1、数学答案第 1 页（共 12 页）莆田市莆田市 2023 届高中毕业班第二次教学质量检测届高中毕业班第二次教学质量检测数学试题参考解答及评分标准评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数单项选择题和单空填空题不给中间分一、选择题：每小题 5
2、 分，满分 40 分题 号12345678答 案DBDBACBA二、选择题：每小题 5 分，满分 20 分（本题为多项选择题，每小题中，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）题 号9101112答 案BCDBDABDACD三、填空题：每小题 5 分，满分 20 分1331415150y（或530 xy，或1512590 xy）1612数学答案第 2 页（共 12 页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17本小题主要考查等比数列、数列求和等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、函数与方程等思想，考查逻辑推理、数学
3、运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分解：（1）当1n 时，211a，因为0na，所以11a；1 分当2n时，由222124133nnaaa，得12221214133nnaaa，2 分两式相减得，122114141423333nnnnna，因为0na，所以12nna，2n，nN，3 分上式对于1n 也适合4 分综上，na的通项公式为12nna，nN5 分（2）证明：由（1）得112nnnnbna，6 分211111 123222nnSn ，211111112122222nnnSnn，7 分两式相减得，2111111122222nnnSn 8 分11121212nnn1222nn，所以
4、14242nnSn，9 分所以4nS 10 分数学答案第 3 页（共 12 页）18本小题主要考查正余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、函数与方程等思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性 满分 12 分解法一：（1）因为D为AB的中点，所以12CDCACB ，1 分所以222242CDCACBCACA CBCB ，2 分因为2a，2CD，所以284 cos4bbACB，即24 cos40bbACB，3 分在ABC中，由余弦定理得2222cosACBcabab，4 分即2244 cosACBcbb，5 分联立得222cb，即2cb
5、6 分（2）因为4ACB，所以2cos2ACB，7 分把2cb代入式得22242 2bbb，8 分即22 240bb，解得62b 或62b （舍去）10 分从而ABC的面积112sin26231222SabACB，所以ABC的面积为31 12 分解法二：（1）在ACD中，由余弦定理得，22222222244cos22222ccbbADCDACADCcAD CDc 2 分在BCD中，由余弦定理得，2222224244cos22222ccBDCDBCBDCcBD CDc3 分因为ADCBDC ，所以coscos0ADCBDC，4 分数学答案第 4 页（共 12 页）所以2222244022ccbc
6、c，5 分化简得222cb，所以2cb 6 分（2）在ABC中，由正弦定理得sinsinABACACBB，7 分即2sin12sin2bACACBBABc8 分由bc知B为锐角，所以6B，从而712ABACB 9 分在ABC中，由正弦定理得sinsinBCACAB，所以12sin262sin624BCBACA，10 分从而ABC的面积为112sin(62)231222SAC BCACB 所以ABC的面积为31 12 分19本小题主要考查空间点、直线、平面之间的位置关系、空间向量等基础知识，考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、数形结合等思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等
7、核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分解法一：（1）由已知得AB11AB，因为11A BBF，所以ABBF，1 分又因为1ABBB，1BFBBB，11BFBCC B 平面，111BBBCC B 平面，所以11ABBCC B 平面所以ABBC.2 分如图，以B为原点，BA，BC，1BB的方向分别为x，y，z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)B，(0,2,1)F，1(1,0,2)A，1(0,0,2)B，1(,1,0)2E，3 分数学答案第 5 页（共 12 页）(0,2,1)BF ，11(1,0,0)B A ，11(,1,2)2B E，4 分则1110,0,B
8、F B ABF B E 即11BFB A，1BFB E，5 分又因为1111B AB EB，所以11BFAB E 平面6 分（2）因为(1,0,0)A，(0,2,0)C，所以1(0,0,2)AA，(1,2,0)AC 设(,)x y zn是平面11ACC A的法向量，则10,0,AAACnn 得20,20,zxy 7 分取1y，则(2,1,0)n 8 分由（1）知(0,2,1)BF 是平面11A B E的一个法向量 9 分记平面11A B E与平面11ACC A的夹角为，则22coscos,555BFBFBF nnn ，11 分所以平面11A B E与平面11ACC A夹角的余弦值为2512 分
9、解法二：（1）取BC中点M，连接EM，1B M.1 分在ABC中，E，M分别为AC，BC的中点，则EMAB，又11ABAB，所以11EMAB，2 分所以1A，E，M，1B四点共面3 分在正方形11BCC B中，因为1B BBC，BMCF，1B BMBCF，所以1B BMBCF，4 分所以1B MBBFC，所以190B MBFBCBFCFBC ，所以1B MBF.5 分又因为11A BBF，1111B MABB，所以11BFAB E 平面6 分数学答案第 6 页（共 12 页）（2）因为11A BBF，11ABAB，所以ABBF，又因为1ABBB，1BFBBB，所以11ABBCC B 平面,所以
10、ABBC.7 分如图，以B为原点，BA，BC，1BB的方向分别为x，y，z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)B，(1,0,0)A，(0,2,0)C，(0,2,1)F，1(1,0,2)A，8 分1(0,0,2)AA，(1,2,0)AC ，设(,)x y zn是平面11ACC A的法向量，则10,0,AAACnn 得20,20,zxy 取1y，则(2,1,0)n 9 分由（1）知(0,2,1)BF 是平面11A B E的一个法向量10 分记平面11A B E与平面11ACC A的夹角为，则22coscos,555BFBFBF nnn ，11 分所以平面11A B
11、E与平面11ACC A夹角的余弦值为2512 分20本小题主要考查样本平均数、方差、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率、分类与整合等思想，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性、应用性满分 12 分解法一：（1）12182 183 3628.812185xyz；2 分故121822211130iiiiSxzyz3 分12182221113030iiiixyz数学答案第 7 页（共 12 页）22222121121218183030SxSyz4 分222112 1912 18187018363028.830127.365 分（2）
12、依题意可知，X的所有可能取值为0，1，26 分设“第i场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件iA，“第i场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件iB，1,2,3i，7 分则35iP A，12iP B，依题意得，2123401525P XP A A，8 分1231231P XP A B AA A B123123P A B AP A A B31333111525552625，9 分15210125P XP XP X，10 分所以46153601225252525E X 12 分解法二：（1）12182 183 3628.812185xyz；2 分故121822211130iiiiSxzyz3 分
13、12182211130iiiixxxzyyyz22221211212181830SxzSyz4 分22112 1912 10.81870187.230127.36 5 分（2）同解法一数学答案第 8 页（共 12 页）21本小题主要考查双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、数形结合、函数与方程等思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分解法一：（1）如图，以直线AD为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系1 分设双曲线的方程为222210,0 xyabab，由已知得的渐近线方程为3
14、yx，所以3ba2 分又焦距24cAD，所以2c，3 分又由2212cbaa，得1a，从而3b，4 分所以双曲线的方程为2231yx 5 分（2）证明：设11(,)M x y，22(,)N xy，00,P xy当直线l为x轴时，不失一般性，不妨设(1,0)M，(1,0)N，则(1,0)AM ，(3,0)AN，从而13，此时13MPPN，解得1(,0)2P 6 分当直线l不为x轴时，设l的方程为32()3xtyt，由1 可知0t 由2232,1xtyyx消去x，得22(31)1290tyty，7 分则1221231tyyt，122931yyt8 分由,AMANMPPN 得120120,(),yy
15、yyyy 9 分消去，得201120()yyyy yy，10 分所以120122183122y yyyytt，11 分数学答案第 9 页（共 12 页）从而00312222xty 又1(,0)2P 也在直线12x 上，所以点P在定直线12x 上12 分解法二：（1）同解法一；（2）设11(,)M x y，22(,)N xy，00(,)P xy，由MPPN，得01200120(),(),xxxxyyyy所以1201xxx，1201yyy，7 分由AMAN 得MAAN ，又M，N不重合，从而1，同理可得1221xx，1201yy 8 分因为11(,)M x y，22(,)N xy在双曲线上，所以2
16、21113yx，222213yx，9 分2得22222212123()13yyxx，整理得22222221212()13yyxx，从而121212121111311xxxxyyyy，10 分即001(2)013xy，解得012x ，11 分所以点P在定直线12x 上 12 分22本小题主要考查导数及其应用知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化、分类与整合等思想，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、创新性满分 12 分解法一：（1）因为函数2()e1xf xax，所以2()2exfxa 1 分若0a，则()0fx，()f x在R上
17、单调递增，不合题意，舍去，2 分故0a，此时由()0fx，得1ln22ax，数学答案第 10 页（共 12 页）当1,ln22ax 时，()0fx，()f x单调递减，当1ln,22ax时，()0fx，()f x单调递增，故min1()lnln1022222aaaaf xf 3 分设 ln1h xxxx，则02ah，lnh xx，当0,1x时，()0h x，()h x单调递增，当1,x时，()0h x，()h x单调递减，所以max()0h x，当且仅当1x 时取得，4 分故12a，解得2a，所以2a 5 分（2）因为函数 2ln2lng xf xxx是增函数，所以 22ln22e0 xxgx
18、axx，即2ln1e02xxax，6 分设 2ln1e2xxaF xx，则 22222ln12e2elnxxxFxxxxx，设 222elnxG xxx，则 G x是增函数，又因为2e2122e110eeeG ，212e0G，所以 G x有唯一零点0 x，且00 1x,，022002eln0 xxx，7 分且当00,xx时，0G x，从而 0Fx，F x单调递减，当0,xx时，0G x，从而 0Fx，F x单调递增，数学答案第 11 页（共 12 页）所以 0200min0ln1e2xxaF xF xx8 分由022002eln0 xxx，得02000112elnxxxx设函数 e,0 xu
19、xxx，则 u x在0，单调递增，因为020 x，01ln0 x，所以02000000011112eln2ln2lnxxuxuxxxxx，9 分所以00ln2xx，0201exx，10 分所以 02000min000ln1211e2222xxxaaaF xF xxxx，11 分所以202a，解得4a，所以a的取值范围为,412 分解法二：（1）因为 00f，且函数()f x的最小值为0，所以0 x 为()f x的一个极值点 1 分又因为2()2exfxa，2 分所以(0)20fa，解得2a 3 分检验：当2a 时，2()e21xf xx，2()2 e1xfx，当,0 x 时，()0fx，()f
20、 x单调递减，当0,x时，()0fx，()f x单调递增，故 min()00f xf，满足题意综上，2a 5 分数学答案第 12 页（共 12 页）（2）设函数 2lnu xxx，则1210eeu ，120u，所以方程2ln0 xx有解，7 分由（1）可知，2e21 0 xx，当且仅当0 x 时，等号成立，所以2lne2ln1 0 xxxx，当且仅当2ln0 xx时，等号成立8 分因为函数 2ln2lng xf xxx是增函数，所以 22ln22e0 xxgxaxx，即222ln4ln111e2e2ln1e2ln12xxxxaxxxxxxxxxx，10 分因为2ln1e2ln10 xxxxx，当且仅当2ln0 xx时，等号成立，所以42a 0，解得4a，11 分所以a的取值范围为,412 分
