极小值),函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点.恒有恒有极小值极小值(minimal value)极大值极大值(maximal valu
2、e)函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0(自变量自变量)称为称为21x2x3x4x5x6x函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的.在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的 xyOab)(xfy 3定理定理1 1(必要条件必要条件)注注如如,3xy ,
3、00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x(1)处处取取得得在在点点如如果果函函数数0)(xxf,0处可导处可导且在且在x的的叫做函数叫做函数为零的点为零的点使导数使导数)()(xfxf 驻点驻点.可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2.极值的必要条件极值的必要条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值必是必是驻点驻点,费马引理费马引理.如果函数如果函数处处在在0)(xxf可导可导,0)(xxf在在且且处取得极值处取得极值,那么那么.0)(0 xf则必有则必有极值极值,3xy xyO 0()0fx4xyO32xy 极值点也可能是导
4、数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如,32xy 32xy 但但 怎样从怎样从驻点驻点中中与与导数不存在导数不存在的点判断一点的点判断一点单减的分界点单减的分界点,(2)不可导不可导.0 x是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点若若 x0 是连续函数是连续函数 f(x)单增、单增、则则 x0必为极值点必为极值点.几何上几何上,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 0 x在在5定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)且在且在点连续点连续在在设设,)(0 xxf,),()1(00时时若当若当xxx 0)(xf);0(,),(00时时当当 xxx0)(xf),0(则则)
5、(0 xf为为极大值极大值,)()2(0附近不变号附近不变号在在若若xxf )(0 xf则则不是极值不是极值.(极小值极小值);极值的一阶充分条件极值的一阶充分条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值3.极值的充分条件极值的充分条件xyO0 x xyO0 x .),(0o0内内可可导导的的某某去去心心邻邻域域 xUx60 x0 x 一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数;求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点不是极值点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 x
6、yOxyO732)1()(xxxf的极值的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大值点，其极大值为0)0(f是极小值点，其极小值为52x例例求函数求函数33.0)(52f8例例解解.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf322)1()1(3)(xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1(xxx(1)(2)驻点驻点:,1 x导数不存在的点导数不存在的点:.117
7、 x.1 x(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值9x)(xf)(xf),1(1)117,1(117)1,117(1)1,(0非极值非极值极小值极小值0)1(f极极小小值值2.2)117(f极大值极大值 0 不存在不存在极大值极大值驻点驻点:,1 x导数不存在的点导数不存在的点:,117 x.1 x.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1(xxx函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值单调增加区间
8、单调增加区间:).,1 ,117,1 ,1,(单调减少区间单调减少区间:).1,117(10定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证,0)(0 xf如果如果极大值极大值(极小值极小值).为为则则)(0 xf0)(0 xf),0(极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件 )(0 xf,0 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 由极限的保号性由极限的保号性.0)(0 xxxf可见可见,)(xf 与与0 xx 异号异号.,0 xx 当当;0)(xf,0 xx 当当.0)(xf所以所以,.)(0处取极大值处取极大值在点在点xxf 对于对于驻点驻点,有时还可以利用函数在
9、该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点.自己证极小值情形自己证极小值情形.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值,00时当xx11例例解解.20243)(23的极值的极值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf得得驻驻点点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f18)4(f故极大值故极大值,60 )2(f18)2(f故极小值故极小值.48 .2,421 xx因为因为,0,0 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值12注注,0)(0时时 xf仍用第一充分条件仍用第一充分条件函数的极值与最大值最大值函数
10、的极值与最大值最大值定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)不能不能应用应用.事实上事实上,0)(0 xf当当,0)(0时时 xf处处在点在点0)(xxf可能有极大值可能有极大值,也可能有极小值也可能有极小值,也可能没有极值也可能没有极值.如如,)(41xxf ,)(42xxf 33)(xxf 处处在在0 x分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况.13例例解解.)2(1)(32的极值的极值求求 xxf)2()2(32)(31 xxxf,2时时当当 x时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf1)2(f.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf.)(不存在不存在xf 32)
11、2(1)(xxf所以所以,.)(的的极极大大值值为为xf函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值第一充分条件第一充分条件xyO1214充分条件来判定有无极值充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值可用第二充分条件判断有无极值.运用第一、第二充分条件需要注意运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时若函数有导数不存在的点时,则可用第一则可用第一(1)(2)则则函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值15定理定理4 4 )()()(000 xfxfxf设设,0)(0)(xfn,3,2 n)1
12、(),0(的的是是则则)()(0 xfxf极大极大 值值.0)(0)(xfn若若(小小)2(.)()(0的极值的极值不是不是xfxf,为偶数时为偶数时当当n,为奇数时为奇数时当当n如如,)(2xeexfxx 则则,2)(xeexfxx ,0)0(f,0)(0)1(xfn,2)(xxeexf,0)0(f,)(xxeexf ,0)0(f,)()4(xxeexf .02)0()4(f.)(0的极小值点的极小值点为为xfx 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值16设设)(xfy 是方程是方程的一的一解解,若若,0)(0 xf且且,0)(0 xf则则)(xf在在)(0 x(A)取得极大值取得
13、极大值(B)取得极小值取得极小值(C)在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加(D)在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少提示提示0 x得得)(4)(00 xfxf A函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值0 利用方程利用方程,代入代入042 yyy17baabab函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题1.1.最值的求法最值的求法xyOxyOxyO18(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值将闭区间将闭区
14、间a,b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点区间端点的的就是就是 f(x)最值必在端最值必在端(2)点处达到点处达到.点点(即为即为极值嫌疑点极值嫌疑点)处的函数值和处的函数值和函数值函数值 f(a),f(b)比较比较,在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值值.当当 f(x)在闭区间在闭区间a,b上上单调单调时时,19上的上的在在求函数求函数3,0|2|)(xexxf 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值解解 32)2(20)2()(xexxexxfxx 32)1(20)1()(xexxexxfxx,)3,0(内内在在驻点驻点:导数不存在的点导数不存在
15、的点:,1 x,2 x,2)0(f,)3(3ef,)1(ef,0)2(f最大值最大值最小值最小值最大值与最小值最大值与最小值.例例20例例解解上的上的在在求函数求函数2,2)1()(31232 xxxf.最大值与最小值最大值与最小值因因3223134322)1(3)1(2 xxxx驻点驻点:,21 x导数不存在的点导数不存在的点:,0 x.1 x函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值xxxxf2)1(3132)(32231 21仅需计算仅需计算:,1)0(f.34)2(33 f,1)1(f比较得比较得:因因上的上的在在求函数求函数2,2)1()(31232 xxxf.最大值与最小值最
16、大值与最小值是偶函数是偶函数,)(xf,43最大值最大值为为最小值最小值为为.3433,4)21(3 f122 21 21函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值驻点驻点:,21 x导数不存在的点导数不存在的点:,0 x.1 xxyO22(3),0 x)(0 xf且且在在就是就是则则)()(0 xfxf(4)函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 若连续函数若连续函数 f(x)在区间在区间I内只有内只有一个极值点一个极值点为极大为极大(小小)值值,区间区间 I上的最大上的最大(小小)值值.对实际问题常常可事先断定最大对实际问题常常可事先断定最大(小小)值必在值必在区间内部取得
17、区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值值.23实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值即为所求的最大值即为所求的最大(小小)值值.24Ozyx例例解解hrV22 目标函数目标函数,222Rhr 由由得得,)(222hhRV Rh 0)3(222hRVh h2hrR2.应用举例应用举例(1)(2)求最大值点求
18、最大值点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值半径为半径为R.求内接于球的圆柱体的最大体积求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设球的设圆柱体的高为设圆柱体的高为2h,底半径为底半径为r,体积为体积为V,25 圆柱体的最大体积一定存在圆柱体的最大体积一定存在,故故唯一驻点唯一驻点3Rh 就是最大值点就是最大值点,最大体积为最大体积为3)3(222RRRV 3334R 令令,0 hV得得3Rh (舍去负值舍去负值)唯一驻点唯一驻点)3(222hRVh 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值26例例敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1公里公里/分的速分的速度向正北
19、逃窜，同时我军摩托车从河的南岸度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处处向正东追击，速度为向正东追击，速度为2公里公里/分问我军摩托车何分问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？时射击最好（相距最近射击最好）？北北南南西西东东解解建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()15.0()(ttts )(ts(1)公公里里5.0公里公里4 AB)(ts2.应用举例应用举例2722)24()5.0()(ttts .)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5.0
20、(5.7522ttt ,0)(ts令令得得唯一驻点唯一驻点.5.1 t处发起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从B.5.1分分钟钟射射击击最最好好函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值北北南南西西东东公公里里5.0公里公里4 AB)(ts28(k 为某一常数)AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20AB100C解解:设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000(x,)34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得,15x又,015 xy所以
21、 为唯一的15x极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问DKm,公路,例例.铁路上铁路上 AB 段的距离为段的距离为100 km,工厂工厂C 距距 A 处处2029例例大大所围成的三角形面积最所围成的三角形面积最及及与直线与直线使曲线在该点处的切线使曲线在该点处的切线上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解 如图如图,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)
22、16,8(200 xxB),0,8(C ABCS)80(0 x21)218(0 x)16(200 xx 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值xyOABCTP 30 282800200 xxxSx解得解得,3160 x274096)316(S故故)16)(218(212000 xxxSABC 160 x).(舍去舍去唯一驻点唯一驻点200)28(xx 2382800 xx令令,00 xS因这样的面积有最大值因这样的面积有最大值,2316,316P点点为所求为所求.为所有三角形中面积的最大值为所有三角形中面积的最大值.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值31三、小结三、小结
23、函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得.极值的极值的判别法判别法第一充分条件第一充分条件;(合适选择好用合适选择好用极值极值:局部性局部性概念概念;极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.极值极值与与最值最值的区别的区别最值最值:整体性整体性概念概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.第二充分条件第二充分条件,哪个充分条件可简化计算、注意使用条件哪个充分条件可简化计算、注意使用条件).32第六节第六节一、一、曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、函数图形的描绘函数
24、图形的描绘函数图形的描绘 第三三章 332xy 无渐近线.点 M 与某一直线 L 的距离距离趋于 0,一、一、曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义.若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线.例如,双曲线12222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo341.水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by)(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.0 xx)(0 xx或例例1.求曲线211xy的渐近线.解解:2)211(limxx
25、2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直垂直渐近线.21352.斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或36;)(lim)1(不存在不存在xxfx()(2)lim,xf xkx存在.)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解).,1()1,(注注)(lim1xfx,.1是曲线的铅直渐近
26、线是曲线的铅直渐近线 x如果如果lim(),xf xkx但不存在lim()xbf xkx()lim,xf xkx定义域定义域函数图形的描绘函数图形的描绘37例2.求曲线求曲线3223xxxy的渐近线.解解:,)1)(3(3xxxy,lim3yx)1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线.38函数图形的描绘函数图形的描绘的渐近线，的渐近线，曲线曲线)2)(1(|xxxxy共有共有)(B)(A选择题选择题:1条条.)(D2条条.)(C3条条.4条条.39二、函数图形的描绘步骤步骤:1.
27、确定函数)(xfy 的定义域,期性;2.求,)(,)(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为 0 和不存在的点;并考察其对称性及周40例3.描绘描绘22331xxy的图形.解解:1)定义域为,),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,()1,0()2,1(),2(00234(极大极大)(拐点拐点）32(极小极小)4)xy133220机动 目录 上页 下页 返回 结束 123141例例.21)(22的图形的图形作函数作函数xex
28、解解),(:D偶函数偶函数,图形关于图形关于y 轴对称轴对称.,2)(22xexx ,0)(x 令令,0 x得驻点得驻点,0)(x 令令.1,1 xx得得点点.4.021)(0:xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex ,0.0 y水水平平渐渐近近线线函数图形的描绘函数图形的描绘42x),1()1,0()(x )(x 0)(x 01 极大值极大值 210拐点拐点)21,1(e ,2)(22xexx 222)1)(1()(xexxx 函数图形的描绘函数图形的描绘.0 y水水平平渐渐近近线线,0)(x,0 x驻点驻点,0)(x.1,1 xx得得,21)(22xex xyO 21 1 1 432.1xyx作函数的图形函数图形的描绘函数图形的描绘44水平渐近线;垂直渐近线;内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘45思考与练习 1.曲线)(1122xxeey(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD46
