2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（12）.docx下载_163文库

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2、 = 1，且| + | = 2，则向量与的夹角的余弦值为（） A 2 2 B 2 3 C 2 8 D 2 4 5 （5 分）已知双曲线 C1： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线恰好是曲线 C2：x2+y2 2x22 = 0在原点处的切线，且双曲线 C1的顶点到渐近线的距离为26 3 ，则曲线 C1 的方程为（） A 2 12 2 8 = 1 B 2 16 2 8 = 1 C 2 16 2 12 = 1 D 2 8 2 4 = 1 6 （5 分）中国古代数学名著九章算术中的“蒲莞生长”是一道名题根据该问题我们改编一题：今有蒲草第一天长为三尺，莞草第一天长为一尺，以后蒲草的生

3、长长度遂天减半，莞草的生长长度逐天加倍，现问几天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍，以下给出了问题的四个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：lg20.30，lg3 0.48）（）第 2 页（共 19 页） A2.6 日 B3.0 日 C3.6 日 D4.0 日 7 （5 分）若 a1，6，则函数 = 2+ 在区间2，+）内单调递增的概率是（） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 8 （5 分）关于函数 f（x）|sinx|+cosx 有下述四个结论： f（x）是周期函数；f（x）的最小值为2； f（x）的图象关于 y 轴对称；f（x）在区间( 4 ， 2)单调递增其

4、中所有正确结论的编号是（） A B C D 9 （5 分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（） Ay|x| By3x Cyx3 Dy= 1 x 10 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜率为24 7 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若(21 + 2 ) 1 = 0，则此双曲线的标准方程可能为（） Ax2 2 12 =1 B 2 3 2 4 = 1 C 2 16 2 9 = 1 D 2 9 2 16 = 1 11 （5 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是 AD 的

5、中点，动点 P 在底面 ABCD 内（不包括边界）若 B1P平面 A1BM，则 C1P 的最小值是（） A 30 5 B230 5 C27 5 D47 5 12 （5 分）已知函数() = + 2 2 的极值点为 x1，函数 g（x）ex+x2 的零点为 x2，函数() = 2的最大值为 x3，则（） Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx3x1x2 Dx3x2x1 第 3 页（共 19 页）二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 2 0 + 2 0 + 2 6 0 ，则 zx+y 的最小值是

6、 14 （5 分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 x（单位：万元）与年销售额 y（单位：万元）进行了初步统计，如表所示年广告支出 x/万元 2 3 5 7 8 年销售额 y/万元 28 37 a 60 70 经测算，年广告支出 x 与年销售额 y 满足线性回归方程 =6.4x+18，则 a 的值为 15（5分）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 16 （5 分）如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有 n （n1， nN）个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6 ； 9 23 + 9 3

7、4 + 9 45 + + 9 20182019 = 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsinB+csinCa （2 +sinA）（1）求 A 的大小；（2）若 a= 2，B= 3，求ABC 的面积 18 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，ABC 为正三角形，DAC 为直角三角形且 DA DC，BECD 且 CD2BE （1）求证：ACBD；（2）若 ABBD2，求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值第 4 页（共 19 页） 19

8、（12 分）根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表： API 050 51100 101150 151200 2012050 251300 300 级别状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间0，50，（50， 100，（100，150，（150，200，（200，250，（250，300进行分组，得到频率分布条形图如图（1）求图中 x 的值；（2）空气质量状况分别为轻微污染或轻度污染定为空气质量级，求一年中空气质量为级的天数（3）小张到该城市出差

9、一天，这天空气质量为优良的概率是多少？ 20 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程；（2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b，曲线 yf（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 exy20 （1）求函数 f（x）的解析式，并证明：f（x）x1 （2）已知 g（x）kx2，且函数 f（x）与函数 g（x）的图象交于 A（x1，y1），B（x2， y2）两点，且线段 AB 的中点为 P（x0，y0），证明：f（

10、x0）g（1）y0 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，射线 l： = 3（x0），曲线 C1的参数方程为 = 3 = 2（为参数），曲线 C2 的方程为 x2+（y2）24；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 8sin （1）写出射线 l 的极坐标方程以及曲线 C1的普通方程；（2）已知射线 l 与 C2交于 O，M，与 C3交于 O，N，求|MN|的值五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，函数 f（x）|

11、2x+a|+|xb|的最小值为1 2 （1）求证：a+2b1；（2）若 2a+btab 恒成立，求实数 t 的最大值第 6 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（12）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设 = 3 1+ + 5，则|z|（） A2 B1 2 C 2 2 D 10 2 【解答】解：z= (1) (1+)(1) +i= 1 2 +i= 1 2 + 1 2i， |z|=( 1 2) 2+ (

12、1 2) 2 = 2 2 故选：C 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3）故选：A 3 （5 分）函数 f（x）x22x2|x 1|+1 的图象大致为（） A B C D 【解答】解：f（x）x22x2|x 1|+1（x1）22|x1|，则函数关于 x1 对称，排除 A，C， f（0）2+110，排除 D，故选：B 4 （5 分）已知向量，满足| | = 2，| | = 1，且| + | = 2，则向量与的夹角的余弦值为（）第

13、7 页（共 19 页） A 2 2 B 2 3 C 2 8 D 2 4 【解答】解：由题意可知| | = 2， | | = 1，且| + | = 2，可得 3+2 =4，解得 = 1 2，向量与的夹角的余弦值：， = 1 22 = 2 4 故选：D 5 （5 分）已知双曲线 C1： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线恰好是曲线 C2：x2+y2 2x22 = 0在原点处的切线，且双曲线 C1的顶点到渐近线的距离为26 3 ，则曲线 C1 的方程为（） A 2 12 2 8 = 1 B 2 16 2 8 = 1 C 2 16 2 12 = 1 D 2 8 2 4 =

14、 1 【解答】解：曲线 C2：x2+y22x22 = 0的圆心（1，2），双曲线 C1： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线恰好是曲线 C2：x2+y22x22 = 0在原点处的切线，可得这条渐近线的斜率为： 2 2 ，可得 = 2 2 ，一条渐近线方程为：y= 2 2 ，双曲线 C1的顶点到渐近线的距离为26 3 ， 2 2 1:( 2 2 )2 = 26 3 ，解得 a22，b2，则曲线 C1的方程为： 2 8 2 4 = 1 故选：D 6 （5 分）中国古代数学名著九章算术中的“蒲莞生长”是一道名题根据该问题我们改编一题：今有蒲草第一天长为三尺，莞草第一天长为

15、一尺，以后蒲草的生长长度遂天减半，莞草的生长长度逐天加倍，现问几天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍，以下给出了问题的四个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：lg20.30，lg3 0.48）（） A2.6 日 B3.0 日 C3.6 日 D4.0 日第 8 页（共 19 页）【解答】解：由题意可知蒲草的生长长度是首项为 3，公比为1 2的等比数列，莞草的生长长度是首项为 1，公比为 2 的等比数列，设n天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍，则有等比数列前n项和公式得： 1(1;2) 1;2 =2 3(1 1 2) 11 2 ，解得：2n12nlog212log23+

16、log242+log232+ 3 2 3.6，故选：C 7 （5 分）若 a1，6，则函数 = 2+ 在区间2，+）内单调递增的概率是（） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 【解答】解：函数 y= 2+ 在区间2，+）内单调递增， y1 2 = 2 2 0，在2，+）恒成立， ax2在2，+）恒成立， a4 a1，6， a1，4，函数 y= 2+ 在区间2，+）内单调递增的概率是4;1 6;1 = 3 5，故选：C 8 （5 分）关于函数 f（x）|sinx|+cosx 有下述四个结论： f（x）是周期函数；f（x）的最小值为2； f（x）的图象关于 y 轴对称；f（x）在区间(

18、对于 A，y|x|，为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于 B，y3x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于 C，yx3，在其定义域内既是奇函数又是增函数，符合题意；对于 D，y= 1 x，是奇函数但在其定义域内不是减函数，不符合题意；故选：C 10 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜率为24 7 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若(21 + 2 ) 1 = 0，则此双曲线的标准方程可能为（） Ax2 2 12 =1 B 2 3 2 4 = 1 C 2 16 2 9 = 1 D 2 9 2 16 = 1

19、【解答】解：若（21 + 2 ） 1 =0，即为若（21 + 2 ）（21 + 2 ）0，可得2 2= 21 2，即有|AF2|F2F1|2c，由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c，在等腰三角形 AF1F2中，tanAF2F1= 24 7 ， cosAF2F1= 7 25 = 42+42(2+2)2 222 ，化为 3c5a，即 a= 3 5c，b= 4 5c，可得 a：b3：4，a2：b29：16 故选：D 11 （5 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是 AD 的中点，动点 P 在底面 ABCD 内（不包括边界）若 B1P平面 A1BM

20、，则 C1P 的最小值是（）第 10 页（共 19 页） A 30 5 B230 5 C27 5 D47 5 【解答】解：如图，在 A1D1上取中点 Q，在 BC 上取中点 N，连接 DN，NB1，B1Q，QD， DNBM，DQA1M 且 DNDQD，BMA1MM，平面 B1QDNA1BM，则动点 P 的轨迹是 DN，（不含 D，N 两点）又 CC1平面 ABCD，则当 CPDN 时，C1P 取得最小值， C1P(2 5 5 )2+ 4 = 230 5 故选：B 12 （5 分）已知函数() = + 2 2 的极值点为 x1，函数 g（x）ex+x2 的零点为 x2，函数() =

21、2的最大值为 x3，则（） Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx3x1x2 Dx3x2x1 【解答】解：() = + 2 2 ， f（x）ex+x 1 ，由于 f（x）e x+1+1 2 0， f（x）在（0，+）上单调递增又 f（1 3）0，f（ 1 2）0，函数() = + 2 2 的极值点为 x1， 1+x1 1 1 =0 且 x1（1 3， 1 2）第 11 页（共 19 页）又函数 g（x）ex+x2 的零点为 x2， 2+x220，同理知 x2（1 3， 1 2），令 yex+x，则 yex+x 为增函数，由知，y1= 1+x1= 1 1 2= 2+x2y2得：1 2

22、 x1x2 1 3，又() = 2，h（x）= 1 2 1; 2 ，当 x（0，e）时，h（x）0，当 x（e，+）时，h（x）0， h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，当 xe 时函数() = 2取得极大值 1 2，即 x3= 1 2 1 3 由得：：x1x2x3 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 2 0 + 2 0 + 2 6 0 ，则 zx+y 的最小值是 0 【解答】解：依题意 x，y 满足约束条件 2 0 + 2 0 + 2 6 0 画图如下：

23、当 z0 时，有直线 l1：x+y0 和直线 l2：xy0，并分别在上图表示出来，当直线向 xy0 向下平移并过 A 点的时候，目标函数 zx+y 有最小值，此时最优解就是 A 点，点 A 的坐标是：A（2，2），所以目标函数 zx+y 的最小值是 0 故答案为：0 第 12 页（共 19 页） 14 （5 分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 x（单位：万元）与年销售额 y（单位：万元）进行了初步统计，如表所示年广告支出 x/万元 2 3 5 7 8 年销售额 y/万元 28 37 a 60 70 经测算，年广告支出 x 与年销售额 y 满足线性回归

24、方程 =6.4x+18，则 a 的值为 55 【解答】解： = 2+3+5+7+8 5 = 5， = 28+37+60+70 5 = 195+ 5 ，样本点的中心坐标为（5，195: 5 ），代入 =6.4x+18，得195: 5 = 6.4 5 + 18，解得 a55 故答案为：55 15（5分）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 8 【解答】解：如图，圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则正方形的边长为 2，正方形的对角线即圆柱外接球的直径为22，半径为2 该圆柱的外接球的表面积为4 (2)2= 8 故答案为：8 16 （5 分）如图所示，由若干

25、个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有 n （n1， nN）个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6 15 ； 9 23 + 9 34 + 9 45 + + 9 20182019 = 2017 2018 第 13 页（共 19 页）【解答】解：每条边有 n 个点，把每个边的点数相加得 3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第 n 个图形的点数为 3n3，即 an3n3，a615； 9 23 + 9 34 + 9 45 + + 9 20182019 = 9 36 + 9 69 + 9 912 + + 9 60816084 3（1 3 1 6 + 1 6 1 9 + 1

26、 9 1 12 + + 1 6081 1 6084）3（ 1 3 1 6084）= 2017 2018 故答案为：15，2017 2018 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsinB+csinCa （2 +sinA）（1）求 A 的大小；（2）若 a= 2，B= 3，求ABC 的面积【解答】解：（1）bsinB+csinCa（2 +sinA），由正弦定理可得：b2+c2a（2 +a）， b2+c2a2= 2， 2bccosA= 2bc，解得：

27、cosA= 2 2 ，可得：A= 4 （2）sinCsin（A+B）= 6+2 4 ，由正弦定理 = ，可得：b= 3， SABC= 1 2absinC= 3+3 4 18 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，ABC 为正三角形，DAC 为直角三角形且 DA DC，BECD 且 CD2BE （1）求证：ACBD；（2）若 ABBD2，求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值第 14 页（共 19 页）【解答】解：（1）证明：取 AC 的中点 O，连接 OD，OB， DADC， ACOD，又ABC 为正三角形， ACOB，而 OBODO，且都在平面 OBD 内， AC平

28、面 OBD，又 BD 在平面 OBD 内， ACBD；（2）在OBD 中，ABBD2，则 = 1， = 3， OD2+OB2BD2， ODOB，而 ODAC，故可知 OD平面 ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0，0，0)，(1，0，0)，(1，0，0)，(0， 3 ，0)，(0，0，1)， = (1，0，1)，设平面 ABE 的一个法向量为 = (，)，则 = 0 = 0 ，故可取 = (3，1， 3)，设直线 AD 与平面 ABE 所成角为，则 = | | | | = 42 7 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）根据空气质量指数 API（为整数）的

29、不同，可将空气质量分级如表： API 050 51100 101150 151200 2012050 251300 300 级别状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间0，50，（50， 100，（100，150，（150，200，（200，250，（250，300进行分组，得到频率分布条形图如图（1）求图中 x 的值；（2）空气质量状况分别为轻微污染或轻度污染定为空气质量级，求一年中空气质量为级的天数（3）小张到该城市出差一天，这天空气质量为优良的概率是多少？【解答】

30、解：（1）由图可知 x1（ 6 73 + 20 73 + 14 73 + 6 73 + 16 365）1 246 365 = 119 365 （2）一年中空气质量为级的天数为：365（20 73 + 14 73）170；第 16 页（共 19 页）（3）一年中空气质量分别为优良的天数为：365（ 6 73 + 119 365）149 这天空气质量为优良的概率是 p= 149 365 20 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程；（2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值【解答】解：（1

31、）由题意， 1 2 + 1 2 = 1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得2= 3，2= 3 2 椭圆的方程为 2 3 + 22 3 = 1；（2）菱形 ABCD 内接于椭圆，由对称性可设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x 联立 2 + 22= 3 = 1 ，得方程（212+ 1）x230， 2= 2= 3 212+1， |OA|OC|=1 + 12 3 212+1 同理，|OB|OD|=1 + 22 3 222+1 又ACBD，|OB|OD|=1 + 1 12 3 2 12+1 ，其中 k10 从而菱形 ABCD 的面积 S 为： S2|OA|OB|21 + 12 3 212+1

32、1 + 1 12 3 2 12+1 ，第 17 页（共 19 页）整理得 S6 1 2+ 1 (1+ 1 1) 2 4，其中 k10 当且仅当 1 1 = 1时取“” ，当 k11 或 k11 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b，曲线 yf（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 exy20 （1）求函数 f（x）的解析式，并证明：f（x）x1 （2）已知 g（x）kx2，且函数 f（x）与函数 g（x）的图象交于 A（x1，y1），B（x2， y2）两点，且线段 AB 的中点为 P（x0，y0），证明：f（x0）g（

33、1）y0 【解答】解：（1）由题意得：f（1）e+a+be2，即 a+b2，又 f（x）a+ex，即 f（1）e+ae，则 a0，解得：b2，则 f（x）ex2 令 h（x）f（x）x+1exx1，h（x）ex1，令 h（x）0，解得：x0，则函数 h（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增， h（x）h（0）0，则 f（x）x1 （2）要证 f（x0）g（1）y0成立，只需证： 1+2 2 2 2 1+24 2 ，即证： 1+2 2 1+2 2 ，即证： 1+2 2 21 21 1+2 2 ，只需证： 21 2 211 21 21+1 2 ，不妨设 tx2x10，即

34、证： 2 1 +1 2 ，要证 2 1 ，只需证： 2 ; 2，令() = 2 ; 2 ，则() = 1 2( 2+ ; 2) 10，F（t）在（0，+）上为增函数， F（t）F（0）0，即 2 1 成立；要证 ;1 :1 2 ，只需证： ;1 :1 2，第 18 页（共 19 页）令() = 1 +1 2，则() = 2 (+1)2 1 2 = 4(+1)2 2(+1)2 = (1)2 2(+1)2 0， G（t）在（0，+）上为减函数，G（t）G（0）0，即 ;1 :1 2 成立 2 1 +1 2 ，t0 成立f（x0）g（1）y0成立四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分

35、小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，射线 l： = 3（x0），曲线 C1的参数方程为 = 3 = 2（为参数），曲线 C2 的方程为 x2+（y2）24；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 8sin （1）写出射线 l 的极坐标方程以及曲线 C1的普通方程；（2）已知射线 l 与 C2交于 O，M，与 C3交于 O，N，求|MN|的值【解答】解：（1）射线 l： = 3（x0），转换为极坐标方程为： = 3 ( 0) 曲线 C1的参数方程为 = 3 = 2（为参数）

36、，转换为直角坐标方程为： 2 9 + 2 4 = 1 （2）曲线 C2的方程为 x2+（y2）24；转换为极坐标方程为：4sin，射线 l 与 C2交于 O，M，与 C3交于 O，N，所以：|MN|12|= |4 3 8 3 | = 23 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|的最小值为1 2 （1）求证：a+2b1；（2）若 2a+btab 恒成立，求实数 t 的最大值【解答】解：（1）证明：a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|x+ 2|+|x+ 2|+|xb| | 2 + 2|+|x+ 2 x+b|0+|b+ 2|b+ 2，当且仅当 xb 时，上式取得等号，可得 f（x）的最小值为 b+ 2，则 b+ 2 = 1 2，即 a+2b1；第 19 页（共 19 页）（2）若 2a+btab 恒成立，由 a，b0，可得 t 1 + 2 恒成立，由1 + 2 =（a+2b）（1 + 2 ）5+ 2 + 2 5+22 2 =9，当且仅当 ab= 1 3，上式取得等号，则 t9，可得 t 的最大值为 9

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