1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 2 （5 分）复数 z 满足 = 2 1，则复数 z 的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 3 （5 分）已知 alog30.3，b0.30.2，c0.20.3，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 4 （5 分）已知数列an为等差数
2、列，且 a1+a6+a112，则 sin（a3+a9）的值为（ ） A 3 2 B 3 2 C1 2 D 1 2 5 （5 分）若函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）的解析式可能是（ ） A() = + B() = 12 C() = 2 D() = +1 2 6 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳 上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白 圈皆阳数， 四角黑点为阴数 如图， 若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取 1 个数， 则其和等于 9 的概率是（ ） 第 2 页（共 19 页） A1 5 B2 5 C
3、 3 10 D1 4 7 （5 分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的 x 的取值范围是（ ） A （2，十） B （2，4 C （4，10 D （4，+） 8 （5 分）某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面 积为（ ） A16 B20 C16 + 26 D20 + 26 9 （5 分）关于 x 的方程|lnx|ax0 在区间（0，4）上有三个不相等的实根，则实数 a 的取 值范围是（ ） A （0，1 ） B （2 2 ，e） C （0，2 2 ） D （2 2 ，1 ） 第 3 页（共 19 页） 10 （5 分）已知| |1，| |2，
4、=0，若 =2 3 ，则 与的夹角为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，若 E 上点 A 满足|AF1|2|AF2|，且F1AF2的取值范围为,2 3 ，-，则 E 的离心率的取值范围 是（ ） A,3，5- B,7，3- C3，5 D7，9 12 （5 分）关于函数 f（x）sinx|sin 2|有下述四个结论：f（x）的图象关于点（，0） 对称；f（x）的最大值为3 4；f（x）在区间（ 2 3 ，2 3 ）上单调递增；f（x）是周 期函数其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3
5、D4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （x2+x） （x2）4的展开式中，x3的系数为 14 （5 分） 数列an中 a12， an+12an， Sn为an的前 n 项和， 若 Sn62， 则 n 15 （5 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，长轴长在 y 轴上，离心率为 3 2 ，且 C 上一点到 C 的两个焦点的距离之和是 12，则椭圆的方程是 16 （5 分）已知点 P 为半径等于 2 的球 O 球面上一点，过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平 面截球 O 的截面圆为圆 E，圆 E 的内接ABC 中，
6、ABC90，点 B 在 AC 上的射影 为 D，则三棱锥 PABD 体积的最大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 4SABCb2+c2a2 （1）求角 A 的大小； （2）已知 cos（B+ 6）= 3 5，求 cos2C 的值 18 （12 分）如图，三棱锥 DABC 中，ADCD，ABBC42，ABBC （1）求证：ACBD； （2）若二面角 DACB 的大小为 150且 BD47时，求直线 BM 与面 ABC 所成角 的正弦值 第 4 页（共 1
7、9 页） 19（12分） 已知抛物线C： y22px （p0） 的焦点为F， Q是抛物线上的一点， = (1，22) （）求抛物线 C 的方程； （）过点（2，0）作直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在一点 A，使 得 x 轴平分MAN？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由 20 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位
8、游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比
9、调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 21 （12 分）已知函数 f（x）xex2x （1）求函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程 （2）设函数 g（x）f（x）2lnx，对于任意 x（0，+） ，g（x）a 恒成立，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 C：x2+y242xcos4ysin+7cos280， 第 5 页（共 19 页） （R， 是参數） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 1 的极坐
10、标方程为 2cos（+ 3）m （1）求动圆 C 的圆心的轨迹 C1的方程及直线 1 的直角坐标方程； （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的动点，若|MN|的最小值为 1，求 m 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1 （1）证明：ab+bc+ca 1 3； （2）若不等式 2 + 2 + 2 t 恒成立，求 t 的最大值 第 6 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小
11、题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解：集合 = *| 3 1+ =x|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 2 （5 分）复数 z 满足 = 2 1，则复数 z 的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 【解答】解： = 2 1 = 2(1+) (1)(1+) = 2(1+) 2 = 1 + ， z1i， 则复数 z 的虚部为1 故选：A 3 （5 分）已知 alog30.3，b0.30.2，c0.20.3，则（ ） Aabc Ba
12、cb Ccab Dbca 【解答】解：alog30.30，由幂函数 yx0.2为（0，+）上的增函数可知 0.30.20.20.2 又由指数函数 y0.2x为 R 上的减函数可知 0.20.20.20.30， 所以 acb 故选：B 4 （5 分）已知数列an为等差数列，且 a1+a6+a112，则 sin（a3+a9）的值为（ ） A 3 2 B 3 2 C1 2 D 1 2 【解答】解：数列an为等差数列，且 a1+a6+a1123a6，a6= 2 3 ， 则 sin（a3+a9）sin（2a6）sin4 3 = sin 3 = 3 2 ， 故选：B 5 （5 分）若函数 f（x）的图象如
13、图所示，则 f（x）的解析式可能是（ ） 第 7 页（共 19 页） A() = + B() = 12 C() = 2 D() = +1 2 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，() = + = +1，当 x时，f（x）1，不符合题意； 对于 B，f（x）= 12 ，有 f（1）0，不符合题意； 对于 D，f（x）= +1 2 ，在区间（，1）上，f（x）0，在区间（1，0）上，f （x）0，不符合题意； 故选：C 6 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳 上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白 圈皆
14、阳数， 四角黑点为阴数 如图， 若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取 1 个数， 则其和等于 9 的概率是（ ） A1 5 B2 5 C 3 10 D1 4 【解答】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数， 基本事件总数 n4520， 其和等于 9 包含的基本事件有： 第 8 页（共 19 页） （7，2） ， （3，6） ， （5，4） ， （1，8） ，共 4 个， 其和等于 9 的概率 p= 4 20 = 1 5 故选：A 7 （5 分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的 x 的取值范围是（ ） A （2，十） B （2，4 C （4，10 D （4，+） 【
15、解答】解：根据结果， 33（3x2）2282，且 333（3x2）22282， 解之得 2x4， 故选：B 8 （5 分）某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面 积为（ ） A16 B20 C16 + 26 D20 + 26 【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一部分， 第 9 页（共 19 页） 长方体的长、宽、高分别是：2，2，3， 所 以 这 个 几 何 体 的 表 面 积 为 ： 2 2 + 2 1+2 2 2 + 2 2+3 2 2 + 1 2 22 23 =20+26 故选：D 9 （5 分）关于 x 的方程|lnx|ax0 在区间（0，4）上有
16、三个不相等的实根，则实数 a 的取 值范围是（ ） A （0，1 ） B （2 2 ，e） C （0，2 2 ） D （2 2 ，1 ） 【解答】解：关于 x 的方程|lnx|ax0 在区间（0，4）上有三个不相等的实根， 即|lnx|ax 在区间（0，4）上有三个不相等的实根， 也就是函数 y|lnx|与 yax 在区间（0，4）上有三个不同的交点， 当 a0 时，显然不满足题意； 当 a0 时，设直线 yax 与 ylnx（x1）的切点为（x0，lnx0） ， 切线方程为 ylnx0= 1 0（xx0） ，代入 O（0，0） ， 可得lnx01，即 x0e，则 lnx01，此时 a= 1
17、再由 4aln4，可得 a 1 22 关于 x 的方程|lnx|ax0 在区间（0，4）上有三个不相等的实根，则实数 a 的取值范 围是（2 2 ， 1 ） 故选：D 第 10 页（共 19 页） 10 （5 分）已知| |1，| |2， =0，若 =2 3 ，则 与的夹角为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 【解答】解：由题意得：| | = (2 3 )2=(2 )2 + (3 )2= 4 1 + 3 4 =4； = （2 3 ）2 2 =2； cos ， = | |= 1 2； ，0， ， = 3 故选：B 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右
18、焦点分别为 F1，F2，若 E 上点 A 满足|AF1|2|AF2|，且F1AF2的取值范围为,2 3 ，-，则 E 的离心率的取值范围 是（ ） A,3，5- B,7，3- C3，5 D7，9 【解答】解：如图， 设|AF2|m，则|AF1|2|AF2|2m， 第 11 页（共 19 页） 由双曲线定义：|AF1|AF2|2a，得 2mm2a， 则 m2a， 则AF1F2中，由余弦定理可得： cosF1AF2= 2+(2)242 22 = 5242 42 = 20242 162 = 522 42 ， F1AF2的取值范围为,2 3 ，-， 1cosF1AF2 1 2， 即1 522 42 1
19、 2，解得7 e3 E 的离心率的取值范围是7，3 故选：B 12 （5 分）关于函数 f（x）sinx|sin 2|有下述四个结论：f（x）的图象关于点（，0） 对称；f（x）的最大值为3 4；f（x）在区间（ 2 3 ，2 3 ）上单调递增；f（x）是周 期函数其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：f（2x）sin（x）|sin 2|f（x） ，故 f（x）的图象关于点（，0） 对称 所以正确 因为 f（x）sin（x）|sin 2|f（x） ，故该函数为奇函数， 不妨设 0x4，则 f（x）2sin2 2cos 2 =2（1cos2 2）cos 2， 令 tco
20、s 21，1，则 f（t）2（tt 3） ， 则有 f（t）26t2， 则所以 f（t）的单调减区间为（1， 3 3 ） ，函数 f（t）的单调增区间为（ 3 3 ， 3 3 ） ， 函数的单调减区间为（ 3 3 ，1） ， 又函数的最大值为 f（ 3 3 ）= 43 9 ，所以最大值不为3 4不正确 当 x（0，2 3 ）时，tcos 2（ 1 2，1） ， 由知，f（t）在该区间内有增有减，故不单调不正确 第 12 页（共 19 页） f（x+2）sin（x+2）|sin:2 2 |sinx|sin 2|f（x） ， 故该函数为周期函数正确 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满
21、分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （x2+x） （x2）4的展开式中，x3的系数为 8 【解答】 解： 因为 （x2+x）（x2） 4 （x2+x） 4 0 4+ 4 1 3 (2)+ 4 2 2 (2)2+ 4 3 (2)3+ 4 4 (2)4， 故 x3的系数为4 3 (2)3+ 4 2 (2)2= 8 故答案为：8 14 （5 分）数列an中 a12，an+12an，Sn为an的前 n 项和，若 Sn62，则 n 5 【解答】解：数列an中，a12，an+12an， an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， Sn为an的前 n 项和，Sn62，
22、 = 2(12) 12 =2n+1262， 解得 n5 故答案为：5 15 （5 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，长轴长在 y 轴上，离心率为 3 2 ，且 C 上一点到 C 的两个焦点的距离之和是 12，则椭圆的方程是 2 36 + 2 9 = 1 【解答】 解：设椭圆 C 的标准方程为 2 2 + 2 2 = 1， 由题意离心率为 3 2 ，可得： = 3 2 ， 且 C 上一点到 C 的两个焦点的距离之和是 12， 可得 2a12，解得 a6，c33，则 b3 所以椭圆 C 的标准方程 2 36 + 2 9 = 1 故答案为： 2 36 + 2 9 = 1 16 （5 分）已知点 P
23、 为半径等于 2 的球 O 球面上一点，过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平 面截球 O 的截面圆为圆 E，圆 E 的内接ABC 中，ABC90，点 B 在 AC 上的射影 为 D，则三棱锥 PABD 体积的最大值为 33 8 第 13 页（共 19 页） 【解答】解：如图，点 P 为半径等于 2 的球 O 球面上一点， 过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平面截球 O 的截面圆为圆 E， 圆 E 的内接ABC 中，ABC90，点 B 在 AC 上的射影为 D， 由题意，PEOE1， AECE= 3，PAPBPC2，ABC90， 过 B 作 BDAC 于 D，设 ADx，则 CD23
24、 x， 再设 BDy，由BDCADB，可得 23; = ， y=(23 )，则1 2 = 1 2 4+ 233， 令 f（x）x4+233，则() = 43+ 632， 由 f（x）0，可得 x= 33 2 ， 当 x= 33 2 时，f（x）max= 243 16 ， ABD 面积的最大值为1 2 93 4 = 93 8 ， 则三棱锥 PABD 体积的最大值是1 3 93 8 1 = 33 8 故答案为：33 8 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 4SA
25、BCb2+c2a2 （1）求角 A 的大小； （2）已知 cos（B+ 6）= 3 5，求 cos2C 的值 【解答】解： （1）4SABCb2+c2a2， 2bcsinA2bccosA， 即 sinAcosA，tanA1， A（0，） ， 第 14 页（共 19 页） A= 4， （2）cos（B+ 6）= 3 5，且 B（0，） ， sin（B+ 6）= 4 5， cosBcos（B+ 6） 6= 3 2 3 5 + 1 2 4 5 = 33+4 10 ， sinBsin（B+ 6） 6= 4 5 3 2 1 2 3 5 = 433 10 ， cos2Csin（2C+ 1 2 ）sin2（
26、C+ 4）sin2（C+A）sin2B， 2sinBcosB2 433 10 33+4 10 = 24+73 50 18 （12 分）如图，三棱锥 DABC 中，ADCD，ABBC42，ABBC （1）求证：ACBD； （2）若二面角 DACB 的大小为 150且 BD47时，求直线 BM 与面 ABC 所成角 的正弦值 【解答】解： （1）证明：取 AC 中点 O，连结 BO，DO， ADCD，ABBC，ACBO，ACDO， BODOO，AC平面 BOD， 又 BD平面 BOD，ACBD （2）解：由（1）知BOD 是二面角 DACB 的平面角，BOD150， AC平面 BOD，平面 BOD
27、平面 ABC， 在平面 BOD 内作 OzOB，则 Oz平面 ABC， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得 OB4，在BOD 中由余弦定理得 OD43， 第 15 页（共 19 页） A （0， 4， 0） ， B （4， 0， 0） ， C （0， 4， 0） ， D （6， 0， 23） ， M （3， 2， 3） ， = （7， 2， 3） ， 平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） ， 设直线 BM 与面 ABC 所成角为 ， 则直线 BM 与面 ABC 所成角的正弦值为：sin= | | | | | = 3 56 =
28、 42 28 19（12分） 已知抛物线C： y22px （p0） 的焦点为F， Q是抛物线上的一点， = (1，22) （）求抛物线 C 的方程； （）过点（2，0）作直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在一点 A，使 得 x 轴平分MAN？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由 【解答】解： （）由题意可知，F（ 2，0） ， 点 Q 在物线 C：y22px 上，设 Q（0 2 2 ，y0） ， = (0 2 2 2 ，0) = (1，22)， 02 2 2 = 1 0= 22 ，解得 p2， 抛物线 C 的方程为：y24x； （）当直线 l 的斜率不存
29、在时，由抛物线的对称性可知 x 轴上任意一点 A（不与点 （2，0）重合） ，都可使得 x 轴平分MAN； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：yk（x2） （k0） ，设 M（x1，y1） ，N （x2，y2） ， 第 16 页（共 19 页） 联立方程 = ( 2) 2= 4 ，消去 y 得：k2x2（4k2+4）x+4k20， 1+ 2= 42+4 2 ，x1x24 （*） ， 假设在 x 轴上是否存在一点 A（a，0） ，使得 x 轴平分MAN， kAM+kAN0， 1 1; + 2 2; = 0， 1(2;):2(1;) (1;)(2;) = 0，又 y1k（x12） ，
30、y2k（x22） ， 212;(:2)(1:2):4 12;(1:2):2 = 0， 把（*）式代入上式化简得：4a8， a2， 点 A（2，0） ， 综上所求，在 x 轴上是否存在一点 A（2，0） ，使得 x 轴平分MAN 20 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是
31、否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 【解答】 解： （1
32、） 当收费为 20 元时， 照片被带走的可能性为 0.3， 不被带走的概率为 0.7， 设每个游客的利润为 Y1元，则 Y1是随机变量，其分布列为： Y1 15 5 P 0.3 0.7 E（Y1）150.350.71（元） ， 第 17 页（共 19 页） 则 5000 个游客的平均利润为 5000 元， 当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05100.8，不被带走的概率为 0.2， 设每个游客的利润为 Y2，则 Y2是随机变量，其分布列为： Y2 5 5 P 0.8 0.2 E（Y2）50.850.23（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000315000（元
33、） ， 该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元 （2）设降价 x 元，则 0x15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x， 不被带走的可能性为 0.70.05x， 设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，其分布列为： Y 15x 5 P 0.3+0.05x 0.70.05x E（Y）（15x）（0.3+0.05x）5（0.70.05x）0.0569（x7）2， 当 x7 时，E（Y）有最大值 3.45 元， 当定价为 13 元时，日平均利润取最大值为 50003.4517250 元 21 （12 分）已知函数 f（x）xex2x （1）求函数 f（x）在（1，f（1） ）处
34、的切线方程 （2）设函数 g（x）f（x）2lnx，对于任意 x（0，+） ，g（x）a 恒成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）（x+1）ex2， 由导数的几何意义可得，f（x）在（1，f（1） ）处切线斜率 k2e2，且 f（1）e2， 故 f（x）在（1，f（1） ）处切线方程为 ye+2（2e2） （x1）即 y2（e1）xe； （2）因为 g（x）xex2x2lnx，则 g（x）（x+1）ex2 2 ， 易得 g（x）在（0，+）上单调递增，且 g（1）0，(1 2)0， 故存在 m (1 2，1)使得 g（m）（m+1）e m22 =0，即 mem2， 所以 lnm
35、+mln2， 当 x（0，m）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，当 x（m，+）时，g（x） 第 18 页（共 19 页） 0，函数 g（x）单调递增， 故当 xm 时，g（x）取得最小值 g（m）mem2m2lnm22ln2， 故 a22ln2 综上可得，a 的范围a|a22ln2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 C：x2+y242xcos4ysin+7cos280， （R， 是参數） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 1 的极坐 标方程为 2c
36、os（+ 3）m （1）求动圆 C 的圆心的轨迹 C1的方程及直线 1 的直角坐标方程； （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的动点，若|MN|的最小值为 1，求 m 的值 【解答】解： （1）动圆 C：x2+y242xcos4ysin+7cos280， （R， 是参數） 设动员圆心的坐标为（x，y） ， 则 = 22 = 2 ，消去参数得到 2 8 + 2 4 = 1 直线 1 的极坐标方程为 2cos（+ 3）m转换为直角坐标方程为 3 = 0 （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的动点， 设M（22，2） ，所以MN的最小距离 d= |2223| 12+(3)2 = |25(
37、+)| 2 ， 由于 d 的最小值不为 0， 所以当25时，= 25 2 ，则;25 2 = 1，解得 m25 + 2 当 m 25时，= 25+ 2 ，则 +25 2 = 1，解得 m2（5 + 1） 故： = 2(5 + 1) 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1 （1）证明：ab+bc+ca 1 3； （2）若不等式 2 + 2 + 2 t 恒成立，求 t 的最大值 【解答】 （1）证明：由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 第 19 页（共 19 页） 可得 a2+b2+c2ab+bc+ca， （当且仅当 abc 取得等号） 由题设可得（a+b+c）21，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1， 即有 3（ab+bc+ca）1， 即 ab+bc+ca 1 3； （2）解： 2 + 2 + 2 +a+b+c= 2 +b+ 2 +c+ 2 +a2a+2b+2c， 故 2 + 2 + 2 a+b+c1，当且仅当 abc= 1 3取得等号） 不等式 2 + 2 + 2 t 恒成立，所以 t 的最大值为 1
