1、2025年甘肃省兰州市九年级诊断考试数学必刷卷（一）注意事项：全卷共120分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2025的相反数是（）A.2025 B.2025 C.12025 D.120252.如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（）第2题图A.同位角相等 B.对顶角相等 C.垂线段最短 D.等角的余角相等3.计算：2x（3x2y3）（）A.6x3y3 B.6x2y3 C.6x3y3 D.18x3y34. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景.它的分子结构如
2、图所示，所有多边形都是正多边形，则ABC的度数为（）第4题图A.135 B.120 C.105 D.605.已知关于x的方程a2ax13的解是x1，则a的值为（）A.2 B.1 C.1 D.26.如图，AB是O的直径，C，D是O上两点，BA平分CBD，若AOD50，则A的度数为（）第6题图A.50 B.55 C.65 D.757.若函数y（m1）xm23是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则m（）A.2 B.2 C.2 D.38.关于x的一元二次方程x2bx10有两个相等的实数根，则满足条件的实数b（）A.0 B.1或1 C.1 D.2或29. 2024年国家统计局公布了中华人民共和国202
3、3年国民经济和社会发展统计公报.如图为国家统计局发布的全国20192023年快递业务量及其增长速度的统计图.根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（）第9题图A.2023年的快递业务量比2022年增加了214.9亿件B.2019年至2023年，快递业务量持续上升C.2020年至2023年，快递业务量的年增长率持续下降D.与2021年相比，2022年的快递业务量的年增长率虽然下降，但快递业务量仍然上升10.随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很重要的一个组成部分就是车门设计.好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等.如图，某汽车车
4、门的底边长为1 m，车门打开后的最大角度为75，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫过区域的最大路径长是（）第10题图A.524 m B.512 m C.2 m D.34 m11.如图，在等边三角形ABC中，延长BC到点E，连接AE，若AE32，CAE15，则AB的长为（）第11题图A.22 B.32 C.23 D.312.如图1，点P，Q分别从正方形ABCD的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动.图2是点P，Q运动时，PBQ的面积y随时间x变化的图象，则正方形ABCD的边长为（）图1 图2第12题图A.1 B
5、.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.因式分解：x3x.14. 如图，在ABCD中（ADAB），ABC为锐角，将ABC沿对角线AC方向平移，得到ABC，连接AB和CD，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD是菱形，只需添加的一个条件是.第14题图15. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（4，2）关于对称轴对称的点的坐标为.第15题图16.如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.（注：钉尖向上的频率钉尖向上的次数投掷次数）下面有三个推断：第16题图当投掷次数是600时，计算机
6、记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中正确的是.（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（4分）计算：41622623.18.（4分）解不等式组：x32+3x+113（x1）8x，并在数轴上把解集表示出来.19.（4分）化简：（1m2 1）m22m+12m4.20.（6分）如图，已知点A在正比例
7、函数y2x的图象上，过点A作ABx轴于点B，以AB为边作正方形ABCD，点D在反比例函数ykx的图象上.（1）当点A的横坐标为2时，求反比例函数的表达式；（2）若正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k的值.第20题图21.（6分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，连接AC，以AB为边作ABE，使得BEBC，AEAC，过点C作CECD交AB于点F.（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AEB的面积是10，CD5，求CF的长.第21题图22. （6分）综合与实践问题情境：如图1，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，因渭水绕灞陵（汉文帝陵墓）
8、通长安而得名，是世界上唯一的纯木质悬臂梁与叠梁拱结构相结合的木质拱桥，又名握桥或卧桥.著名的桥梁建筑大师茅以升在他的桥梁史中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”，奠定了它在桥梁史上的重要地位.如图2，桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点B到水面的距离为8米.模型建立：（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的线为y轴建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的表达式；问题解决：（2）现有两艘宽为6米，高为3.5米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由.图1 图2第22题
9、图23.（6分）综合与实践观察发现：如图1，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间.你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？数学理解：如图2，如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题.（1）根据“数学理解”中的说法，关于“最短”，你已有的认识是；操作体验：（2）如图3，直线l的同一侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使ACBC最短.请在图中标注点C；（不写作法，保留作图痕迹）拓展探究：（3）如图4，四边形EFGH是一个长方形的台球桌，有黑，白两球
10、分别位于A，B两点.怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边GH，反弹后再碰撞台边EF，最后击中白球.请你认真思考，将黑球移动的路线画在图上.（不写作法，保留作图痕迹）图1 图2 图3 图4第23题图24.（6分）综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员的指导下，测量每个柑橘的直径作为样本数据，柑橘
11、的直径用x（单位：cm）表示.将收集的样本数据进行如下分组：组别ABCDEx3.5x4.54.5x5.55.5x6.56.5x7.57.5x8.5整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：甲园样本数据频数直方图 乙园样本数据频数直方图图图1 图2第24题图（1）填空：a.（2）下列结论正确的是（填序号）.两园样本数据的中位数均在C组；两园样本数据的众数均在C组；两园样本数据的最大数与最小数的差相等.（3）结合市场情况，将D，E两组的柑橘认定为一级，C组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并
12、说明理由.25. （6分）古树名木是中华民族悠久历史与文化的象征.据悉，在兰州树龄1000年以上的古树仅有4棵，分别为七里河区工人文化宫的两棵唐槐（树龄约1320年），红古区张家寺村寺庙旁的文成槐（树龄约1300年），榆中县定远镇矿湾村龙泉寺旁的圆柏（树龄约1000年）.某数学兴趣小组为了测量工人文化宫其中一棵唐槐的高度，制作了如下的实践报告：活动课题测量唐槐（AB）高度（唐槐有围栏保护，测量小组无法到达其底部）活动目的运用锐角三角函数知识解决实际问题测量工具自制测倾器、皮尺等方案示意图测量步骤（1）站在F处，利用测倾器测得唐槐最高点A的仰角为45（2）后退6米到达D处，测得A点的仰角为37说
13、明CD，EF为测倾器的支杆，在测量过程中CD，EF、唐槐AB均与水平面DB垂直，且D，F，B共线测量数据ACG37，AEG45，CDEF2米，DF6米参考数据sin370.60，cos370.80，tan370.75根据上表中的测量方案及数据，计算唐槐AB的高度.（结果保留整数）26.（7分）如图，DBE内接于O，DB是O的直径，BE平分DBC，C90，延长BD交CE的延长线于点A，连接OE.（1）求证：AC是O的切线；（2）若cosABC12，AD8，求AE的值.第26题图27.（8分）综合与实践【思考尝试】（1）如图1，在RtABC和RtADE中，D是BC边上的一点，BACDAE90，AB
14、AC，ADAE，连接CE.用等式写出线段CD，BD，AD的数量关系，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在ABC中，CAB90，ABAC，E，F为边BC上的点，且EAF45.用等式写出线段EF，BE，CF的数量关系，并说明理由；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在ABC中，BAC为直角，ABC45，平面内存在一点D，使CDBD.若AD42，CD2，求ABC的面积.图1 图2 图3第27题图28.（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为MN（M，N分别
15、是M，N的对应点）.若MN与MN均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段MN为图形W关于直线l的“对称连接线段”.（1）如图1，已知O的半径是2，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1，B2C2，B3C3中，是O关于直线yx1的“对称连接线段”的是；（2）如图2，已知点P（0，1），以点O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段OP是正方形ABCD关于直线ykx2的“对称连接线段”，求k的取值范围；（3）如图3，已知O的半径为r，点M（1，0），线段MN的长度为1.若对于任意过点Q（0，2）的直线l，都存在线段MN是O关于l的“对称连接线
16、段”，直接写出r的取值范围.图1 图2 图3第28题图2025年兰州市九年级诊断考试数学必刷卷（一）1.A2.B3.C4.B5.C6.C7.A8.D9.C10.B 11.C12.D13.x（x1）（x1）14.ABBC（答案不唯一） 15.（4，2）16.17.解：原式41216126232分2364332.4分18.解：x32+3x+113（x1）8x，由，得x1，1分由，得x2，2分则不等式组的解集为2x1.不等式组的解集在数轴上表示如解图.4分第18题解图19.解：原式1+m2m2（m1）22（m2）2分m1m22（m2）（m1）22m1.4分20.解：（1）点A在正比例函数y2x的图象
17、上，当x2时，y4，A（2，4），ADABBCCD4，OB2，D（6，4）.1分点D在反比例函数ykx的图象上，k4624，反比例函数的表达式为y24x.3分（2）正方形ABCD的面积为m，ADABBCCDm，点D和点A的纵坐标为m，易知点A的坐标为（m2，m），4分OCOBBC3m2，点D的坐标为（3m2，m）.将点D的坐标代入ykx，得k3m2m32m.6分21.（1）证明：ACAE，BCBE，AB垂直平分CE，ABCE.1分CDCE，ABCD.又BCAD，四边形ABCD是平行四边形.3分（2）解：由（1）可知，AB垂直平分CE，四边形ABCD是平行四边形，EFCF，ABCD5.4分SAE
18、B12ABEF10，125EF10，EF4，CF4.6分22.解：（1）由题意，得点O和点A的坐标分别为（0，0）和（24，0）.B为抛物线的顶点，B（12，8）.设抛物线的表达式为ya（x12）28.1分将点O（0，0）代入表达式可得a（012）280，解得a118，抛物线的表达式为y118（x12）28（0x24）.3分（2）两艘小舟能同时从桥下穿过.理由如下：4分将y3.5代入y118（x12）28，得118（x12）283.5，解得x121，x23，小舟高度为3.5米时，最大的通行宽度为21318（米）.两艘小舟宽为6米，661218，两艘小舟能同时从桥下穿过.6分23.解：观察发现：
19、连接大门与车间，与道路相交的地方，即为储物点应建的地方.1分（1）两点之间线段最短.2分（2）如解图1，点C即为所求.4分（3）黑球移动的路线如解图2.6分图1 图2第23题解图24.解：（1）40.2分（2）.4分（3）乙园的柑橘品质更优.理由如下：由频数分布直方图可知，甲园一级柑橘的占比为40+2520010032.5，二级柑橘的占比为5020010025；乙园一级柑橘的占比为50+1520010032.5，二级柑橘的占比为7020010035.32.532.5，2535，乙园的柑橘品质更优.6分25.解：由题意可知，CEDF6米，CDEFBG2米.在RtAGE中，AEG45，AGEG.3
20、分在RtACG中，ACG37，tanACGtan 37AGCGAG6+AG0.75，解得AG18，5分唐槐AB的高度为AGBG18220（米）.答：唐槐AB的高度约为20米.6分26.（1）证明：BE平分ABC，CBEOBE.OBOE，OBEOEB，CBEOEB，1分OEBC，OEAC90，OEAC.2分OE为O的半径，AC是O的切线.3分（2）解：设O的半径为r，则OEODr，AO8r.由（1）知OEBC，ABCAOE.4分cosABC12，cosAOEOEAOr8+r12，r12（8r），解得r8，6分AO16，AEAO2OE283.7分27.解：（1）BD2CD22AD2.理由如下：由题
21、意，得ABC与ADE均为等腰直角三角形，ABCACB45，DE2AD.BACDAE，BADCAE.在ABD和ACE中，ABACBADCAEADAE，ABDACE（SAS），1分BDCE，ABDACE45，DCEACDACE90，CE2CD2ED2（2AD）22AD2，BD2CD22AD2.2分（2）EF2BE2CF2.理由如下：如解图1，把ABE绕点A逆时针旋转90得到ACE，连接EF，则AEAE，CEBE，CAEBAE，BACE.3分BAC90，EAF45，BAECAFCAECAFFAE45，EAFEAF，AEFAEF（SAS），EFEF.BACB90，ACBACE90，即FCE90，EF2
22、CE2CF2，EF2BE2CF2.5分图1 图2 图3第27题解图（3）如解图2，延长DB到点D，使BDCD，连接AD.易得ABC是等腰直角三角形，ABAC.CDBD，BACCDB180，DBAACD180.DBAABD180， ACDABD，ABDACD（SAS），6分ADAD42， DACDAB，DAD90，DAD是等腰直角三角形，DD8.CDBD2，BD826，BC6222210，ABAC25，SABC12252510.7分如解图3，过点A作AEAD交BD于点E，则EAD90.CAB90，BAECAD.AEBEADADE，ADCADEBDC，AEBADC.又ABAC，ABEACD（AAS
23、），AEAD42，BECD2，DE8，BDBEDE10，BCBD2CD2226，AB213，SABC1221321326.综上所述，ABC的面积为10或26.8分28.解：（1）B1C1，B3C3.2分【解法提示】如解图1，C1关于直线yx1对称的点是（0，2），在O上，B1C1是O关于直线yx1的“对称连接线段”.B2和C2关于直线yx1的对称点是（1，3）和（2，1），均在O外，B2C2不是O关于直线yx1的“对称连接线段”.B3关于直线yx1的对称点是（1，1），在O内，B3C3是O关于直线yx1的“对称连接线段”.（2）如解图2，设直线ykx2交y轴于点A，易知点A的纵坐标为2.根据轴对称的性质可知，点P和它的对称点到点A的距离相等，点P的对称点在以点A为圆心，1为半径的圆上运动.3分当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件.4分由解图2可知，点P的临界对称点是（1，2）和（1，2），此时k的值分别是1和1，k1或k1.6分（3）r52.9分【解法提示】如解图3，连接MQ，则MQ5，点M关于过点Q的直线l的对称点在以点Q为圆心，5为半径的圆上运动，点N关于过点Q的直线l的对称点在以点Q为圆心，半径是51和51的圆上运动，r52.图1 图2 图3第28题解图
