1、 华大新高考联盟华大新高考联盟 2020 届高三届高三 1 月教学质量测评月教学质量测评 文科数学文科数学 本试题卷共 4 页，23 题（含选考题） 全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 祝考试顺利 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效 4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指
2、定的位置用 2B 铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的 答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 5考试结束后，请将答题卡上交 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1设(25 )(3)zii，则|z （ ） A5 29 B290 C2 70 D4 35 2已知集合| 38Uxx Z， 2,1,3,4,7 UM ， 2, 1,2,4,5,7N ，则MN的元素 个数为（ ） A1 B2 C3 D4 3已知 4 6a ， 5
3、4 4 log 21 b ， 2.9 1 3 c ，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 42019 年 10 月 1 日，为了庆祝中华人民共和国成立 70 周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独 立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会， 这三幅十字绣分别命名为 “鸿福齐天” 、 “国富民强” 、 “兴国之路” ， 为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说： “鸿福齐天”是我制作的； 小红说： “国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说： “兴国之路”不是我制作的 若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（
4、） A小明 B小红 C小金 D小金或小明 5函数 2 sincos ( ) 20 xxx f x x 在 2 ,0)(0,2 上的图像大致为（ ） A B C D 6为了了解公司 800 名员工对公司食堂组建的需求程度将这些员工编号为 1，2，3，800，对这些员工 使用系统抽样的方法等距抽取 100 人征求意见，有下述三个结论： 若 25 号员工被抽到，则 105 号员工也会被抽到； 若 32 号员工被抽到，则 1 到 100 号的员工中被抽取了 10 人； 若 88 号员工未被抽到，则 10 号员工一定未被抽到 其中正确的结论个数为（ ） A0 B1 C2 D3 7已知向量( ,1)am
5、r ，( 1,2)b r ，若(2 )abb rrr ，则a r 与b r 夹角的余弦值为（ ） A 2 13 13 B 2 13 13 C 6 13 65 D 6 13 65 8若tan()3a，tan2，则 3 sin 2 sin() （ ） A 1 7 B7 C 1 7 D7 9 框图与程序是解决数学问题的重要手段 实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后， 可以制作框图， 编写程序，得到解决例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入 1 15x ， 2 16x ， 3 18x ， 4 20x ， 5 22x ， 6 24x ， 7 25x ，则图中空白框中应填入（
6、 ） A6, 7 S iS B6, 7 S iS C6,7iSS D6,7iSS 10已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，点(0,)Mm若线段 2 F M与 双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，且 2 NOF的面积是MON的 2 倍，则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B3 C 5 2 D 6 2 11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若tan7C ，2ca，3 2b 时，则 ABC的面积为（ ） A3 7 B 3 7 2 C 3 7 4 D 3 7 8 12已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右
7、焦点分别为 1 F， 2 F，点 11 ,P x y， 11 ,Qxy在椭圆C 上，其中 1 0x ， 1 0y ，若 2 | 2|PQOF， 1 1 3 3 QF PF ，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ） A 61 0, 2 B(0, 62 C 2 , 31 2 D(0, 31 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分分 13曲线 2 2 x xx y e 在点(0,0)处的切线方程为_ 14设 n S为正项等比数列 n a的前n项和，若 2 4S ， 4 20S ，则 n a _ 15函数 2 ( )tan60 sin22 3sinf x
8、xx在, 2 上的值域为_ 16已知四棱锥PABCD中的外接球O的体积为36，3PA，PA 平面ABCD，四边形ABCD为 矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥MABCD体积的最大值为_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答题为选考题考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将
9、A地 区 200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示 （1）求a的值； （2）求A地区 200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数； （3）不经过计算，直接给出A地区 200 家实体店经济损失的平均数x与 6000 的大小关系 18记 n S为等差数列 n a的前n项和，且 10 4a， 15 30S （1）求数列 n a的通项公式以及前n项和 n S； （2）记数列 4 2 n a n a 的前n项和为 n T，求满足0 n T 的最小正整数n的值 19四棱锥SABCD如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ADDC，SA平面 ABCD， 1 2 DADCA
10、B，AC与BD交于点G，直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为 2 5 5 ，点 M在线段SA上 （1）若直线SC平面MBD，求 SM MA 的值； （2）若1DA ，求点A到平面SCD的距离 20已知函数 sin ( ) x f x x （1）判断函数( )f x在(0,2 )上的单调性； （2）若0a，求证：当(0, )x时， 1 ( )lnf xa x 21已知椭圆 2 2 :1 5 x Cy的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点M，N在椭圆C上 （1）若线段MN的中点坐标为 1 2, 3 ，求直线MN的斜率； （2）若M，N，O三点共线，直线 1 NF与椭圆C交于N，P两点，求PMN
11、面积的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22cos , 2sin x y （为参数） ，以原点为极点，x轴的非 负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 22 4 cos4sin （1）求曲线 1 C的极坐标方程以及曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若直线: l ykx与曲线 1 C、曲线 2 C在第一象限交于P，Q两点，且| 2|OPOQ，点
12、M的坐标 为(2,0)，求MPQ的面积 23选修 4-5：不等式选讲 已知0a ，0b，0c （1）求证： 44 4224 22 ab ab aa bb ab ； （2）若1abc ，求证： 333 abcabbcac 华大新高考联盟华大新高考联盟 2020 届高三届高三 1 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准理科数学参考答案和评分标准 一、选择题一、选择题 1 【答案】B 【命题意图】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想 【解析】依题意，(25 )(3)6215511 13ziiiii，故|121 169290z ，故选 B 2 【答案】C
13、 【命题意图】本题考查集合的表示、集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想 【解析】 依题意， 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,7U ， 则 1 , 0 ,2 , 5 , 6 M ， 故 1 ,2 , 5 MN ， 则MN 的元素个数为 3，故选 C 3 【答案】B 【命题意图】本题考查指数对数的大小比较，考查推理论证能力以及化归与转化思想 【解析】 依题意， 1 0 4 4 6661a ， 55 44 4 loglog 10 21 b ， 2.90 11 01 33 c ， 故a c b， 故选 B 4 【答案】B 【命题意图】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及分类讨论思想
14、 【解析】依题意，三个人制作的所有情况如下所示： 1 2 3 4 5 6 鸿福齐天 小明 小明 小红 小红 小金 小金 国富民强 小红 小金 小金 小明 小红 小明 兴国之路 小金 小红 小明 小金 小明 小红 若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则 4 满足；若小金的说法正确，则 3 满足故“鸿 福齐天”的制作者是小红，故选 B 5 【答案】A 【命题意图】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想 【解析】依题意， 22 sin()() cos()sincos ()( ) 2020 xxxxxx fxf x xx ，故函数( )f x为偶函数， 图像关于y轴对称
15、，排除 C；而 2 ( )0 20 f ，排除 B； 2 (2 )0 5 f ，排除 D故选 A 6 【答案】B 【命题意图】本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想 【解析】依题意，将这 800 人分为 100 组，每组 8 人，即分段间隔为 8；因为 10525 10 8 ，故正确； 若 32 号员工被抽到，则 1 到 100 号的员工中被抽取的号码为 8，16，24，32，40，48，56，64，72，80， 88，96，共计 12 人，故错误；若 88 号员工未被抽到，则 10 号员工可能被抽到，故错误故选 B 7 【答案】B 【命题意图】本题考查向量的坐标运算、向量的数量
16、积应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想 【解析】依题意，2(2, 3)abm rr ，而(2 )0abb rrr ，即260m，解得8m，则 102 13 cos, 13565 a b r r ，故选 B 8 【答案】B 【命题意图】本题考查诱导公式、两角差的正切公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想， 【解析】 3 sin tan()tan1cos12 tantan()7 1tan()tan7sin()sintan a ， 故选 B 9 【答案】A 【命题意图】本题考查算法与程序框图考查推理论证能力以及化归与转化思想 【解析】程序框图是为了计算 7 个数的方差，即输出的 222 127
17、 1 202020 7 Sxxx L， 观察可知，选 A 10 【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想 【解析】不妨设0m， 2 |NF即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故 2 NFb，因为 2 NOF的面积是 MON的 2 倍，故 22 23 MOFNOF SS ，不妨设0m，则直线 2: () a MFyxc b ，故 ac m b ，而 22 23MFNF，则 22 2 2 23 a c cb b ，即 22 3ac，故3 c e a ，故选 B 11 【答案】B 【命题意图】本题考查解三角形，考查运算求解能力以及化归与转化思想 【解析】因为
18、sin tan7 cos C C C ，且 22 sincos1CC，解得 14 sin 4 C ， 2 cos 4 C 而 2 sinsin ac ca AC ，所以 114 sinsin 28 AC， 5 2 cos 8 A，故 3 7 sinsin()sin()sincoscossin 8 BACACACAC 因为 sinsin ab AB ，3 2b ， 故2a ，故 11143 7 sin23 2 2242 ABC SabC ，故选 B 12 【答案】C 【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想 【解析】设 1 PFn， 2 PFm，由 1 0x ， 1
19、 0y ，知mn，由 11 ,P x y， 11 ,Qxy在椭圆C上， 2 | 2|PQOF，可知四边形 12 PFQF为矩形， 12 QFQF；由 1 1 3 3 QF PF ，可得 3 1 3 m n ，由椭圆的 定 义 可 得2mna， 222 4mnc， 平 方 相 减 可 得 22 2mnac， 所 以 222 22 4 2 cmnmn mnnmac ，而 4 3 2 3 mn nm ，即 2 22 44 3 2 32 c ac ，由 2 22 4 2 2 c ac ， 可得 22 2ac， 2 2 c e a ，由 2 22 44 3 32 c ac ，可得 2 2 2 2 42
20、3( 31) 23 c a ，所以 31 c e a ，即 2 31 2 e，故选 C 二、填空题二、填空题 13 【答案】2yx 【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及数形结合思想 【解析】依题意， 22 2 (22)2(22)2 x x x x xeexxxxx y ee ，故 0 2 x ky ，故所求切线 方程为2yx 14 【答案】 1 2 3 n 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想 【解析】 记数列 n a的公比为q， 显然1q ， 则 4 2 4 2 2 1 15 1 Sq q Sq ， 解得2q ； 而0
21、n a ， 故2q ， 故 2121 34Saaa，解得 1 4 3 a ，故 1 1 42 2 33 n n n a 15 【答案】63,2 3 【命題意图】本题考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想 【解析】依题意， 2 ( )3sin232 3sin33sin23cos236sin 23 4 f xxxxxx ， 当 , 2 x 时， 37 2, 444 x ，故 2 sin21, 42 x ，故 6sin2363,23 4 x 16 【答案】 81 4 【命题意图】本题考查组合体与球，考查空间想象能力以及数形结合思想 【解析】依题意， 3 4 363 3 RR，将四
22、棱锥PABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体 的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，且3c ，由于 22 27ab，又 22 2abab， 当且仅当 3 6 2 ab时等号成立， 此时 max 27 () 2 ab， 要使得四棱锥MABCD的体积最大， 只需点M 为平面ABCD的中心 O 与球心O所在的直线与球的交点， 又 2 22 2 273 9 242 ab OOR ， 故MABCD体积的最大值为 127381 3 3224 三、解答题三、解答题 17 【命題意图】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然与或然思想 【解析】 （1）依题意，(0.0
23、00150.00020.00006)20001a， 解得0.00009a （2）由图可知，A地区 200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为 3000， 第一块小矩形的面积 1 0.3S ，第二块小矩形的面积 2 0.4S ， 故所求中位数在2000,4000)之间，故所求中位数为 0.50.3 20003000 0.0002 （3）6000x 18 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的前n项和公式，考查运算求解 能力以及函数与方程思想 【解析】 （1）记数列 n a的公差为d， 1588 3015302Saa， 故 108 1 108 aa d ， 故 10
24、 (10)4106 n aandnn， 2 1 (1)(1)11 5 2222 n n ndn nnn Snan （2）依题意， 42 262 n an n an ， 102 (11)21 ( 546)222 22 n n n n n Tn ， 当1n 时， 1 1 1 1021 0 2 T ； 当2n 时， 2 2 2921 0 2 T ； 当3n 时， 3 3 3 821 0 2 T ； 当4n 时， 4 4 4721 0 2 T ； 当5n时， (11) 15 2 n n ， 2131 22 n ，所以0 n T 故满足0 n T 的最小正整数n的值为 5 19 【命題意图】 本题考查空
25、间线面的位置关系、 空间几何体的结构特征、 空间想象能力以及数形结合思想 【解析】 （1）连接MG 因为ABAD，ADDC，故ABCD 设1DC ，2AB ，得2 AGAB GCDC 因为SC平面MBD，平面SAC平面MBDMG，SC 平面SAC， 故SCMG，故 1 2 SMCG MAAG （2）在平面SAD内作ANSD于点N， 因为SA平面ABCD，所以DCSA， 又DCAD，SAADA，得DC 平面SAD 因为AN 平面SAD，所以CDAN 又SDCDD，所以AN 平面SCD 因为直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为 2 5 5 ， 即 2 5 sin 5 ASC， 又2AC ，故 1
26、0 2 SC ， 则 2 2 SA，而1AD ，SAAD，得 6 2 SD ， 3 3 AN ，即点A到平面SCD的距离为 3 3 20 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想 【解析】 （1）依题意， 2 cossin ( ) xxx fx x ， 令( )cossing xxxx ，则( )sing xxx， 故当(0, )x时，( )0g x，当( ,2 )x时，( )0g x， 故 max ( )( )0g xg，故( ) 0g x 在(0,2 )上恒成立， 故( ) 0fx， 即函数( )f x在(0,2 )上单调递减 （2）依题意， 1sin
27、 ( )lnln0 x f xaax xxx 下面证明：当(0, )x时， sin 01 x x ；当0a时，ln1ax x ； 事实上，( )sinh xxx，则( )1cos0h xx ，所以( )sinh xxx在(0, )上单调递增， 故( )(0)0h xh，则sin0xx， 又0x ，sin0x ，则 sin 01 x x ， 令( )lns xax x ，则 22 ( ) aax s x xxx ， 由( )0s x，得( )s x的极小值点为 0 x a ，若 0 (0, )x a ，则1a， 则 00 0 lnln1s xaxaaa xa ，故( )ln1s xax x ，
28、若 0 x a ，即01a，则( )s x在(0, )上单调递减，故( )( )1ln1s xsa 综上所述，当0a时，ln1ax x ， 则 sin ln0 x ax xx ，即 1 ( )lnf xa x 21 【命题意图】本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想 【解析】设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 2 2 1 1 1 5 x y， 2 2 2 2 1 5 x y， 两式相减，可得 1212 1212 0 5 xxxx yyyy ， 即 1212 42 0 53 xxyy ， 解得 12 12 6 5 yy xx ，即直线MN的斜率为
29、6 5 （2）显然直线 1 NF的斜率不为 0，设直线 1 NF：2xmy， 11 ,N x y， 22 ,P x y， 联立 22 2, 55, xmy xy 消去x整理得 22 5410mymy ， 显然 2 2010m ，故 12 2 4 5 m yy m ， 12 2 1 5 y y m ， 故PMN的面积 2 112 2 14 51 22 25 PMNOPN m SSOFyy m ， 令 2 1mt ，其中1t， 2 4 54 54 5 5 4 44 2 PMN t S t t t t t ， 当且仅当2t ，即3m 时等号成立，即PMN面积的最大值为5 22 【命题意图】本题考查极
30、坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义， 考查推理论证能力以及数形结合思想 【解析】 （1）依题意，曲线 22 1:( 2)4Cxy，即 22 40xyx， 故 2 4 cos0，即4cos 因为 2 22 4 cos4sin ，故 2222 cos4sin4， 即 22 44xy，即 2 2 1 4 x y （2）将 0 代入 2 22 4 cos4sin ，得 2 2 0 4 13sin Q ， 将 0 代入4cos，得 0 4cos P ， 由| 2|OPOQ，得2 PQ ，即 2 0 2 0 16 4cos 13sin ， 解得 2 0 2 sin 3 ，则
31、 2 0 1 cos 3 又 0 0 2 ，故 2 0 42 3 13sin3 Q ， 0 4 3 4cos 3 P ， 故MPQ的面积 0 12 2 |sin 23 MPQOMPOMQPQ SSSOM 23 【命题意图】本题考查证明不等式的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归与转化思想 【解析】 （1）要证 44 4224 22 ab ab aa bb ab ， 即证 22422444 abaa bbab ab， 即证 6655 aba bab， 即证 6655 0aba bab， 即证 55 ()()0a abab b， 即证 55 () 0abab， 该式显然成立，当且仅当ab时等号成立， 故 44 4224 22 ab ab aa bb ab （2）由基本不等式得 333 3abcabc， 33 1 3abab ， 33 1 3bcbc ， 33 1 3acac ， 当且仅当1abc时等号成立 将上面四式相加，可得 333 3333 3333abcabcabbcac， 即 333 abcabbcac
