1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（11） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知 i 为虚数单位，复数 z（1+i） （2+i） ，则其共轭复数 =（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 2 （3 分）已知集合 Mx|3 1 0，Nx|y= 2 ，则（RM）N（ ） A （1，2 B1，2 C （2，3 D2，3 3 （3 分）在ABC 中，点 M，N 满足 =2 ， = ，若 =x +y ，则 x+y （ ） A1 3 B1 2 C 1 2 D 1
2、 3 4 （3 分）已知函数 f（x）e|x|e |x|，则 f（x） （ ） A是奇函数，且在（0，+）上单调递增 B是奇函数，且在（0，+）上单调递减 C是偶函数，且在（0，+）上单调递增 D是偶函数，且在（0，+）上单调递减 5 （3 分）已知平面 平面 ，直线 m，l，则“ml”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （3 分）已知（1+x）n展开式中第 5 项与第 9 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系 数和为（ ） A214 B213 C212 D211 7 （3 分）从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7
3、，8，9中各任取 2 个元素 排成一排（字母和数字均不能重复） 则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不同 排法种数为（ ） A85 B95 C2040 D2280 8 （3 分）如图所示，三棱锥 PABC 的底面在平面 内，且 ACPC，平面 PAC平面 PBC，点 P，A，B 是定点，则动点 C 的轨迹是（ ） 第 2 页（共 17 页） A一条线段 B一条直线 C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点 9 （3 分）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线， 称它们互为共轭双曲线设双曲线 C1： 2 2 2 2 =1（a0，b0）与双曲线 C2互为共 轭双
4、曲线，它们的离心率分别为 e1、e2以下说法错误的是（ ） AC1、C2的渐近线方程都是 y Be1e2的最小值是 2 Ce12+e221 D 1 12 + 1 22 =1 10 （3 分）设函数 f（x）的定义域为 D，若满足条件：存在m，nD，使 f（x）在m，n 上的值域为km，kn（kR 且 k0） ，则称 f（x）为“k 倍函数” ，给出下列结论： () = 1 是“1 倍函数” ；f（x）x 2 是“2 倍函数” ；f（x）ex是“3 倍函数” 其 中正确的是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 21 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11
5、（3 分）若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的 6 个小球，其中红球有 2 个， 白球有 4 个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量 表示取出后都是白球 的次数，则 E（） 12 （3 分） 九章算术中有这样的描述： “今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈” ， 其中“广”是东西走向的意思， “袤”是南北走向的意思若有几何体的三视图如图，则 该几何体的体积为 ，表面积为 （不需填单位） 第 3 页（共 17 页） 13 （3 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，斜率为 2 的直线 1 与 C 的交点为 A，B，若 |AF|+|BF|5，则直线 l 的方程为 14 （
6、3 分）若实数 x，y 满足约束条件 1 0 0 + 3 0 ，则+2 的最小值为 15（3 分） 数列an满足 a1+2a2+3a3+nan2n1 （nN*） ， 则， an 若存在 nN* 使得 an +1 成立，则实数 的最小值为 16 （3 分）已知可导函数 f（x）的定义域为（，0） ，其导函数 f（x）满足 2f（x）+xf （x）x2，则不等式（x+2018）2f（x+2018）f（1）0 的解集为 17 （3 分）已知ABC 中，ABBC，点 D 是边 BC 的中点，ABC 的面积为 2，则线段 AD 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 18已知函数()
7、= 3 + 1 （1）求( 6)的值； （2）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间 19如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，ABC= 3，E 为 CD 中点将ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，得到如图所示的四棱锥 PABCE （1）求证：平面 PAE平面 PBE； 第 4 页（共 17 页） （2）求直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1= 1 2 ，= (2+1 2)+1 （1）求 a2及数列an的通项公式； （2）若= 1 2 (12)，= 1 + 1 ，求数列cn的前 n 项和 Tn 21在平面直角坐标系
8、 xOy 中，已知椭圆： 2 42 + 2 32 = 1(0)的左、右顶点为 A，B，右 焦点为 F过点 A 且斜率为 k（k0）的直线交椭圆 C 于另一点 P （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若 = 1 2，求 2 2的值； （3）设直线 l：x2t，延长 AP 交直线 l 于点 Q，线段 BQ 的中点为 E，求证：点 B 关于 直线 EF 的对称点在直线 PF 上 22已知函数 f（x）exax2，g（x）ax（lnxx） ，其中常数 aR （）当 x（0，+）时，不等式 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （）若 a（0， 2 2 ，且 x0，求证：f（x）g（x） 第 5
9、 页（共 17 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（11） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知 i 为虚数单位，复数 z（1+i） （2+i） ，则其共轭复数 =（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 【解答】解：z（1+i） （2+i）2+i+2i11+3i， = 1 3 故选：B 2 （3 分）已知集合 Mx|3 1 0，Nx|y= 2 ，则（RM）N（ ） A （1，2 B1，2 C （2，3 D2，3 【解答】解：集合 Mx|
10、3 1 0x|x1 或 x3， Nx|y= 2 x|2x0x|x2， 则RMx|1x3， 所以（RM）Nx|1x21，2 故选：B 3 （3 分）在ABC 中，点 M，N 满足 =2 ， = ，若 =x +y ，则 x+y （ ） A1 3 B1 2 C 1 2 D 1 3 【解答】解：ABC 中，点 M，N 满足 =2 ， = ， 所以 = + = 1 3 + 1 2 = 1 3 + 1 2（ ） = 1 2 1 6 ， 又 =x +y ， 所以 x= 1 2，y= 1 6， 所以 x+y= 1 3 故选：A 第 6 页（共 17 页） 4 （3 分）已知函数 f（x）e|x|e |x|，则
11、 f（x） （ ） A是奇函数，且在（0，+）上单调递增 B是奇函数，且在（0，+）上单调递减 C是偶函数，且在（0，+）上单调递增 D是偶函数，且在（0，+）上单调递减 【解答】解：f（x）e|x|e |x|， 则 f（x）f（x） ，即 f（x）为偶函数， 当 x0 时，f（x）exe x 单调递增， 故选：C 5 （3 分）已知平面 平面 ，直线 m，l，则“ml”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：平面 平面 ，直线 m，l，ml， 两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直与另外一个平面，则 m， 平面 平面 ，直线
12、 m，l，m， 两个平面垂直，一个平面内的直线垂直于另外一个平面，则垂直与交线，则 ml， 故选：C 6 （3 分）已知（1+x）n展开式中第 5 项与第 9 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系 数和为（ ） A214 B213 C212 D211 【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第 5 项与第 9 项的二项式系数相等， 可得n4n8，可得 n4+812 （1+x）12的展开式中奇数项的二项式系数和为：1 2 212211 故选：D 第 7 页（共 17 页） 7 （3 分）从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素 排成一排（字母和数字均不
13、能重复） 则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不同 排法种数为（ ） A85 B95 C2040 D2280 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，先在两个集合中选出 4 个元素，要求字母 C 和数字 4，7 至少出现两个， 若字母 C 和数字 4，7 都出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，有 5 种选 法， 若字母 C 和数字 4 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、 6、8、9 中选出 1 个数字，有 5735 种选法， 若字母 C 和数字 7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在
14、1、2、3、5、 6、8、9 中选出 1 个数字，有 5735 种选法， 若数字 4、7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 2 个字母，有 C5210 种选法， 则有 5+35+35+1085 种选法， ，将选出的 4 个元素全排列，有 A4424 种情况， 则一共有 85242040 种不同排法； 故选：C 8 （3 分）如图所示，三棱锥 PABC 的底面在平面 内，且 ACPC，平面 PAC平面 PBC，点 P，A，B 是定点，则动点 C 的轨迹是（ ） A一条线段 B一条直线 C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点 【解答】解：平面 PAC平面 PBC， 而平面 PAC平面 PB
15、CPC， 又 AC面 PAC，且 ACPC，AC面 PBC， 第 8 页（共 17 页） 而 BC面 PBC，ACBC， 点 C 在以 AB 为直径的圆上， 点 C 的轨迹是一个圆，但是要去掉 A 和 B 两点 故选：D 9 （3 分）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线， 称它们互为共轭双曲线设双曲线 C1： 2 2 2 2 =1（a0，b0）与双曲线 C2互为共 轭双曲线，它们的离心率分别为 e1、e2以下说法错误的是（ ） AC1、C2的渐近线方程都是 y Be1e2的最小值是 2 Ce12+e221 D 1 12 + 1 22 =1 【解答】解：根据定义
16、可得 C1： 2 2 2 2 =1，C2： 2 2 2 2 =1（a0，b0） ， 故他们的渐近线方程均为 y ，故 A 正确； 则12= 2+2 2 ，22= 2+2 2 ， 所以 1 12 + 1 22 = 2 2+2 + 2 2+2 =1，故 D 正确； 上式整理得12+ 22= 1222， 根据 e1、e2都是大于 1 的正数，得 e12e22e12+e222e1e2， 两边约去 e1e2，得 e1e22，故 B 正确； 故选：C 10 （3 分）设函数 f（x）的定义域为 D，若满足条件：存在m，nD，使 f（x）在m，n 上的值域为km，kn（kR 且 k0） ，则称 f（x）为“
17、k 倍函数” ，给出下列结论： () = 1 是“1 倍函数” ；f（x）x 2 是“2 倍函数” ；f（x）ex是“3 倍函数” 其 中正确的是（ ） 第 9 页（共 17 页） A B C D 【解答】解：f（x）= 1 ，x 1 ，e时，就是 1 倍函数，所以正确； f（x）x2是“2 倍函数” ，存在 x0，1，使得 f（x）0，2，满足 2 倍函数，正 确； 中，f（x）ex，令 g（x）ex3x，g（x）ex3，令 g（x）0，xln3，x（ ，ln3） ，g（x）为减函数， x（ln3，+） ，g（x）为增函数，而 g（ln3）33ln33（1ln3）0，x，g （x）+，x+，
18、g（x）+， 所以 g（x）有 2 个零点，即存在 f（x）ex在m，n上的值域为3m，3n，满足 3 倍函 数，正确； 故选：D 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 21 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的 6 个小球，其中红球有 2 个， 白球有 4 个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量 表示取出后都是白球 的次数，则 E（） 1.2 【解答】解：从袋中随机抽取两个球都是白球的概率 p= 4 2 6 2 = 2 5， 随机变量 B（3，p） ， 由二项分布的期望公式得 E（）3p30.41.2， 故答案
19、为：1.2 12 （3 分） 九章算术中有这样的描述： “今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈” ， 其中“广”是东西走向的意思， “袤”是南北走向的意思若有几何体的三视图如图，则 该几何体的体积为 60 ，表面积为 54+826 （不需填单位） 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：由题意可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的横放的直四棱柱（如图所 示） 易知，底面是上底为 2，下底为 4，高为 5 的等腰梯形，故底面= 1 2 (2 + 4) 5 = 15 梯形的腰长为52+ 11= 26 又因为柱体的高为 4，故侧面积侧= (2 + 4 + 226) 4 = 24 + 826 故表
20、面积为表= 2底+ 侧= 54 + 826 该几何体的体 VS底h15460 故答案为：60 54 + 826 13 （3 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，斜率为 2 的直线 1 与 C 的交点为 A，B，若 |AF|+|BF|5，则直线 l 的方程为 2xy20 【解答】解：设直线 l 的方程为 y2（xt） ，将其代入抛物线 y24x 得：x2（2t+1） x+t20， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x22t+1， 由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|x1+x2+p2t+1+25，解得 t1， 直线 l 的方程为 y2（x1）2x2，即 2xy20
21、故答案为：2xy20 14 （3 分）若实数 x，y 满足约束条件 1 0 0 + 3 0 ，则+2 的最小值为 0 【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则 z= +2 =1+ 2 ， 则 z 的几何意义是区域内的点到定点 D（0，2）的斜率的最小值与 1 的和， 由 = 1 = 0解得 A（1，1） 由图象可知区域边界点 A 连接的直线斜率最小为：1+12 1 =0 第 11 页（共 17 页） 所以 z 的最小值为 0； 故答案为：0 15 （3 分）数列an满足 a1+2a2+3a3+nan2n1（nN*） ，则，an 21 若存在 nN*使得 an +1 成立，则实数 的最小值为 1
22、 2 【解答】解：a1+2a2+3a3+nan2n1 ， a1+2a2+3a3+（n1）an12n 11 （n2）， 得：nan2n2n 12n1， = 21 （n2） ， 又a1211，满足= 21 ， = 21 ， 若存在 nN*使得 an +1 成立，即若存在 nN*使得 21 +1 成立， 设 f（n）= 21 +1，nN *， f（n+1）f（n）= 2 +2 21 +1 = 21 (+2)(+1)0， f（n+1）f（n） ， 对任意 nN*，f（n）递增， f（n）minf（1）= 1 2， 1 2， 的最小值为1 2， 第 12 页（共 17 页） 故答案为：2 1 ，1 2
23、16 （3 分）已知可导函数 f（x）的定义域为（，0） ，其导函数 f（x）满足 2f（x）+xf （x）x2，则不等式（x+2018）2f（x+2018）f（1）0 的解集为 x|2019x 2018 【解答】解：令 g（x）x2f（x） （x0） ，则 g（x）x2f（x）+xf（x） 当 x0 时，2f（x）+xf（x）x20， 当 x0 时，g（x）0， g（x）在（，0）上单调递减 由（x+2018）2f（x+2018）f（1）0，得（x+2018）2f（x+2018）f（1） ， g（x+2018）g（1） ， + 20180 + 2018 1， 2019x2018， 不等式的解
24、集为x|2019x2018 故答案为：x|2019x2018 17 （3 分）已知ABC 中，ABBC，点 D 是边 BC 的中点，ABC 的面积为 2，则线段 AD 的取值范围是 3，+ ) 【解答】解：设 ABBCx，ABC，如图建立平面直角坐标系 则：A（xcos，xsin） ，B（0，0） ，D（ 2 ，0） 由已知得= 1 2 2 = 2，2= 4 2= ( 2) 2 + 22 化简后并令 y= 5 4 2 2 = 54 （0，） 第 13 页（共 17 页） = 45 2 ，令= 0得 = 4 5，并令此时 因为 y45cos 在（0，）上递增， （0，）时，y0，函数递减，（，）
25、时，y0，函数递增 故 = ，即 = 4 5 ， = 3 5，ymin3 易知，当 x0 或 x 时，y+ 故 AD23，所以 3 故 AD 的取值范围是3，+ ） 故答案为：3，+ ) 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 18已知函数() = 3 + 1 （1）求( 6)的值； （2）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间 【解答】 解：（1） 函数() = 3 + 1 =2sin （x 3） +1， 故 f （ 6） 2sin （ 6） +10 （2）由于 f（x）2sin（x 3）+1，故它的最小正周期为 2 令 2k 2 x 3 2k+ 2，求得 2k 6 x2k+ 5 6 ，
26、 可得函数的增区间为2k 6，2k+ 5 6 ，kZ 19如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，ABC= 3，E 为 CD 中点将ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，得到如图所示的四棱锥 PABCE （1）求证：平面 PAE平面 PBE； （2）求直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：在BCE 中，BE222+22222cos12012，可得 BE23 在ADE 中，ADDE，ADE60，ADE 为等边三角形 第 14 页（共 17 页） 在ABE 中，cosAEB= 22+(23)242 2223 =0，AEB90 BEAE，又平面 A
27、DE平面 ABCE， BE平面 PAE又 BE平面 PBE 平面 PAE平面 PBE （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系E（0，0，0） ，P（1，0，3） ， B（0，23，0） ，C（1，3，0） ， =（2，3，3） ， =（0，23，0） ， =（1，0，3） ， 设平面 PBE 的法向量为 =（x，y，z） ，则 = =0， 则 23y0x+3z， 取 =（3，0，1） ， 直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值= | | | | | = 3 102 = 30 20 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1= 1 2 ，= (2+1 2)+1 （1）求 a2及数列an的通
28、项公式； （2）若= 1 2 (12)，= 1 + 1 ，求数列cn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）a1= 1 2 ，= (2+1 2)+1， 1= 1= (22 2)2，即2= 1 4， 当 n2 时，1= (2 2)， 两式相减得：= (2+1 2)+1 (2 2)， 整理得：an2an+1（n2） ， 由1= 1 2，2 = 1 4，可得 a12a2， 第 15 页（共 17 页） an2an+1 （nN*） ， 由 a10，得 an0（nN*） ， +1 = 1 2（nN*） ， 则数列an是以1 2为首项，以 1 2为公比的等比数列， = 1 2 (1 2) 1 = (1
29、2) ； （2）由（1）知，= (1 2) ， = 1 2 (12) = 1 2 (1 2) 1+2+ =1+2+n= (+1) 2 = 1 + 1 = 2+ 2 (+1) = 2+ 2(1 1 +1) Tn= (21+ 22+ 23+ + 2) + 2(1 1 2) + ( 1 2 1 3) + + ( 1 1 +1) = 2(12) 12 + 2(1 1 +1) = 2 +1 2 +1 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆： 2 42 + 2 32 = 1(0)的左、右顶点为 A，B，右 焦点为 F过点 A 且斜率为 k（k0）的直线交椭圆 C 于另一点 P （1）求椭圆 C 的离心
30、率； （2）若 = 1 2，求 2 2的值； （3）设直线 l：x2t，延长 AP 交直线 l 于点 Q，线段 BQ 的中点为 E，求证：点 B 关于 直线 EF 的对称点在直线 PF 上 【解答】 （1）解：椭圆 C： 2 42 + 2 32 = 1，a24t2，b24t2，c2t2， 又 t0，a2t，ct， 椭圆 C 的离心率 e= = 1 2； 第 16 页（共 17 页） （2）解：直线 AP 的斜率 k= 1 2，且过椭圆 C 的左顶点 A（2t，0） ， 直线 AP 的方程为 y= 1 2 ( + 2)，代入椭圆 C 的方程， 得 x2+tx2t20，解得 xt 或 x2t（舍去
31、） 将 xt 代入 y= 1 2（x+2t） ，得 y= 3 2 ， 点 P 的坐标为（t，3 2 ） ，又椭圆 C 的右顶点为 B（2t，0） ， 2= ( + 2)2+ (3 2 0) 2 = 45 4 2，2= ( 2)2+ (3 2 0) 2 = 13 4 2， 2 2 = 45 13； （3）证明：直线 AP 的方程为 yk（x+2t） ， 将 x2t 代入 yk（x+2t） ，得 y4kt，Q（2t，4kt） E 为线段 BQ 的中点，E（2t，2kt） ， 焦点 F 的坐标为（t，0） ， 直线 EF 的斜率为 2k 联立 = ( + 2) 32+ 42= 122，得（3+4k
32、2）x2+16k2tx+4（4k23）t20 由于= 4(423) 3+42 ，xA2t， = 2(342) 3+42 ， 则 P 点的坐标为（2(34 2) 3+42 ， 12 3+42） 直线 PF 的斜率为 12 3+42 2(342) 3+42 = 4 142 = 22 1(2)2 而直线 EF 的斜率为 2k， 若设EFB，则有 tanPFBtan2，即PFB2EFB 点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 PF 上 22已知函数 f（x）exax2，g（x）ax（lnxx） ，其中常数 aR （）当 x（0，+）时，不等式 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （）若 a（
33、0， 2 2 ，且 x0，求证：f（x）g（x） 【解答】解： （）由题意，要使当 x（0，+）时，不等式 f（x）0 恒成立， 只需 2 ，0恒成立，令() = 2 ，0，() = (2) 3 ，易知，当 0x2 第 17 页（共 17 页） 时，h（x）0，h（x）递减；x2 时，h（x）0，h（x）递增 故()= (2) = 2 4 ，所以 a 2 4 即为所求 （）由题意得需证 exaxlnx 恒成立，a（0， 2 2 ，且 x0， 当 0x1 时，显然原式恒成立； 当 x1 时，要使原式成立，只需 ，x1 恒成立， 令 v（x）= ，x1，() = (1)1 ()2 ， 令 u（x）（x1）lnx1， （x1） ，显然 u（x）是增函数，因为 u（2）ln210， 所以存在 x02，使得 u（x0）0，即0= 1 01，当 x（1，x0）时，v（x）0，v （x）递减；当 x（x0，+）时，v（x）0，v（x）递增 故()= (0) = 0 00 = 0(01) 0 ， （x02） ， 令 k（x）= (1) ，(2)，() = (1 1 + 1 2)0， 所以 k（x）在（2，+）上是增函数，()(2) = 2 2 ， () 2 2 ，x1 时， 恒成立，即f（x）g（x）恒成立 综上可知，a（0， 2 2 ，且 x0 时，f（x）g（x）
