2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（6）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年高考数学（文科）全国年高考数学（文科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 2 （5 分）已知复数 = 5 2 + 2，则|z|（ ） A5 B5 C13 D13 3 （5 分）已知非零向量 ， ，给定 p：R，使得 = ，：| + | = | | + | |，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件

2、C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知 tan2，则( 4) + 2 =（ ） A1 B1 C5 3 D17 15 5 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上 一点，若12= 1 4，|MF1|2|MF2|，则此双曲线渐近线方程为（ ） A = 3 B = 3 3 Cyx Dy2x 6 （5 分）从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数 的概率是（ ） A 3 10 B1 5 C 3 20 D 1 10 7 （5 分）下列说法： 设某大学的女生体重 y （kg） 与身高 x （cm

3、） 具有线性相关关系， 根据一组样本数据 （xi， yi） （i1，2，n） ，用最小二乘法建立的线性回归方程为 =0.85x85.71，则若该大 学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg； 命题“x1，x2+34”的否定是“x1，x2+34” 相关系数 r 越小，表明两个变量相关性越弱； 在一个 22 列联表中，由计算得 K213.079，则有 99%的把握认为这两个变量间有 关系； 第 2 页（共 21 页） 已知随机变量 服从正态分布 N（2，2） ，P（5）0.79，则 P（1）0.21； 其中错误的个数是（ ） 本题可参考独立性检验临界值表： P（K2k） 0.100

4、0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A0 B1 C2 D3 8 （5 分）已知 = 3 1 3， = 2 1 2，clog32，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 9 （5 分）已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为 底面圆周上的一点，且ABD60，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（ ） A 3 2 B 2 2 C 3 3 D1 3 10 （5 分）已知函数 f（x）sinx（sinx+cosx） （0） ，若函数 f（x）的

5、图象与直线 y 1 在（0，）上有 3 个不同的交点，则 的范围是 A （1 2， 3 4 B （1 2， 5 4 C （5 4， 3 2 D （5 4， 5 2 11 （5 分）已知点 M（4，2） ，抛物线 x24y，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线， P 为抛物线上一点，过 P 做 PQl，点 Q 为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1与 l 交于点 R，则|QR|+|MR|的最小值为（ ） A1 + 25 B25 C17 D5 12（5分） 若关于 x的不等式 x2mlnx10 在2， 3上有解， 则实数m 的取值范围为 （ ） A(， 3 2 B(， 8 3 C （，e21

6、 D 3 2 ， 8 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）= ( 1 2) 1， 0 22 ，0 则 f（f（1） ） 14 （5 分）已知平面向量 ，满足 =（3，2） ， =（1，） ，若（ +2 ），则实 数 的值为 15 （5 分）a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 abcos（AB）a2+b2c2 （1）tanAtanB ； （2）若 A45，a2，则 c 第 3 页（共 21 页） 16 （5 分）大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房蜂房的结构如图所示，开口为正 六

7、边形 ABCDEF，侧棱 AA、BB、CC、DD、EE、FF相互平行且与平面 ABCDEF 垂直， 蜂房底部由三个全等的菱形构成瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这 种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方 法设计自己的家园 英国数学家麦克劳林通过计算得到BCD1092816 已 知一个房中 BB53，AB26，tan544408= 2，则此蠊房的表面积是 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17已知an是等比数列，bn是等差数列，且 a11，b13，a2+b27，a3+b311 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）设= ，nN *，

8、求数列cn的前 n 项和 Tn 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底前 ABCD 为平行四边形，点 P 在面 ABCD 内的射影 为 A，PAAB1，点 A 到平面 PBC 的距离为 3 3 ，且直线 AC 与 PB 垂直 （）在棱 PD 找点 E，使直线 PB 与平面 ACE 平行，并说明理由； （）在（）的条件下，求三棱锥 PEAC 的体积 19甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境， 不断地进行研究与实践，实现了沙退人进2019 年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代 第 4 页（共 21 页） 入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在治沙

9、过程中为检测某种 固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测量 风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚 度越小， 说明固沙效果越好， 数值为 0 表示该插针处没有被风蚀） 通过一段时间的观测， 治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数） ，并绘制了相应 的频率分布直方图 （I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*” ，否则不标记根据以上直方 图，完成列联表： 标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有 95%的把握认

10、为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为1和2，若|1 2|20cm，则可认为此固沙方法 在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算1和2（同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表） ，并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20在平面直角坐标系 xOy 中，点 F（1，0）为椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1(0)的右焦点， 第 5 页（共 21 页） 过 F 的直线与椭圆 E 交于 A、B 两

11、点，线段 AB 的中点为 P（2 3 ， 1 3） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 OM、ON 斜率的乘积为 2 2，两直线 OM，ON 分别与椭圆 E 交于 C、M、 D、N 四点，求四边形 CDMN 的面积 21已知函数() = 23 1 2 2+ 1 2（aR 且 a0） （）当 a= 23时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 =

12、1 2 2 = 2 + 2 2 （t 为参数） ，以坐标原 点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C1的极坐标方程为 = 22( + 4)，曲线 C2 的直角坐标方程为 = 4 2 （）若直线 l 与曲线 C1交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度； （）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2上，求 的取值 范围 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）2|x+1|，g（x）|x1| （1）解不等式 f（x）g（x） ； （2）若 f（x）+2g（x）tx+t 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 6 页（共 21 页）

13、2020 年高考数学（文科）全国年高考数学（文科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5， ABxN|1x52，3，4 故选：C 2 （5 分）已知复数 = 5 2 + 2，则|z|（ ） A5 B5 C13 D13 【解答】解：因为复数 = 5 2 + 2 = 5(2+) (2)(2

14、+) +2i（2+i）+21+2i； |z|= 12+ 22= 5； 故选：A 3 （5 分）已知非零向量 ， ，给定 p：R，使得 = ，：| + | = | | + | |，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 q 可得向量 ， 同向共线， qp，反之不成立 p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）已知 tan2，则( 4) + 2 =（ ） A1 B1 C5 3 D17 15 【解答】 解： tan2， 则( 4) + 2 = 1 1+ + 2 12 = 21 1+2 + 22 14 = 1， 故选

15、：A 5 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上 第 7 页（共 21 页） 一点，若12= 1 4，|MF1|2|MF2|，则此双曲线渐近线方程为（ ） A = 3 B = 3 3 Cyx Dy2x 【解答】解：由题意，|MF1|MF2|2a，又|MF1|2|MF2|， |MF1|4a，|MF2|2a， cosF1MF2= 162+4242 242 = 1 4， 化简得：c24a2，即 a2+b24a2， b23a2，得 = 3 此双曲线渐近线方程为 y= 3 故选：A 6 （5 分）从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取两个

16、不同的数，则这两个数的积为奇数 的概率是（ ） A 3 10 B1 5 C 3 20 D 1 10 【解答】解：从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取两个不同的数， 基本事件总数 n= 5 2 =10， 这两个数的积为奇数包含的基本事件个数 m= 3 2 =3 这两个数的积为奇数的概率是 p= = 3 10 故选：A 7 （5 分）下列说法： 设某大学的女生体重 y （kg） 与身高 x （cm） 具有线性相关关系， 根据一组样本数据 （xi， yi） （i1，2，n） ，用最小二乘法建立的线性回归方程为 =0.85x85.71，则若该大 学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.8

17、5kg； 命题“x1，x2+34”的否定是“x1，x2+34” 相关系数 r 越小，表明两个变量相关性越弱； 在一个 22 列联表中，由计算得 K213.079，则有 99%的把握认为这两个变量间有 关系； 已知随机变量 服从正态分布 N（2，2） ，P（5）0.79，则 P（1）0.21； 其中错误的个数是（ ） 第 8 页（共 21 页） 本题可参考独立性检验临界值表： P（K2k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A0 B1 C2 D3 【解答】解：设某大学的女生体重 y（kg）与身高 x（cm

18、）具有线性相关关系，根据一 组样本数据（xi，yi） （i1，2，n） ，用最小二乘法建立的线性回归方程为 =0.85x 85.71，则若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg，正确； 命题“x1，x2+34”的否定是“x1，x2+34” ，不正确； 相关系数 r 绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确； 在一个 22 列联表中，由计算得 K213.07910.828，则有 99.9%的把握认为这两个 变量间有关系，故不正确； 已知随机变量 服从正态分布 N（2，2） ，P（5）0.79，则 P（1）P（ 5）0.21，正确； 故选：C 8 （5 分）已知 = 3 1

19、 3， = 2 1 2，clog32，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 【解答】解： = 3 1 3= 9 1 6， = 2 1 2= 8 1 6，9 1 68 1 680= 1 1， clog32log331，ab1c 故选：D 9 （5 分）已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为 底面圆周上的一点，且ABD60，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（ ） A 3 2 B 2 2 C 3 3 D1 3 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系不妨设 OB1 因为高和底面的半径相等，OEOBOA，OA底面 D

20、EB 第 9 页（共 21 页） 点 D 为底面圆周上的一点，且ABD60， ABADDB； D 为 的中点 则 O（0，0，0） ，B（0，1，0） ，D（1，0，0） ，A（0，0，1） ，E（0，1，0） ， =（0，1，1） ， =（1，1，0） ， cos ， = | | | | | = 1 2， 异面直线 AM 与 PB 所成角的大小为 3 异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为 3 2 故选：A 10 （5 分）已知函数 f（x）sinx（sinx+cosx） （0） ，若函数 f（x）的图象与直线 y 1 在（0，）上有 3 个不同的交点，则 的范围是 A （1 2， 3

21、4 B （1 2， 5 4 C （5 4， 3 2 D （5 4， 5 2 【解答】解：因为函数 f（x）sinx（sinx+cosx）= 1 2（1cos2x）+ 1 2sin2x= 2 2 sin （2 4）+ 1 2（0） ， 函数 f（x）的图象与直线 y1 在（0，）上有 3 个不同的交点； 即 2 2 sin（2 4）+ 1 2 =1 有 3 个根； sin（2 4）= 2 2 有三个根； x（0，） ； 2 4（ 4，2 4） ； 第 10 页（共 21 页） 2+ 4 2 4 2+ 3 4 5 4 3 2 故选：C 11 （5 分）已知点 M（4，2） ，抛物线 x24y，F

22、为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线， P 为抛物线上一点，过 P 做 PQl，点 Q 为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1与 l 交于点 R，则|QR|+|MR|的最小值为（ ） A1 + 25 B25 C17 D5 【解答】 解： 设 P （m， 2 4 ） ， 则过 P 的切线的斜率为： k= 2， Q （m， 1） ， kPQ= 2 ， kPQk 1， 根据抛物线的定义，|PF|PQ| l1为 FQ 的垂直平分线，|RF|RQ|， |QR|+|MR|的最小值为|MF|= (4 0)2+ (2 1)2=5， 故选：D 12（5分） 若关于 x的不等式 x2mlnx10 在2， 3上有

23、解， 则实数m 的取值范围为 （ ） A(， 3 2 B(， 8 3 C （，e21 D 3 2 ， 8 3 【解答】解：依题意， 2;1 ， 令() = 21 ， 2，3，则() = 2+1 ()2 ， 令() = 2 + 1 ，则() = 2 + 1 1 2，易知 m（x）单调递增，m（x） m（2）0， 所以 m（x）单调递增，故 m（x）m（2）0，故 g（x）0， 则 g（x）在2，3上单调递增，故 g（3）m， 所以 m 8 3， 第 11 页（共 21 页） 即实数 m 的取值范围为(， 8 3， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，

24、每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）= ( 1 2) 1， 0 22 ，0 则 f（f（1） ） 2 【解答】解：函数 f（x）= ( 1 2) 1， 0 22 ，0 ， f（1）（1 2） 111， f（f（1） ）f（1）212ln12 故答案为：2 14 （5 分）已知平面向量 ，满足 =（3，2） ， =（1，） ，若（ +2 ），则实 数 的值为 19 4 【解答】解：平面向量 ，满足 =（3，2） ， =（1，） ， 若（ +2 ），则（ +2 ） =（5，2+2） （3，2）15+（2） （22） 0， 实数 = 19 4 ， 故答案为：19 4 15 （5

25、分）a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 abcos（AB）a2+b2c2 （1）tanAtanB 3 ； （2）若 A45，a2，则 c 410 5 【解答】解： （1）由于 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 abcos（AB） a2+b2c2 所以( ) = 2 2+22 2 =2cosC 则：cos（AB）2cos（A+B） ，整理得 3cosAcosBsinAsinB， 所以 tanAtanB3 （2）由（1）得 tanAtanB3，A45，a2， 第 12 页（共 21 页） 所以 tanA1，tanB3 所以 = 310 10 ， = 10

26、10 ，sinCsin（A+B）= 2 2 (3 10 10 + 10 10 ) = 25 5 由正弦定理得 = = 410 5 故答案为：3，410 5 16 （5 分）大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房蜂房的结构如图所示，开口为正 六边形 ABCDEF，侧棱 AA、BB、CC、DD、EE、FF相互平行且与平面 ABCDEF 垂直， 蜂房底部由三个全等的菱形构成瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这 种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方 法设计自己的家园 英国数学家麦克劳林通过计算得到BCD1092816 已 知一个房中BB53， AB26

27、， tan544408= 2， 则此蠊房的表面积是 2162 【解答】解：连接 BD，BD，则由题意 BDBD，BDBD62， OBCD为菱形，BCD1092816，tan544408= 2， OC2 1 2 544408 =2 32 2 =6，BC33， CCBB2 2=43， S梯形BBCC= 26(53+43) 2 =272， S表面积6 272 +3 1 2 6 62 =2162 故答案为：2162 第 13 页（共 21 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17已知an是等比数列，bn是等差数列，且 a11，b13，a2+b27，a3+b311 （1）求数列an和bn的

28、通项公式； （2）设= ，nN *，求数列cn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）设等比数列an的公比为 q（q0） ，等差数列bn的公差为 d， 依题意有2 + 2= + (3 + ) = 7 3+ 3= 2+ (3 + 2) = 11，即 + = 4 2+ 2 = 8， 解得 = 2 = 2或 = 0 = 4（舍去） = 2;1，= 3 + 2( 1) = 2 + 1， 数列an的通项公式为= 2;1，数列bn的通项公式为 bn2n+1； （2）由（1）得= = 2+1 21 ， = 3 1 + 5 2 + + 2+1 21 ， 1 2 = 3 2 + 5 22 + + 2;1 21

29、 + 2:1 2 ， 得1 2 = 3 + 2(1 2 + 1 22 + + 1 21) 2:1 2 = 3 + 2 1 2(1; 1 21) 1;1 2 2:1 2 = 5 2:5 2 ， = 10 2+5 21 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底前 ABCD 为平行四边形，点 P 在面 ABCD 内的射影 为 A，PAAB1，点 A 到平面 PBC 的距离为 3 3 ，且直线 AC 与 PB 垂直 （）在棱 PD 找点 E，使直线 PB 与平面 ACE 平行，并说明理由； 第 14 页（共 21 页） （）在（）的条件下，求三棱锥 PEAC 的体积 【解答】解： （）点 E 为 PD

30、中点时直线 PB 与面 ACE 平行 证明：连接 BD，交 AC 点 O，则点 O 为 BD 的中点， 因为点 E 为 PD 中点， 故 OE 为PDB 的中位线，则 OEPB，OE平面 ACE，PB平面 ACE， 所以 PB 与平面 ACE 平行 （）根据题意 ACPB，PA底面 ABCD，AC底面 ABCD，则有 ACPA，PAPB P， 所以AC平面PAB， 则ACAB设ACx， ;= ;= 1 3 1 2 1 1 = 1 3 1 2 2 2+ 1 2 3 3 ，得 AC1， 则;= 1 2 ;= 1 2 1 3 1 2 1 1 1 = 1 12 19甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一

31、代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境， 不断地进行研究与实践，实现了沙退人进2019 年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代 入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在治沙过程中为检测某种 固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测量 风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚 度越小， 说明固沙效果越好， 数值为 0 表示该插针处没有被风蚀） 通过一段时间的观测， 治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数） ，并绘制了相应 的频率分布直方图 第 15 页（共 21 页） （I）根据直方图估

32、计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*” ，否则不标记根据以上直方 图，完成列联表： 标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为1和2，若|1 2|20cm，则可认为此固沙方法 在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算1和2（同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表） ，并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.

33、841 6.635 10.828 【解答】解： （I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的事件为 C， 则 P（C）0.08+0.16+0.360.6； （）由频率分布表，填写列联表如下： 标记 不标记 合计 坡腰 30 20 50 坡顶 20 30 50 合计 50 50 100 第 16 页（共 21 页） 由表中数据，计算 K2= 100(30302020)2 50505050 =43.841， 所以有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关； （）计算1=0.085+0.1615+0.3625+0.2435+0.1245+0.045525.8（cm） ， 2=0.

34、045+0.1215+0.2425+0.3235+0.2045+0.085532.6（cm） ， 且|1 2|4.820， 所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异 20在平面直角坐标系 xOy 中，点 F（1，0）为椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1(0)的右焦点， 过 F 的直线与椭圆 E 交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P（2 3 ， 1 3） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 OM、ON 斜率的乘积为 2 2，两直线 OM，ON 分别与椭圆 E 交于 C、M、 D、N 四点，求四边形 CDMN 的面积 【解答】解： （1）由题意可知，c1，设 A（x1，y

35、1） ，B（x2，y2） ， 1+ 2= 4 3，1 + 2= 2 3， 又点 A，B 在椭圆上， 12 2 + 12 2 = 1 22 2 + 22 2 = 1 ，两式相减得：(1:2)(1;2) 2 + (1:2)(1;2) 2 = 0， 1;2 1;2 = 22 2 ，即直线 AB 的斜率为： 22 2 ， 又直线 AB 过右焦点 F（1，0） ，过点 P（2 3 ， 1 3） ， 直线 AB 的斜率为： 0;1 3 1;2 3 = 1， 22 2 = 1，a22b2， 又a2b2+c2，c1， a22，b21， 椭圆 E 的方程为： 2 2 + 2= 1； （2）设点 M（x1，y1）

36、 ，N（x2，y2） ， 第 17 页（共 21 页） 由题意可知，1 1 2 2 = 1 2，即 x1x2+2y1y20， 当直线 MN 的斜率不存在时，显然 x1x2，y1y2， 12 212= 0，又1 2 2 + 12= 1， 12= 1，12= 1 2， 四边形 CDMN 的面积 S4|x1|y1|22， 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为：ykx+m， 联立方程 = + 2 2 + 2= 1，消去 y 得： （1+2k 2）x2+4kmx+2m220， 1+ 2= 4 1+22，12 = 222 1+22 ， y1y2（kx1+m） （kx2+m）= 212+ (1

37、+ 2) + 2= 22+2 1+22 ， x1x2+2y1y20， 2 2;2 1:22 + ;42:22 1:22 =0， 整理得：1+2k22m2， 由 弦 长 公 式 得 ： |MN| = 1 + 2 (1+ 2)2 412= 1 + 2 8(1+2 22) (1+22)2 = 1 + 2 2| 2 ， 原点（0，0）到直线 MN 的距离 d= | 1+2， SMON= 1 2 | = 1 2 1 + 2 2| 2 | 1+2 = 2 2 ， 由椭圆的对称性可知：四边形 CDMN 的面积为 4SMON22， 综上所述，四边形 CDMN 的面积为 22 21已知函数() = 23 1 2

38、 2+ 1 2（aR 且 a0） （）当 a= 23时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 【解答】解： （）因为 a= 23时，() = 23 23 1 2 2+ 1 2，所以 f（x） 第 18 页（共 21 页） 23 23 x，那么 f（1）1，f（1）23， 所以曲线 yf （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线方程为： y23 = （x1） ， 即 x+y23 10， （）由题意可知 f（x）的定义域为（0，+） ， 因为 f（x

39、）23 x= 2+23 ，由x2+23xa0 可得：124a0， 即 a3 时，有 x1= 3 + 3 ，x2= 3 3 ，x1x2，又当 x（0，3）时，满足 x1x20， 所以有 x（0，x2）和（x1，+）时，f（x）0， 即 f（x）在区间（0，x2）和（x1，+）上为减函数 又 x（x2，x1）时，f（x）0，即 f（x）在区间（x2，x1）上为增函数 当 a0 时，有 x10，x20，则 x（0，x1）时，f（x）0，f（x）为增函数；x（x1， +）时，f（x）0，f（x）为减函数； 当 a3 时，0，f（x）0 恒成立，所以 f（x）在（0，+）为减函数， 综上所述，当 a0

40、时，在（0，3+3 ） ，f（x）为增函数；在（3+3 ，+） ，f （x）为减函数； 当 0a3 时， f （x） 在区间 （0， 33 ） 和 （3+3 ， +） 上为减函数， 在 （33 ， 3+3 ） ，f（x）为增函数； 当 a3 时，在（0，+）上，f（x）为减函数 （）因为 yf（x）有两个极值点 x1，x2，则 f（x）= 2+23 =0 有两个正根 x1， x2，则124a0，x1+x223，x1x2a0， 即 a（0，3） ，所以 f（x1）+f（x2）23（x1+x2）aln（x1x2） 1 2（1 2 + 22）+1 alna+a+7， 若要 f（x1）+f（x2）9lna，即要 alnalnaa+20， 构造函数 g（x）xlnxlnxx+2，则 g（x）1+lnx 1 1lnx 1 ，且在（0，3）上 为增函数， 又 g（1）10，g（2）ln2 1