1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年高考数学（文科）全国年高考数学（文科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A1，2，BxZ|x22x30，则 AB（ ） A1，2 B （1，3） C1 D1，2 2 （5 分）| 2020 1 | =（ ） A 2 2 B2 C1 D1 4 3（5 分） 设两条不重合的直线的方向向量分别为 ， ， 则 “存在正实数 ， 使得 “ = ” 是 “两 条直线平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不
2、充分也不必要条件 4 （5 分）已知 cos（ 2 ）2cos（+） ，且 tan（+）= 1 3，则 tan 的值为（ ） A7 B7 C1 D1 5 （5 分）设 F1，F2分别为双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左，右焦点，若双曲线右支 上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于 2a，则该双曲线的渐近线 方程为（ ） A3x4y0 B4x3y0 C3x5y0 D5x4y0 6 （5 分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于 5 的概率为（ ） A1 9 B1 6 C 1 18 D 5 12 7 （5 分）若回归直线 =a+bx，b0，则
3、x 与 y 之间的相关系数（ ） Ar0 Brl C0r1 D1r0 8 （5 分）三个数 log23，0.23，log30.2 的大小关系是（ ） Alog30.20.23log23 Blog30.2log230.23 Clog230.23log30.2 D0.23log30.2log23 9 （5 分）若斜线段 AB 是它在平面 内的射影长的 2 倍，则 AB 与 所成的角为（ ） A60 B30 C120或 60 D150或 30 10 （5 分）已知函数 f（x）cos（ 3 x）cos（ 6 +x）3cos2x+ 3 2 ，则 f（x）的最小正 周期和最大值分别为（ ） 第 2 页（
4、共 18 页） A，1 4 B，1 2 C2，1;3 2 D2， 3 2 11 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 12 （5 分）定义在（1，+）上的函数 f（x）满足 x2f（x）+10（f（x）为函数 f（x） 的导函数） ，f（3）= 4 3，则关于 x 的不等式 f（log2x）1logx2 的解集为（ ） A （1，8） B （2，+） C （4，+） D （8，
5、+） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）= 2， 0 (1 2) ，0，f（f（1） ） 14（5 分） 已知1 ， 2 是夹角为 60的两个单位向量， = 1 2 ， = 1 + 2 ， 若 则 m 15（5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ABC 的面积 S= 1 4( 2 + 2)， 若 sin2B= 2sinAsinC，则角 B 的值为 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABBC8，ABC120，D 为 AC 的中点，PD平 面 ABC，且 PD
6、8，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17已知数列an满足 a12，a324，且* 2+是等差数列 （1）求 an； （2）设an的前 n 项和为 Sn，求 Sn 18如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D 是 B1C1的中点，A1AA1B12 （1）求证：AB1平面 A1CD； （2）若异面直线 AB1和 BC 所成角为 60，求四棱锥 A1CDB1B 的体积 第 3 页（共 18 页） 19 某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了 n 名学生， 已知这 n 名学生的物理成 绩均不低于 60 分 （满分为 100
7、分） 现将这 n 名学生的物理成绩分为四组： 60， 70） ， 70， 80） ，80，90） ，90，100，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在90，100 内的有 28 名学生， 将物理成绩在80，100内定义为“优秀” ，在60，80）内定义为“良好” （）求实数 a 的值及样本容量 n； 男生 女生 合计 优秀 良好 20 合计 60 （）根据物理成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这 n 名学生中抽取 10 名，再从这 10 名学生中随机抽取 3 名，求这 3 名学生的物理成绩至少有 2 名是优秀的概率； （）请将 22 列联表补充完整，并判断是否有 95%的把握认为物理成
8、绩是否优秀与性 别有关？ 参考公式及数据：2= ()2 (+)(+)(+)(+)（其中 na+b+c+d） P（K2k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 4 页（共 18 页） 20已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0）的离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 F1、F2，M 为椭 圆的下顶点，MF1交椭圆于另一点 N，MNF2的面积16 3 （1）求椭圆的方程； （2）过点 P（4，0）作直线 l 交椭圆于 A、B 两点，点 B 关于 x 轴的对
9、称点为 B1，问： 直线 AB1是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由 21已知函数 f（x）ex（ax+1） ，aR （I）求曲线 yf（x）在点 M（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）判断函数 f（x）的零点个数 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲线C上任意一点P作与l夹角为45的直
10、线， 交l于点A， 且|PA|的最大值10， 求a 第 5 页（共 18 页） 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+a|2x2|（aR） （1）证明：f（x）|a|+1； （2）若 a2，且对任意 xR 都有 k（x+3）f（x）成立，求实数 k 的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2020 年高考数学（文科）全国年高考数学（文科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A1，2，BxZ
11、|x22x30，则 AB（ ） A1，2 B （1，3） C1 D1，2 【解答】解：集合 A1，2， BxZ|x22x30xZ|1x30，1，2， AB1，2 故选：D 2 （5 分）| 2020 1 | =（ ） A 2 2 B2 C1 D1 4 【解答】解：因为| 2020 1 | =| 1 1;| 1: (1;)(1:)| 1 2 + 1 2i|= (1 2) 2+ (1 2) 2 = 2 2 ； 故选：A 3（5 分） 设两条不重合的直线的方向向量分别为 ， ， 则 “存在正实数 ， 使得 “ = ” 是 “两 条直线平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
12、既不充分也不必要条件 【解答】解：若存在正实数 ，使得“ = ” ，则，共线，可得两条直线平行； 反过来，若两条直线平行，则方向向量共线，但可能同向也可能反向， 可能为负值 所以是充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）已知 cos（ 2 ）2cos（+） ，且 tan（+）= 1 3，则 tan 的值为（ ） A7 B7 C1 D1 【解答】解：已知 cos（ 2 ）2cos（+） ，即 sin2cos，即 tan2 又tan（+）= + 1 = 2+ 1+2 = 1 3，则 tan7， 故选：B 第 7 页（共 18 页） 5 （5 分）设 F1，F2分别为双曲线 2 2 2 2 = 1(
13、0，0)的左，右焦点，若双曲线右支 上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于 2a，则该双曲线的渐近线 方程为（ ） A3x4y0 B4x3y0 C3x5y0 D5x4y0 【解答】解：设 PF1的中点为 H，连接 HF2， 由|PF2|F1F2|2c，|PF1|PF2|2a， 可得|PF1|2c+2a， 在直角三角形 HF1F2中，|F1F2|2c，|HF2|2a，|F1H|c+a， 可得 4c2（c+a）2+（2a）2，化为 3c5a， 则 b= 2 2=(5 3 )2 2= 4 3a， 可得双曲线的渐近线方程为 y4 3x， 故选：B 6 （5 分）同时抛
14、掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于 5 的概率为（ ） A1 9 B1 6 C 1 18 D 5 12 【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数 n6636， 向上的点数之和小于 5 包含的基本事件有： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，2） ， （3，1） ，共 6 个， 向上的点数之和小于 5 的概率为 p= 6 36 = 1 6 故选：B 7 （5 分）若回归直线 =a+bx，b0，则 x 与 y 之间的相关系数（ ） 第 8 页（共 18 页） Ar0 Brl C0r1 D1r0 【解答】解：回归直线 =a+bx，b0， 两个变量
15、 x，y 之间是一个负相关的关系， 相关系数是一个负数， 1r0 故选：D 8 （5 分）三个数 log23，0.23，log30.2 的大小关系是（ ） Alog30.20.23log23 Blog30.2log230.23 Clog230.23log30.2 D0.23log30.2log23 【解答】解：log23log221， 00.230.201， log30.2log310， log30.20.23log23 故选：A 9 （5 分）若斜线段 AB 是它在平面 内的射影长的 2 倍，则 AB 与 所成的角为（ ） A60 B30 C120或 60 D150或 30 【解答】解：根据
16、线面角的定义，可得 AB 与平面 所成角 的余弦值为1 2； 且 0，90， 所以 AB 与 所成的角为 60 故选：A 10 （5 分）已知函数 f（x）cos（ 3 x）cos（ 6 +x）3cos2x+ 3 2 ，则 f（x）的最小正 周期和最大值分别为（ ） A，1 4 B，1 2 C2，1;3 2 D2， 3 2 【解答】解：函数 f（x）cos（ 3 x）cos（ 6 +x）3cos2x+ 3 2 =cos（ 3 x）sin （ 3 x）31:2 2 + 3 2 = 1 2sin （ 2 3 2x） 3 2 cos2x= 1 2 3 2 cos2x 1 2 （ 1 2） sin2x
17、 3 2 cos2x= 1 4sin2x 3 4 cos2x= 1 2sin （2x 3） ， 第 9 页（共 18 页） 则 f（x）的最小正周期为2 2 =，最大值为1 2， 故选：B 11 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解：由题意，抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ， 画出图形，可知 PFAB，AMAF，设 AB：yk（x1）与抛物线方程联立，可得
18、可得 k2x2（2k2+4）x+k20，所以 x1+x2= 22+4 2 ，x1x21， 线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，x1+x2+p8，即2 2:4 2 +28，解得 k1，所以中点 Q 的横坐标： 2:2 2 =3，Q（3，2） ， PF：yx+1，与 x1 的解得 P（1，2） ， 所以 PQ4 故选：B 12 （5 分）定义在（1，+）上的函数 f（x）满足 x2f（x）+10（f（x）为函数 f（x） 的导函数） ，f（3）= 4 3，则关于 x 的不等式 f（log2x）1logx2 的解集为（ ） A （1，8） B （2，+） C （4，+） D （8，+） 【解答】解
19、：构造函数 F（x）f（x） 1 ，x（1，+） ， F（x）f（x）+ 1 2 = ()2+1 2 ， 第 10 页（共 18 页） 函数 f（x）在（1，+）上满足 x2f（x）+10， F（x）0 在（1，+）上恒成立， 函数 F（x）在（1，+）上单调递增， 不等式 f（log2x）1logx2，f（log2x）logx21，即 f（log2x） 1 21， 又F（3）f（3） 1 3 = 4 3 1 3 =1， 不等式可转化为 F（log2x）F（3） ， 又函数 F（x）在（1，+）上单调递增， log2x3，解得：x8， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满
20、分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）= 2， 0 (1 2) ，0，f（f（1） ） 6 【解答】解：函数 f（x）= 2， 0 (1 2) ，0， f（1）= (1 2) ;1 (1) =3 f（f（1） ）f（3）236 故答案为：6 14（5 分） 已知1 ， 2 是夹角为 60的两个单位向量， = 1 2 ， = 1 + 2 ， 若 则 m 1 【解答】解：已知1 ，2 是夹角为 60的两个单位向量，1 2 =11cos60= 1 2 而 = 1 2 ， = 1 + 2 ， 若 ，则 =（1 2 ） （1 +m2 ）= 1 2 m2 2 +m
21、1 2 2 1 =1m0+0 0， 则 m1， 故答案为：1 15（5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ABC 的面积 S= 1 4( 2 + 2)， 若 第 11 页（共 18 页） sin2B= 2sinAsinC，则角 B 的值为 5 12 【解答】解：由于 sin2B= 2sinAsinC， 利用正弦定理整理得2= 2， 由于ABC 的面积 S= 1 4 (2+ 2)， 所以1 2 = 1 4 (2+ 2)，且 a2+c2b2+2accosB， 故：1 2 2 2 = 1 4 (2+ 2)，转换为1 2 2 2 = 1 4 (2+ 2 2 2
22、)， 化简得：2( ) = 1， 即2( 4) = 1，故( 4) = 1 2 由于 0B， 所以 4 4 3 4 ， 所以 4 = 6，解得：B= 5 12 故答案为：5 12 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABBC8，ABC120，D 为 AC 的中点，PD平 面 ABC，且 PD8，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 260 【解答】解：在ABC 中，ABBC8，ABC120， 所以ABC 的外接圆的半径 = 1 2 83 120 = 8， 结合图形分析： 圆心到 D 点的距离为 4， 另设三棱锥 PABC 的外接球球心到平面 ABC 的距离为 d， 设外接球的半径为 R，
23、则O1OB 中，82+d2R2， 直角梯形 O1ODP 中，PD242+（8d）2R2， 第 12 页（共 18 页） 解得 d1，R265， 所以 S4R2260， 故答案为：260 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17已知数列an满足 a12，a324，且* 2+是等差数列 （1）求 an； （2）设an的前 n 项和为 Sn，求 Sn 【解答】解： （1）a12，a324， 1 2 = 1，3 23 = 3， 等差数列 2的首项为 1，公差为 1 2 (3 1) =1， 2 = ， = 2； （2）= 2， Sn121+222+323+n2n， 2Sn122+223+334+
24、n2n+1， 得：Sn2+22+23+2nn2n+1（1n）2n+12， Sn（n1）2n+1+2 18如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D 是 B1C1的中点，A1AA1B12 （1）求证：AB1平面 A1CD； （2）若异面直线 AB1和 BC 所成角为 60，求四棱锥 A1CDB1B 的体积 【解答】 （1）证明：如图，连 AC1交 A1C 于点 E，连 DE 第 13 页（共 18 页） 因为直三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1C1C 是矩形，故点 E 是 AC1中点， 又 D 是 B1C1的中点，故 DEAB1， 又 AB1平面 A1CD，DE平面
25、A1CD，故 AB1平面 A1CD （2）解：由（1）知 DEAB1，又 C1DBC，故C1DE 或其补角为异面直线 AB1和 BC 所成角 设 AC2m，则1 = 2+ 1，1 = 2+ 1， = 2， 故C1DE为等腰三角形， 故C1DE60， 故C1DE为等边三角形， 则有2+ 1 = 2， 得到 m1 故A1B1C1为等腰直角三角形， 故A1DC1B1， 又B1B平面A1B1C1， A1D平面A1B1C1， 故 A1DB1B，又 B1BC1B1B1，故 A1D平面 CDB1B， 又梯形 CDB1B 的面积1= 1 2 (2 + 22) 2 = 32，1 = 2， 则四棱锥 A1CDB1
26、B 的体积 = 1 31 1 = 1 3 32 2 = 2 19 某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了 n 名学生， 已知这 n 名学生的物理成 绩均不低于 60 分 （满分为 100 分） 现将这 n 名学生的物理成绩分为四组： 60， 70） ， 70， 80） ，80，90） ，90，100，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在90，100 内的有 28 名学生， 将物理成绩在80，100内定义为“优秀” ，在60，80）内定义为“良好” （）求实数 a 的值及样本容量 n； 男生 女生 合计 优秀 良好 20 第 14 页（共 18 页） 合计 60 （）根据物理成绩是
27、否优秀，利用分层抽样的方法从这 n 名学生中抽取 10 名，再从这 10 名学生中随机抽取 3 名，求这 3 名学生的物理成绩至少有 2 名是优秀的概率； （）请将 22 列联表补充完整，并判断是否有 95%的把握认为物理成绩是否优秀与性 别有关？ 参考公式及数据：2= ()2 (+)(+)(+)(+)（其中 na+b+c+d） P（K2k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （）由题可得 10（0.016+0.024+a+0.032）1，解
28、得 a0.028， 又物理成绩在90，100内的有 28 名学生， 所以28 = 0.028 10，解得 n100； （） 由题可得， 这 100 名学生中物理成绩良好的有 100 （0.016+0.024） 1040 名， 所以抽取的 10 名学生中物理成绩良好的有10 40 100 = 4名， 物理成绩优秀的有 1046 名； 故从这 10 名学生中随机抽取 3 名，这 3 名学生的物理成绩至少有 2 名是优秀的概率为 = 6 2 4 1+ 6 3 10 3 = 60+20 120 = 2 3； （）补充完整的 22 列联表如下表所示： 男生 女生 合计 优秀 20 40 60 第 15
29、页（共 18 页） 良好 20 20 40 合计 40 60 100 则 K2的观测值为2= 100(20202040)2 40604060 = 25 9 2.7783.841， 所以没有 95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关 20已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0）的离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 F1、F2，M 为椭 圆的下顶点，MF1交椭圆于另一点 N，MNF2的面积16 3 （1）求椭圆的方程； （2）过点 P（4，0）作直线 l 交椭圆于 A、B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为 B1，问： 直线 AB1是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由 【
30、解答】解： （1）由椭圆的离心率 e= = 2 2 ，则 a= 2，b2a2c2c2，bc， MF1F2是等腰直角三角形，又|NF1|2a|NF2|， 在 RtMNF2中，|2|2= 2+ ( + |1|)2，即|2|2= 2+ (3 |2|)2， 解得|2| = 5 3 ，|1| = 3，| = 4 3 ， MNF2的面积为 S= 1 2 4 3 = 16 3 ，a28，b24， 椭圆方程为： 2 8 + 2 4 = 1； （2）设 A（x1，y1） ，B1 （x2，y2） ，B（x2，y2） ， 设直线 AB1与 x 轴交于点 T（t，0） ，直线 AB1的方程为 xmy+t （m0） ，
31、 联立方程 = + 2 8 + 2 4 = 1，消去 x 得： （m 2+2）y2+2mty+t280， （2mt）24（m2+2） （t28）0，即 4m2t2+80， 1+ 2= 2 2+2，12 = 28 2+2， 第 16 页（共 18 页） 由 P，A，B 三点共线得，kPAkPB，即 1 1;4 = ;2 2;4， 又 x1my1+t，x2my2+t，代入整理得 y1（my2+t4）+y2（my1+t4）0，即 2my1y2+ （t4） （y1+y2）0， 从而2( 2;8) 2:2 + ( 4)( 2 2:2) = 0，即（t2）m0，解得 t2，此时满足0， 则直线 AB1的方
32、程为 xmy+2，故直线 AB1过定点 T（2，0） 21已知函数 f（x）ex（ax+1） ，aR （I）求曲线 yf（x）在点 M（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）判断函数 f（x）的零点个数 【解答】解： （I）f（x）ex（ax+1） ， f（x）ex（ax+1）+aexex（ax+a+1） ， 设曲线 yf（x）在点 M（0，f（0） ）处的切线的斜率为 k， 则 kf（0）ex（ax+1）+aexe0（a+1）a+1， 又 f（0）1， 曲线 yf（x）在点 M（0，f（0） ）处的切线方程为：y1（a+1）x，即（a+1）x y+10； （）
33、由（）知，f（x）ex（ax+a+1） ， 故当 a0 时，f（x）ex0，所以 f（x）在 R 上单调递增； 当 a0 时，x（， +1 ） ，f（x）0；x（ +1 ，+） ，f（x）0； f（x）的递减区间为（， +1 ） ，递增区间为（ +1 ，+） ； 当 a0 时，同理可得 f（x）的递增区间为（， +1 ） ，递减区间为（ +1 ，+） ； 综上所述，a0 时，f（x）单调递增为（，+） ，无递减区间； 当 a0 时，f（x）的递减区间为（， +1 ） ，递增区间为（ +1 ，+） ； 当 a0 时，f（x）的递增区间为（， +1 ） ，递减区间为（ +1 ，+） ； （）当 a
34、0 时，f（x）ex0 恒成立，所以 f（x）无零点； 当 a0 时，由 f（x）ex（ax+1）0，得：x= 1 ，只有一个零点 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 第 17 页（共 18 页） 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲线C上任意一点P作与l夹角为45的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值10， 求a 的值 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为2=
35、12 3+2，整理得 3 2+2sin212，转换 为直角坐标方程为 2 4 + 2 3 = 1 当 a2 时，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，整理得 = 2 + 2 = ，转换为 直角坐标方程为 x+2y+20 所以 2 4 + 2 3 = 1 + 2 + 2 = 0 ，解得 = 2 = 0 或 = 1 = 3 2 ， 所以交点坐标为（2，0）和（1， 3 2） （2）曲线的直角坐标方程为 x+2ya0， 故曲线 C 上任意一点 P（2，3）到直线的距离 d= |2+23| 5 = |4(+ 6)| 5 ， 则|PA|= 45 = 2 = 2|4(+ 6)| 5 ，
36、 当 a0 时，|PA|的最大值为2|;4;| 5 =10， 解得 a1 当 a0 时，|PA|的最大值为2|4;| 5 =10，解得 a1 故 a1 或1 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+a|2x2|（aR） （1）证明：f（x）|a|+1； （2）若 a2，且对任意 xR 都有 k（x+3）f（x）成立，求实数 k 的取值范围 【解答】 （1）证明：函数 f（x）|x+a|2x2|（2x2）（xa2）|2x2|2x 2|+|xa2|2x2|xa2| 第 18 页（共 18 页） （当且仅当（2x2） （xa2）0，即（x1） （xa2）0 时取等号） 由于（x1） （xa2）0， 当 a21，即 a3 时，|xa2|1a2|a+1|a|+1； 当 1a2，即 a3 时，|xa2|1a2|a+1|a|+1； 综上所述，f（x）|a|+1； （2） 解： a2， 且对任意 xR 都有 k （x+3） f （x） |x+2|2x2|= 4， 2 3， 21 + 4， 1 ， 要使 k（x+3）f（x）恒成立则过定点（3，0）的直线 yk（x+3）的图象不会在 y f（x）的图象的下方， 在同一坐标系中作出 yf（x）与 yk（x+3）的图象如图， 由图可知，3 4 k1 即实数 k 的取值范围为3 4，1
