1、 高三数学试卷（理科）高三数学试卷（理科） 第第卷卷 一一、选择题、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合3Mx x， 2 4Nx x，则MN（ ） A.2,3 B., 2 C.2,3 D., 22,3 2.设 2 2zii ，则z （ ） A.3 3i B.3 3i C.5 3i D.5 3i 3.已知P为椭圆 22 1 32 xy 短轴的一个端点， 1 F， 2 F是该椭圆的两个焦点，则 12 PFF的面积为（ ） A.2 B.4 C.2 D.2 2 4.设等比数列 n a的前 6 项和为 6，且 1 a
2、a， 2 2aa，则a（ ） A. 2 21 B. 1 7 C. 4 21 D. 5 21 5.2020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的 70 名患者中了解 到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数） （ ） A.6 天 B.7 天 C.8 天 D.9 天 6.若函数 2 logf xxxa的定义域为1,，则3fa （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.执行如图所示的程序框图，若
3、输入的5t ，则输出的K （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.设向量2CAOB，2 5OA ，1OA OB，则OA OC（ ） A.14 B.16 C.18 D.20 9.若函数 2 sin 21 3 f xax 在0, 2 上恰有 2 个零点，则a的取值范围为（ ） A. 2 3 1, 3 B. 2 3 1, 3 C. 13 , 23 D. 13 , 23 10.在四面体ABCD中，AB 平面BCD，BCBD，2ABBD，E为CD的中点，若异面直线AC 与BE所成的角为 60，则BC （ ） A.2 B.2 C.2 2 D.4 11.已知双曲线C： 22 22 10,0 yx ab
4、ab ， 直线xa与C的交点为A，B（B在A的下方） ， 直线xa 与C的一条渐近线的交点D在第一象限，若 4 3 AB BD ，则C的离心率为（ ） A. 3 2 B.2 C.1 17 4 D.7 12.已知函数 32 43 21f xxx，则（ ） A.sin2tan1tan4.5fff B.tan4.5tan1sin2fff C.tan1sin2tan4.5fff D.tan4.5sin2tan1fff 第第卷卷 二二、填空题填空题：把答案填在答题卡中的横线上：把答案填在答题卡中的横线上. 13. 5 3 y x x 的展开式中 2 xy的系数为_. 14.设x，y满足约束条件 10,
5、10, 30, xy xy x 则当2zxy取得最大值时，y _. 15.若两个正方体的外接球的表面积之和为12，则这两个正方体的表面积之和为_. 16.定义 p n为正整数n的各位数字中不同数字的个数，例如5551p，932p，17143p.在 等差数列 n a中， 2 9a ， 10 25a，则 n a _，数列 n p a的前 100 项和为_. 三、解答题：三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 作答作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题
6、为选考题，考生根据要求作答. （一一）必考题）必考题 17.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 平面ABCD，E为AB的中点. （1）证明：平面PAD 平面PCD. （2）若1AD ，2ABPD，求二面角BECP的余弦值. 18.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 22 2sin2sinsinsincos21CAABB. （1）求cosC； （2）若2a，3c ，求ABC的面积. 19.甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的 2 倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率 之和.若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为 0.18. （1）求甲、
7、乙、丙三人投篮的命中率； （2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X，求X的分布 列及数学期望. 20.在直角坐标系xOy中，过点2,0的直线l与抛物线 2 4yx交于A，B两点. （1）证明：直线OA与OB的斜率之积为定值. （2）已知点0, 1M，且AMB为锐角，求l的斜率的取值范围. 21.已知函数 1 2ln x f xexx . （1）求 f x的单调区间； （2）证明： 3 232f xxx. （二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 22、23 两两题中任选一题作答题中任选一题作答. 22.选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系x
8、Oy中， 曲线C的参数方程为 42 2cos , 12 2sin x y （为参数） .以坐标原点O为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L的极坐标方程为 7 0 4 . （1）求曲线C的极坐标方程与射线L的直角坐标方程； （2）若射线L与曲线C交于A，B两点，求 22 OAOBOBOA. 23.选修 45：不等式选讲 已知0a，函数 1f xax， 2g xax. （1）若 f xg x，求x的取值范围； （2）若 2 107 a f xg x对xR恒成立，求a的最大值与最小值之和. 参考答案参考答案 1.D , 22,N ，, 22,3MN . 2.A 因为3 43 3ziii
9、，所以3 3zi . 3.C 依题意可得 2 2b ， 2 321c ，则2b，1c，所以 12 PFF的面积为 1 22 2 c bbc. 4.A 由题意可得公比2q ，则 6 6 1 2 636 1 2 a Sa ，即 2 21 a . 5.B 因为 2 23 45 86 107 169 16 10 10 12 4 7 70 x ， 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 7 天. 6.C 因为 2 logf xxxa的定义域为, a ，所以1a ，所以 2 33 log 24fa . 7.D 10K ，1i ；11K ，2i ；9K ，5i ；45K ，输出4K . 8.C 因为2CAO
10、AOCOB，所以2OAOBOC，所以 2 22OAOAOBOCOA OBOA OC，则 2 2 52 1 OA OC ，解得18OA OC. 9.D 令 2 sin 210 3 f xax ，得 1 sin 2 32 x a ，因为sin 2 3 yx 在 5 0, 12 上单调 递增，在 5 , 122 上单调递减，且 3 0 2 f ， 3 22 f ， 5 1 12 f ，所以 31 1 22a ，解得 13 , 23 a . 10.B 取AD的中点F，连接EF，BF，则/EF AC，BEF为异面直线AC与BE所成的角，所以 60BEF.设BCx，则 2 4 2 x BEEF ，2BF
11、，从而BEF为等边三角形，则 2 4 2 2 x ，解得2x. 11.B 将xa代入 22 22 1 yx ab ，得 22 2 2 a c y b ，即 ac y b ，则 2ac AB b . 将xa代入 a yx b ，得 2 a y b ，则 2 aca BD bb .因为 4 3 AB BD ，所以 2 24 3 ac aca ，即 24 13 e e ， 解得2e. 12.A 2 2 1 2621 2 2 fxxxxx ， 当 2 2 x 时 ， 0fx， f x单 调 递 增 . 因 为 2 s i n 2s i n 1 1 4 . 61 2 ，tan4.5tan 4.5tan1
12、.36tan1 1，所以 sin2tan1tan4.5fff. 13.270 5 3 y x x 的展开式中 2 xy的项为 2 3 32 5 3270 y Cxxy x . 14.4 作出不等式组表示的可行域（图略） ，当直线2zxy经过点3,4时，z取得最大值. 15.24 设这两个正方体的棱长分别为a，b，则这两个正方体的外接球的半径分别为 3 2 a， 3 2 b，则 22 22 33 4312 22 abab ，即 22 4ab，故这两个正方体的表面积之和为 22 624ab. 16.25n；227 因为 2 9a ， 10 25a，所以公差 259 2 102 d ，所以92225
13、 n ann .因为 1 7a ， 100 205a，且 n a为奇数，所以当7 n a ，9，11，33，55，77，99，111 时，1 n p a； 当101 n a ，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199 时， 2 n p a.在 n a中，小于 100 的项共有 47 项，这 47 项中满足2 n p a的共有47740项，故 n p a的前 100 项和为1 8240 173100 8 40 17227 . 17.（1）证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以ADCD. 因为PD 平面ABCD，
14、所以PDAD， 又CDPDD， 所以AD 平面PCD（证CD平面PAD亦可）. 因为AD 平面PAD，所以平面PAD 平面PCD. （2）解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示， 则0,0,2P，1,1,0E，0,2,0C， 所以1,1, 2PE ，1,1,0EC . 设平面PCE的法向量为, ,nx y z， 则0PE nEC n，即 20, 0, xyz xy 令1x ，得1,1,1n . 易知平面BCE的一个法向量为0,0,1m ， 所以 3 cos, 3 n m n m n m ， 由图可知二面角BECP为钝角， 故二面角BECP的余弦值为 3 3 . 18.解： （
15、1）因为 22 2sin2sinsinsincos21CAABB， 所以 222 2sin2sinsinsin1 cos22sinCAABBB ， 由正弦定理得 222 222caabb， 即 222 1 2 abcab， 故 222 1 1 2 cos 224 ab abc C abab . （2）由余弦定理得 222 2coscababC， 即 2 1 944 4 bb， 解得 121 2 b （负根舍去）. 因为 1 cos 4 C ，所以 15 sin 4 C ， 所以ABC的面积 1153 35 sin 28 SabC . 19.解： （1）设甲的命中率为p，则依题意可得20.18p
16、p， 解得0.3p ， 故甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为 0.3，0.6，0.9. （2）X的可能取值为 0，1，2，3， 则 01 0.31 0.61 0.90.028P X ， 10.31 0.61 0.91 0.30.61 0.91 0.31 0.60.90.306P X ， 20.3 0.61 0.91 0.30.6 0.90.31 0.60.90.504P X ， 30.3 0.6 0.90.162P X ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.028 0.306 0.504 0.162 故0 0.028 1 0.306 2 0.504 3 0.162 1.8EX . 20
17、.（1）证明：设l的方程为2xmy， 联立 2 4 , 2, yx xmy 得 2 480ymy， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 8y y . 因为 2 22 12 12 8 4 4416 yy x x ， 所以 12 12 8 2 4 OAOB yy kk xx 为定值. （2）解：由（1）知， 12 4yym. 因为 11 ,1MAx y， 22 ,1MBxy，且AMB为锐角， 所以0MA MB，且MA与MB不共线， 所以 1 2121 21212 1114 8410x xyyx xy yyym ， 且02m， 则 3 ,22, 4 m ， 故直线l的斜率的取值范
18、围为 11 4 0, 22 3 . 21.（1）解： f x的定义域为0,， 1 2 1 x fxe x ， 易知 1 2 1 x fxe x 在 0,上单调递增，且 10 f . 令 0fx，得01x，则 f x的单调递减区间为0,1； 令 0fx，得1x ，则 f x的单调递增区间为1,. （2）证明：设 3 2320g xxxx， 313g xxx. 令 0gx，得13x；令 0g x，得01x或3x . 所以当1x 时， g x取得极大值，且极大值为 2， 由（1）知， min 12f xf，故当03x时， 3 232f xxx. 设 3 1 2ln2463 x h xf xg xex
19、xxx ， 2 1 2 324 x h xex x ，设 p xh x ， 1 2 2 62 x pxex x ， 设 q xp x， 1 3 4 6 x qxe x ，易知 q x 在 3,上单调递增， 则 2 4 360 27 qxqe，则 q x在3,上单调递增， 从而 2 2 360 9 pxpe，则 h x在3,上单调递增， 则 2 1 30 3 h xhe，从而 h x在3,上单调递增， 所以 2 352ln30h xhe ，故当3x 时， 3 232f xxx， 从而 3 232f xxx得证. 22.解： （1）由 42 2cos , 12 2sin, x y 得 22 418
20、xy， 即 22 8290xyxy， 故曲线C的极坐标方程为 2 8 cos2 sin90. 射线L的直角坐标方程为0yx x. （2）将 7 4 代入 2 8 cos2 sin90， 得 2 22 8290 22 ，即 2 5 290， 则 12 5 2， 12 9 ， 所以 22 1212 45 2OAOBOBOAOA OBOAOB . 23.解： （1）因为 f xg x，所以12axax ， 两边同时平方得 2222 2144a xaxa xax ， 即63ax， 当0a时， 1 2 x a ； 当0a时， 1 2 x a . （2）因为 12123f xg xaxaxaxax ， 所以 f xg x的最小值为 3， 所以2 1073 a ，则32 1073 a ， 解得lg2lg5a， 故a的最大值与最小值之和为lg2lg5lg101.
