1、2020 年高考（山东卷）名师押题猜想卷 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1若集合 | 12Axx ， |13Bxx剟 ，则AB （ ） A( 1,2) B1,2) C1,3 D( 1,3 【答案】B
2、 【解析】由题意，集合 | 12Axx ， |13Bxx剟 ， 根据集合的交集的概念及运算，可得 |121,2)ABxx. 故选：B. 2设复数 z 满足(1i)z2i，则|z|（ ） A 1 2 B 2 2 C 2 D2 【答案】C 【解析】由题意， 2i 1 i2i 1 i 1 i1 i 1 i z ，所以2z . 故选：C. 32019 年 4 月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保 障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的 4 名专家对石柱县的A、B、C、D，4 乡镇进行调研，要 求每个乡镇安排一名专家，则甲安排在A乡镇，乙不在B乡镇的概率
3、为（ ） A 1 8 B 1 12 C 1 4 D 1 6 【答案】D 【解析】由已知得，包括甲、乙两名专家在内的四名专家对四个乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专 家，共有24种情况， 如果甲安排在A乡镇，乙不在B乡镇，共有4种情况， 所以甲安排在A乡镇，乙不在B乡镇的概率为 41 246 P ， 故选：D. 4已知向量1,2 ,2, 2ab，且a b，则等于（ ） A4 B3 C2 D1 【答案】D 【解析】因为(1,2),(2,2)ab，且a b ， 22(2)0a b， 则1 故选：D 5已知 1 3 11 53 1 log,log,3 63 abc ，则, ,a b c的大小关系是(
4、 ) Abac Bacb Ccba Dbca 【答案】D 【分析】 利用对数函数和指数函数的单调性判断. 【详解】 11 55 11 loglog1, 65 a 11 33 loglog 10, 3 b 1 3 0 331c ，则01c，所以bca. 故选：D. 6函数 cos( ) ( ) ee xx x f x 的大致图象为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】由ee0 xx ，解得0x，所以函数 ( )f x的定义域为(,0)(0,)，故排除 B 项. 因为 () cos()cos( ) ()( ) ee(ee) xxxx xx fxf x ，所以函数 ( )f x为奇函数， 又
5、1111 cos1 (1)0 eeee f ，故排除 A 项. 设( )ee xx g x ，显然该函数单调递增，故当0x时， ( )(0)0g xg ， 则当 1 (0, ) 2 x时，cos( )0yx，故( )0f x ，当 1 3 () 2 2 x，时，cos( )0yx，故( )0f x ，所以排 除 D 项. 故选：C. 7设抛物线 2 2yx 的焦点为F ，过点( 3 0)M， 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的 准线相交于点C ，2BF ，则BCF 与ACF 的面积之比 BCF ACF S S 等于（ ） A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 【答案】A
6、【解析】 如图过B作准线 1 2 lx ：的垂线，垂足分别为 11 AB， ， BCF ACF BCS SAC ，又 11 ,B BCA AC 1 1 BCBB ACAA ， 由拋物线定义 1 1 2BBBF AAAFAF 由 1 2BFBB 知 3 3 2 BB xy， ， 3 03 3 3 2 AByx ：（） 把 2 2 y x 代入上式，求得 22 AA yx， 1 5 2 AFAA 故 24 5 5 2 BCF ACF BFS SAF 故选 A 8已知函数 2 1 ,0 1 21,0 x x f xx xxx ，函数 g(x)f(1x)kxk 1 2 恰有三个不同的零点，则 k 的取
7、 值范围是( ) A(2 2，0 9 2 B(2 2，0 9 2 C(2 2，0 1 2 D(2 2，0 1 2 【答案】D 【解析】g(x)f(1x)kxk 1 2 恰有 3 个不同零点，方程 f(1x)k(x1) 1 2 恰有 3 个不同实根， 令 1xt， 则方程 f(t)kt 1 2 恰有三个不同实根， 即函数 yf(x)与 ykx 1 2 的图象恰有 3 个不同交 点，画出函数图象如下图： 当k0 即 k0 时有三个交点，当 ykx 1 2 与 f(x)x22x1(x0)相切时可求得 k2 2，当 y kx 1 2 与 f(x) 1 1 x x ，x0 相切时可求得 k 1 2 ，故
8、由图可得2 2k0 或 k 1 2 时函数 yf(x) 与 ykx 1 2 的图象恰有 3 个不同交点，即函数 g(x)f(1x)kxk 1 2 恰有 3 个不同零点，故选 D. 二、多选题 9居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI） ，是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时 间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于 2020 年 4 月公布的 2019 年 3 月至 2020 年 3 月CPI数据同比和环比涨跌幅折线图： （注：同比 CPI CPI 本月 去年同月 ，同比涨跌幅=100% CPICPI CPI
9、本月去年同月 去年同月 ，环比 CPI CPI 本月 上月 ，环 比涨跌幅100% CPICPI CPI 本月上月 上月 ） ，则下列说法正确的是( ) A2019 年 12 月与 2018 年 12 月CPI相等 B2020 年 3 月比 2019 年 3 月CPI上涨 4.3% C2019 年 7 月至 2019 年 11 月CPI持续增长 D2020 年 1 月至 2020 年 3 月CPI持续下降 【答案】BC 【解析】由图可知， 2019 年 12 月比 2018 年 12 月CPI上涨4.5%，故 A 不正确； 2020 年 3 月比 2019 年 3 月CPI上涨4.3%，故 B
10、 正确； 2019 年 7 月至 2019 年 11 月的环比均为正数，所以CPI持续增长，故 C 正确； 2020 年 1 月至 2020 年 3 月的环比有正有负，所以CPI有升有降，故 D 不正确. 故选：BC 10下列说法中正确的有（ ） A正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零 B若三角形的两内角, 满足sin cos0 ，则此三角形必为钝角三角形 C对任意的角，都有sincossin cos D对任意角 , 2 k kZ ，都有 11 tantan tantan 【答案】BD 【解析】对于 A，正角和负角的正弦值都可正、可负，故 A 错误； 对于 B，sincos
11、0， ,0, ，sin0，cos 0，即, 2 ，三角形必为钝 角三角形，故 B 正确； 对于 C，当sin，cos异号时，等式不成立，故 C 错误； 对于 D，tan， 1 tan 的符号相同， 11 tantan tantan ，故 D 正确. 因此正确的有 B，D. 故选 BD 11设正项等差数列 n a满足 2 11029 220aaa a，则（ ） A 29 a a的最大值为10 B 29 aa的最大值为2 10 C 22 29 11 aa 的最大值为 1 5 D 44 29 aa的最小值为200 【答案】ABD 【解析】因为正项等差数列 n a满足 2 11029 220aaa a
12、， 所以 2 2929 220aaa a， 即 22 29 20aa. 22 29 29 20 10 22 aa a a ，当且仅当 29 10aa时成立，故 A 选项正确. 由于 2 22 2929 10 22 aaaa ， 所以 29 29 10,2 10 2 aa aa ， 当且仅当 29 10aa时成立， 故 B 选项正确. 22 29 22222222 22 292929 29 112020201 105 2 aa aaaaaa aa ，当且仅当 29 10aa时成立， 所以 22 29 11 aa 的最小值为 1 5 ，故 C 选项错误. 结合的结论，有 2 442222222 2
13、9292929 240024002 10200aaaaaaaa ， 当且仅当 29 10aa时成立，故 D 选项正确. 故选：ABD 12若存在m，使得 ( )f xm 对任意xD恒成立，则函数 ( )f x在D上有下界，其中m为函数( )f x的 一个下界；若存在M，使得( )f xM对任意xD恒成立，则函数 ( )f x在D上有上界，其中M为函数 ( )f x的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（ ） A1 不是函数 1 ( )(0)f xxx x 的一个下界 B函数 ( )lnf xxx 有下界，无上界 C函数 2 ( ) x e f x x 有上
14、界，无下界 D函数 2 sin ( ) 1 x f x x 有界 【答案】BD 【解析】对于A，当0x时， 1 2x x （当且仅当1x 时取等号） ， 1f x恒成立，1是 f x的 一个下界，A错误； 对于B， ln10fxxx， 1 0,xe 时， 0fx； 1, xe时， 0fx， f x在 1 0,e上单调递减，在 1, e上单调递增， 1 1 fxf e e ， f x有下界， 又x 时， f x ， f x无上界限， 综上所述： lnf xxx有下界，无上界，B正确； 对于C， 2 0x ，0 x e ， 2 0 x e x ， f x有下界，C错误； 对于D，sin1,1x ，
15、 222 1sin1 111 x xxx ， 又 2 1 1 1x ， 2 1 1 1x ， 2 sin 11 1 x x ， f x既有上界又有下界， 即 f x有界，D正确. 故选：BD. 三、填空题 13已知函数 32 11 2210 32 f xaxaxxa，若 f x在3x 处取得极小值，则实数a的值 为_. 【答案】 2 3 . 【解析】由题意知， 2 ( )(2)2fxaxax ，则 93(032)2faa，解得 2 3 a . 经检验， 2 3 a 时，函数 32 22 ( )21 93 f xxxx在3x 处取得极小值. 故答案为: 2 3 . 14为激发学生团结协作，敢于拼
16、搏，不言放弃的精神，某校高三 5 个班进行班级间的拔河比赛每两班 之间只比赛 1 场，目前（）班已赛了 4 场， （二）班已赛了 3 场， （三）班已赛了 2 场， （四）班已赛了 1 场则目前（五）班已经参加比赛的场次为_ 【答案】2 【解析】画图所示，可知目前（五）班已经赛了 2 场 故答案为：2 15椭圆与双曲线有相同的焦点 12 (,0),( ,0)FcF c，椭圆的一个短轴端点为B，直线 1 FB与双曲线的一条 渐近线平行，若椭圆于双曲线的离心率分别为 12 ,e e，则 22 12 3ee的最小值为_ 【答案】2 3 【解析】由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，设椭圆的长轴为2a，短
17、轴为2b，双曲线的实轴为2 a， 虚轴为2 b，椭圆的一个短轴端点为B，直线 1 FB与双曲线的一条渐近线平行， 1 F B b k a ，即 ba cb ， 平方可得， 22 22 bb ac ，由此得到 2222 22 caac ac ，即 22 22 ca ac ， 22 ca ac ，由 1212 ,1 ac eee e ca ， 12 ,e e都是正数， 2222 1211 32 32 3eeee，当且仅当 22 12 3ee，即 2112 3 3 ,3 3 ee ee时，等号成立， 22 12 3ee的最小值2 3，故答案为2 3. 16 如图， 在四棱锥CABDE中， 四边形AB
18、DE为矩形， 2, ,EACACBACCB F G分别为,AB AE 的中点，平面ABDE 平面ABC，则四面体CFDG的体积为_，若四面体CFDG的各个顶点 均在球 O 的表面上，则球 O 的体积为_. 【答案】1 11 11 6 【解析】因为 F 为AB的中点，CACB，所以CFAB.因为平面ABDE 平面ABC， 所以CF 平面ABDE，则,CFFD CFFG. 易知在矩形ABDE中， 222 3FGAFAG， 222 6FDFBBD， 222 9DGGEED， 所以 222 DGGFFD，则GF FD， 所以四面体CFDG的体积 11111 2361 33232 GFD VCF SCF
19、GF FD . 因为点, ,F C D G均在球 O 上， 所以以 F 为顶点，,FC FD FG为相邻棱的长方体的所有顶点均在球 O 上， 则球 O 的直径 222 211RFCFDFG ，即 11 2 R ， 则球 O 的体积 33 441111 11 () 3326 VR. 故答案为：1；11 11 6 . 四、解答题 17, ,a b c分别为ABC的内角 , ,A B C的对边.已知sin4sin8sinaABA. （1）若1, 6 bA ，求sinB； （2）已知 3 C ，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长. 【解析】 （1）由sin4sin8sinaABA，得48a a
20、ba， 即48ab. 因为1b，所以4a. 由 41 sin sin 6 B ，得 1 sin 8 B . （2）因为482 44ababab， 所以4ab，当且仅当44ab时，等号成立. 因为ABC的面积 11 sin4 sin3 223 SabC . 所以当44ab时，ABC的面积取得最大值， 此时 222 412 4 1 cos13 3 c ，则 13c ， 所以ABC的周长为5 13 . 18已知数列 n a的首项 1 1a ，且 2* 11 ,2 nnn aaann N，其前n项和 n S中， 3 S， 4 S， 2 S成等 差数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1
21、2 2log1 nn ba ，数列 n b的前n项和为 n T，求满足 23 1111015 111 2016 n TTT 的最 大正整数n的值. 【解析】 （1）因为 2* 11 ,2 nnn aaann N， 所以 n a成等比数列，设公比为q. 若1q ，则 3 3S ， 4 4S ， 2 2S ，显然 3 S， 4 S， 2 S不构成等差数列， 所以1q ，故由 3 S， 4 S， 2 S成等差数列得 432 111 111 2 111 aqaqaq qqq ， 所以 4322 2210(21)(1)0qqqqqqq . 因为1q ，所以 1 2 q . 所以 11 11 1 22 n
22、n n a . （2） 1 1 2 11 2log12log121 22 n nn ban ， 所以 2 (121) 2 n nn Tn ，所以 2222 2222222 23 11111121 31 411 111111 23234 n n TTTnn 2222 1 3 243 5(1)(1)1 2342 nnn nn . 所以 11015 22016 n n .所以144n. 故正整数n的最大值为143. 19 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，90ADCDCB，1AD ，3BC ，2PCCD， PC 底面ABCD，E为AB的中点. （1）求异面直线PA与BC所成角的余弦值； （2）设
23、F是棱PA上的一点，当CF 平面PDE时，求直线DF与平面PDE所成角的正弦值. 【解析】以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz. 则0,0,0C，2,1,0A，0,3,0B，002P,，2,0,0D，1,2,0E. （1）(2,1, 2)PA，(0,3,0)CB 则 31 cos, 3 33 PA BC 异面直线PA与BC所成角的余弦值为 1 3 （2）当CF 平面PDE时，设AF AP .( 1,2,0),(2,1,0)DECA ， 0CA DE，DEAC， DE面ACP要使CF 平面PDE，只需CFPD即可 (2,1,0)( 2, 1,2)(
24、22 ,1,2 )CFCAAF， (2,0, 2)PD uuu r 1 2(22 )220 2 CF PD即F为AP的中点，即 1 1,1 2 F , 1 ( 1,1) 2 DF ，平面PDE的法向量为 1 (1,1) 2 CF ，则 1 1 4 cos, 33 9 22 CF DF 直线DF与平面PDE所成角的正弦值为 1 9 . 20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，且过点 2 2, 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设点4,2P，点M在x轴上，过点M的直线交椭圆C交于A，B两点 若直线AB的斜率为 1 2 ，且 5 2 AB
25、 ，求点M的坐标； 设直线PA，PB，PM的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，是否存在定点M，使得 123 2kkk恒成立？若 存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，且过点 2 2, 2 2 22 222 3 2 21 11 2 c a b ab abc ， 2 4a ， 椭圆C的方程为： 2 2 1 4 x y （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 设直线AB的方程为： 2xym 22 22 2 8440 44 xym ymym xy 222 1632408mmm 12 4 m yy
26、， 2 12 4 8 m yy 2 2 1212 85 1 4445 82 m yyy yAB ，解得3m . 3,0M 当直线AB的斜率为 0 时， 2,0A ，2,0B，,0M t. 由 123 2kkk可得 222 2 42424t ，解得1t ，即1,0M. 当直线AB的斜率不为 0 时，设直线AB的方程为x myt 由 222 22 4240 44 xmyt mymtyt xy . 12 2 2 4 mt yy m ， 2 12 2 4 4 t yy m 由 123 2kkk可得 12 12 222 2 444 yy xxt ， 1212 22 1212 2428164 (4 )81
27、64 my ytmyyt m y ymtmyyttt ， 2 22 2 22 22 42 242416 4 44 424 4816 44 tmt mtmt mm tmtt mmtmtt mm . 2 22 2281 38164 tmmtt tmmt . 22 54220mttmt ， 当1t 时，上式恒成立， 存在定点1,0M，使得 123 2kkk恒成立 21在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手 机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的 6000 名用户，从中随机抽取了 60 名，统计他
28、们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随 身携带的现金在 100 元以下（不含 100 元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”. （1）根据上述样本数据，将22列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？ （2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取 3 位女性用户，这 3 位用户中“手机支付族”的人数 为，求随机变量的期望和方差； （3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满 1000 元可直减 100 元； 方案二：手机支付消费每满 1000 元可抽奖 2 次，每次中奖的概率同为 1 2 ，且每次抽奖互不影响，
29、中奖一次 打 9 折，中奖两次打 8.5 折.如果你打算用手机支付购买某样价值 1200 元的商品，请从实际付款金额的数学 期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？ 附： 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 【解析】 （1）由已知得出联列表： ，所以 2 2 60 (10 8 12 30) 7.0336.635 22 38 40 20 K ， 有 99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关； （2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为 123 20
30、5 P ， 3 () 5 B3, ， 393318 =3,31 555525 ED ； （3）若选方案一，则需付款1200 100 1100元 若选方案二，设实际付款X元， ，则X的取值为 1200，1080，1020， 02 0 2 111 1200= 224 P XC ， 11 1 2 111 1080= 222 P XC ， 20 2 2 111 1020= 224 P XC ， 111 1200108010201095 424 E X 1100 1095，选择第二种优惠方案更划算 22已知函数 sin ax f xex. （1）若 f x在0, 4 上单调递增，求实数a的取值范围； （
31、2）设1a ，若0, 2 x ，恒有 f xbx成立，求 2 be a的最小值. 【解析】 （1）由 sin ax f xex，得 sincos ax fxeaxx， 由 f x在0, 4 上单调递增，可得 0fx 在0, 4 上恒成立， 即sincos0axx在0, 4 上恒成立， 当0x时，aR；当0, 4 x ，则 1 tan a x ，1a， a的取值范围为1, . （2）设 sin ax bxexgxf xbx ，0, 2 x ， 则 sincos ax gxeaxxb. 设 sincos ax h xeaxxb，则 2 1 sin2 cos0 ax hxeaxax ， h x单调递
32、增，即 gx在0, 2 上单调递增， 2 1, a gxb aeb . 当1b时， 0gx ， g x在0, 2 上单调递增， 00g xg，不符合题意； 当 2 a bae 时， 0gx ， g x在0, 2 上单调递减， 00g xg，符合题意； 当 2 1 a bae 时，由于 gx为一个单调递增的函数， 而 010gb ， 2 0 2 a gaeb ， 由零点存在性定理，必存在一个零点 0 x，使得 0 0gx， 从而 g x在 0 0,xx上单调递减，在 0, 2 x 上单调递增， 因此只需0 2 g ， 2 2 a eb ， 2 2 a be ，从而 22 2 aa ebae ， 综上，b的取值范围为 2 2 , a e ， 因此 22 2 2 a be aee a . 设 2 2 2 a G aee a ，则 2 2 a eaeG ， 令 0G a ，则 4 1a ， G a在 4 1, 上单调递减，在 4 , 上单调递增， 从而 2 42e G aG ， 2 be a的最小值为 2 2e .
