1、 第 1 页（共 26 页） 2020 年北京市中考数学模拟试卷（年北京市中考数学模拟试卷（16） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）民族图案是数学文化中的一块瑰宝下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称 图形的是（ ） A B C D 2（2 分） 5G 是第五代移动通信技术， 5G 网络理论下载速度可以达到每秒 1300000KB 以上， 这意味着下载一部高清电影只需要 1 秒将 1300000 用科学记数法表示应为（ ） A13105 B1.3105 C1.3x106 D1.3107 3 （2 分）实数 a，b，c
2、在数轴上的对应点的位置如图所示，如果 a+b0，那么下列结论正 确的是（ ） A|a|c| Ba+c0 Cabc0 D = 0 4 （2 分）如图，若 ABEF，ABCD则下列各式成立的是（ ） A2+31180 B12+390 C1+2+3180 D1+23180 5 （2 分）若一个多边形的每个内角均为 120，则该多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 6 （2 分）如果 a2+3a20，那么代数式（ 3 29 + 1 +3） 3 2 的值为（ ） A1 B1 2 C1 3 D1 4 第 2 页（共 26 页） 7 （2 分）弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长 L（c
3、m）与重物质量 x（kg）的关系如下 表所示： 弹簧总长 L（cm） 16 17 18 19 20 重物重量 x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物质量为 5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长 L（cm）是（ ） A22.5 B25 C27.5 D30 8 （2 分）第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京市和张家口市联合举行以下能 够准确表示张家口市地理位置的是（ ） A离北京市 200 千米 B在河北省 C在宁德市北方 D东经 114.8，北纬 40.8 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2
4、分）已知，x、y 为实数，且 y= 2 1 1 2+3，则 x+y 10 （2 分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则这枚骰子 向上一面出现的点数为 3 的倍数的概率为 11 （2 分）能说明命题“若 ab，则 acbc”是假命题的一个 c 值是 12 （2 分）如图，AB 是圆 O 的直径，D 是圆 O 上的一点，DOB75，DC 交 BA 的延 长线于 E，交圆 O 于 C，且 CEAO，则E 的度数 度 13 （2 分）体育馆的环形跑道长 400 米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车如 果同向而行 80 秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔 3
5、0 秒相遇一次；求甲、乙的 速度分别是多少？如果设甲的速度是 x米/秒， 乙的速度是y 米/秒， 所列方程组是 14 （2 分）如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC，CD 于点 P，Q平行四边形 ABCD 的面积为 6，则图中阴影部分的面积 为 第 3 页（共 26 页） 15 （2 分）拖拉机开始工作时，油箱中有油 24 升，如果每小时耗油 4 升，那么油箱中的剩 余油量 y （升） 和工作时间 x （时） 之间的函数关系式是 ， 自变量 x 必须满足 16 （2 分）如图，在OAB 中，AOB90，AO2，BO4将OAB
6、绕顶点 O 按顺 时针方向旋转到OA1B1处， 此时线段 OB1与 AB 的交点 D 恰好为线段 AB 的中点， 线段 A1B1与 OA 交于点 E，则图中阴影部分的面积 三解答题（共三解答题（共 11 小题，满分小题，满分 62 分）分） 17 （5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 BC 及直线 BC 外一点 P 求作：直线 PE，使得 PEBC 作法：如图 2 在直线 BC 上取一点 A，连接 PA； 作PAC 的平分线 AD； 以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线 AD 于点 E； 作直线 PE 所以直线 PE 就是所求
7、作的直线根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； 第 4 页（共 26 页） （2）完成下面的证明 证明：AD 平分PAC， PADCAD PAPE， PAD ， PEA ， PEBC （ ） （填推理依据） 18 （5 分）计算： （1 2） 16tan30（2 1）0+12 19 （5 分）解一元一次不等式组5 + 5 3 2 1 23 ，并写出它的整数解 20 （5 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（m3）x3m0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根 21 （5 分）如
8、图，在ABC 中，CD 平分ACB，CD 的垂直平分线分别交 AC、DC、BC 于 点 E、F、G，连接 DE、DG （1）求证：四边形 DGCE 是菱形； （2）若ACB30，B45，ED6，求 BG 的长 22 （5 分）如图，AB 是O 的直径，过点 B 作O 的切线 BM，点 C 为 BM 上一点，连接 AC 与O 交于点 D，E 为O 上一点，且满足EACACB，连接 BD，BE （1）求证：ABE2CBD； （2）过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 F，若 AE6，BF= 3 2，求O 的半径长 第 5 页（共 26 页） 23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx
9、（k0）与双曲线 y= 8 （x0）交于点 A （2，n） （1）求 n 及 k 的值； （2）点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 点 B 的坐标 24 （6 分）盐城市某校开展了向贫困山区捐赠图书活动全校 2000 名学生每人都捐赠了一 定数量的图书，已知各年级人数分布的扇形统计图如图所示学校为了了解各年级捐 赠图书情况，从各年级中随机抽查了部分学生，进行捐赠图书情况的统计，绘制成如图 的频数分布直方图根据以上信息解答下列问题： （1）人均捐赠图书最多的是 年级； （2）估计该校九年级学生共捐赠图书多少册？ （3）全校大约共捐赠图书多少册？ 2
10、5 （6 分）已知抛物线 ymx24mx+3（m0） （1）求出抛物线的对称轴方程以及与 y 轴的交点坐标； （2）当 m2 时，求出抛物线与 x 轴的交点坐标； （3）已知 A（1，0） ，B（4，0） ，C（3，3）三点构成三角形 ABC，当抛物线与三角形 ABC 的三条边一共有 2 个交点时，直接写出 m 的取值范围 第 6 页（共 26 页） 26 （7 分）问题探究 （1）如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF45，则线段 BE、EF、FD 之间的数量关系为 ； （2）如图，在ADC 中，AD2，CD4，ADC 是一个不固定的角，以 AC 为边向 AD
11、C 的另一侧作等边ABC，连接 BD，则 BD 的长是否存在最大值？若存在，请求出 其最大值；若不存在，请说明理由； 问题解决 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD60，BC42，若 BDCD， 垂足为点 D，则对角线 AC 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在， 请说明理由 27 （7 分） 对于平面内的点 P 和图形 M， 给出如下定义： 以点 P 为圆心， 以 r 为半径作P， 使得图形 M 上的所有点都在P 的内部（或边上） ，当 r 最小时，称P 为图形 M 的 P 点控制圆， 此时， P 的半径称为图形 M 的 P 点控制半径 已知， 在平面直角坐标
12、系中， 正方形 OABC 的位置如图所示，其中点 B（2，2） （1）已知点 D（1，0） ，正方形 OABC 的 D 点控制半径为 r1，正方形 OABC 的 A 点控制 半径为 r2，请比较大小：r1 r2； （2）连接 OB，点 F 是线段 OB 上的点，直线 l：y= 3x+b；若存在正方形 OABC 的 F 点控制圆与直线 l 有两个交点，求 b 的取值范围 第 7 页（共 26 页） 第 8 页（共 26 页） 2020 年北京市中考数学模拟试卷（年北京市中考数学模拟试卷（16） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每
13、小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）民族图案是数学文化中的一块瑰宝下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称 图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确； C既不是轴对称，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 2（2 分） 5G 是第五代移动通信技术， 5G 网络理论下载速度可以达到每秒 1300000KB 以上， 这意味着下载一部高清电影只需要 1 秒将 1300000 用科学记数法表示应为（ ） A13105 B1.3105 C
14、1.3x106 D1.3107 【解答】解：将 1300000 用科学记数法表示为：1.3106 故选：C 3 （2 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果 a+b0，那么下列结论正 确的是（ ） A|a|c| Ba+c0 Cabc0 D = 0 【解答】解：a+b0， 原点在 a，b 的中间， 如图， 第 9 页（共 26 页） 由图可得：|a|c|，a+c0，abc0， = 1， 故选：C 4 （2 分）如图，若 ABEF，ABCD则下列各式成立的是（ ） A2+31180 B12+390 C1+2+3180 D1+23180 【解答】解：ABEF，ABCD， EFCD
15、， 3CGE， 31CGE1BGE， ABEG， 2+BGE180， 即2+31180， 故选：A 5 （2 分）若一个多边形的每个内角均为 120，则该多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 【解答】解：18012060， 360606 故选：C 6 （2 分）如果 a2+3a20，那么代数式（ 3 29 + 1 +3） 3 2 的值为（ ） A1 B1 2 C1 3 D1 4 【解答】解：原式= (+3)(3) 3 2 = 1 2+3， 由 a2+3a20，得到 a2+3a2， 则原式= 1 2， 第 10 页（共 26 页） 故选：B 7 （2 分）弹簧原长（不挂重物）1
16、5cm，弹簧总长 L（cm）与重物质量 x（kg）的关系如下 表所示： 弹簧总长 L（cm） 16 17 18 19 20 重物重量 x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物质量为 5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长 L（cm）是（ ） A22.5 B25 C27.5 D30 【解答】解：设弹簧总长 L（cm）与重物质量 x（kg）的关系式为 Lkx+b， 将（0.5，16） 、 （1.0，17）代入，得：0.5 + = 16 + = 17 ， 解得： = 2 = 15， L 与 x 之间的函数关系式为：L2x+15； 当 x5 时，L25+1525（cm） 故重物为 5kg
17、 时弹簧总长 L 是 25cm， 故选：B 8 （2 分）第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京市和张家口市联合举行以下能 够准确表示张家口市地理位置的是（ ） A离北京市 200 千米 B在河北省 C在宁德市北方 D东经 114.8，北纬 40.8 【解答】解：能够准确表示张家口市这个地点位置的是：东经 114.8，北纬 40.8 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）已知，x、y 为实数，且 y= 2 1 1 2+3，则 x+y 2 或 4 【解答】解：由题意知，x210 且 1x20， 所以
18、x1 所以 y3 所以 x+y2 或 4 故答案是：2 或 4 10 （2 分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则这枚骰子 第 11 页（共 26 页） 向上一面出现的点数为 3 的倍数的概率为 1 3 【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是 3 的倍数的有 3，6， 故骰子向上的一面出现的点数是 3 的倍数的概率是2 6 = 1 3， 故答案为：1 3 11 （2 分） 能说明命题 “若 ab， 则 acbc” 是假命题的一个 c 值是 0 （答案不唯一） 【解答】解：若 ab，当 c0 时 acbc0， 故答案为：0（答案不唯一） 12 （2 分）
19、如图，AB 是圆 O 的直径，D 是圆 O 上的一点，DOB75，DC 交 BA 的延 长线于 E，交圆 O 于 C，且 CEAO，则E 的度数 25 度 【解答】解：连结 OC，如图， CEAO， 而 OAOC， OCEC， E1， 2E+12E， OCOD， D22E， BODE+D， E+2E75， E25 故答案为 25 第 12 页（共 26 页） 13 （2 分）体育馆的环形跑道长 400 米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车如 果同向而行 80 秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔 30 秒相遇一次；求甲、乙的 速度分别是多少？如果设甲的速度是 x 米/秒，乙的速度是
20、y 米/秒，所列方程组是 80 80 = 400 30 + 30 = 400 【解答】解：根据题意，得 80 80 = 400 30 + 30 = 400 故答案为：80 80 = 400 30 + 30 = 400 14 （2 分）如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC，CD 于点 P，Q平行四边形 ABCD 的面积为 6，则图中阴影部分的面积为 5 4 【解答】解：四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形， ADBCCE，ABCD，ACDE， 平行四边形 ACED 的面积平行四边形 ABCD 的面积6，BCPBE
21、R，ABP CQPDQR， ABC 的面积CDE 的面积3，CP：ERBC：BE1：2， 点 R 为 DE 的中点， CP：DR1：2， CP：ACCP：DE1：4， SABC3， SABP= 3 4SABC= 9 4， CP：AP1：3， SPCQ= 1 9SABP= 1 4， CP：DR1：2， 第 13 页（共 26 页） SDQR4SPCQ1， S阴影SPCQ+SDQR= 5 4 故答案为：5 4 15 （2 分）拖拉机开始工作时，油箱中有油 24 升，如果每小时耗油 4 升，那么油箱中的剩 余油量 y（升）和工作时间 x（时）之间的函数关系式是 y244x ，自变量 x 必须满 足
22、0x6 【解答】解：依题意有：y244x， 时间应0，用油量不能超过原有油量， 4x24，解得 x6 0x6 16 （2 分）如图，在OAB 中，AOB90，AO2，BO4将OAB 绕顶点 O 按顺 时针方向旋转到OA1B1处， 此时线段 OB1与 AB 的交点 D 恰好为线段 AB 的中点， 线段 A1B1与 OA 交于点 E，则图中阴影部分的面积 4 5 【解答】解：如图， AOB90，AO2，BO4， SAOB= 1 2 244，AB= 2+ 2 = 4 + 16 =25， AOB90，点 D 是 AB 中点， ODBDAD， 第 14 页（共 26 页） ODAOAD， 将OAB 绕顶
23、点 O 按顺时针方向旋转到OA1B1处， BB1，SAOB= 11 =4，A1OAO2， B+OAD90， B1+AOD90， OEB190， 11 =4= 1 2 25 OE， OE= 45 5 ， A1E= 1 2 2 =4 16 5 = 25 5 ， 图中阴影部分的面积= 1 2 45 5 25 5 = 4 5， 故答案为：4 5 三解答题（共三解答题（共 11 小题，满分小题，满分 62 分）分） 17 （5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 BC 及直线 BC 外一点 P 求作：直线 PE，使得 PEBC 作法：如图 2 在直
24、线 BC 上取一点 A，连接 PA； 作PAC 的平分线 AD； 以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线 AD 于点 E； 作直线 PE 所以直线 PE 就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：AD 平分PAC， 第 15 页（共 26 页） PADCAD PAPE， PAD PEA ， PEA CAD ， PEBC （ 内错角相等两直线平行 ） （填推理依据） 【解答】解： （1）如图所示：直线 PE 即为所求 （2）证明：AD 平分PAC， PADCAD PAPE， PADPEA， PEACAD， P
25、EBC （内错角相等两直线平行） 故答案为：PEA，CAD，内错角相等两直线平行 18 （5 分）计算： （1 2） 16tan30（2 1）0+12 【解答】解：原式26 3 3 1+23 =1 19 （5 分）解一元一次不等式组5 + 5 3 2 1 23 ，并写出它的整数解 【解答】解：5 + 5 3 2 1 23 解不等式，得 x 7 2； 解不等式，得 x 1 5， 不等式组的解集为 7 2 x 1 5， 则不等式组的整数解是3，2，1，0 20 （5 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（m3）x3m0 （1）求证：方程总有两个实数根； 第 16 页（共 26 页） （2）若方程的
26、两个根都是整数，请写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根 【解答】 （1）证明：（m3）241（3m） ， m26m+9+12m， （m+3）2， 无论 m 取任何实数， （m+3）20，即0， 原方程总有两个实数根 （2）解：（m+3）2，由求根公式，得 1= (3)+(+3)2 21 ，2= (3)(+3)2 21 ， 原方程的根为：x13，x2m， 方程的两个根都是整数， 取 m1，方程的两根为 x13，x21 21 （5 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB，CD 的垂直平分线分别交 AC、DC、BC 于 点 E、F、G，连接 DE、DG （1）求证：四边形 DGCE 是菱
27、形； （2）若ACB30，B45，ED6，求 BG 的长 【解答】解： （1）CD 平分ACB， ACDDCG， EG 垂直平分 CD DGCG，DEEC， DCGGDC，ACDEDC EDCDCGACDGDC CEDG，DEGC 四边形 DECG 是平行四边形，且 DEEC 四边形 DGCE 是菱形； （2）如图，过点 D 作 DHBC， 第 17 页（共 26 页） 四边形 DGCE 是菱形， DEDG6，DGEC ACBDGB30，且 DHBC DH3，HG= 3DH33 B45，DHBC BBDH45 BHDH3 BGBH+HG3+33 22 （5 分）如图，AB 是O 的直径，过点
28、B 作O 的切线 BM，点 C 为 BM 上一点，连接 AC 与O 交于点 D，E 为O 上一点，且满足EACACB，连接 BD，BE （1）求证：ABE2CBD； （2）过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 F，若 AE6，BF= 3 2，求O 的半径长 【解答】解： （1）AB 是O 的直径， ADB90，即DAB+DBA90， BM 是O 的切线， ABBC， ABC90，即CBD+DBA90， DABCBD， ABC90， ACB90BAC， 第 18 页（共 26 页） EACACB， EAC90BAC 90（EACBAE） ， BAE2EAC90， AB 是直径， AEB90， AB
29、E90BAE 90（2EAC90） 2（90EAC） 2（90ACB） 2CAB 2CBD ABE2CBD； （2）如图，连接 DO 并延长交 AE 于点 G， DOB2BAD， ABE2CAB， DOBABE， DGBE， AGOAEB90， AGEG= 1 2AE3， AOGDOF， OAOD， AOGDOF（AAS） 第 19 页（共 26 页） DFAG3， 又 OFOBBFOD 3 2， 在 RtDOF 中，根据勾股定理，得 OD2DF2+OF2， 即 OD232+（OD 3 2） 2， 解得 OD= 15 4 答：O 的半径长为15 4 23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中
30、，直线 ykx（k0）与双曲线 y= 8 （x0）交于点 A （2，n） （1）求 n 及 k 的值； （2）点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 点 B 的坐标 【解答】解： （1）点 A（2，n）在双曲线 y= 8 上， n= 8 2 =4， 点 A 的坐标为（2，4） 将 A（2，4）代入 ykx，得：42k， 解得：k2 （2）分三种情况考虑，过点 A 作 ACy 轴于点 C，如图所示 当 ABAO 时，COCB14， 点 B1的坐标为（0，8） ； 当 OAOB 时，点 A 的坐标为（2，4） ， OC4，AC2， OA= 2+ 2=25
31、， OB225， 点 B2的坐标为（0，25） ； 当 BOBA 时，设 OB3m，则 CB34m，AB3m， 在 RtACB3中，AB32CB32+AC2，即 m2（4m）2+22， 第 20 页（共 26 页） 解得：m= 5 2， 点 B3的坐标为（0，5 2） 综上所述：点 B 的坐标为（0，8） ， （0，25） ， （0，5 2） 24 （6 分）盐城市某校开展了向贫困山区捐赠图书活动全校 2000 名学生每人都捐赠了一 定数量的图书，已知各年级人数分布的扇形统计图如图所示学校为了了解各年级捐 赠图书情况，从各年级中随机抽查了部分学生，进行捐赠图书情况的统计，绘制成如图 的频数分布
32、直方图根据以上信息解答下列问题： （1）人均捐赠图书最多的是 八 年级； （2）估计该校九年级学生共捐赠图书多少册？ （3）全校大约共捐赠图书多少册？ 【解答】解： （1）人均捐赠图书最多的是八年级； 故答案为：八； （2）九年级的学生人数为 200035%700（人） ， 第 21 页（共 26 页） 估计九年级共捐赠图书为 70053500（册） （3）200035%4.5+200035%5+200030%610250（册） 答：估计全校共捐赠图书 10250 册 25 （6 分）已知抛物线 ymx24mx+3（m0） （1）求出抛物线的对称轴方程以及与 y 轴的交点坐标； （2）当 m2
33、 时，求出抛物线与 x 轴的交点坐标； （3）已知 A（1，0） ，B（4，0） ，C（3，3）三点构成三角形 ABC，当抛物线与三角形 ABC 的三条边一共有 2 个交点时，直接写出 m 的取值范围 【解答】解： （1）ymx24mx+3m（x2）24m+3， 对称轴为：x2， 令 x0，得 ymx24mx+33， 抛物线 ymx24mx+3 与 y 轴的交点为（0，3） ； （2）当 m2 时，y2x28x+3， 令 y0，得 y2x28x+30， 解得，x= 210 2 ， 抛物线与 x 轴的交点坐标为： （210 2 ，0）和（2+10 2 ，0） ； （3）m0， 4m+33， 抛物
34、线的顶点在 y3 下方， 当 x4 时，ym（x2）24m+34m4m+33， 抛物线 ymx24mx+3 恒过点（4，3） ， 抛物线抛物线 ymx24mx+3 若过点（2，0）或点（1，0）时，则与ABC 的三条边 一共有 3 个交点， 又抛物线与三角形 ABC 的三条边一共有 2 个交点， 当 x2 时，ym（22）24m+30，或当 x1 时，ym（12）24m+30， 解得：m 3 4或 m1， 第 22 页（共 26 页） m0， m 的取值范围为 0m 3 4或 m1， 26 （7 分）问题探究 （1）如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF45，则
35、线段 BE、EF、FD 之间的数量关系为 BE+DFEF ； （2）如图，在ADC 中，AD2，CD4，ADC 是一个不固定的角，以 AC 为边向 ADC 的另一侧作等边ABC，连接 BD，则 BD 的长是否存在最大值？若存在，请求出 其最大值；若不存在，请说明理由； 问题解决 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD60，BC42，若 BDCD， 垂足为点 D，则对角线 AC 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）如图，延长 CD 至 G，使得 DGBE， 正方形 ABCD 中，ABAD，BAFG90， ABEADG， AEAG，
36、BAEDAG， EAF45，BAD90， BAE+DAF45， DAG+DAF45，即GAFEAF， 又AFAF， AEFAEG， EFGFDG+DFBE+DF， 故答案为：BE+DFEF； 第 23 页（共 26 页） （2）存在 在等边三角形 ABC 中，ABBC，ABC60， 如图，将ABD 绕着点 B 顺时针旋转 60，得到BCE，连接 DE 由旋转可得，CEAD2，BDBE，DBE60， DBE 是等边三角形， DEBD， 在DCE 中，DEDC+CE4+26， 当 D、C、E 三点共线时，DE 存在最大值，且最大值为 6， BD 的最大值为 6； （3）存在 如图，以 BC 为边作
37、等边三角形 BCE，过点 E 作 EFBC 于点 F，连接 DE， ABBD，ABCDBE，BCBE， ABCDBE， DEAC， 在等边三角形 BCE 中，EFBC， BF= 1 2BC22， EF= 3BF= 3 22 =26， 以 BC 为直径作F，则点 D 在F 上，连接 DF， DF= 1 2BC= 1 2 42 =22， ACDEDF+EF22 +26，即 AC 的最大值为 22 +26 第 24 页（共 26 页） 27 （7 分） 对于平面内的点 P 和图形 M， 给出如下定义： 以点 P 为圆心， 以 r 为半径作P， 使得图形 M 上的所有点都在P 的内部（或边上） ，当
38、r 最小时，称P 为图形 M 的 P 点控制圆， 此时， P 的半径称为图形 M 的 P 点控制半径 已知， 在平面直角坐标系中， 正方形 OABC 的位置如图所示，其中点 B（2，2） （1）已知点 D（1，0） ，正方形 OABC 的 D 点控制半径为 r1，正方形 OABC 的 A 点控制 半径为 r2，请比较大小：r1 r2； （2）连接 OB，点 F 是线段 OB 上的点，直线 l：y= 3x+b；若存在正方形 OABC 的 F 点控制圆与直线 l 有两个交点，求 b 的取值范围 【解答】解： （1）由题意得：r1BDCD= 12+ 22= 5，r2AC= 22+ 22=22， r1
39、r2， 故答案为： （2）如图所示：O 和B 的半径均等于 OB， 第 25 页（共 26 页） 当直线 l：y= 3x+b 与O 相切于点 M 时，连接 OM，则 OMl， 则直线 OM 的解析式为：y= 3 3 x， 设 M（x， 3 3 x） ， OMOB， OM=2+ ( 3 3 )2= 22+ 22， x2+ 2 3 =8， 解得：x= 6或 x= 6（舍） ， 3 3 x= 2， M（6，2） ， 将 M（6，2）代入 y= 3x+b 得：2 = 3 （6）+b， 解得：b42 当直线 l：y= 3x+b 与B 相切于点 N 时，连接 BN，则 BNl， 同理，设直线 BN 的解析
40、式为：y= 3 3 x+n，将 B（2，2）代入得： 2= 3 3 2+n， n2+ 23 3 ， 直线 BN 的解析式为：y= 3 3 x+2+ 23 3 ， 设 N（m， 3 3 m+2+ 23 3 ） ， BNOB， 第 26 页（共 26 页） (2 )2+ (2 + 3 3 2 23 3 )2= 22+ 22， 44m+m2+ 2 3 4 3 + 4 3 =8 m24m+20， m26（舍）或 m2+6， 3 3 m+2+ 23 3 = 3 3 （2+6）+2+ 23 3 =22， N（2+6，22） ， 将 N（2+6，22）代入 y= 3x+b 得：22 = 3（2+6）+b， 解得：b= 2 23 42， 存在正方形 OABC 的 F 点控制圆与直线 l 有两个交点，此时 b 的取值范围为： 2 23 42b42
