1、115-3 15-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第第1515章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式15-1 15-1 电路的图电路的图15-2 15-2 回路、树、割集回路、树、割集15-4 15-4 节点电压方程的矩阵形式节点电压方程的矩阵形式2概概 述述1 1、目的：解决大型复杂电路的计算、目的：解决大型复杂电路的计算支路法支路法 网孔法（回路法）网孔法（回路法）节点法节点法建立代数方程建立代数方程电路规模小，结构简单，采用人工观察法列方程。电路规模小，结构简单，采用人工观察法列方程。工程实际，电路规模大，采用电路方程的矩阵形式，工程实际，电路规模大，采用
2、电路方程的矩阵形式，系统分析法。系统分析法。3近代网络分析理论近代网络分析理论网络图论（拓扑）网络图论（拓扑）线性代数（矩阵代数）线性代数（矩阵代数）计算辅助分析方法计算辅助分析方法2 2、本章学习内容、本章学习内容图论的基本概念图论的基本概念电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式4抽象抽象支路支路可以认为每一个二端元件构成电路的一条支路；可以认为每一个二端元件构成电路的一条支路；或者把元件的串联组合作为一条支路处理：如电阻或者把元件的串联组合作为一条支路处理：如电阻与电压源串联组合；与电压源串联组合；或者把元件的并联组合作为一条支路处理：如电阻或者把元件的并联组合作为一条支路处理：如电阻与电流
3、源并联。与电流源并联。支路支路一一.图的基本概念图的基本概念15-1 15-1 电路的图电路的图+-+-5网络拓扑网络拓扑i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象抽象 i=0连接性质连接性质电路的图电路的图/拓扑图拓扑图G G电路图电路图拓扑图的特点：拓扑图的特点：不反映电源和互感不反映电源和互感不反映元件的性质不反映元件的性质只反映电路的连接形式只反映电路的连接形式61.1.电路的图电路的图G=支路，节点支路，节点 2.2.子图子图 不含自环不含自环移去支路，允许孤立节点存在移去支路，允许孤立节点存在二二.名词和定义名词和定义移去节点，与之相连的全部支路同时移去移去节点，与之相连的全部支路同
4、时移去73.3.连通图连通图连通图：连通图：当图当图G的任意两节点间至少有一条的任意两节点间至少有一条路径路径，则称，则称G 为连通图。为连通图。路径：路径：从图从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。另一节点所经过的支路构成路经。不连通图不连通图8无无向向图图R2CLuSR1抽象抽象抽象抽象有有向向图图标示方向方法标示方向方法支路电流方向支路电流方向 关联参考方向关联参考方向支路电压方向支路电压方向4.4.有向图有向图915-2.15-2.回路、树、割集回路、树、割集一一.回路回路(Loop)回路回路L是连通图是连通图
5、G的一个子图。的一个子图。(1)连通连通；(2)每个节点关联支路数恰好为每个节点关联支路数恰好为2。12345678253回路回路127589不是回路不是回路具有下述性质：具有下述性质：10二二.树树 (Tree)树树T 是连通图是连通图G 的一个子图；的一个子图；(1)连通连通；(2)包含包含G的的所有节点所有节点；(3)不包含回路不包含回路。具有下述性质：具有下述性质：结论：树不唯一结论：树不唯一16个个11树支树支：属于树的支路：属于树的支路连支连支：属于：属于G 而不属于而不属于T 的支路的支路树支数树支数 bt=n-1连支数连支数 bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）单连支回路
6、（基本回路）1234567树支数树支数 4 4连支数连支数 3 3单连支回路单连支回路独立回路独立回路单连支回路单连支回路独立回路独立回路2736541123456537一组独立回路一组独立回路12三三.割集割集(Cut)(1)把把Q 中全部支路移去，图将分成中全部支路移去，图将分成两个两个分离部分分离部分；(2)保留保留Q 中的一条支路，其余都移去，中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。还是连通的。割集割集Q是连通图是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质中一个支路的集合，具有下述性质：432156134256Q1:2,5,4,6 推论：连支的集合不是割集；推论：连支的集合不是割集；定义：
7、使定义：使G分成两部分的最少支路的集合。分成两部分的最少支路的集合。13432156432156432156Q4:1,5,2 Q3:1,4,6Q2:2,3,6 14单树支割集（基本割集）单树支割集（基本割集）432156432156432156Q3:1,5,3,6 Q2:3,5,4Q1:2,3,6 单树支割集单树支割集独立割集独立割集单树支割集单树支割集独立割集独立割集思考：独立割集数目？思考：独立割集数目？1512341，2，3，4 割集？割集？三个分离部分三个分离部分4保留保留4支路，图不连通支路，图不连通。12341，2，3，4 割集？割集？16432156基本回路基本回路单连支回路单连
8、支回路基本割集基本割集单树枝割集单树枝割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，6 取取1 1，2 2，4 4为树枝为树枝举例：列出下图的基本回路，基本割集；举例：列出下图的基本回路，基本割集；17432156基本回路基本回路基本割集基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，6结论结论1 1：由某个树支由某个树支bt确定的基本割集应包含那些确定的基本割集应包含那些连连支，每支，每个这种个这种连连支构成的单连支回路中包含该支构成的单连支回路中包含该树支树支bt 。基本回路和基本割集关系基本回路和基本割集关系对同一个树对同一个树18结论结
9、论2：由某个连支由某个连支bl 确定的单连支回路应包含那些树支，确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有每个这种树支所构成的基本割集中含有bl。432156基本回路基本回路基本割集基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，6191357248613572486例：任选一树，确定一组基本割集例：任选一树，确定一组基本割集解：解：Q1Q2 Q3 Q4 Q5Q11,2 Q22,3,4 Q34,5Q44,6,7 Q57,82015-3 15-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一一.关联矩阵关联矩阵A Aa a用矩阵形式
10、描述用矩阵形式描述节点节点和和支路支路的关联性质的关联性质aijaij=1 有向有向支路支路 j 背离背离 i 节点节点aij=-1 有向有向支路支路j 指向指向 i 节点节点aij=0 i节点与节点与 j 支路支路无关无关关联矩阵关联矩阵Aa=aijn b节点数节点数支路数支路数21645321Aa=1234 1 2 3 4 5 6 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4 5 6 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设为参考节点设为参考节点
11、-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1支路支路节点节点0说明：有一行不独立；说明：有一行不独立；关联矩阵一般就是指关联矩阵一般就是指 A A 22例：下列矩阵中，为网络拓扑图的降阶关联例：下列矩阵中，为网络拓扑图的降阶关联矩阵的是（矩阵的是（）1 -1 0 0 1 0 A-1 0 0 1 0 1 0 1 1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 0 B-1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 -1 1 -1 0 0 1 0 C 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -123设设:645321-1 -1 0 0
12、1 0A=123 1 2 3 4 5 6 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 654321uuuuuuu支路电压支路电压 654321iiiiiii支路电流支路电流 321nnnnuuuu节点电压节点电压24矩阵形式的矩阵形式的KCLAi=0632521641 iiiiiiiii-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiii645321A i=025矩阵形式矩阵形式KVL 312133221nnnnnnnnnuuuuuuuuu uuuuuu654321 321101010001100110011nnnuuuuun TA64
13、532126二二.基本回路矩阵基本回路矩阵B B2.2.支路排列顺序为支路排列顺序为先连支后树支先连支后树支。1 支路支路j 与回路与回路i 关联，方向关联，方向一致一致;1 支路支路j 与回路与回路i 关联，方向关联，方向相反相反;0 支路支路j 不在回路不在回路i 中中bij=1 1约定约定：1.1.回路电流的参考方向取回路电流的参考方向取连支连支电流方向。电流方向。用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本回路基本回路和和支路支路的关联性质的关联性质B=b i j l b基本回路数基本回路数支路数支路数27选选 4 4、5 5、6 6为树支，连支顺序为为树支，连支顺序为1 1、2 2、3 3。12
14、3B=1 2 3 4 5 6支支回回1 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 -1 1=11 Bt 设设 矩阵形式的矩阵形式的KVL 0 0 1 0 1 -1BlBtB u=01 1l1l2l3 Tuluuuu 3214 34 21tuuuu 6544 34 21 Ti iii 321iii 654 28B u=0 可写成可写成 Bt ut+ul =0ul=-Bt ut 654321 uuuuuuuutl用树支电压表示连支电压用树支电压表示连支电压连支电压连支电压树支电压树支电压矩阵形式的矩阵形式的KVL的另一种形式的另一种形式由于矩阵由于矩阵B的每一列，也就是矩阵的每一列，也就是矩阵BT的每
15、一行，表示每一的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况，所以按矩阵的乘法规则可知对应支路与回路的关联情况，所以按矩阵的乘法规则可知i=BT il0 11B lttuu29三三.基本割集矩阵基本割集矩阵Q约定：约定：(1)(1)割集方向与树支方向相同。割集方向与树支方向相同。(2)(2)支路排列顺序支路排列顺序先树支先树支,后连支后连支。qij=1 j 支路与割集支路与割集i 关联，关联，方向方向一致；一致；-1 j 支路与割集支路与割集i 关联，关联，方向方向相反；相反；0 j 支路不在割集支路不在割集i 中。中。用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本割集基本割集和和支路支路的关联性质的关联性质Q
16、=q i j l b基本割集数基本割集数支路数支路数1 130C1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6设设T321654 iiiiiii ut=u4 u5 u6 T矩阵形式的矩阵形式的KCL：Q=4 5 6 1 2 3 C1C2C31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1QlQtQi=01 1C2C3C1310 Q 1 ltliilltiiQ 回路矩阵表示时回路矩阵表示时 lTttiiB TBQtl 矩阵形式的矩阵形式的KCL的另一种形式的另一种形式Qi=0 可写成可写成 ltltii Q Q回路矩阵和割集矩阵的关系回路矩阵和割集矩阵的关系
17、用连支电流表示树支电流用连支电流表示树支电流32 3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuutltltuuuuu TTQ1QtlluuTQ 矩阵形式的矩阵形式的KVL用树支电压表示连支电压用树支电压表示连支电压QTut=uKVL的另一种形式的另一种形式1 133QQi=0QTut=u 小结：小结：lTttiiB ul=-BtutlltiiQ tlluuTQ TBQtl ABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=034kU+kISkUdkISkI)(kkZYekUekI5 5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩
18、阵形式复合支路复合支路：ekI 元件电流元件电流 支路电流支路电流kI 受控电流受控电流dkI 支路的复导纳（阻抗）支路的复导纳（阻抗）)(kkZY 支路电压支路电压kUSkU 独立电压源独立电压源SkI 独立电流源独立电流源按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也不允许存在不允许存在“纯电压源支路纯电压源支路”。复合支路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可复合支路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。35电路分析依据电路分析依据：KCL A i=0KVL u=ATunk支路抽
19、象为：支路抽象为：一、电路中无受控源，电感间无耦合情况下的结点电压分析一、电路中无受控源，电感间无耦合情况下的结点电压分析 kU SkU SkIkIekI kYkskkkskskkekkUZIIUZIU )(skkskkkIUUYI )(Yk=1/Zk支路的复导纳支路的复导纳)第第k条条支路电压、电流的关系：支路电压、电流的关系：对整个电路有对整个电路有 SSIUYUYI SSUIZIZU 或或36 T 21SbSSSUUUU T21 SbSSSIIII 支路电压源支路电压源支路电流源支路电流源支路阻抗阵、支路导纳阵为支路阻抗阵、支路导纳阵为 bb 矩阵矩阵：支路电流列向量支路电流列向量 bI
20、III.21 其中：支路电压列向量其中：支路电压列向量 bUUUU.21 SbSkSSbbSkkSbkbkIIIUUUUUUYYYIII1111100000000000000000000按定义写开按定义写开37 nTUAUIA 0 则则 SSnTUYAIAUAYA 0 SSIAUYAUYAIA 0T SSnIAUYAUAYA得得Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb Z=Y-1 SSIUYUYI 而：而：节点导纳阵节点导纳阵 TnYYAA SSnUYAIAJ 流入各结点等效电流的列向量流入各结点等效电流的列向量38节点导纳阵节点导纳阵 TnYYAA SSnnUYIUYA-A
21、 得节点电压方程得节点电压方程由此求得支路电压和电流关系如下由此求得支路电压和电流关系如下nUUnUTAISSIUYUYI 12312345+US5R5R1L2L3C4IS1123例例1 1 列写如图所示电路的结点电压方程。列写如图所示电路的结点电压方程。SSnUYAIAJ 流入各结点等效电流的列向量流入各结点等效电流的列向量 SSnTUYAIAUAYA 39 101000111000011AY=diag1/R 1/jL2 1/j L3 jC4 1/R5 35333242221111011110111LjRLjLjLjLjCjLjLjLjRAYAYTn 12312345T50000SSUUT1
22、0000SSII40 5S5S10 RUISSnUYAIAJ 551321353332422210111011110111RUIUUULjRLjLjLjLjCjLjLjLjRSSnnn 从从Yn可知，可知，Yn主对角线上的元素为结点主对角线上的元素为结点自导纳自导纳,恒为恒为正正值，主对角线外的元素为结点之间的值，主对角线外的元素为结点之间的互导纳互导纳，恒取，恒取负负值。值。等式右边为结点电流源流进的电流（流入为等式右边为结点电流源流进的电流（流入为“+”）。）。41二、具有互感情况下的结点电压分析二、具有互感情况下的结点电压分析 设第设第k条、条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在
23、条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为流入同名端）一起（设两个电流都为流入同名端）kjkkjjLMjMLkjk Y 1 jjkkjkLjMjjMjLjkjk Z 1-1)()(2jkkjjkMMMLLj 42012312345例例2 2 电路如图所示，电路如图所示，L2 2和和L3 3之间有互感，试列写结点电压方程。之间有互感，试列写结点电压方程。+US5R5R1L2L3C4IS10123M 101000111000011AT50000SSUUT10000SSII43 543211RCjLjMjMjLjRZ 5142311RCjLMMLRY )(232MlLj 52223
24、243331121RLMLMMLMLLCjMLMMLLRAYAYTn 44 5S5S1RU0I SSnUYAIAJ 5513210RUIUUUSSnnn 52223243331121RLMLMMLMLLCjMLMMLLR 45ekkekUYI ejkjdkejkjdkIIUgI 或或设设三、具有三、具有受控电流源受控电流源的结点分析的结点分析SkdkekkSkdkekkIIUYIIII kU+kISkUdkISkI)(kkZYekUekI对第对第k条支路有条支路有SkdkSkkkIIUUY )(1、VCCS时时)(SjjkjdkUUgI 2、CCCS时时)(SjjjkjdkUUYI 考虑考虑b
25、条支路条支路46 SbSjSkSSbbSjjSkkSbjkbjkIIIIUUUUUUUUYYYYIIII11111000000000000000000000000000000000000000000kjYkj其中其中jkjkj kjYgY 支路方程支路方程 SSIUUYI )(此方程形式与情况此方程形式与情况1相同，只是相同，只是 Y 不是对角阵不是对角阵47 000110110111000A T50000SSII 例例iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1 T00000 SU524310312 TnYYAA SSnUYAIAJ SSnnUYIUYA-A 节点电压方程节点电压方程48 5
26、43120000000000j00000000GGCLMMLY iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1524310312)(j232MLL 其中其中-g49 00200532121222344454SnnnIUUUMLLMLMLLLjGgGgGGG 代入代入SmSnmUAYIAUAAY T得得)(j232MLL 其中其中506 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式设回路电流列向量为设回路电流列向量为0B KVL UlIITB KCL 1.1.回路电流与支路电流的关系回路电流与支路电流的关系lI2.2.没有受控源电路的回路电流方程的矩阵形式（向量法）没有受控源电路的回路电流方程的矩
27、阵形式（向量法）kUSISkUkIekI ZkskskkkkUIIZU )(SSUIIU ZZ其中其中Z 为支路阻抗阵，对于无互感的情况，为支路阻抗阵，对于无互感的情况，Z 为对角阵；为对角阵；对于有互感的情况，对于有互感的情况，Z 为非对角阵。为非对角阵。以下内容非大纲要求，选讲。510BBZBZB SSUIIUSSlIUIBZBBZB T 回路方程矩阵形式回路方程矩阵形式zL回路阻抗阵回路阻抗阵3.3.电路中含有受控电压源电路中含有受控电压源kU SISkUkIekI ZkdkU)(sjjkjejkjdkIIrIrU 这时含有受控源的支路阻抗这时含有受控源的支路阻抗Z 为非对角阵，非对角线
28、上的为非对角阵，非对角线上的元素可能是与受控电压源的控制系数有关的元素。因为支元素可能是与受控电压源的控制系数有关的元素。因为支路方程的右端减去受控电压源，因此支路阻抗阵变为：路方程的右端减去受控电压源，因此支路阻抗阵变为：skdkskkkkUUIIZU )(而而52 bkjkZrZZZZ21+US5R5R1L2L3C4IS1例例.用矩阵形式列出电路的回路电流方程。用矩阵形式列出电路的回路电流方程。15243解解.设回路电流列向量为设回路电流列向量为 lIkj53 1110001011B 543211RCjLjLjRdiagZ T10000SSII T50000SSUU 51121435444
29、211111ssllUIRIICjLjRCjCjCjLjR 1.若选网孔为一组独立回路，则回路电流方程即为网孔电流若选网孔为一组独立回路，则回路电流方程即为网孔电流方程。方程。2.编写回路电流方程必须选择一组独立回路，一般用基本回编写回路电流方程必须选择一组独立回路，一般用基本回路组，从而通过选择合适的树来分析。路组，从而通过选择合适的树来分析。54二二.割集法割集法取割集（树支）电压为未知量取割集（树支）电压为未知量0Q KCL ItUUTQ KVL 0QQYQYQ SSIUUISStUIUQYQQYQ T 割集方程矩阵形式割集方程矩阵形式Yt割集导纳阵割集导纳阵SSIUUI YY元件特性元
30、件特性55例例.以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程的矩阵形式。以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程的矩阵形式。设设L3 3、L4 4、C5 5的初始条件为零。的初始条件为零。IS51 2345Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)R5R1L4L3C5IS1解：选解：选1 1、2 2、3 3为树支，为树支，3 3个单树支割集如虚线所示，树支电压个单树支割集如虚线所示，树支电压 Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集电压，它们的方向也是割也即割集电压，它们的方向也是割 集的方向。集的方向。基本割集矩阵基本割集矩阵Qf为为 111000101011001fQ56电压源和电流源列向量
31、分别为电压源和电流源列向量分别为：（运算法）：（运算法）TsssssIsIsIsU000)()()(0)(21 支路导纳矩阵为：支路导纳矩阵为：543211111)(sCsLsLRRdiagsY则割集电压方程的矩阵形式为：则割集电压方程的矩阵形式为：0)()()()()(111111111111213215434544424544541sIsIsUsUsUsCsLsLsLsCsLsLsLRsLsCsLsLsCsLRssttt57分析过渡过程的方法分析过渡过程的方法高阶微分方程高阶微分方程傅氏变换，拉氏变换傅氏变换，拉氏变换联列一阶微分方程组联列一阶微分方程组古典控制理论的基础古典控制理论的基础
32、古典法古典法变换法变换法状态变量法状态变量法时域时域频域，复频域频域，复频域时域时域现代控制理论基础现代控制理论基础适用于适用于线性系统线性系统单输入单输出系统单输入单输出系统多输入、多输出系统多输入、多输出系统线性、非线性系统线性、非线性系统7 7 状态方程状态方程58一一.基本概念基本概念1.1.状态变量状态变量 x 选定系统中一组选定系统中一组最少数量最少数量的变量的变量X=x1，x2，xnT ，如果当如果当t=t0 时这组变量时这组变量X X(t t0 0)和和t t0 后的输入后的输入e(t)为已知，就为已知，就可以确定可以确定t0及及t0以后任何时刻系统的响应。以后任何时刻系统的响
33、应。X(t0)e(t)t t0 分析动态过程的独立变量。分析动态过程的独立变量。称这一组称这一组最少数目最少数目的变量为状态变量。的变量为状态变量。Y(t)t t059解解：由：由)30sin(20)(0)0(3)0(o tteiVuLC 已知已知例例RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-L输出输出:uL,iC,uR,iR 选状态量选状态量 uC，iLV10)0(0)0(V3)0(eiuLCuL(0)=7ViC(0)=-1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V60推广至任一时刻推广至任一时刻 t1V10)(0)(V3)(111 tetituLCuL(t1)iC(t1)iR(t1)
34、uR(t1)可由可由 可见当可见当 t=t1 时时 uC、iL 和和 t t1 后的输入后的输入 e(t)为已为已知，就可以确定知，就可以确定t1及及t1以后任何时刻系统的响应。问题是以后任何时刻系统的响应。问题是t1时刻的状态量要求出来。时刻的状态量要求出来。2.2.状态方程状态方程*求解状态变量的方程求解状态变量的方程61设设 uC ,iL 为状态变量为状态变量RuituCiCLCC ddCLLutetiLu )(dd改写改写RCe(t)+-uCiL+-L列微分方程列微分方程LCCiCuRCtu11dd )(11ddteLuLtiCL 特点特点(1)联列一阶微分方程组联列一阶微分方程组(2
35、)左端为状态变量的一阶导数左端为状态变量的一阶导数(3)右端仅含状态变量和输入量右端仅含状态变量和输入量状态方程状态方程62矩阵形式矩阵形式)(100111ddddteLiuLCRCtituLCLC uBxAx 一般形式一般形式x=x1 x2 xnT T21nxxxx 式中式中n nn r633.3.输出方程输出方程)(00010/1011/101teiuRRiuiuRCRRCL 特点特点：(1)(1)代数方程代数方程 (2)(2)用状态变量和输入量表示输出量用状态变量和输入量表示输出量一般形式一般形式y=Cx+DuRuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-L4.4.归纳归纳(1)(1)
36、状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于 独立的储能元件个数。独立的储能元件个数。64（2）一般选择一般选择uC和和 iL为状态变量，也常选为状态变量，也常选 和和 q为状为状 态变量。态变量。(3)状态变量的选择不唯一状态变量的选择不唯一。上例中也可选上例中也可选uC和和duC/dt为状态变量为状态变量RCe(t)+-uCiL+-L)(d)dd(dteutRutuCLCCC )(dddd22teutuRLtuLCCCC 65令令 x1=uC ,x2=duC/dt)(dddd22teutuRLtuLCCCC 即即)(1011102121teLCx
37、xRCLCxx 则则)(11dd1dddd22221teLCuLCtuRCtuxxtuxCCCC x1x266二、状态方程的列写二、状态方程的列写1.1.直观法直观法选选 uC,i1 ,i2为状态变量为状态变量21CddiituC SCuRiiutiL 12111)(ddR1-+uSCuCiSiRR2i2L2L1 -+i12212122)()(ddRiiuRiiutiLSSC 含含duC/dt 电容节点列电容节点列KCL含含diL/dt电感回路列电感回路列KVL例例1 167 SSCCiuLRLLiiuLRRLRLLRLRLCCtititu212121221212111112110100111
38、10dddddd68例例2 2L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4+-+-u1 u2选选 u1,u2,i3 ,i4为状态变量为状态变量4511ddiituC 5622ddiituC SuRiutiL 66233dd556644ddRiRiutiLS 消去非状态量消去非状态量 i5 ,i6i5=(u2-u1)/R5i6=i4-i3代入上式，整理代入上式，整理69SuLLiiuuLRLRLLLRLRLCCCRCRCCRCRiiuu 434321464644363632225251151543211100111011111011702 2 状态方程的系统编写法状态方程的系统编写法1).1
39、).令每一支路只包含一个元件令每一支路只包含一个元件.把网络的独立电源、电容、把网络的独立电源、电容、电感、电阻都作为一条支路。电感、电阻都作为一条支路。2).2).选择一个树，其树支由电压源、电容和电导组成，而连选择一个树，其树支由电压源、电容和电导组成，而连 支由电感、电阻、电流源组成。这种树称为特有树。支由电感、电阻、电流源组成。这种树称为特有树。3).支路编号按下列次序：电压源、电容、电导、电阻、电支路编号按下列次序：电压源、电容、电导、电阻、电 感、电流源。对包含电容的支路列写基本割集方程，对感、电流源。对包含电容的支路列写基本割集方程，对 包含电感的支路列写基本回路包含电感的支路列
40、写基本回路KVL方程，使方程的左边方程，使方程的左边 尽量出现尽量出现C、duC/dt和和L、diL/dt 的各项，而右边尽可能含的各项，而右边尽可能含 uC、iL（状态变量）和状态变量）和uS、iS（输入变量），以及其他非输入变量），以及其他非 状态变量状态变量uG、iR、iC、uL，利用支路电压电流关系从这利用支路电压电流关系从这 些方程中消去就可得到些方程中消去就可得到 uBxAx 71例例：编写如下图所示的网络状态方程。：编写如下图所示的网络状态方程。R6uS1C2iS9G5L7L8 +C3C4选（选（1 2 3 4 51 2 3 4 5）为树支。）为树支。12345678972)(1
41、1)(198555543166665488327786447633722iiGiGuuuuRRuiuudtdiLuudtdiLiidtduCiidtduCidtduCs R6uS1C2iS9G5L7L8 +C3C412345678973令令8574433221 ixixuxuxux 则则 918564635432185774646436363254321100001010010810000011101100111001000ssiuLGRCRCxxxxxLGLLLCRCRCCRCRCCxxxxxy=Cx+Du uBxAx 输出方程输出方程743.3.叠加法叠加法(1)(1)将电源、电容、电感均
42、抽到将电源、电容、电感均抽到 网络外。网络外。(2)(2)电容用电压源替代，电感用电电容用电压源替代，电感用电 流源替代。流源替代。(3)(3)用叠加定理求用叠加定理求iC C ,uL L。则则 uS、iS、uC、iL共同作用下的共同作用下的 iC,uL,iC,uL为：为：iC=a11 uC1+a12 iL+b11 uS+b12 iS uL=a21 uC1+a22 iL+b21 uS+b22 iSuCuSRR+iSiL+SSLCLCiubbbbiuaaaaui2221121122211211+75例例3 3 设设uC1、uC2、iL为状态变量为状态变量(1)uC1 单独作用单独作用 iL=0，
43、iS=0，uS=0,uC2=0 求：求：iC1，iC2 ,uL。解解2111RRuiCC 1CLuu R1R2uC1iC1iC2uLiSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL2112RRuiCC 76R1R2uC2iC1iC2uL(2)uC2 单独作用单独作用 iL=0，iS=0，uS=0,uC1=0 求：求：iC1，iC2 ,uL。2121RRuiCC 2CLuu 2122RRuiCC R1R2iC1iC2uLiLLCii 10 LuLCii 2(3)iL 单独作用单独作用 iS=0，uS=0,uC1=0，uC2=0 求：求：iC1，iC2 ,uL。77(4)uS 单独作用单独作用
44、iS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0 求：求：iC1，iC2 ,uL。(5)iS 单独作用单独作用 uS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0 求：求：iC1，iC2 ,uL。iC2R1R2iC1uLuS211RRuiSC 0 Lu212RRuiSC R1R2iC1iC2uLiS2111RRiRiSC 0 Lu2122RRiRiSC 78uC1 uC2 iL uS iS tuCCdd11tuCCdd22tiLLdd211RR 211RR 211RR 1211RR 101 211RR 0211RR 211RRR 0212RRR 1(6)整理成标准形式整理成标准形式 SSLCCLCCiuRR
45、CRRRCRRRCRRCiuuLLCRRCRRCCRRCRRCtitutu)()()(1)(10111)(1)(11)(1)(1dddddd2122211121221121221221212112112100791)电容节点列电容节点列KCL,电感回路列电感回路列KVL3dd211RLCuitu 11dd3RLuti 22dd4RLuti 2)用叠加法消去非状态量用叠加法消去非状态量uR1，uR2-0.6-0.40.60.4-1.2 1.2-1.21.2uCiL1iL2e(t)uR1uR2例例4 4+-e(t)2F+-uC3 2 4H3HiL2iL1uR1uR2+-uR1=-0.6 uC-1.
46、2 iL1+1.2 iL2+0.6 e(t)uR2=-0.4 uC+1.2 iL1-1.2 iL2+0.4 e(t)80)(1.02.01.03.03.01.04.04.02.02.03.01.02121teiiuiiuLLCLLC uR1=-0.6 uC-1.2 iL1+1.2 iL2+0.6 e(t)uR2=-0.4 uC+1.2 iL1-1.2 iL2+0.4 e(t)3dd211RLCuitu 11dd3RLuti 22dd4RLuti=-0.2 uC+0.6 iL1+0.4 iL2+0.2 e(t).3iL1=-0.6 uC-1.2 iL1+1.2 iL2+0.6 e(t)2uC=i
47、L1-0.2 uC-0.4 iL1+0.4 iL2+0.2 e(t).4iL2=-0.4 uC+1.2 iL1-1.2 iL2+0.4 e(t).81三、状态方程的求解三、状态方程的求解时域解时域解频域解频域解状态方程标准形式为状态方程标准形式为两边取拉氏变换，得两边取拉氏变换，得解析解解析解数值解数值解BuAxx 其中为其中为A、B常数矩阵常数矩阵 ，x、u是是t 的函数的函数)()()0()(sBUsAXxssX )()0()()(sBUxsXAsI 1001I单位阵单位阵82例例5 5已知已知 0V10)0()0(LCiu用状态变量法求开关合上用状态变量法求开关合上后后 uL(t)。解解
48、)()0()()(1sBUxAsIsX )(L)(-1sXtx CLCuitu dd5.0CLutti )(20dd2.0 20ViL0.2H0.5F1 uC+-+-+-iL先列状态方程，求状态量先列状态方程，求状态量uC ,iL。uCiLuL20-uC83 SsssIsULC2050010052200)()(1 SSS20500105221 sssss/100101022522 )(20500522ddddtiutituLCLC AB )()0()()(1sBUxAsIsX 0V10)0()0(LCiu备忘备忘8403sin103cos20203sin103cos1020 tteteteteiuttttLC2222222231)(10331)(1)20(2031)(10331)(1)10(20ssssssss反变换反变换，得得ssssss200)/(50200)/(1010212203sin103cos1020)(tteteututtCL
