1、 第 1 页（共 17 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（33） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z（1+i） （2+i） ，则其共轭复数 =（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 3 （5 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
2、也不必要 4 （5 分）已知0 2，且( ) = 63 65 ， = 12 13，则 sin（ ） A 3 5 B3 5 C 4 5 D4 5 5 （5 分）甲、乙、丙三人在贵阳参加中国国际大数据产业博览会期间，计划选择到贵州的 黄果树瀑布、梵浄山两个景点之一旅游参观由于时间关系，每个人只能选择一个景点， 则甲、乙都到黄果树旅游参观的概率为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 6 （5 分）观察下列各式：13+2332，13+23+3362，13+23+33+43102，则 73+83+ +153（ ） A14400 B13959 C14175 D13616 7 （5 分）已知直三棱
3、柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的表面上，若 ABAC1， 1= 23， = 2 3 ，则球 O 的体积为（ ） A32 3 B3 C4 3 D24 3 8 （5 分）已知函数() = 1 ( + 1) 0 2+ 2 + 10 ，函数 g（x）f（x）|xm|在定义域内 恰有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A( 5 4， 1) (1， 13 4 ) B(1， 13 4 ) C(1， 13 4 ) D( 5 4 ， 13 4 ) 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 2 页（共 17 页） 9 （5 分）
4、已知函数 f（x）x，g（x）x4，则下列结论正确的是（ ） A若 h（x）f（x）g（x） ，则函数 h（x）的最小值为 4 B若 h（x）f（x）|g（x）|，则函数 h（x）的值域为 R C若 h（x）|f（x）|g（x）|，则函数 h（x）有且仅有一个零点 D若 h（x）|f（x）|g（x）|，则|h（x）|4 恒成立 10 （5 分）已知双曲线 C：2 2 4 = 1，则（ ） A双曲线 C 的离心率等于半焦距的长 B双曲线2 2 4 = 1与双曲线 C 有相同的渐近线 C双曲线 C 的一条准线被圆 x2+y21 截得的弦长为45 5 D直线 ykx+b（k，bR）与双曲线 C 的公
5、共点个数只可能为 0，1，2 11 （5 分）过抛物线 C：y28x 的焦点 F 且斜率为3的直线 l 与抛物线交于 P，Q 两点（P 在第一象限） ，以 PF，QF 为直径的圆分别与 y 轴相切于 A，B 两点，则下列结论正确的 是（ ） A抛物线 C：y28x 的焦点 F 坐标为（2，0） B| = 32 3 CM 为抛物线 C 上的动点，N（2，1） ，则（|MF|+|MN|）min6 D| = 83 3 12 （5 分）已知定义在0， 2)上的函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（0）0，f（x）cosx+f （x）sinx0，则下列判断中正确的是（ ） A( 6) 6 2 (
6、 4) B( 3)0 C( 6)2( 3) D( 4)2( 3) 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知（ax+1）7的二项展开式中 x3的系数为 280，则实数 a 14 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx（0） ，xR，若函数 f（x）在区间（ 3， 4） 内单调递增，则 的取值范围为 15 （5 分）设 =（cos14，cos76） ， =（cos59，cos31） ，则 = 第 3 页（共 17 页） 16 （5 分）已知三棱锥 SABC 外接球 O 的体积为 288，在ABC 中，AB6，AC8，
7、 cosCBA= 3 5，则三棱锥 SABC 体积的最大值为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，且 Sn= 1 4（an+1） 2 （1）求an的通项公式； （2）令 cnanan+1，求数列an+ 1 前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在ABC 中，sinABCsinDBC，且 D 为 AC 的中点 （1）求 的值； （2）若 BC3，AC8，ACB 的角平分线 CE 交 BD 于 E，求 cosBCD 及CED 的 面积 19 （12 分）如图 1，有一边长为 2 的正为形 A
8、BCD，E 是边 AD 的中点，将ABE 沿着直 线 BE 折起至ABE 位置（如图 2） ，此时恰好 AEAC，点 A在底面上的射影为 O （1）求证：AEBC； （2）求直线 AB 与平面 BCDE 所成角的正弦值 20 （12 分）设椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的焦距为 2，且点(1， 3 2)在椭圆上，左右顶 点为 A1，A2，左右焦点为 F1，F2过点 A1作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P，交直线 x4 于点 D，直线 A2D 与椭圆 C 的另一个交点为 G，直线 GF1与直线 A1D 交于点 H 第 4 页（共 17 页） （1）求椭圆 C
9、的标准方程； （2）若 GF1DF2，求 k 的值； （3）若1 = ，求实数 的取值范围 21 （12 分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将 A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示 （1）求图中 a 的值； （2）求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数； （结果用小数表示， 小数点后保留两位有效数字） （3） 以频率估计概率， 现从所有投资者中随机抽取 4 人， 记年龄在20， 40） 的人数为 X， 求 X 的分布列以及数学期望 E（X） 22 （12 分）已知函数() = + 1 2 2 2 + 3 2 （1）若 a1，求
10、 f（x）在（0，1上的最大值； （2）当 0a1 时，f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）0 第 5 页（共 17 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（33） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z（1+i）
11、 （2+i） ，则其共轭复数 =（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 【解答】解：z（1+i） （2+i）2+i+2i11+3i， = 1 3 故选：B 3 （5 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】 解： 若 cos2= 1 3， 则 cos212sin 2， sin= 3 3 ， 则 cos2= 1 3” 是 “sin= 3 3 ” 的 不充分条件； 若 sin= 3 3 ，则 cos212sin2，cos2= 1 3，则 cos2= 1 3”是“sin= 3
12、 3 ”的必要条 件； 综上所述： “cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）已知0 2，且( ) = 63 65 ， = 12 13，则 sin（ ） A 3 5 B3 5 C 4 5 D4 5 【解答】解：已知0 2，且( ) = 63 65 ， = 12 13， （ 2， 0） ， sin （） = 1 2( ) = 16 65， cos= 1 2 = 5 13 sinsin（）+sin（）cos+cos（）sin 第 6 页（共 17 页） = 16 65 5 13 + 63 65 12 13 = 676 845 = 4 5， 故选：D 5
13、 （5 分）甲、乙、丙三人在贵阳参加中国国际大数据产业博览会期间，计划选择到贵州的 黄果树瀑布、梵浄山两个景点之一旅游参观由于时间关系，每个人只能选择一个景点， 则甲、乙都到黄果树旅游参观的概率为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 【解答】解：甲、乙、丙三人在贵阳参加中国国际大数据产业博览会期间， 计划选择到贵州的黄果树瀑布、梵浄山两个景点之一旅游参观由于时间关系， 每个人只能选择一个景点， 基本事件总数 n238， 甲、乙都到黄果树旅游参观包含的基本事件个数 m= 2 221 =2， 甲、乙都到黄果树旅游参观的概率为 p= = 2 8 = 1 4 故选：D 6 （5 分）观察下列
14、各式：13+2332，13+23+3362，13+23+33+43102，则 73+83+ +153（ ） A14400 B13959 C14175 D13616 【解答】解：由题意知 13+23+33+43+153（1+2+3+15）2， 13+23+33+43+53+63212， 则 73+83+153 13+23+33+43+153（13+23+33+43+53+63） （1+2+3+15）2212 13959 故选：B 7 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的表面上，若 ABAC1， 1= 23， = 2 3 ，则球 O 的体积为（ ） A32 3 B
15、3 C4 3 D24 3 【解答】解：ABC 中，AB1，AC1，BAC120， ABC 的外接圆的半径 r1 第 7 页（共 17 页） 直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，且 AA123， 则球 O 的半径 R=11+ (3)2=2； 球 O 的体积 V= 4 3R 3=32 3 故选：A 8 （5 分）已知函数() = 1 ( + 1) 0 2+ 2 + 10 ，函数 g（x）f（x）|xm|在定义域内 恰有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A( 5 4， 1) (1， 13 4 ) B(1， 13 4 ) C(1， 13 4 ) D( 5 4
16、， 13 4 ) 【解答】解：函数 g（x）f（x）|xm|在定义域内恰有三个不同的零点， 即方程函数 f（x）|xm|0 恰有三个不同的根，也就是 yf（x）与 y|xm|的图象 有 3 个不同交点 如图： 联立 = 2 + 2 + 1 = + ，得 x23x+m10， 由94（m1）0，解得 m= 13 4 ； 联立 = 2 + 2 + 1 = ，得 x2xm10， 由1+4（m+1）0，解得 m= 5 4 结合图象可知，要使 yf（x）与 y|xm|的图象有 3 个不同交点，则 m 的取值范围为： ( 5 4 ， 1) (1， 13 4 ) 故选：A 第 8 页（共 17 页） 二多选题
17、（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知函数 f（x）x，g（x）x4，则下列结论正确的是（ ） A若 h（x）f（x）g（x） ，则函数 h（x）的最小值为 4 B若 h（x）f（x）|g（x）|，则函数 h（x）的值域为 R C若 h（x）|f（x）|g（x）|，则函数 h（x）有且仅有一个零点 D若 h（x）|f（x）|g（x）|，则|h（x）|4 恒成立 【解答】解：因为函数 f（x）x，g（x）x4， h（x）f（x）g（x）x（x4）（x2）24；故 A 错； h（x）f（x）|g（x）|，x4 时，h（x）x（x4）
18、在区间上单调递增， 所以函数值大于等于零；x4 时，h（x）x（4x）在 x2 处取最大值 4；所以其值域 为 R故 B 对 h（x）|f（x）|g（x）|x|x4|0|x|x4|x2，所以 C 对； 又|x|x4|x（x4）|4；故 D 对； 故选：BCD 10 （5 分）已知双曲线 C：2 2 4 = 1，则（ ） A双曲线 C 的离心率等于半焦距的长 B双曲线2 2 4 = 1与双曲线 C 有相同的渐近线 C双曲线 C 的一条准线被圆 x2+y21 截得的弦长为45 5 D直线 ykx+b（k，bR）与双曲线 C 的公共点个数只可能为 0，1，2 【解答】解：双曲线 C：2 2 4 =
19、1，可得 a1，b2，c= 5， 所以双曲线的离心率为：e= 5 =c，所以 A 正确； 双曲线的渐近线方程：y2x，双曲线2 2 4 = 1的渐近线方程 y= 1 2x，所以 B 不正 确； 双曲线 C 的一条准线 x 5 5 被圆 x2+y21 截得的弦长为：21 1 5 = 45 5 ，所以 C 正 确； 直线 ykx+b（k，bR） ，点 b0 时，直线与双曲线的交点可能是 0 个，也可能是 2 个， 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是 1 个，所以直线与双曲线 C 的 公共点个数只可能为 0，1，2，正确； 第 9 页（共 17 页） 故选：ACD 11 （5 分）过
20、抛物线 C：y28x 的焦点 F 且斜率为3的直线 l 与抛物线交于 P，Q 两点（P 在第一象限） ，以 PF，QF 为直径的圆分别与 y 轴相切于 A，B 两点，则下列结论正确的 是（ ） A抛物线 C：y28x 的焦点 F 坐标为（2，0） B| = 32 3 CM 为抛物线 C 上的动点，N（2，1） ，则（|MF|+|MN|）min6 D| = 83 3 【解答】解：由题意可得抛物线的焦点 F（2，0） ，所以 A 正确； 由题意设直线 PQ 的方程为：y= 3（x2） ， 与抛物线联立整理可得：3x220x+120，解得：x= 2 3或 6， 代入直线 PQ 方程可得 y 分别为：
21、 43 3 ，43， 由题意可得 P（6，43） ，Q（2 3， 43 3 ） ； 所以|PQ|6+ 2 3 +4= 32 3 ，所以 B 正确；如图 M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于 E，可 得|MF|ME|， 所以|MF|+|MN|ME|+|MN|NE2+24，当 N，M，E 三点共线时，|MF|+|MN|最小， 且最小值为 4，所以 C 不正确； 因为 P（6，43） ，Q（2 3， 43 3 ） ，所以 PF，QF 的中点分别为： （3，23） ， （1 3， 23 3 ） ， 所以由题意可得 A（0，23） ，B（0， 23 3 ） ， 所以|AB|23 + 23 3 = 83
22、3 ，所以 D 正确； 故选：ABD 第 10 页（共 17 页） 12 （5 分）已知定义在0， 2)上的函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（0）0，f（x）cosx+f （x）sinx0，则下列判断中正确的是（ ） A( 6) 6 2 ( 4) B( 3)0 C( 6)2( 3) D( 4)2( 3) 【解答】解：令 g（x）= () ，x 0， 1 2 )， 因为 f（x）cosx+f（x）sinx0， 则 g（x）= ()+() 2 0， 故 g（x）在0，1 2 ）上单调递减， 因为 f（0）0，则 f（x）0， 结合选项可知，g（ 6）g（ 4） ，从而有 ( 6) 3
23、2 ( 4) 2 2 ，即 f（ 6） 6 2 f（ 4） ，故 A 错误， 因为 ln1 3 0， 结合 g （x） 在在0， 1 2 ） 上单调递减可知 g （ln1 3 ） 0， 从而有 (1 3) 1 3 0， 由 cosln1 3 0 可得 f（ln1 3 ）0，故 B 错误； g （ 6） g （ 1 3 ） ， 从而有 ( 6) 3 2 (1 3) 1 2 ， 且 f （1 3 ） 0， 即 f （ 6） 3(1 3)2( 1 3) 故 C 正 确； g（ 4）g（ 1 3 ） ，从而有 ( 4) 2 2 (1 3) 1 2 即 f（ 4）2( 1 3)故 D 正确 故选：CD
24、三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 11 页（共 17 页） 13 （5 分）已知（ax+1）7的二项展开式中 x3的系数为 280，则实数 a 2 【解答】解：二项式展开的通项公式得:1= 7 ()7; 1= 7 7; 7;， 令 r4，得 x3的系数，7 3 = 280，a2， 故答案为：2 14 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx（0） ，xR，若函数 f（x）在区间（ 3， 4） 内单调递增，则 的取值范围为 （0，1 【解答】解：f（x）sinx+cosx= 2sin（x+ 4） ， 函数 f（x）在区间（ 3
25、， 4）内单调递增， 3 + 4 2 2 4 + 4 2 + 2 ，kz 解得 8k+1， 0， 的取值范围为（0，1， 故答案为： （0，1 15 （5 分）设 =（cos14，cos76） ， =（cos59，cos31） ，则 = 3 2 【解答】解：设 =（cos14，cos76） ， =（cos59，cos31） ， 则 =cos14cos59+cos76cos31 sin76cos59+cos76sin59 sin120 = 3 2 故答案为： 3 2 16 （5 分）已知三棱锥 SABC 外接球 O 的体积为 288，在ABC 中，AB6，AC8， cosCBA= 3 5，则三棱
26、锥 SABC 体积的最大值为 811 +48 【解答】解：设三棱锥 SABC 外接球 O 的半径为 R，则4 3 3 =288，解得 R6 设 BCx，在ABC 中，由余弦定理可得：82x2+6226x 3 5，化为：5x 236x140 0， 第 12 页（共 17 页） 解得 x10 ABAC ABC 的面积= 1 2 6 8 =24 球心到平面 ABC 的距离 d= 62 52= 11 三棱锥 SABC 体积的最大值= 1 3 24 （11 +6）811 +48 故答案为：811 +48 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知数列an的
27、前 n 项和为 Sn，a11，an0，且 Sn= 1 4（an+1） 2 （1）求an的通项公式； （2）令 cnanan+1，求数列an+ 1 前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）a11，且 Sn= 1 4（an+1） 2， n2 时，anSnSn1= 1 4（an+1） 21 4（an1+1） 2， 化简可得（an+an1） （anan12）0， 由 an0，可得 anan12，即an为首项为 1，公差为 2 的等差数列， 则 an1+2（n1）2n1； （2）cnanan+1（2n1） （2n+1） ， an+ 1 =（2n1）+ 1 (21)(2+1) =（2n1）+ 1 2（ 1
28、 2;1 1 2:1） ， 可得前 n 项和 Tn（1+3+2n1）+ 1 2（1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1） = 1 2n（1+2n1）+ 1 2（1 1 2+1）n 2+ 2+1 18 （12 分）如图，在ABC 中，sinABCsinDBC，且 D 为 AC 的中点 （1）求 的值； （2）若 BC3，AC8，ACB 的角平分线 CE 交 BD 于 E，求 cosBCD 及CED 的 第 13 页（共 17 页） 面积 【解答】解： （1）SABC= 1 2ABBCsinABC，SBCD= 1 2BDBCsinDBC， D 为 AC 的中点， SABC2S
29、BCD，即1 2ABBCsinABC2 1 2BDBCsinDBC， sinABCsinDBC， = 1 2 （2）设 BDx，则 AB2x， 在ABC 中，cosACB= 2+22 2 = 64+942 283 ， 在BCD 中，cosDCB= 2+22 2 = 16+92 243 ， 64:9;4 2 283 = 16:9;2 243 ，解得 x2= 23 2 ，则 cosDCB= 9 16， ACB 的角平分线为 CE， E 到 DC，BC 的距离相等，则 = = 3 4， SCED= 4 7SBCD， SBCD= 1 2BCDCsinDCB= 1 2 3 41 ( 9 16) 2 =
30、157 8 ， SCED= 4 7 157 8 = 157 14 19 （12 分）如图 1，有一边长为 2 的正为形 ABCD，E 是边 AD 的中点，将ABE 沿着直 线 BE 折起至ABE 位置（如图 2） ，此时恰好 AEAC，点 A在底面上的射影为 O （1）求证：AEBC； （2）求直线 AB 与平面 BCDE 所成角的正弦值 第 14 页（共 17 页） 【解答】 （1）证明：AEAB，AEAC，ABACA， AE平面 ABC，则 AEBC； （2）解：点 A在底面上的射影为 O，AO平面 BCDE， ABO 为直线 AB 与平面 BCDE 所成角， 延长 EO 交 BC 于 H
31、，连接 AH， AEBC，AOBC，且 AOAEA， BC平面 AEO，则 BCEO， E 为 AD 的中点，H 为 BC 的中点， AE1，EH2， 由（1）得，AEAH，AEH60，可得 = 3 2 sin = = 3 2 2 = 3 4 直线 AB 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 3 4 20 （12 分）设椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的焦距为 2，且点(1， 3 2)在椭圆上，左右顶 点为 A1，A2，左右焦点为 F1，F2过点 A1作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P，交直线 x4 于点 D，直线 A2D 与椭圆 C 的另一个交点为 G，直线
32、GF1与直线 A1D 交于点 H （1）求椭圆 C 的标准方程； 第 15 页（共 17 页） （2）若 GF1DF2，求 k 的值； （3）若1 = ，求实数 的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得 1 2 + 9 42 = 1 2= 2+ 2 = 1 ，解得 a24，b23， 椭圆方程为 2 4 + 2 3 =1， （2）由（1）可得 A1（2，0） ，A2（2，0） ，F1（1，0） ，F2（1，0） ， 则直线 l 的方程为 yk（x+2） ， 由 = ( + 2) = 4 ，可得 D（4，6k） ， 直线 DG 的方程为 y= 6 42（x2） ，即 y3k（x2） ， 由 =
33、3( 2) 2 4 + 2 3 = 1 ，消 y 可得 4（1+12k2）96k2x+48k240 解得 G（24 2;2 1:122， 12 1+122） ， 1 =（36 2;1 1:122， 12 1:122） ，2 =（3，6k） ， GF1DF2， 1 2 = 3621 1+122 （3）+ 12 1+122 （6k）0， 解得 k 15 30 ； （3）由（2）知 D（4，6k） ，G（24 2;2 1:122， 12 1+122） ， 联立 = ( + 2) 2 4 + 2 3 = 1 得 P（6;8 2 3:42， 12 3:42） ， 第 16 页（共 17 页） lHG方程
34、：y= 12 2621 ( + 1) 联立 = 12 2621 ( + 1) = ( + 2) ，得 H（;52 2;10 262:11 ， 12 262:11） 1 = ， yHyP = = 12 262+11 12 3+42 = 3+42 262+11 = 1 262+11 3+42 = 1 13 2 17 2 3+42 ， (13 2 ， 11 3 ) 21 （12 分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将 A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示 （1）求图中 a 的值； （2）求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数； （结果
35、用小数表示， 小数点后保留两位有效数字） （3） 以频率估计概率， 现从所有投资者中随机抽取 4 人， 记年龄在20， 40） 的人数为 X， 求 X 的分布列以及数学期望 E（X） 【解答】解： （1）依题意，0.07+0.18+10a+0.25+0.21， 解得 a0.03 （2）平均数为 250.07+350.18+450.3+550.25+650.248.30 中位数为40 + 0.50.25 0.03 48.33 （3）依题意，XB（4，1 4） ， 故( = 0) = (3 4) 4 = 81 256， ( = 1) = 4 1(1 4)( 3 4) 3 = 27 64， 第 17
36、 页（共 17 页） ( = 2) = 4 2(1 4) 2(3 4) 2 = 27 128， ( = 3) = 4 3(1 4) 3(3 4) = 3 64， ( = 4) = (1 4) 4 = 1 256 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 故() = 4 1 4 =1 22 （12 分）已知函数() = + 1 2 2 2 + 3 2 （1）若 a1，求 f（x）在（0，1上的最大值； （2）当 0a1 时，f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）0 【解答】 （1）解：因为 a1，所以()
37、= + 1 2 2 2 + 3 2，则() = 1 + 2， 则() = (1)2 0， 所以 f（x）在（0，1上单调递增， 所以 f（x）在（0，1上的最大值为 f（1）0 （2）证明：因为 f（x）有两个极值点 x1，x2，所以 x1，x2为方程 ax22x+10 的两根， 则1+ 2= 2 ，12 = 1 ， 所 以 (1) + (2) = (12) + 2 (1 2 + 2 2) 2(1 + 2) + 3 = 1 + 2 ( 4 2 2 ) 4 + 3 = 2 + 2 令() = 2 + 2， (0，1)，则() = 1 + 2 2 = 2 2 0恒成立， 所以 g（a）在（0，1）上单调递增， 所以 g（a）g（1）ln12+20， 即 f（x1）+f（x2）0
