1、2.2 函数的基本性质yxo考察下列两个函数考察下列两个函数:()f xx2()(0)f xxx （1 1）；(2)(2)xyo对于对于函数函数定义域定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 ,则称函数则称函数 在区间在区间D上是增函数上是增函数(increasing function).()f x12,x x1x2x1()f x2()f x2.2.1 单调性2()(1)f xx()f x如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上是增函数或减函数，则上是增函数或减函数，则称函数称函数在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格
2、的）单调性单调性，区间，区间D叫做函数的叫做函数的单调区间单调区间.那么二次函数那么二次函数 的单调区间如何？的单调区间如何？例例1 如图如图 是定义在闭区间是定义在闭区间-5，6上的函数上的函数 的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出 的单调区间，以的单调区间，以及在每一单调区间上，函数及在每一单调区间上，函数 是增函数还是增函数还是减函数是减函数.-5 5-3 31 13 36o ox xy y()yf x()yf x()yf x2.2.2函数的最值(maximum value;minimum value)观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：图图1ox0 xMy思考思考1:函
3、数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？思考思考2:设函数设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则，则对函数定义域内任意自变量对函数定义域内任意自变量x，f(x)与与M的大小关系的大小关系如何？如何？yxox0图图2M一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 ,都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 .那么称那么称M是函数是函数 的最大值，记作的最大值，记作()yf x0()f xM()f xM0 xIxI()yf xmax()f xM图图
4、1yox0 xm观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：xyox0图图2m思考思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？的最小值？()f x一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果如果存在实数存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有都有f(x)M;（2）存在存在x0I，使得使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 例
5、1.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则)1)(1()(2)1)(1()1()1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf 由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函数 是区间2,6上的减函数.12xy 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.12xy12xy1偶函数偶函数(even function)一般地，对于函数一般地，对于函数 f
6、(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都都有有 f(x)=f(x)，那么，那么 f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数例如，函数 都是偶都是偶 函数，它函数，它们的图象分别如下图们的图象分别如下图(1)、(2)所示所示.222()1,()1f xxf xx2.3 2.3 函数的奇偶性函数的奇偶性(even function;odd function)观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发，你能发现现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f
7、(1)实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时这时我们称函数我们称函数y=x为为奇函数奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(-x)=-f(x)，那么那么f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数 注意：注意：(1)(1)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则则x也一定是定
8、义域内的一个自变量（即也一定是定义域内的一个自变量（即定义域定义域关于原点对称）关于原点对称）2奇函数奇函数(odd function)(2)(2)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立有成立.若若f(x)f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立有成立.(3)如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我是奇函数或偶函数，那么我们就说函数们就说函数f(x)具有具有奇偶性奇偶性.(4)用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤：先求定义域，看是否关于原点对称；
9、先求定义域，看是否关于原点对称；再判断再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.3,1,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22xxxfxxfxfxfxxfxxxf 例例:判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：3.奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于、偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于反过来，
10、如果一个函数的图象关于y轴对称，轴对称，那么就称这个函数为偶函数那么就称这个函数为偶函数.说明说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性例例 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图象轴右边的图象如下图，画出在如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0解：画法略相等相等xy0相等相等本课小结本课小结1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,如果都有如果都有f(x)=-f(x)f(x)为奇为奇函数函数 如果都有如果都有f(x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质：、两个性质：一个函数为奇函数一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数一个函数为偶函数 它的图象关于它的图象关于y轴对称轴对称
