1、安徽省岳西中学 余德水2.3数学归纳法数学归纳法2、当n=0，1，2，3时，代数式n-n+5的值是质数。的值是质数。猜想：对于所有自然数猜想：对于所有自然数n,n-n+5的值是质数。的值是质数。问题情境问题情境1:袋中有袋中有5个乒乓球，如何证明它们都是白色的？个乒乓球，如何证明它们都是白色的？完全归纳法完全归纳法 不完全归纳法不完全归纳法 思考思考:如果如果an是一个等差数列，怎样是一个等差数列，怎样得到得到 an=a1+(n-1)d?a1=a1=a1+0 d,a2=a1+d=a1+1 d,a3=a2+d=a1+2 d,an=?归纳归纳 an=a1+(n 1)d抽象：抽象：问题情境问题情境体
2、验思考多米诺骨牌多米诺骨牌观察观察“多米诺骨牌多米诺骨牌”游戏，探究骨牌全部倒下的条件游戏，探究骨牌全部倒下的条件直观直观：必须推倒其中一块；前一块倒下要确保碰后一块。抽象抽象：推倒第n n0 0块(n n0 0=1或2等)从第n n0 0块起,假设第一块“倒下”，一定能使后一块也“倒下”。换种说法：假设第k块“倒下”(k n n0 0,kN)，那么第k+1块“倒下”。体验思考类比迁移类比迁移当当n=1时，时，a1=a1+0 d成立成立假设假设ak=a1+(k 1)d成立那么成立那么ak+1=a1+(k+1)1 d成立成立命题命题an=a1+(n 1)d成立成立.第第1张骨牌倒下张骨牌倒下.假
3、设第假设第k张骨牌倒下张骨牌倒下保证第保证第k+1张倒下张倒下第第n张骨牌倒下张骨牌倒下骨牌倒下骨牌倒下命题成立命题成立证明一个与自然数证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步有关的命题，可按下列步骤进行骤进行（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题时命题成立成立;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.根据由根据由(1),(2)(1),(2)可知道，命题对从可知道，命题对从n n0 0开始的所有开始的所有正整数都成立。
4、正整数都成立。这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法【归纳递推归纳递推】【归纳奠基归纳奠基】方法应用方法应用例1.用数学归纳法证明：首项为a1,公差为d的等差数列的 通项公式为:an=a1+(n1)d (nN).证明（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0d，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，即 ak=a1+(k1)d 由(1)(2)可知,等式对一切nN成立.第一步是证明一个真实的命题，通常是用验证的方法来完成；第二步是证实一个有效的推理，由“ak=a1+(k1)d”要能推出“ak+1=a1+(k+1)1d”，这相当于做一个条件等式的证明题“若则
5、”.证明格式=a1+(k1)d+d=a1+(k+1)1d 那么 ak+1=ak+d 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。6)12)(1(3212222 nnnn用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：方法应用方法应用证明：(1)n=1时，左边=311那么,(2)假设n=k（kN*)时等式成立，即 右边=1121等式成立。1212121751531311kkkk3212112121751531311kkkk3212112kkkk321kk即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立。1212121751531311nnnn练习：用数学归纳法证明2假设n=k（kn0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立，（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题.（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：1验证n=n0（n0为命题允许的最小正整数）时，命题成立由1和2对任意的nn0,nN*命题成立课堂小结课堂小结重点：重点：两个步骤、一个结论两个步骤、一个结论；注意注意：递推基础不可少递推基础不可少，归纳，归纳假设假设要用要用到到，结论结论写明莫忘掉。写明莫忘掉。
