1、书书书数学试题 第?页?共?页?保密?启用前准考证号姓名?在此卷上答题无效?名校联盟全国优质校?届高三大联考数 学 试 题?本试卷共?页?总分?分?考试时间?分钟?注意事项?答卷前?考生务必将自己的姓名?准考证号和座号填在答题卡上?正确粘贴条形码?作答选择题时?用?铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑?非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上?不准使用铅笔和涂改液?考试结束后?考生上交答题卡?一?单项选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?设集合?槡?集合?则?若复数?满足?则?在复平面上所对应的点位于?第一象限?第二象限?第
2、三象限?第四象限?在梯形?中?设?若?则?设圆?若直线?在?轴上的截距为?则?与?的交点个数为?以上都有可能?甲?乙两选手进行羽毛球单打比赛?已知每局比赛甲获胜的概率为?乙获胜的概率为?若采用?局?胜制?则甲以?获胜的概率为?第?题图?如图?正六边形?的边长为?设边?的中点分别为?已知某几何体是由此正六边形?绕直线?旋转一周而成?则该几何体的体积为槡?槡?槡?槡?数学试题 第?页?共?页?已知?则?已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心?若函数?且?为曲线?的对称中心?则必有?其中函数?若实数?满足?则?二?多项选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?有多项符合
3、题目要求?全部选对的得?分?部分选对的得?分?有选错的得?分?设函数?则下列结论正确的为?的最小正周期为?的图象关于点?对称?的图象可由函数?的图象向左平移?个单位长度得到?在?上的最大值为?第?题图?如图?在棱长为?的正方体?中?点?分别为?的中点?若点?在线段?上运动?则下列结论正确的为?与?为共面直线?平面?平面?三棱锥?的体积为定值?与平面?所成角的正切值为槡?已知直线?经过抛物线?的焦点?且与?交于?两点?过?分别作直线?的垂线?垂足依次记为?若?的最小值为?则下列结论正确的为?为钝角?若点?在?上?且?为?的重心?则?数学试题 第?页?共?页?若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切
4、?则称该直线为这些曲线的公切线?已知直线?为曲线?和?的公切线?则下列结论正确的为?和?关于直线?对称?当?时?若?则?当?时?和?必存在斜率为?的公切线三?填空题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?设等差数列?的前项和为?若?则公差?若?的展开式的二项式系数之和为?则?的展开式中?的系数为?已知?若不等式?恒成立?则实数?的最小值为?在平面直角坐标系?中?为坐标原点?记?为双曲线?的左焦点?以?为直径的圆与?的一条渐近线交于?两点?且线段?与?交于点?若?则?的离心率的取值范围为?四?解答题?本大题共?小题?共?分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?分?设数列?的前?项和为?若?求?
5、的通项公式?设?求数列?的前?项和?分?设?的三个角?的对边分别为?且?求?已知?且?边上存在点?使得?平分?当?时?求?的面积?数学试题 第?页?共?页?分?某校筹办运动会?设计了方案一?方案二两种方案?为了解对这两种方案的支持情况?在校内随机抽取?名同学?得到数据如下?男女支持不支持支持不支持方案一?人?人?人?人方案二?人?人?人?人?假设校内所有同学支持何种方案互不影响?依据所给数据及小概率值?的独立性检验?能否认为支持方案一与性别有关?以抽取的?名同学的支持率高低为决策依据?应选择哪种方案?用频率估计概率?从全校支持方案一的学生中随机抽取?人?其中男生的人数记为?求随机变量?的分布列
6、和数学期望?附?其中?分?第?题图?在四棱锥?中?侧棱?平面?且平面?平面?证明?若?且?记平面?与平面?的夹角为?当?槡?时?求?的长度?分?在平面直角坐标系?中?是坐标原点?点?分别为椭圆?的上?下顶点?直线?与?有且仅有一个公共点?设点?在?上运动?且?不在坐标轴上?当直线?的斜率为槡?时?的右焦点恰在直线?上?求?的方程?设直线?交?轴于点?直线?交?于点?直线?交?于?两点?证明?直线?的斜率为定值?求?面积的取值范围?分?已知函数?判断?在区间?上的单调性?若?恰有两个不同的零点?且?证明?高三数学参考答案及评分标准第 1 页 共 11 页绝密启用前试卷类型：A名校联盟全国优质校名
7、校联盟全国优质校 20232023 届高三大联考届高三大联考数学试题参考数学试题参考答案答案与与评分参考评分参考一、单项选择题：题号12345678答案DCACBBDA二、多项选择题：题号9101112答案BDBCACABD12.若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线已知直线:l ykxb为曲线1:eaxCy 和2ln:xCya(0)a 的公切线，则下列结论正确的为A1C和2C关于直线yx对称B当1a 时，1e1bkC若0b，则12a D当1a 时，1C和2C必存在斜率为1k的公切线解析：不妨设l与1:eaxCy 和2ln:xCya依次相切于点11(,)A x y
8、，22(,)B xy，（1）考查选项 A：已知函数(e)axy 和elogayx互为反函数，则1C和2C关于直线yx对称，故选项 A 正确；（2）考查选项 B：当1a 时，由l与2C相切可知222ln1xkxbkx，1lnbk ，1ln1ee1bkkkkk，故选项 B 正确；（3）考查选项 C：若0b，则:l ykx，不难知道，有111e,e,axaxkxak，且222ln,1,xkxakax，由可得22ln1xkxaa，又0a，2ln1x，即2ex，1eka，高三数学参考答案及评分标准第 2 页 共 11 页由可得1akxk，显然0k，11ax，eak，1eeaa，即1ea，故选项 C 错误
9、；（4）考查选项 D：由l与1C相切可知111eexxkxbk，1lnxk，lnbkkk，由（2）可知1lnlnbkkkk ，1(1)ln0kkk，设函数()1(1)lng xxxx，依题可得()0g k，又11111ln1(1)ln()1(1)ln1ln0kkkkgkkkkkkkk ，1C和2C亦存在斜率为1k的公切线，故选项 D 正确；综上所述，应选 ABD.三、填空题：13.2；14.10；15.22；16.(2,)16 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，记1F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点，以1OF为直径的圆与C的一条渐近线交于O，A两点，且线段1AF与C交
10、于点B，若11FBF A1()2，则C的离心率的取值范围为解析：易知1|F Ab，11FBF A，1|FBb，记C的右焦点为2F，连接2BF，2|2F Bab，在12FBF中，2222214(2)cos4bcabbaF FBbcc，1OF A为直角三角形，211coscosbF FBOF Ac，babcc，化简得bab，线段1AF与C交于点B，且12，12bab，即ab，2222abca，即222ac，22e，(2,)e，故应填(2,)三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1
11、7（10 分）设数列na的前n项和为nS，若11a，11nnSa（1）求na的通项公式；高三数学参考答案及评分标准第 3 页 共 11 页（2）设1nnbna*()nN，求数列nb的前n项和nT解：（1）11a，11nnSa121Sa，解得22a 1 分当2n 时，11nnSa，11nnnnnaSSaa，2 分12nnaa，即12nnaa3 分212aa也满足上式，4 分na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，12nna5 分（2）由（1）知12nna，2nnbn，231 2223 22nnTn ，则23121 222(1)22nnnTnn，6 分得，23122222nnnTn 7 分121
12、2212nnn（）8 分1(1)22nn，9 分12(1)2nnTn 10 分18（12 分）设ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsinsinABacCab（1）求B；（2）已知3b，且AC边上存在点D，使得BD平分ABC 当2BD 时，求ABC的面积解：（1）sinsinsinABacCab，由正弦定理得abaccab，1 分化简得222bacac，2 分高三数学参考答案及评分标准第 4 页 共 11 页由余弦定理得2221cos22acbBac，3 分又(0,)B，3B 4 分（2）如图所示ABCABDCBDSSS，5 分即111sinsinsin222BA BCAB
13、CBA BDABDBC BDCBD，7 分由BD平分ABC，可化简得32BABCBA BC，8 分又由余弦定理得2222cosACBABCBABCB，10 分联立，解得6BA BC，11 分13 3sin22ABCSBA BCABC12 分19（12 分）某校筹办运动会，设计了方案一、方案二两种方案为了解对这两种方案的支持情况，在校内随机抽取100名同学，得到数据如下：男女支持不支持支持不支持方案一20人40人30人10人方案二35人25人25人15人假设校内所有同学支持何种方案互不影响(1)依据所给数据及小概率值=0.001的独立性检验，能否认为支持方案一与性别有关？(2)以抽取的100名同
14、学的支持率高低为决策依据，应选择哪种方案？（第 18 题图）高三数学参考答案及评分标准第 5 页 共 11 页(3)用频率估计概率，从全校支持方案一的学生中随机抽取3人，其中男生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望附：22()()()()()n adbcab cdac bd，其中=n abcd0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)易得如下列联表：性别方案一合计支持不支持男204060女301040合计50501001 分零假设为0H：支持方案一与运动员的性别无关根据列联表中的数据，经计算得到20.0201100(20
15、103040)50=16.66710.82850 5040603x，3 分依据小概率值=0.001的独立性检验，可以推断0H不成立，即认为支持方案一与运动员的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.0014 分(2)由题设表格中的数据可知，支持方案一的频率为20301=204030102，支持方案二的频率为35253=352525 155，1325，本次运动会应选择方案二6 分(3)男生支持方案一的概率为202=20305，女生支持方案一的概率为303=20305，则2(3,)5X B，X的可能取值为0，1，2，3，8 分033327(0)()5125P XC，1232354(1)()55125
16、P XC，2232336(2)()55125P XC，高三数学参考答案及评分标准第 6 页 共 11 页33328(3)()5125P XC，10 分X的分布列为X0123P271255412536125812511 分26()355E X 12 分20（12 分）在四棱锥PABCD中，侧棱PA平面ABCD，且平面PAD平面PCD(1)证明：ADCD；(2)若ADBC，且222BCAPAD，记平面BPC与平面PCD的夹角为，当10cos5时，求CD的长度解：(1)证明：如图 1，过A作AEPD，且垂足为E，平面PAD平面PCD，平面PAD平面PCDPD，AE平面PCD，1 分又CD平面PCD，
17、AECD，2 分PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，3 分又PAAEA，,PA AE平面PAD，CD平面PAD，4 分又AD平面PAD，ADCD5 分(2)设BC的中点为F，连接AF，ADBC，12ADBCFC，ADCD，四边形AFCD为平行四边形，又ADCD，ADAF，6 分(第 20 题图)(图 1)(图 2)高三数学参考答案及评分标准第 7 页 共 11 页设(0)CDt t，以A为原点，AF，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图 2 所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)P，(0,1,0)D，(,1,0)C t，(,1,0)B t，1 1(0,)2 2E，(,1,
18、1)PCt，(0,2,0)BC，1 1(0,)2 2 AE，7 分由(1)知AE平面PCD，平面PCD的一个法向量为(0,1,1)n，8 分设(,)mx y z为平面PBC的一个法向量，则0,0,m PCm BC0,20,txyzy即,0,ztxy，令1x，得(1,0,)mt，9 分2cos,21tm nt，10 分平面BPC与平面PCD夹角的余弦值为105，210|521tt，解得2t，2CD12 分21（12 分）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆2222:1xyCab（0ab）的上、下顶点，直线:2l x与C有且仅有一个公共点，设点D在C上运动，且D不在坐标轴上，
19、当直线BD的斜率为3时，C的右焦点恰在直线BD上(1)求C的方程；(2)设直线BD交x轴于点P，直线AD交l于点Q，直线PQ交C于M，N两点(i)证明：直线PQ的斜率为定值；(ii)求OMN面积的取值范围解：(1)l与C有且只有1个公共点，2a，1 分记C的右焦点为(,0)F c，由题可知当直线BD的斜率为3时，F恰在直线BD上，60OFB，tan3bOFBc，2 分又2224bca，3b，1c，椭圆C的方程为22143xy3 分（2）(i)设00(,)D xy，显然00 x，且直线AD，BD的斜率存在，不妨依次设为1k，2k，0103ykx，0203ykx，4 分高三数学参考答案及评分标准第
20、 8 页 共 11 页直线AD，BD的方程分别为0033yyxx，0033yyxx，直线AD交:2l x 于点Q，且直线BD交x轴于点P，000232 3(2,)yxQx，003(,0)3xPy，5 分易知00323xy，否则(2,0)P在椭圆C上，即点D与P重合，这与D不在坐标轴上矛盾，直线PQ的斜率存在，不妨设其为3k，0020000032000000232 323+363322 323yxxyx yxkxxx yxy，6 分00(,)D xy在C上，2200143xy，即2200334xy，代入上式得，2000032000033+3322322 3xx yxkxx yx，直线PQ的斜率为
21、32，即直线PQ的斜率为定值8 分(ii)不妨设直线PQ的方程为32yxm，联立2214332yyxxm得，22064 3412xmxm，9 分由248(6)0m 得，66m，显然O不在直线MN上（否则不存在OMN），即O不在直线PQ上，0m，不难知道3m，否则将与D不在坐标轴上矛盾，综上可知，66m，且3m，0m，10 分设11(,)M x y，22(,)N xy，易知122 33mxx，且212263mx x，2212121237216|1|()4423mMNxxxxx x，设O到直线MN的距离为d，即O到直线PQ的距离为d，易知2|7md，高三数学参考答案及评分标准第 9 页 共 11
22、页记OMN的面积为S，2422162|637113|223mSdmMmNm，11 分66m，且3m，0m，2(0,3)(3,6)m，42226(3)9(0,9)mmm ，4263(0,3)3mmS，OMN面积的取值范围为(0,3)12 分22（12 分）已知函数()e ln2af xxaxa()aR.(1)判断()f x在区间(e,)上的单调性；(2)若()f x恰有两个不同的零点1x，2x，且12xx，证明：12434xxaa.解：(1)易知ee()aaaxfxaxx，1 分若0a，则()0fx恒成立，()f x在区间(e,)上单调递增，2 分若0a，当e(0,)axa时，()0fx，()f
23、 x在区间e(0,)aa上单调递增，当e(,)axa时，()0fx，()f x在区间e(,)aa上单调递减，3 分下面判断eaa与e的大小关系，令函数()e0aagaa，则2e(1)()(0aaaaga，当(0,1)a时，()0g a，()g a在区间(0,1)上单调递减，当(1,)a时，()0g a，()g a在区间(1,)上单调递增，min()(1e()e)ag ag aga，eeaa，即1eaa（*），等号当且仅当1a 时取得，4 分当0a，且1a 时，()f x在区间e(e,)aa上单调递增，在区间e(,)aa上单调递减；当1a 时，()f x在区间(e,)上单调递减，综上所述，若0a
24、，则()f x在区间(e,)上单调递增；若1a，则()f x在区间(e,)上单调递减；若0a，且1a，则()f x在区间e(e,)aa上单调递增，在区间e(,)aa上单调递减.5 分高三数学参考答案及评分标准第 10 页 共 11 页(2)由(1)可知若()f x有两个不同的零点，则0a，且极大值e()0afa，易知eee()e ln()e2e ln()12aaaaaafaaaaa，由不等式（*）可知eeaa，ee ln()10aaa，当0a 时，e()0afa恒成立，6 分显然有11e ln20axaxa，且22e ln20axaxa，两式相减可得2121elnlnaxxxxa，7 分不妨设
25、21xtx，则1t，且21xtx，1(1)elnatxta，即1eln1atxat，2eln1attxat，12elnlne(1)ln()111aatttttxxattat，8 分（方法一）由不等式（*）可知1lnxx，111lntt，9 分又1210t，1211(1)1ln11tttt，1112ln11ttt，即12ln1ttt，亦即12ln1ttt，(1)ln21ttt，122eaxxa，10 分由12xx可知2e(,)axa，欲证12434xxaa，只需证22e424axaaa，只需证4e44aaaa，即证24e44aaa，11 分即证22e2aa，亦即证2e12aa，这由不等式（*）可知显然成立，12434xxaa得证.12 分（方法二）设2(1)()ln1th ttt，22214(1)()0(1)(1)th tttt t，()(1)0h th，即(1)ln21ttt，8 分高三数学参考答案及评分标准第 11 页 共 11 页122eaxxa，9 分由12xx可知2e(,)axa，欲证12434xxaa，只需证22e424axaaa，只需证4e44aaaa，即证24e44aaa，11 分即证22e2aa，亦即证2e12aa，这由不等式（*）可知显然成立，12434xxaa得证.12 分
