1、 概率统计是研究随机现象数量规律的概率统计是研究随机现象数量规律的学科学科,理论严谨理论严谨,应用广泛应用广泛,发展迅速发展迅速.不不仅高等学校各专业都开设了本课程仅高等学校各专业都开设了本课程,而且而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好的重要课程真学好这门不易学好的重要课程.前前言言本学科的本学科的 ABC概率概率(或然率或几率或然率或几率)随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰
2、子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B.帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C.惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题，解决了解决了“合理合理分配赌注问题分配赌注问题”(即得分问题即得分问题).概率论是一门研究客观世界随机现象数量概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速第二次
3、世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客
4、观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.概率论概率论32学时学时数理统计数理统计24学时学时随机事件及其概率随机变量的数字特
5、征与极限定理随机变量及其分布多维随机变量及其分布假设检验样本及其分布参数估计概率论与数理统计概率论与数理统计的教学内容分为三个模块：的教学内容分为三个模块：（1）经典概率论部分）经典概率论部分（2）随机变量的函数及其分布）随机变量的函数及其分布（3）数理统计初步）数理统计初步概率论与数理统计概率论与数理统计的教学方法：的教学方法：（1）经典概率论部分）经典概率论部分 大多数学生在系统学习大多数学生在系统学习概率论与数理统计概率论与数理统计之前，在中学或多或少对何谓概率有之前，在中学或多或少对何谓概率有所了解，因此该门课程的入门较低，但如所了解，因此该门课程的入门较低，但如 何从实际的随机现象中
6、把问题数学化，如何从实际的随机现象中把问题数学化，如何运用数学符号表示随机现象是学习该部分内容的难点。这部分内容是整个概率论何运用数学符号表示随机现象是学习该部分内容的难点。这部分内容是整个概率论的基础，要从学生常见的随机想象出发，引导学生如何用数学语言描述随机现象，的基础，要从学生常见的随机想象出发，引导学生如何用数学语言描述随机现象，而不是仅仅会猜答案，写不出任何接替步骤。具体教学方案分两步：第一步先让学生而不是仅仅会猜答案，写不出任何接替步骤。具体教学方案分两步：第一步先让学生初步掌握数学中集合的概念来表述随机事件；熟悉随机事件的运算规律；第二步再学初步掌握数学中集合的概念来表述随机事件
7、；熟悉随机事件的运算规律；第二步再学习概率的定义的发展规律，进而了解概率的公理化体系，掌握条件概率，全概率公式习概率的定义的发展规律，进而了解概率的公理化体系，掌握条件概率，全概率公式等内容。等内容。概率论与数理统计概率论与数理统计的教学方法：的教学方法：（2）随机变量的函数及其分布）随机变量的函数及其分布 包括一维随机变量与多维随机变量，使学生认识到分布函数、分布律和概率密度函包括一维随机变量与多维随机变量，使学生认识到分布函数、分布律和概率密度函数是揭示随机现象本质规律的重要工具。对概率分布函数，连续性随机变量概率密数是揭示随机现象本质规律的重要工具。对概率分布函数，连续性随机变量概率密度
8、函数的准确理解以度函数的准确理解以 及会用之计算随机事件的概率是本课程的重点部分，还需掌握及会用之计算随机事件的概率是本课程的重点部分，还需掌握常见的离散型和连续型随机变量。理解什么数学期望、方差、协方差和相关系数，常见的离散型和连续型随机变量。理解什么数学期望、方差、协方差和相关系数，并能应用这些概念解决某些实际问题。并能应用这些概念解决某些实际问题。概率论与数理统计概率论与数理统计的教学方法：的教学方法：（2）数理统计初步）数理统计初步概率论一般是研究如何来揭示随机现象所隐含的本质规律，反映在课程内容上就是概率论一般是研究如何来揭示随机现象所隐含的本质规律，反映在课程内容上就是随机变量分布
9、函数、分布律和概率密度函数的寻求以及研究它们的数字特征；统计随机变量分布函数、分布律和概率密度函数的寻求以及研究它们的数字特征；统计是以概率论为基础，利用实验数是以概率论为基础，利用实验数 据对分布函数，概率密度函数进行估计和检验，这据对分布函数，概率密度函数进行估计和检验，这部分内容，主要讲授参数的点估计和区间估计，参数的假设检验，尤其要让学生熟部分内容，主要讲授参数的点估计和区间估计，参数的假设检验，尤其要让学生熟悉正态总体均值和方差的区间估计方法，假设检验方法，关于广义方差分析和回归悉正态总体均值和方差的区间估计方法，假设检验方法，关于广义方差分析和回归分析，由于学时所限，可以一带而过，
10、作为学生自学的内容。分析，由于学时所限，可以一带而过，作为学生自学的内容。盛骤，谢式千，潘承毅盛骤，谢式千，潘承毅 编编高等教育出版社高等教育出版社牛丽英，陈勇主编牛丽英，陈勇主编出出 版版 社：水利水电出版社社：水利水电出版社Chapter 1本章重点：本章重点：1.1.理解随机事件及其概率的概念；理解随机事件及其概率的概念；2.2.理解条件概率及事件独立性的概念；理解条件概率及事件独立性的概念；3.3.掌握随机事件之间的关系与运算；掌握随机事件之间的关系与运算；4.4.掌握概率的基本性质及概率加法定理与乘法掌握概率的基本性质及概率加法定理与乘法定理以及计算概率的全概率公式与贝叶斯公式。定理
11、以及计算概率的全概率公式与贝叶斯公式。本章难点：本章难点：有关古典概率及条件概率的概念的理解及计算有关古典概率及条件概率的概念的理解及计算第一节第一节 随机事件的概念随机事件的概念五、事件的关系与运算五、事件的关系与运算四、随机事件的概念四、随机事件的概念三、样本空间三、样本空间 样本点样本点二、二、随机试验随机试验一、一、随机现象随机现象在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升太阳不会从西边升起起”,”,1.确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,”,实例实例自然界所观察到
12、的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象随机现象随机现象一、随机现象一、随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数”等等.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2.随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.结果有可能为结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或或“6”.
13、实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”.实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果:“弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.实例实例4 “从一批含有正从一批含有正品和次品的产品中任意抽品和次品的产品中任意抽取一个产品取一个产品”.其结果可能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”.实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命”可长可可长可短短.随机现象的特征随机现象的特
14、征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性性（也称随机性（也称随机性).或者说，出现哪个结果或者说，出现哪个结果“凭机凭机会而定会而定”.1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.3.3.但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现这种结果的出现具有一定的统计规律性具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科象这种本质规律的一门数学学科.说
15、明说明随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?1.可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为随机试验为随机试验.二、随机试验二、随机试验说明说明 1.随机试验简称为试验随机试验简称为试验,
16、是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的“调查调查”、“观察观察”、或、或“测量测量”等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2.随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行试验可以在相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随
17、机试验同理可知下列试验都为随机试验(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面，反面正面，反面;(3)进行一次试验之前不能进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.3.记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4.考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5.从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命.我们规定不含任何元素的空集为不可能事件我们规定不含任何元素的空集为不可能事件，用用 表示。表示。三、样本空间三、样本空间 样本点样本点定义定义1.1 1.1 对于随机试
18、验对于随机试验E E，它的每一个可它的每一个可能结果称为样本点，由一个样本点组成的能结果称为样本点，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为集合称为E E 的样本空间或必然事件的样本空间或必然事件，用 或S S表示表示或者，或者，还可以用基本事件表示，还可以用基本事件表示，设设Ai=“=“掷出掷出i i点点”,”,则则(或或S)=A1，A2，A6实例实例1 如：掷一枚骰子一次的试验如：掷一枚骰子一次的试验E.Ai i是基本事件，是基本事件，i=1,2,3,4,5,6,i=1,2,3,4,5,6,11,2,3,4,5,6.S 实例实例2
19、从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况.,3DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNNS 则则.,次品次品正品正品记记DN实例实例3 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只,测试其寿命测试其寿命.06 ttS.t的寿命的寿命为灯为灯其中其中泡泡 2.同一试验同一试验,若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同.例如例如 对于同一试验对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三将一枚硬币抛掷三次次”.若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况,则样本空间则样本空间为为若观察出现正
20、面的次数若观察出现正面的次数,则样本空间为则样本空间为.3,2,1,0 S.,TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHHS 1.试验不同试验不同,对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.说明说明说明说明 3.建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学模型象的数学模型.因此因此,一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的模型模型,也可以作为产品检验中也可以作为产
21、品检验中合格合格与与不合格不合格的的模型模型,又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排无人排队队的模型等的模型等.,THS 在具体问题的在具体问题的研究中研究中,描述随机描述随机现象的第一步就是现象的第一步就是建立样本空间建立样本空间.小结 (1)概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.(2)随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.1)可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能
22、结果;3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现出现.随随机机试试验验(3)随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合称为称为 E 的样本空间的样本空间,记为记为 S.答案答案.18,5 ,4 ,3 .1 S.,12,11,10 .2 S写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间.1.同时掷三颗骰子同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和记录三颗骰子之和.2.生产产品直到得到生产产品直到得到10件正品件正品,记录生产产品记录生产产品 的总件数的总件数.课堂练习课堂练习通俗地讲通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也可能不随机事
23、件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件发生的事件(1)基本概念基本概念它们分别可以对应了样本空间它们分别可以对应了样本空间S=1,2,3,4,5,6S=1,2,3,4,5,6的的子集子集1,2,3,41,2,3,4和和2,4,62,4,6根据这个说法不难发现根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的子集有随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！一一对应关系！实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.“点数不大于点数不大于4”,“4”,“点数为偶数点数为偶数”等都为随机事件等都为随机事件.反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随机
24、事件机事件四、随机事件的概念四、随机事件的概念随机事件的定义随机事件的定义 当且仅当子集当且仅当子集中某个样本点出现时，称中某个样本点出现时，称事件事件发生发生随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称为的子集称为 E 的随机事件的随机事件,简称事件简称事件.实例实例 上述试验中上述试验中“点数不大于点数不大于6”就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中必然发生的事件随机试验中必然发生的事件不可能事件不可能事件 随机试验中不可能发生的事件随机试验中不可能发生的事件.实例实例 上述试验中上述试验中“点数大于点数大于6”就是不可能事件就是不可能事件.实例实例 “出现出现
25、1点点”,“出现出现2点点”,“出现出现6点点”.基本事件基本事件由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集特别地：特别地：(2)几点说明几点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.可设可设 A=“点数不大于点数不大于4”,B=“点数为奇数点数为奇数”等等等等.1)随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件,并以大写英文字母并以大写英文字母 A,B,C,来表示事件来表示事件2)随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机
26、事件.样本空间作为自身最大的子集包含所有的样样本空间作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示必然事件本点（基本事件），表示必然事件 空集不含任何样本点表示不可能事件空集不含任何样本点表示不可能事件 写出掷骰子试验的样本点写出掷骰子试验的样本点,样本空间样本空间,基本事件基本事件,事件事件A A出现偶数出现偶数,事件事件B B出现奇数出现奇数 i;6,1,ii,654321 解：用解：用 表示掷骰子出现的点数为表示掷骰子出现的点数为 基本事件基本事件 ;6,2,1,iiAii;,642 A.,531 B例例1.11.1注意注意:描述随机事件描述随机事件A,B,C,的方法的方法设设A=
27、“至少出现一次正面至少出现一次正面”或者或者A=(H,H),(H,T),(T,H)例如例如:将一枚硬币抛掷两次试验将一枚硬币抛掷两次试验,怎样表示至少出现一怎样表示至少出现一次正面这一事件次正面这一事件?或者设或者设X表示出现正面的次数表示出现正面的次数,则则 表示至少表示至少出现一次正面这一事件出现一次正面这一事件1X（1）同时掷三颗骰子，记）同时掷三颗骰子，记录其出现的点数之和，录其出现的点数之和，A=“点数之和为偶数点数之和为偶数”；（2）相继掷硬币两次，）相继掷硬币两次，A=“第一次出现正面第一次出现正面”，B=“两次出现同一面两次出现同一面”；（3）在）在“1,2,3,4”这这4个数
28、个数中可重复的任取中可重复的任取2个数字，个数字，A=“一个数是另一个数的一个数是另一个数的2倍倍”；（4）将一尺之棰折成三段，）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度，观察各段的长度，A=“三段三段为边可构成三角形为边可构成三角形”；练习：写出下列随机试验的样本空间及相应的事件：练习：写出下列随机试验的样本空间及相应的事件：（1）S=3,4,5,17,18A=4,6,8,16,18；（2）S=HT,TH,HH,TT,A=HT,HH,B=HH,TT；（3）S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4
29、),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，A=(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)；（4）S=(x,y,z)|x0,y0,x+y+z=1，A=(x,y,z)|(x,y,z)S,x+yz,x+zy,y+zx3.随机事件的分类：随机事件的分类：事事件件基本事件基本事件复合事件复合事件（相对于观察目的（相对于观察目的不不 可再分解的事件）可再分解的事件）（两个或一些基本事件并在（两个或一些基本事件并在一起，就一起，就 构成一个复合事件）构成一个复合事件）如在掷骰子试验如在掷骰子试验E2中，中，观察掷出的点数观察掷出的点数.事件事件 Ai=“掷出掷出i点点”i=1,2,3,4,5,
30、6事件事件 B=“掷出奇数点掷出奇数点”课堂练习：要求会写出随机试验课堂练习：要求会写出随机试验的样本空间，掌握描述随机事件的样本空间，掌握描述随机事件的方法的方法 五五 事件的关系与运算事件的关系与运算 A 包含于BBA 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B BA BA AB 且1.事件的包含2.事件的相等BA BAAB事件 A与事件B 至 少有一个发生BA发生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA A 与B 的和事件3.事件的并(和)BA或AB事件 A与事件B 同时 发生BA 发生nAAA,21的积事件 niiA1,21nAAA的积事件 A 与B 的积事件
31、1iiABAB A4.事件的交(积)5.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件A发生而发生而B不发生不发生 A 与B 互斥ABA、B不可能同时发生ABnAAA,21两两互斥,21nAAA两两互斥njijiAAji,2,1,2,1,jijiAAji6.事件的互斥(互不相容)A=“掷出点数大于掷出点数大于3”=4,5,6如：掷一次骰子试验如：掷一次骰子试验EB=“掷出点数不大于掷出点数不大于3”=1,2,3.,互不相容BABA注意注意 基本事件是两两互斥的基本事件是两两互斥的.7.互逆的互逆的事件事件 A B ,且且AB ;BAA记作，称为 的对立事件对立事件与互斥事
32、件的区别对立事件与互斥事件的区别SSABABA A、B 对立（互逆）对立（互逆）A、B 互斥互斥(互不相容互不相容)ABSBA且且 AB互斥互斥对立对立A 是是A的对立事件，的对立事件，A=两件产品不都是合格品两件产品不都是合格品在概率论中，常常叙述为：在概率论中，常常叙述为：A=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品?AA=两件产品都是合格品两件产品都是合格品，例如，从一批产品中任取两件，观察合例如，从一批产品中任取两件，观察合格品的情况格品的情况.记记问：问：A=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品它又可写为两个互不相容的事件之和它又可写为两个
33、互不相容的事件之和A=两件产品中恰有一个是不合格品两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品两件产品中都是不合格品8.完备完备事件组niiA1nAAA,21若 两两互斥，且nAAA,21则称 为完备完备事件组1AnA1nA2A3AnAAA,21或称 为 的一个划分五、事件的运算1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶原理对偶原理(De Morgan律律):1111,.kkkkkkkkABABABABAAAA可推广 对于一个具体事件，要学会用数学符
34、对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么件，要清楚其具体含义是什么.也就是说，要正确无误地也就是说，要正确无误地“互译互译”出来出来.例例1：A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销”则则 =“？”分析：令分析：令B=“甲种产品畅销甲种产品畅销”,C=“乙种产品畅销乙种产品畅销”则知则知 由对偶原理由对偶原理,ACBA _甲滞销或乙畅销CBCBCBAA B)(BA BABABA)(红色红色区域区域黄色黄色区域区域交交例例2 2 用图示法简化用图示法简化.)(BABAABAA)(BA例例3
35、 3 化简事件ACCBA)(解解 原式ACCBAACCBCACBAACCBAACCBA)(CBCCA)(CBA CBACCA例例4 4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A,B,C 都不发生CBACBA A,B,C 不都发生CBAABC例例5 5 在图书馆中随意抽取一本书，A表示数学书，B表示中文书，C表示平装书.抽取的是精装中文版数学书CABBC 精装书都是中文书BA 非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件(1)没有一个是次品没有一个是次品;(2)至少有一个是次品至少有一个是次品;(3)只有一个是次品只有一个是次品;(4)至少有三个不是次品至少有三个不是次品;(5)恰好有三
36、个是次品恰好有三个是次品;(6)至多有一个是次品至多有一个是次品.解解;)1(4321AAAA:,)4,3,2,1(,示示下下列列各各事事件件表表试试用用个个零零件件是是正正品品产产的的第第表表示示他他生生零零件件设设一一个个工工人人生生产产了了四四个个iiAiiA 例例64321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA43214321AAAAAAAA43214321AAAAAAAA43214321AAAAAAAA,4321AAAA;4321AAAA或或;)3(4321432143214321AAAAAAAA
37、AAAAAAAA4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA;4321AAAA;)5(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA.)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA例例7 设设A,B,C为三个事件，试为三个事件，试A,B,C用表示下列事件：用表示下列事件：ABCCBA)(CBACBA或或CBACBACBA ABCABCABCABCABBCAC或（1）=“三个事件都发生三个事件都发生”（2）=“A发生，但发生，但B与与C不发生不发生”（3）=“三个事件恰有一个发生三个事件恰有一个发生”（4）=“三
38、个事件至少有两个发生三个事件至少有两个发生”（5）=“三个事件至多有一个发生三个事件至多有一个发生”CBACBACBACBA本节要求：弄清：本节要求：弄清：“恰有、只有、至多、至少、都发生、恰有、只有、至多、至少、都发生、都不发生都不发生”等含义等含义;会求会求 (先确定先确定A及及的内涵的内涵,)A随机现象的特征随机现象的特征:1条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.(1)可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事 先明确试验的所有
39、可能结果先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现出现.随随机机试试验验 3.随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件必然事件必然事件,不可能事件是两个特殊的不可能事件是两个特殊的 随机事件随机事件 设完成一件事有设完成一件事有m种方式（只要选择其种方式（只
40、要选择其中一种方式即可完成这件事），第一种方式中一种方式即可完成这件事），第一种方式有有n1种方法，第二种方式有种方法，第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法种方法.则完成这件事总共有则完成这件事总共有N=n1+n2+nm 种方法种方法.例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,可以乘火车可以乘火车(火火车有两班车有两班),也可以乘轮船也可以乘轮船(轮船有三班轮船有三班).乘坐不同班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法次的火车和轮船，共有几种方法?答答:3+2 种方法种方法排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习基本计数原理基本计数原理-1.加法原理加法
41、原理基本计数原理基本计数原理22.乘法原理 设完成一件事有设完成一件事有m个步骤个步骤(仅当仅当n个步骤都完个步骤都完成才能完成这件事成才能完成这件事)，第一个步骤有，第一个步骤有n1种方法，第种方法，第二个步骤有二个步骤有n2种方法种方法,第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,则完成这件事共有则完成这件事共有 种不同的种不同的方法方法.mnnn21例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有多少种打扮？(可以有可以有 种打扮种打扮)233.排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式从从3个元素取出个元素取出2个的排列总数
42、有个的排列总数有6种种623P从从3个元素取出个元素取出2个的组合总数有个的组合总数有3种种323Ck=n时称全排列时称全排列!)(nnnnpPnnn1221)1()2)(1(knnnnpkn(1)、排列、排列:从从n个不同元素取个不同元素取 k个个 的不同排列总数为：的不同排列总数为：nk 1)!(!knn允许重复的排列：从允许重复的排列：从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）（个（允许重复）（1 k n)的不同排列的不同排列总数为：总数为：knnnn 例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k=3123第第1张张4123第第2
43、张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法不尽相异元素的全排列不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，第 i 类中有 个相同的元素，ik,21nkkkm将这 n 个元素按一定的次序排成一排，!21mkkkn种不同的排法共有!)!(!kknnkPCknkn(2)、组合、组合:从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：knC常记作常记作kn，称为组合系数。，称为组合系数。!kCPknkn组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：kn(3)、组合系数与二项式展开的关系、组合系数与二项式展开的关系knknknbaknba0)(例：从件产品例：从件产品(其中含三件次品其中含三件次品)中任取中任取件，有件，有120种选法种选法;任选的这三件中恰有一件是次品，有任选的这三件中恰有一件是次品，有种选法；种选法；任选的这三件中至少有一件是次品，任选的这三件中至少有一件是次品，有种选法；有种选法；310C2713CC373103317232713CCCCCCC
