1、奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据20122012年年9 9月月一、奈奎斯特稳定性判据一、奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特围线是如下点的集合：奈奎斯特围线是如下点的集合：s s平面上平面上 轴上除轴上除了极点外所有点的集合，加上了极点外所有点的集合，加上 轴上极点处半径轴上极点处半径为无穷小右半圆上点的集合，再加上右半为无穷小右半圆上点的集合，再加上右半s s平面半平面半径为无穷大半圆上点的集合。径为无穷大半圆上点的集合。【1 奈奎斯特围线奈奎斯特围线】jj【2 奈奎斯特曲线奈奎斯特曲线】奈奎斯特曲线是奈奎斯特曲线是s s平面上奈奎斯特围线，按平面上奈奎斯特围线，按 规则在平面规则在平面 上的影射
2、。上的影射。()()G s H s()()G s H s一、奈奎斯特稳定性判据一、奈奎斯特稳定性判据在给定系统的半奈奎斯特曲线及开环传递函数在给定系统的半奈奎斯特曲线及开环传递函数 在右半在右半s s平面极点的个数平面极点的个数P P，可利用奈奎，可利用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性。负反馈闭环斯特稳定性判据判定系统的稳定性。负反馈闭环系统，当其开环频率特性不通过系统，当其开环频率特性不通过GHGH平面上点平面上点 时，则闭环传递函数位于时，则闭环传递函数位于s s右半平面极点的个数为右半平面极点的个数为【3 奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据】()()G s H s(1,j0)(1)一
3、、奈奎斯特稳定性判据一、奈奎斯特稳定性判据式中：式中：P 开环传递函数位于右半开环传递函数位于右半s s平面极点的个平面极点的个 数；数；半奈式曲线逆时针方向穿越点半奈式曲线逆时针方向穿越点 左左 侧实轴的次数。而逆时针起始于或终止侧实轴的次数。而逆时针起始于或终止 于点于点 左侧实轴的次数，折半计算左侧实轴的次数，折半计算 半奈式曲线顺时针方向穿越点半奈式曲线顺时针方向穿越点 左左 侧实轴的次数。而顺时针起始于或终止侧实轴的次数。而顺时针起始于或终止 于点于点 左侧实轴的次数，折半计算左侧实轴的次数，折半计算 Z 闭环传递函数，位于右半闭环传递函数，位于右半s s平面极点的平面极点的 个数，
4、即特征方程位于右半个数，即特征方程位于右半s s平面根的平面根的 个数。个数。【3 奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据】N(1,j0)(1,j0)N(1,j0)(1,j0)一、奈奎斯特稳定性判据一、奈奎斯特稳定性判据【3 奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据】由式（由式（1 1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)由式（由式（1 1）还可知：渐近稳定的必要条件是）还可知：渐近稳定的必要条件是 ；发散不稳定的充分条件是发散不稳定的充分条件是 。NNNN当开环频率特性通过当开环频率特性通过GHGH平面上点时，且当曲线平面上点时，且当曲线在点在点 左右作微
5、小移动时，会使系统由渐近左右作微小移动时，会使系统由渐近稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定变成渐近稳定，系统称为临界稳定。变成渐近稳定，系统称为临界稳定。(1,j0)开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制)(),(A3)曲线变化范围：曲线变化范围：由表达式取点，计算，描点。由表达式取点，计算，描点。概略曲线概略曲线 工程方法。工程方法。精确曲线精确曲线概略幅相曲线的三要素：概略幅相曲线的三要素：0 1）起点：）起点：终点：终点：2)与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率x；象限，单调性。象限，单调性。一、奈奎
6、斯特稳定性判据一、奈奎斯特稳定性判据【4 Nyquist相曲线的绘制相曲线的绘制】对应的对应的 0)()(jGjG 1 起点起点)()1()1()()(11nmsTssKsHsGiniimi 0 1 2 3 4 3 2 1 K02 终点终点mn mn 1 mn2 mn4 mn3 mnKjHjG)0()0(090)0()0(jHjG0180)0()0(jHjG0270)0()0(jHjG0360)0()0(jHjG0)()()(11 jHjGTKAiniimi)(90)()(0)(mnjHjGA 对应的对应的 )()(jGjG 4一、奈奎斯特稳定性判据一、奈奎斯特稳定性判据 3 与实轴的交点与实
7、轴的交点0)(xV 4 4 曲线变化范围（象限及单调性）曲线变化范围（象限及单调性）:K:K:11 Ts:11 Ts:1 Ts:1 Ts:1)/(2)/(12 nnss :1)/(2)/(12 nnss :1222 ssnn :1222 ssnn :1s:s穿越频率穿越频率x 0000 00900 00900 01800 01800009090 009090 00180180 00900 00900 01800 01800 当当 G(j)H(j)包含非最小相位环节或包含非最小相位环节或一阶、二阶微分环节时，幅相曲线上会一阶、二阶微分环节时，幅相曲线上会有凹凸点，即相角不会单调减少。有凹凸点，即
8、相角不会单调减少。.2,1,0,)(kkx 一、奈奎斯特稳定性判据一、奈奎斯特稳定性判据二、对数频率特性稳定性判据二、对数频率特性稳定性判据在给定负反馈闭环系统的开环传递函数右半在给定负反馈闭环系统的开环传递函数右半s s平面极平面极点个数点个数 P 及对数幅频特性、相频特性，且及对数幅频特性、相频特性，且 时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的稳定性。基于稳定性。基于BodeBode图和基于图和基于NyquistNyquist图的两种稳定性图的两种稳定性判据是一致的，只是坐标系不同而已。判据是一致的，只是坐标系不同而已。(3)()(21)18
9、0ck 负反馈闭环系统，位于右半负反馈闭环系统，位于右半s s平面极点的个数为平面极点的个数为【1 对数频率特性稳定性判据对数频率特性稳定性判据】二、对数频率特性稳定性判据二、对数频率特性稳定性判据式中：式中：P 开环传递函数位于右半开环传递函数位于右半s s平面极点的个平面极点的个 数；数；相频特性曲线正穿越次数。在相频特性曲线正穿越次数。在 对应的频率范围内，对应的频率范围内，自下而上穿越自下而上穿越 线的次数，其中自下而上起线的次数，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算；始于或终止于该线的次数，折半计算；相频特性曲线负穿越次数。在相频特性曲线负穿越次数。在 对应的频率范围内，
10、对应的频率范围内，自上而下穿越自上而下穿越 线的次数，其中自上而下起线的次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；始于或终止于该线的次数，折半计算；Z 闭环传递函数，位于右半闭环传递函数，位于右半s s平面极点的平面极点的 个数，即特征方程位于右半个数，即特征方程位于右半s s平面根的平面根的 个数。个数。NN()0L()(21)180k()0L()(21)180k 二、对数频率特性稳定性判据二、对数频率特性稳定性判据由式（由式（3 3）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (4)由式（由式（3 3）还可知：渐近稳定的必要条件是）还可知：渐近稳定
11、的必要条件是 ；发散不稳定的充分条件是发散不稳定的充分条件是 。NNNN在在 的条件下，当系统参数有微小变化使的条件下，当系统参数有微小变化使 时，会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这时，会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这种条件下，称系统为临界稳定。种条件下，称系统为临界稳定。cgcg kkGGGjHjGGGGjHjGL2121)()()(lg20lg20lg20)()(lg20)(即总的即总的 曲线等于各典型环节的叠加。曲线等于各典型环节的叠加。)(),(L1)分解分解)()(sHsG2 步骤步骤1 思路：思路：将复杂的将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联分解为典型环节的
12、串联)().()()()(321sGsGsGsGsGk 比例比例积分、微分积分、微分一阶惯性、一阶微分一阶惯性、一阶微分二阶振荡、二阶微分二阶振荡、二阶微分2)求各环节转折频率，并从小到大排列：求各环节转折频率，并从小到大排列：最小的转折频率最小的转折频率min和最大的和最大的max。【2 开环对数频率曲线开环对数频率曲线(Bode图图)的绘制的绘制】3)低频段低频段 )()(aaL斜斜线线水水平平线线decdBsKLa/201lg20)(位置确定位置确定：(三种方法三种方法)取取0)(0 aL由由K和积分环节决定和积分环节决定.min：0lg20lg20 K 在在min上任取上任取0，计算计
13、算4)minmax：按转折频率对应的环节绘制按转折频率对应的环节绘制5)必要时作修正必要时作修正.1/0 K即即 10K KLalg20)1(:10 线线线线 00900)(三、例题详解三、例题详解【例例1】某系统的开环传递函数某系统的开环传递函数 ，其无零点二节，其无零点二节环节环节 的幅相特性曲线如下图所示。试求使的幅相特性曲线如下图所示。试求使系统稳定的系统稳定的 取值范围。取值范围。1()()sG s H s e1()()G s H s三、例题详解三、例题详解【解答解答】由给定条件可知：由给定条件可知：其幅频特性和相频特性：其幅频特性和相频特性：三、例题详解三、例题详解【解答解答】由式
14、（由式（2 2），当），当 时，有时，有 290arctan T=135则则 ，即，即 ；T=1=0.5T由式（由式（1 1），当），当 时，有时，有 22221KT得得=4K三、例题详解三、例题详解【解答解答】三、例题详解三、例题详解【例例2】某单位负反馈系统，其开环传递函数为某单位负反馈系统，其开环传递函数为 试大致画出奈奎斯特图，并确定使系统渐近稳定的试大致画出奈奎斯特图，并确定使系统渐近稳定的K 取值范围。取值范围。三、例题详解三、例题详解【解答解答】三、例题详解三、例题详解【解答解答】三、例题详解三、例题详解【例例3】某负反馈控制系统，开环传递函数某负反馈控制系统，开环传递函数 试：
15、（试：（1 1）画出幅相特性曲线；（）画出幅相特性曲线；（2 2）判定稳定性。）判定稳定性。三、例题详解三、例题详解【解答解答】(1)(1)幅相特性曲线幅相特性曲线 2121 2222222221212()1(j)(j)j(1)(1)(1)(1)K TTTTGHTTTT 幅值变化：幅值变化：(0),()0AA 相角变化：相角变化：:00K1:9090j11:045901j T21:045901j T():90270 三、例题详解三、例题详解【解答解答】(2)(2)系统稳定性系统稳定性 0,1Pv_2()02(0 1)2ZPNN系统在系统在 条件下，发散不稳定。条件下，发散不稳定。1 2121T
16、TKTT三、例题详解三、例题详解【例例4】某单位负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为某单位负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为 试试:（1 1）画出半奈奎斯特曲线；）画出半奈奎斯特曲线；（2 2）判定系统的稳定性。）判定系统的稳定性。(1)()(),(1)(0.11)K sG s H sKss三、例题详解三、例题详解【解答解答】(1)(1)半奈奎斯特曲线半奈奎斯特曲线 幅值变化：幅值变化：(0),()0AA 相角变化：相角变化：:180180K1j:04590 1:045901j0.1():27090 222(1j)1.11 0.1(j)(j)jj(j0.11)(1 0.01)(1 0.0
17、1)KGHKK 1:9090j三、例题详解三、例题详解【解答解答】(2)(2)系统稳定性系统稳定性 1,1Pv_2()0ZPNN系统为渐近稳定系统。系统为渐近稳定系统。三、例题详解三、例题详解【例例5】某负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为某负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为 试试:（1 1）画出半奈奎斯特曲线；）画出半奈奎斯特曲线；（2 2）判定系统的稳定性。）判定系统的稳定性。210()()(0.20.81)G s H ssss三、例题详解三、例题详解【解答解答】(1)(1)半奈奎斯特曲线半奈奎斯特曲线 幅值变化：幅值变化：(0),()0AA 相角变化：相角变化：():270270
18、首先把首先把 写成标准形式写成标准形式：()()G s H s10()()(0.21)(1)G s H ssss 频率特性：频率特性：22222810(1 0.2)(j)(j)j(1 0.04)(1)(1 0.04)(1)GH 三、例题详解三、例题详解【解答解答】(2)(2)系统稳定性系统稳定性 1,1Pv_2()2ZPNN系统为发散不稳定系统。系统为发散不稳定系统。三、例题详解三、例题详解【例例6】设某负反馈系统的频率特性曲线如下图所示。开环设某负反馈系统的频率特性曲线如下图所示。开环增益增益 ，S S右半平面极点数右半平面极点数 ，坐标原点极，坐标原点极点数点数 。试确定使系统渐近稳定的。
19、试确定使系统渐近稳定的K取值范围。取值范围。500K 0P 2v 三、例题详解三、例题详解【解答解答】首先将各点的坐标改写成首先将各点的坐标改写成 闭环系统渐近稳定的条件：闭环系统渐近稳定的条件：0.052050,500500500KKK2010.05500500KK 或或150500K 由由2010.05500500KK 得得2510000K由由150500K 得得010K三、例题详解三、例题详解【例例7】某单位负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为：某单位负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为：210()(2)G ss s试：（试：（1 1）画出半奈奎斯特曲线；）画出半奈奎斯特曲线；（2
20、2）用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性）用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性 三、例题详解三、例题详解【解答解答】(1)(1)半奈奎斯特曲线半奈奎斯特曲线 而而 的极值为的极值为9.193()2y分母的极值：分母的极值：221010(j)j(0)j(j)2(2)G，令令2d()320yd得得20.816,(0.816)1.093y Im(j)G三、例题详解三、例题详解【解答解答】(2)(2)系统稳定性系统稳定性 _2()2ZPNN系统为发散不稳定系统。系统为发散不稳定系统。三、例题详解三、例题详解【例例8】某单位负反馈系统，其开环传递函数为某单位负反馈系统，其开环传递函数为：22()(1)G
21、 sss试：（试：（1 1）绘制开环频率特性极坐标草图；）绘制开环频率特性极坐标草图；（2 2）利用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性。）利用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性。三、例题详解三、例题详解【解答解答】(1)(1)极坐标草图极坐标草图 22()(0,1,2)(1)G sKpvss，开环传递函数的标准型开环传递函数的标准型2222222(j)j(j)(1j)(1)(1)G三、例题详解三、例题详解【解答解答】(2)(2)系统稳定性系统稳定性 _2()12(00.5)2ZPNN 系统为发散不稳定系统。系统为发散不稳定系统。三、例题详解三、例题详解【例例9】某控制系统如下图所示，试用奈奎斯
22、特判据判定系某控制系统如下图所示，试用奈奎斯特判据判定系统的稳定性统的稳定性.三、例题详解三、例题详解【解答解答】由于线性系统的稳定性与输入无关，可令由于线性系统的稳定性与输入无关，可令并将并将3 3与与 并联作为并联作为 。这样有。这样有 24(1 2)()()(1)sG s H sss渐近稳定系统渐近稳定系统()0r t(81)s()H s22224(1 2)4(j)(j)j(1)(1)GH _2()0ZPNN三、例题详解三、例题详解【注意注意】此题不要按单位负反馈系统求开环传递函数此题不要按单位负反馈系统求开环传递函数 22233(1)()81(1)811(1)ssG sssssss尚需
23、求出尚需求出P并画图，这是很繁琐的。并画图，这是很繁琐的。三、例题详解三、例题详解【例例10】某单位负反馈系统，其开环传递函数为某单位负反馈系统，其开环传递函数为 210()(2)G ss s试：（试：（1 1）画出）画出BodeBode图；图；（2 2）利用对数判据判定系统的稳定性。）利用对数判据判定系统的稳定性。三、例题详解三、例题详解【解答解答】(1)(1)BodeBode图图 2()()2()1nnKG ssss首先把开环传递函数按画首先把开环传递函数按画BodeBode图需要写成标准型图需要写成标准型 本题中：本题中：n5,2,0K三、例题详解三、例题详解【解答解答】(2)(2)系统
24、稳定性系统稳定性 _2()2ZPNN系统发散不稳定系统发散不稳定 三、例题详解三、例题详解【例例11】已知单位负反馈系统的开环传递函数为：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：22()(1)G sss试：（试：（1 1）画出）画出BodeBode图；图；（2 2）利用对数判据判定系统的稳定性。）利用对数判据判定系统的稳定性。三、例题详解三、例题详解【解答解答】(1)(1)BodeBode图图 22(),0,12(1)G sKpvss（，）首先把开环传递函数按画首先把开环传递函数按画BodeBode图需要写成标准型图需要写成标准型 由由260lg40lg11c得得1.26c三、例题详解三、例题详解【解答解答】(2)(2)系统稳定性系统稳定性 _2()2ZPNN系统发散不稳定系统发散不稳定
