1、 3.1 一维原子链的振动一维原子链的振动 3.2 简正坐标和格波量子简正坐标和格波量子 3.3 三维明显可知的振动模式三维明显可知的振动模式 3.4 离子晶体的光学模与电磁波的耦合离子晶体的光学模与电磁波的耦合 3.5 声子模的实验测定声子模的实验测定3.6 晶体比热容晶体比热容3.7 热膨胀和固体的方程热膨胀和固体的方程1回回 顾：顾：组成晶体的原子被认为是固定在组成晶体的原子被认为是固定在格点位置格点位置(平衡位置平衡位置)的！的！2认认 识：识：有限温度有限温度(T0K)下，组成晶体的原子或离子围绕下，组成晶体的原子或离子围绕平衡位置平衡位置作作有限温度下，组成晶体的原子并非固定于格有
2、限温度下，组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以格点为点位置，而是以格点为平衡位置作热振动平衡位置作热振动，这种运动称为这种运动称为晶格振动晶格振动序言序言3 晶格振动的作用与学习意义：晶格振动的作用与学习意义：晶格振动使晶体势场晶格振动使晶体势场偏离偏离严格的严格的周期性周期性；对对Bloch电子有电子有散射作用散射作用，从而影响与电子有关的，从而影响与电子有关的 运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应；运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应；晶体的晶体的比热比热，热膨胀热膨胀和和热导热导等热学性质直接依赖于等热学性质直接依赖于 晶格振动；晶格振动；晶体的晶体的光吸收光吸收和和光发
3、射光发射等光学性质与晶格振动有关等光学性质与晶格振动有关电子电子-电子间通过晶格振动可出现不同于库仑力的电子间通过晶格振动可出现不同于库仑力的 相互作用，形成所谓相互作用，形成所谓库柏对库柏对，产生，产生超导性超导性。是固体物理学中最基础、最重要的部分之一是固体物理学中最基础、最重要的部分之一4.4.连续媒质中的弹性波连续媒质中的弹性波(预备知识预备知识)连续媒质中弹性波的波动方程：连续媒质中弹性波的波动方程：22(,)(,)dr tKr tdt222222xyz 其中其中为拉普拉斯算符，在笛卡儿直角坐标系中为拉普拉斯算符，在笛卡儿直角坐标系中rxiyjzk方程解的形式方程解的形式：()(,)
4、i q rtr tAe q为波矢量，方向为波的传播方向；为波矢量，方向为波的传播方向；为波的角频率或圆频率为波的角频率或圆频率.色散关系：色散关系：|Kq4.1 4.1 描写波的几个物理量描写波的几个物理量1.1.周期和频率周期和频率周期周期：质点完成一次全振动的时间，用：质点完成一次全振动的时间，用T T表示表示2T频率：频率：单位时间内完成全振动的次数，为周期的倒数，单位时间内完成全振动的次数，为周期的倒数，1T所以所以：2角频率的意义就是角频率的意义就是 秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数.22.2.波矢和波长波矢和波长等相面等相面（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直（波
5、阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.波矢波矢q：波的传播方向：波的传播方向平面波：平面波：等相面为平面的波等相面为平面的波.波长波长：同一时刻相位相差：同一时刻相位相差 的两点之间的长度，用的两点之间的长度，用 表示表示.22q波矢与波长的关系：波矢与波长的关系：3.3.相速度和群速相速度和群速度度沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：pv对于弹性波，等相面满足对于弹性波，等相面满足qrt常数，求其微分得：常数，求其微分得：0qdrdtpdrKvdtqq rt，则周期可表述为同一质点相位变化，则周期可表述为同一质点相位变化2
6、要的时间要的时间.相位相位所需所需群速度群速度：振幅传播的速度：振幅传播的速度.大小为：大小为：gdvdq对于连续媒质弹性波，对于连续媒质弹性波，pvq，而，而pv与与q无关无关.所以：所以：()gpdvv qvdq群速度等于相速度群速度等于相速度.()pgppdvdvv qvqdqdq晶体中传播的格波，色散关系晶体中传播的格波，色散关系 不是简单的线性关不是简单的线性关系，群速度和相速度不再相等系，群速度和相速度不再相等.当当 不是常数时不是常数时()qpv3.1.1 3.1.1 简谐近似简谐近似00220021()()()()2rrUUU rU rrr0()0rUr在平衡位置附近在平衡位置
7、附近当振动很微小时，当振动很微小时，很小，上式只保留到很小，上式只保留到2项，则原子间的相互作用力可表示为：项，则原子间的相互作用力可表示为：022()rUfr 其中其中022()rUr 对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动振动.所以称这个近似为所以称这个近似为简谐近似简谐近似3.1.2 3.1.2 一维单原子链的振动一维单原子链的振动模型：模型：一维无限长的单原子链，原子间距一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a a，原
8、原子质量为子质量为m m.3.13.1一维单原子链的振动一维单原子链的振动1n 2n n1n 2n a2nu1nunu1nu2nu2112()()nnnnnd umuuuudt11(2)nnnuuu试探解试探解:()i qnatnuAe求色散关系求色散关系:2()(1)(1)(2)i qnatiq naiq naiqnai tmAeA eeee2(2)iqaiqamee22(1 cos)mqa224sin2qam2|sin|2qamaamax0()q性质：性质：(1)(1)长波长波0q 时时,格波成为弹性波格波成为弹性波sin22qaqa112222qaqamm12vvam相群解释解释:很大很
9、大,本来不连续的晶格可视为连续的了本来不连续的晶格可视为连续的了.随着随着 q q的增长，的增长，数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。布里渊区边界，格波频率达到极大值。qa max4m截止频率截止频率4mq一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播 的弹性波，高于的弹性波，高于 频率的弹性波被强烈衰减。频率的弹性波被强烈衰减。max0max在布里渊区边界处：在布里渊区边界处：2,2,0qqa vaq 群速度为零群速度为零，这是因为此时近邻原子散射的子波与入射波位，这是因为此时近邻原子散射的子
10、波与入射波位相相差相相差，由，由 B B原子反射的子波到达近邻原子反射的子波到达近邻 A A原子处时恰好和原子处时恰好和 A A 原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述条件，所以当条件，所以当 时，散射子波之间发生相长干涉，时，散射子波之间发生相长干涉，结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速度为零。这和度为零。这和X X射线衍射的射线衍射的Bragg Bragg 条件是一致的，也同样显条件是一致的，也同样显示了布里渊区边界的特征。它们都是由于入射波的波动性和示了布里渊
11、区边界的特征。它们都是由于入射波的波动性和晶格的周期性所产生的结果。晶格的周期性所产生的结果。入射波入射波反反 射射 波波 qaexp()exp()(1)nnuAinaAinAa:qa相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，也不相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，也不向左传播，形成驻波向左传播，形成驻波(2)(2)驻波特征驻波特征sin12qamax(21)22qak所以：所以：而此时而此时12cos()2dqavadqm群即当即当(21)qka时时，0v 群能量不向外边传播能量不向外边传播 驻波驻波原因：入时波和反射波的迭加原因：入时波和反射波的迭加（3 3）周期性：周期为一个倒格子矢量）周
12、期性：周期为一个倒格子矢量2()()nnu qu qa2()()qqa2()x qa2()qa2()i qnaitaAe()2i qnatinAee()i qnatAe()x qmax|sin()|2aq()qmax2|sin()|2aqa所以把所以把q q限制在第一布区限制在第一布区(,)a a 4a3a2aa2a3aa0q42qaa如：2455aqqa解释：解释：q q与与q+q+分别对应不同的波长，分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？为什么它们都描写同一运动状态呢？2a可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同.唯一不同的
13、就是唯一不同的就是两格点之间的运动状态两格点之间的运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质而这些中间状态的差异并不影响物理实质.所以为了使所以为了使x xq q（q q）的关系成为单值，限制的关系成为单值，限制q q在第一布区，对一维在第一布区，对一维来说来说q q的取值的取值(,a a（4 4）第一布区里的分立波矢数晶体原胞数第一布区里的分立波矢数晶体原胞数.晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数nn Nxx1iqNae2nqNa2bqNaN证：使用周期性边界条件（图形）证：使用周期性边界条件（图形）第一布区的长度：第一布区的长度：第一布区
14、分立波矢数：第一布区分立波矢数：2a222aaNqNa第二个结论显然是成立的第二个结论显然是成立的.（5 5）状态密度）状态密度连续介质连续介质222()2Vv 格波格波()dZdZ dqddq d 222qqNZqbqbN222dZNNaLdqbddqq0q12(2()|sin|)2dqadqmcos2qaam格波有截止频率。格波有截止频率。0 0分立晶分立晶格格()m连续模型连续模型1-D1-D分立晶格和连续模分立晶格和连续模型的区别：型的区别：,()0mg范霍夫奇点范霍夫奇点22maxmax1121()coscos22LNNqaqam 实际晶体的态密度：实际晶体的态密度：晶体的态密度函数
15、原则上可以从理论上通过上述公式晶体的态密度函数原则上可以从理论上通过上述公式计算，先求出每支色散曲线相应的态密度：计算，先求出每支色散曲线相应的态密度：每个原胞有每个原胞有n n个原子的晶体的总的态密度函数是：个原子的晶体的总的态密度函数是：3()()njj ()j 右图是金属右图是金属 Al Al 的的晶格振动态密度合晶格振动态密度合成图，总态密度是成图，总态密度是两支横波和一支纵两支横波和一支纵波的叠加。波的叠加。CuCu晶体的总振动态密度函数谱晶体的总振动态密度函数谱 见黄昆书见黄昆书p133p133可以明显看出铜晶可以明显看出铜晶体的态密度函数，体的态密度函数，低频部分呈抛物线低频部分
16、呈抛物线形状，这和色散曲形状，这和色散曲线低线低 q q 部分接近部分接近弹性波线性关系是弹性波线性关系是一致的。一致的。求解格波步骤：求解格波步骤：（4 4）由久期方程求色散关系）由久期方程求色散关系（1 1）列运动方程）列运动方程（2 2）取试探解）取试探解（3 3）代入原方程，）代入原方程，得到久期方程得到久期方程（5 5）加周期边界条件）加周期边界条件（6 6）求状态密度）求状态密度3.2.33.2.3一维双原子链的振动一维双原子链的振动 2n-22n-2 2n-1 2n-1 2n 2n 2n+1 2n+1 2n+2 2n+2 2n+3 2n+3 2 2a a2212222122222
17、321222()()nnnnnnnnd umuuudtd uMuuudt设设MmMm(21)21(22)22i qnatni qnatnuAeuBe代入得到：代入得到：整理得：整理得：22(2)2cos02cos(2)0mAqaBqaAMB二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零:2222cos02cos2mqaqaM22()2 ()2 iqaiqaiqaiqamAB eeAMBA eeB222(2)(2)4cos0mMqa42222()4(cos1)0MmMmqa42222()4(cos1)0MmMmqa解得：解得：12222()2cos(2)mM
18、mMmMqamM2 2支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：max2,0qmin2,2qmamax2,2qMamin0,0qmMmm其中为约化质量2a2a122()m122()M声学支声学支光学支光学支0 0q q一维双原子晶格得色散关系一维双原子晶格得色散关系讨论：讨论：0q（1），声频支退化为弹性波，声频支退化为弹性波122221()()4sin mMMmmMqamM1222()41 1sin()mMmMqamMMm22()141 1sin2()mMmMqamMMm2212sin qaMm1212()|sin|qaMm0qq 0q（2）
19、，声学波描写原胞质心运动，光学波，声学波描写原胞质心运动，光学波描写原胞中描写原胞中各原子之间得相对运动，并且质心保持不动各原子之间得相对运动，并且质心保持不动.2222cos2cos2AMqaBqama.声频支声频支121max2M0cos1qa0AB同向运动同向运动uq波长很长，相邻原子的位相差很小波长很长，相邻原子的位相差很小.表示质心的运动表示质心的运动0q AB0mAMB质心不动质心不动22()2M11MmMMm()mMmmMm 0q cos1qa1222b.b.光频支：光频支：122min2M0AB相邻原子反向运动相邻原子反向运动uq光学支振动的说明：光学支振动的说明：如果原胞内为
20、两个带相反电荷的离子（如离子晶体），如果原胞内为两个带相反电荷的离子（如离子晶体），那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。振动为光学波或光学支。实际晶体的长光学波的实际晶体的长光学波的对应远红外的光波，因此离子晶体的长光学波的共振能够对应远红外的光波，因此离子晶体的长光学波的共振能够引起远红外光在引起远红外光在 附
21、近的强烈吸收，正是基于此附近的强烈吸收，正是基于此性质，性质，支被称作光学支。支被称作光学支。1314(0)1010/s（3）晶格中振动的波矢数晶体的原胞数）晶格中振动的波矢数晶体的原胞数 晶格振动的频率数晶体的自由度数晶格振动的频率数晶体的自由度数证证：加周期性边界条件：加周期性边界条件212()1nn NuuN N为原胞数为原胞数21iq Nae22qNanlqN aqNa 第一布区：第一布区：(,a a 波矢数：波矢数：aNq波矢数为原胞数，波矢数为原胞数，每个原胞中有两个每个原胞中有两个原子，对每个原子，对每个q q对对应两个频率，显然应两个频率，显然第二条规律也是满第二条规律也是满足
22、的足的.这两条规律这两条规律对三维也是适用的对三维也是适用的.(1)(1)方便于求解原子运动方程方便于求解原子运动方程.除了原子链两端的两个原子外除了原子链两端的两个原子外,其它原子的运动方程构成其它原子的运动方程构成了个联立方程组了个联立方程组.但但,运动方程与其它原运动方程与其它原子的运动方程迥然不同子的运动方程迥然不同.与其它原子的运动方程不同的这两个与其它原子的运动方程不同的这两个方程方程,给整个联立方程组的求解带来了很大的困难给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.2)与实验结果吻合得较好与实验结果吻合得较好 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证晶格振动谱的实验测定是对晶
23、格振动理论的最有力验证.玻恩玻恩-卡门条件是晶格振动理论的前提条件卡门条件是晶格振动理论的前提条件.实验测得的振动谱实验测得的振动谱与理论相符的事实说明与理论相符的事实说明,玻恩玻恩-卡门周期性边界条件是目前较好卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件的一个边界条件.设想在有限晶体之外还有设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体无穷多个完全相同的晶体，互相，互相平行的堆积充满整个空间，组成一个无限晶体，保证了有限晶平行的堆积充满整个空间，组成一个无限晶体，保证了有限晶体的平移对称性体的平移对称性 在各个相同晶体块内相应原子的运动情况在各个相同晶体块内相应原子的运动情况应当完全相同；应当完
24、全相同；一维晶格：将许多完全相同的原一维晶格：将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷长链子链首尾连接成无穷长链 第第 N+1 个原子就是第个原子就是第 1 个原子，第个原子，第 N+2 个原个原子就是第子就是第 2 个原子个原子 也可以把它看也可以把它看作是作是N个原子构成的圆环！个原子构成的圆环！保证了从保证了从晶体内任一点出发平移晶体内任一点出发平移 Na 后必将返后必将返回原处！回原处！边界条件：边界条件：un=un+N3.2 3.2 简正坐标和格波量子简正坐标和格波量子3.2.1 3.2.1 简正坐标简正坐标一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：
25、晶体势能：晶体势能：222111()(2)22nnnnnnnnVuuuu uu晶体动能：晶体动能：212nnTmu其中其中表示位移对时间的一次导数，也就是速度表示位移对时间的一次导数，也就是速度.nu 格点位移格点位移()()iqnanqutA t eNA()qt有个值，为权重因子系统的总的哈密顿量为：系统的总的哈密顿量为：2211()22nnnnnHTVmuuuH为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论.为此引为此引进简正坐标进简正坐标Q.1()()iqnanqu tQ t emN()()iqnaqnnQtmNut e22222211(|)
26、(|)22qqqqqqqHQQPQ单个谐振子的哈密顿量单个谐振子的哈密顿量逆变换：逆变换：证明利用了正则坐标证明利用了正则坐标Q的正交关的正交关系，参见系，参见P631(),0,1,2,2iiiiEnn系统总能量：系统总能量：1()2NNiiiqqEEn为零点能为粒子占有数，21n由量子力学，一个谐振子的能量与由量子力学，一个谐振子的能量与 的关系为：的关系为：3.2 简正坐标和格波量子n设设n n个质点组成质点系，由于每个质点有个质点组成质点系，由于每个质点有3 3个自由度，在描述个自由度，在描述整个质点系的微振动时必须要用整个质点系的微振动时必须要用3n3n个独立坐标个独立坐标 。如果各质
27、点的质量为。如果各质点的质量为 ，则，则n质点系的动能可表示为质点系的动能可表示为 质点系的势能可以在平衡位置附近展开为泰勒级数，即为质点系的势能可以在平衡位置附近展开为泰勒级数，即为 nuuu321,im32112niiiTmu23010012niijiijiijVVVUuuuuu u 3.2.1 简正坐标简正坐标 式中式中 表示某一质点表示某一质点 在某一方向上的位移；下角标在某一方向上的位移；下角标0 0表示质点处于平表示质点处于平衡位置时所具有的值。如果取平衡位置衡位置时所具有的值。如果取平衡位置 为势能的原点为势能的原点 ，同时考虑到质点处于平衡位置，同时考虑到质点处于平衡位置 时，
28、质点所受的力为时，质点所受的力为零，即有零，即有 对于微振动的情形，所有的都很小，以致可以略去二阶以上的高次项，对于微振动的情形，所有的都很小，以致可以略去二阶以上的高次项，得到得到 为了使上述的动能和势能的表达式具有简单的形式，我们可以利用线性为了使上述的动能和势能的表达式具有简单的形式，我们可以利用线性代数的理论，选择适当的线性变换代数的理论，选择适当的线性变换 (1)(1)将动能和势能的表达式进行简化。将动能和势能的表达式进行简化。iui0,0,0V00V 032niuuu001,2,3iVinu2012ijijijVVuuu u 1iijjjua QmN 选择式变换中的系数选择式变换中
29、的系数 ，使之满足正交条件：，使之满足正交条件：将式将式(1)(1)代入式动能表达式中得：代入式动能表达式中得：所以有所以有 同样，利用线性变换式（同样，利用线性变换式（1 1）也可以将式势能化为：）也可以将式势能化为：ijaikjkjijaajkiikijaa3333332111111111222nnnnnnijikiiijkjkjkiijkjkiiaaTmumQQQ Qmm 32112njjTQ322212njjjjjjVqQ式中式中 为以为以 为元素所组成的矩阵的本征值；为元素所组成的矩阵的本征值；而而 则为与之对应的本征矢组成的矩阵的元素。则为与之对应的本征矢组成的矩阵的元素。212j
30、j0221jiijuuUb(证明见证明见P63中中)ijan以以一维布拉维格子为例证明：晶格中的格波可以展为各种独立振动模式的线性迭加，即把晶格中的格波可以展为各种独立振动模式的线性迭加，即把 展为展为 式中式中 称为波矢的振动模式的正则坐标（又称简正坐标）称为波矢的振动模式的正则坐标（又称简正坐标），它表示了格波的振幅。引入正则坐标后，一维简单晶格的，它表示了格波的振幅。引入正则坐标后，一维简单晶格的势能可表示为势能可表示为 nu t 1iqnanqqutQt eNm tQqnnnnnnnnxxxxxxU12212122121nqqanq iiqnanaq ianiqnaq iiqnaanq
31、 ianiqqqeeeeeeeeQQNm111121qqnnaqqiaq iiqaaqqiqqeeeeQQNm121qqqqaq iiqaaqqiqqNeeeQQNm,121 其中其中 ，正是一维布喇菲格子的色散关系。再，正是一维布喇菲格子的色散关系。再把它代入上式，得到把它代入上式，得到 由于原子的位移是实数，因此有由于原子的位移是实数，因此有 ，则晶格振动的势，则晶格振动的势能最后可化为能最后可化为 同样，利用这种变换关系，一维简单晶格的动能用正则坐同样，利用这种变换关系，一维简单晶格的动能用正则坐标可表示为标可表示为 qqqqiqaiqaqqqaQQmeeQQmcos1221qamqco
32、s122qqqqQQU221qqQQqqqQU2221qqnnaqqiqqnqqnaqqiqqnneQQNeQQNxmT2121212qqqqqqqqqQQQQ2121,212qqQqqQQ得到上式最后一步利用了得到上式最后一步利用了 采用正则坐标后，晶格振动的总能量，亦即哈密顿量可写成采用正则坐标后，晶格振动的总能量，亦即哈密顿量可写成标准式（法式）为标准式（法式）为 式中式中 。显然上式中的右边每项。显然上式中的右边每项 代表一个谐振子的能量，包含有代表一个谐振子的能量，包含有2 2项，所以一维布喇菲格子的项，所以一维布喇菲格子的总能量是每个独立谐振子能量之和。总能量是每个独立谐振子能量之
33、和。n根据量子力学的结果，一个谐振子的能量本征值为根据量子力学的结果，一个谐振子的能量本征值为 式中式中 。所以一维布喇菲格子晶格振动的总能量可。所以一维布喇菲格子晶格振动的总能量可表示为表示为 22212qqqqHTVPQqqQP22221qqqqQPHqqqn21qqqnE210,1,2,qn 一维复式格子的情形n与一维布喇菲晶格相似，与一维布喇菲晶格相似，这里对求和表示对声学支及光学支两种模式的格波求和。作坐这里对求和表示对声学支及光学支两种模式的格波求和。作坐标变换得到标变换得到 比较上面两式，可知比较上面两式，可知21212222i qnatnqji qnatnqjquAejquBe
34、j 2121222211iqnanAqjiqnanBqjqqueQejjNmqqueQejjNm 这里已把波矢为这里已把波矢为q q第第j j支格波（声学支或光学支格波）的角支格波（声学支或光学支格波）的角频率写成频率写成 。而。而 即表示波矢为即表示波矢为q q，第，第j j支格波的包含支格波的包含有时间因子的振幅，也就是正则坐标。采用正则坐标有时间因子的振幅，也就是正则坐标。采用正则坐标 后后，一维复式格子晶体的哈密顿量可写成，一维复式格子晶体的哈密顿量可写成 式中式中 。同讨论一维布喇菲格子的情形一样，可以得到一维复式格子同讨论一维布喇菲格子的情形一样，可以得到一维复式格子晶格振动的本征
35、能量为晶格振动的本征能量为 式中式中 可取一系列正整数。可取一系列正整数。22cos2cos2ABqqqeAMqajjjqqqqaeBmjjj qjjqQjqjqPH2222122jqQjqPqjjqjqnE21jqjqQjqQjqn三维复式格子的情形n对于三维复式格子，可以将其看作是由原子组成的质点系。对于三维复式格子，可以将其看作是由原子组成的质点系。设晶体的基矢为设晶体的基矢为 ，沿基矢方向各有，沿基矢方向各有 个原胞。因此，整个晶体共有个原胞。因此，整个晶体共有 个原胞。每个原胞中个原胞。每个原胞中设有设有n n个原子，令个原子，令 表示原胞中心位矢为表示原胞中心位矢为 的原胞内，第的
36、原胞内，第s s个原子离开平衡位置在个原子离开平衡位置在 方向的位移，将系统的势能方向的位移，将系统的势能V V在平在平衡位置附近用泰勒级数展开，有衡位置附近用泰勒级数展开，有 如取平衡位置的势能作为能量原点，即如取平衡位置的势能作为能量原点，即 。在简谐近似下，可以将。在简谐近似下，可以将 321aaa、321NNN、321NNNN slulR332211;3,2,1aaaRllll lsslsllssllsslusluslussslllsluslussllsluslUU!31!21000sluUsl 二次以上的项略去，则势能可写为二次以上的项略去，则势能可写为 式中式中 。而。而 n为了进
37、一步简化，引进动力学矩阵元及变换为了进一步简化，引进动力学矩阵元及变换n 12lsl sllllVuussss 3,2,1;,2,1;,2,1nsNlslusluUssll2ssllmmssllDss1slumslsn因此，势能可以改写成因此，势能可以改写成 式中符号式中符号 及及 分别表示分别表示 及及 。同样，系统的动能为同样，系统的动能为 式中式中 为第为第s s个原子的质量。因为所考虑的系统具有个原子的质量。因为所考虑的系统具有3nN3nN个个自由度，从而可适当地选取描写系统的正则坐标，以使上面自由度，从而可适当地选取描写系统的正则坐标，以使上面两式所表示的对坐标求得的和具有两式所表示
38、的对坐标求得的和具有3nN3nN个独立简谐振子的哈个独立简谐振子的哈密顿量的形式。密顿量的形式。lsslslslssllDU21lsslslsllslssslslumT222121smn利用倒格子空间来讨论晶格振动，把倒格矢利用倒格子空间来讨论晶格振动，把倒格矢 理解为格波理解为格波波矢波矢 。在三维晶格的情况下，系统的能量为。在三维晶格的情况下，系统的能量为 式中式中 是格波的角频率。由此可见，每一格波（简正模是格波的角频率。由此可见，每一格波（简正模）的能量总是以量子）的能量总是以量子 为单位不连续地改变。由于其难题为单位不连续地改变。由于其难题表达式和量子谐振子的能量形式完全一样，因此可
39、以说：表达式和量子谐振子的能量形式完全一样，因此可以说：一一个晶格振动系统在能量状态上等效于一个具有个独立的量子个晶格振动系统在能量状态上等效于一个具有个独立的量子谐振子的系统谐振子的系统，也就是说，也就是说，在简谐近似（微振动）的条件下在简谐近似（微振动）的条件下，晶格振动可以用一系列独立的谐振子，晶格振动可以用一系列独立的谐振子来描述。来描述。NnjjjnEqqq321nNiiinE3121iihKhq三、周期性边界条件三、周期性边界条件 设设N1、N2和和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：。那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2
40、 N3 周期性边界条件：周期性边界条件：jjuuNRRa第第j支格波：支格波：1,2,3jjjjiittNee q Rq RaAA1iNe aq2Nhqah =整数整数令令123231qbbb123231NN qabbba22Nh123312123hhhNNNqbbbh1,h2,h3整数整数2abhN 1,2,3在在q空间中，每一个空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：的取值（状态）所占的空间为：33312123188baNNNNNVVbbbVNVa晶体体积晶体体积38abv在在 空间中，波矢空间中，波矢 的分布密度：的分布密度：3.8Vconstqqq简约区中波矢简约区中波矢 的取值总
41、数的取值总数 晶体的原胞数晶体的原胞数q bN q简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值的取值 对应于三个声学波（对应于三个声学波（1个纵波，个纵波，2个横波）个横波）晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数3N晶体的自由度数晶体的自由度数复式晶格：若每个原胞中有复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个个原子，每一个q的取值的取值 对应于对应于3个声学波和个声学波和3(s-1)个光学波个光学波 晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数33(s-1)N=3sN=晶体的自由度数晶体的自由度数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振
42、动格波的总数晶体的自由度数晶格振动格波的总数晶体的自由度数 3.3.3 3.3.3 格波的模式密度格波的模式密度在在q空间中，处在空间中，处在 d 两等频面之间的振动模式数两等频面之间的振动模式数由于由于jdqd q()dNDd()dNDdqqddqdq qddVdqdSdS两等频面间的体积两等频面间的体积qdSVdVd38qVdSD例：求一维单原子链晶格振动的模式密度例：求一维单原子链晶格振动的模式密度 2Ddqdq 22Ldqdd 22NadDdq qq围出体积内波矢代表点的数目围出体积内波矢代表点的数目33(2)(2)qVVdSdNd于是得格模式密度：于是得格模式密度：一维单原子链晶格振
43、动的色散关系：一维单原子链晶格振动的色散关系：11224sinsinmaqaqm4mm2212sinmaqm 221222mNaNadDdqa 22122mND21211cos122mmmdaaqadq3.3.2 3.3.2 声子（声子（phonon)phonon)声子声子晶格振动的能量量子晶格振动的能量量子(准粒子准粒子)()jq能量能量q动量动量n引入声子的概念以后，把声子当作有能量、动量的玻色粒子可以很简引入声子的概念以后，把声子当作有能量、动量的玻色粒子可以很简便地说明许多问题。例如，按玻色统计分布求出平均声子数后可以导便地说明许多问题。例如，按玻色统计分布求出平均声子数后可以导出比热
44、公式；考虑原子间非简谐的相互作用时，可以引入声子出比热公式；考虑原子间非简谐的相互作用时，可以引入声子-声子声子相互作用的概念；晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的相互作用的概念；晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而增加电阻，这可以看作是电子受到声子的碰撞，可用运动受到散射而增加电阻，这可以看作是电子受到声子的碰撞，可用声子声子-电子相互作用来描述；晶体的光学性质也与晶格振动密切相关电子相互作用来描述；晶体的光学性质也与晶格振动密切相关，光在晶体中的散射可以看作是由于光子与声子的相互作用乃至强烈，光在晶体中的散射可以看作是由于光子与声子的相互作用乃至强烈的耦合所产
45、生的。必须指出的是，的耦合所产生的。必须指出的是，声子并不是真实的粒子，它可以产声子并不是真实的粒子，它可以产生和湮灭；有相互作用时声子数并不守恒；声子动量的守恒律不同于生和湮灭；有相互作用时声子数并不守恒；声子动量的守恒律不同于真实粒子；声子不能脱离固体而存在，因为它所反映的是原子的集体真实粒子；声子不能脱离固体而存在，因为它所反映的是原子的集体运动，不属于某个原子而属于整个晶体所有等等运动，不属于某个原子而属于整个晶体所有等等。所以说声子是一种。所以说声子是一种假想的粒子，它只是格波（简正模）激发态的量子假想的粒子，它只是格波（简正模）激发态的量子基本的激发单基本的激发单元，在量子场论中称
46、为元激发。总之，建立了声子的概念对于理解和元，在量子场论中称为元激发。总之，建立了声子的概念对于理解和处理固体中的很多问题带来了很大的方便，实践证明，这样的概念是处理固体中的很多问题带来了很大的方便，实践证明，这样的概念是正确的。正确的。3.声子的性质声子的性质(1 1)声子的粒子性声子的粒子性光子光子-电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量。子携带电磁波的能量和动量。声子声子-声子携带格波的能量和动量。若格波频率为声子携带格波的能量和动量。若格波频率为，波，波矢矢q q为，则声子的能量为为，则声子的能量为 ，动量为，动
47、量为q q。声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量量 和动量和动量q q的粒子一样。的粒子一样。声子是玻色声子是玻色(bose)bose)子，满足玻色分布子，满足玻色分布11kTiien0,iin,0iin喻住房高层人少，底层人多喻住房高层人少，底层人多可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论也正确。如，电子、光过程，使问题大大简化，得出的结论也正确。如，电子、光子、声子等。子、声子等。准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢改变
48、一个周期准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振动状态，所以不是真正的动（倒格矢量）或倍数，代表同一振动状态，所以不是真正的动量；量；系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具有能量为系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具有能量为E Ei i的的状态用出现的几率来表示。状态用出现的几率来表示。(2 2)声子的准粒子性声子的准粒子性(3 3)声子概念的意义声子概念的意义 晶体中的原子在平衡位置附近的微振动具有波的形式（称为晶体中的原子在平衡位置附近的微振动具有波的形式（称为格波）。格波）。由于原子间的相互作用力，在晶体中产生格波，原子间的作由于原子
49、间的相互作用力，在晶体中产生格波，原子间的作用力符合虎克定律时，格波为简谐波。格波间不发生相互用力符合虎克定律时，格波为简谐波。格波间不发生相互作用，独立存在。作用，独立存在。晶体中所有格波都可用倒格子空间中的第一布里渊区内的晶体中所有格波都可用倒格子空间中的第一布里渊区内的波矢来描述。波矢来描述。声学波与光学波的区别。前者是相邻原子的振动方向相同，声学波与光学波的区别。前者是相邻原子的振动方向相同，波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质的弹性波；后者是相邻原子的振动方向相反，波长很长时的弹性波；后者是相邻原子的振动方向相反，波长很
50、长时，晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。，晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。由于边界条件，使格波发生分立，若晶体中含有个由于边界条件，使格波发生分立，若晶体中含有个N原胞，原胞，每个原胞含有每个原胞含有n个原子，则共有个原子，则共有3nN个格波，其中个格波，其中3支是声支是声学波，学波，3(n-1)支是光学波，每支包含支是光学波，每支包含N个格波。个格波。小小 结结 晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的量子单晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的量子单元称作声子，声子具有能量元称作声子，声子具有能量，与光子的区别是不，与光子的区别是不具有真正的动量，这是由格波的特性决定的。具有真正的动量
