1、1 2023 年沈阳市高中一年级教学质量监测年沈阳市高中一年级教学质量监测 数数 学学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 2B2B 铅笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色水性笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效。3.考试结束后，考生将答题卡交回。第卷第卷（选择题（选择题 共共 6060 分）分）一、选择题一、选择题（本题共本题共
2、8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）的）1设集合|12Axx，0,1,2,3,4B，则AB I A1 B0,1 C 1,0,1,2 D0,1,2,3,4 2设xR，则“21x”是“21x”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知(2,1)a，(,1)xb，且ab与2 ab平行，则x等于 A10 B10 C2 D2 4从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是 A16 B14 C13 D12 5已知
3、函数(1)yf x的定义域为1,2，则函数(21)yfx的定义域为 A1,12 B3,22 C 1,1 D3,5 6设P是ABC所在平面内的一点，23BCBABPuuu ruu u ruuu r，则 A2PAPC0uu u ruuu r B2PAPC0uu u ruuu r C2PAPC0uu u ruuu r D2PAPC0uu u ruuu r 2 7已知幂函数()f xx（R）的图象经过点1(,4)2，若(1)(3)f tf，则t的取值范围是 A(,2)B(2,)C(,4)(2,)U D(4,2)8设函数1()f xx，2()g xaxbx(,0)a baR，若()yf x的图象与()y
4、g x的图象有且仅有三个不同的公共点11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C x y，123xxx，则下列判断正确的是 A120 xx B230 xx C120yy D230yy 二、选择题二、选择题（本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选全部选对的得对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分）9某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为40,
5、50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是 A长度在70,80)的产品数最多 B0.015a C不合格的产品数为100件 D产品长度的平均值约为70.5 10设集合2 3,2,4 Axxx，且5A，则x的值可以为 A3 B1 C5 D3 11已知函数2()1f xx，2()1g xx，则下列选项中正确的有 A()f x的图象关于原点对称 B()g x的图象关于y轴对称 C()f x与()g x的图象关于x轴对称 D()f x与()g x的图象关于原点对称 12若关于x的方程221xkxxxx的解集中只含有一个元素，则满
6、足条件的实数k可以为 A3 B2 C0 D1 O 50 40 60 70 100 90 80 长度（mm）0.010 0.030 0.020 a 频率 组距 3 第卷第卷（非选择题（非选择题 共共 9090 分）分）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小小题，题，每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分。13某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是_ 14 已知实数,a b满足431ab，若对于,a bR，13bma恒
7、成立，则实数m的取值范围是_ 15已知函数()f x同时满足下列两个条件：(0)(2)0ff，()f x无零点写出一个符合题意的函数()f x _（结果不能写成分段函数的形式）16若lna，lnb是方程22410 xx 的两个根，则22(ln)lnaaab_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）（1）解关于x的方程：11111234xxxx；（2）求关于x的不等式2(1)0 xaxa 的解集 18（本小题满分 12 分）已知函数4()5f xxx（0 x
8、）（1）证明：函数()f x在(2,)上单调递增；（2）讨论关于x的方程|()|f xk（kR）的实数解的个数（直接写出结论即可）19（本小题满分 12 分）新能源汽车具有节约燃油能源、减少废气排放、有效保护环境等优点据统计，截至2022年9月底，我国新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的3.65%小帅准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车（不作它用），根据市场调查，此汽车使用n（*,8nnN）年的总支出费用为（20.250.25nn）万元，每年的收入为5.25万元（1）此汽车从第几年起开始实现盈利？（2）此汽车使用多少年报废最合算？注：利润收入成本；出租车最合算的报废年限一般
9、是指使年平均利润最大时的使用年数 4 20（本小题满分 12 分）在ABC中，CAuu u ra，CB uuu rb，D为AB的中点，点E为线段CD上一点，且2EDEC，AE延长线与BC交于点F（1）用向量a与b表示AEuuu r；（2）用向量a与b表示AFuuu r 21（本小题满分 12 分）足球号称世界第一大体育运动，2022卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（A地区）和外地（B地区）的球迷中，分别随机调查了20名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：A地区 B地区 4 5 9 5 2 3 5 7 8 6 4 2 6 1 4 7 8
10、 8 6 6 4 3 7 2 3 4 6 9 8 6 5 2 1 8 1 2 3 3 7 5 5 2 9 1 3 5 （1）设2As表示A地区20名球迷满意度的方差，2Bs表示B地区20名球迷满意度的方差，则2As_2Bs；（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；（2）计算B地区的85%分位数；（3）根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 1级（不满意）2级（满意）3级（非常满意）从A地区和B地区分别随机抽取1名球迷，记事件C：“A地区球迷的满意度等级高于B地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总
11、体概率，求C的概率.22（本小题满分 12 分）指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当1a 时，指数函数xya在区间0,t上的平均变化率随t的增大而增大 已知实数,a b，满足log0baaa bb（1）比较1ab和ab的大小；（2）当2a 时，比较2b和1b的大小；（3）当2a 时，判断(215)(32)bb 的符号 EDABCF数学试题 第 1 页（共 6 页）2023 年沈阳市高中一年级教学质量监测年沈阳市高中一年级教学质量监测 数学数学答案答案 一、选择题一、选择题 1.B 2.D 3.C 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.ABD 10.BC 11.BCD 12.AB
12、D 解析解析 2.【解析】由21x 得11x，由21x得0 x.3.【解析】(2,2)x+=+ab，2(4,1)x=ab，若+ab与2 ab平行，则282xx+=，得2x=.4.【解析】有三件正品（用1,2,3表示）和一件次品（用0表示）的产品中任取两件的样本空间(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)=，恰有一件次品(0,1),(0,2),(0,3)A=，由古典概型得，31()62mP An=.5.【解析】12x，所以213x+，即2213x，所以322x.6.【解析】由23BCBABP+=，得2()3PCPBPAPBPB+=，所以2PCPA+=0.7.【解析】
13、由()f x过点1(,4)2得，221()f xxx=，由幂函数的性质得，()f x为偶函数，且在(0,)+单调递减，由(1)(3)f tf+得，|1|3|t+，所以13t+，或13t+，解得4t ，或2t.也可直接带入得2211(1)3t+，即2(1)9t+，得到2280tt+，解得4t ，或2t.8.【解析】由题意得21axbxx=+的三个解满足1230 xxx，方程可化为21axbx=+，则有12122211axbxaxbx=+=+，且由0a，得12axbaxb+，所以221211xx，即22120 xx，所以120 xx+，12121212110 xxyyxxx x+=+=.9.【解析
14、】45 0.1055 0.1565 0.2075 0.3085 0.1595 0.1070.5x=+=.数学试题 第 2 页（共 6 页）10.【解析】若25x+=，则3x=，此时249 123xx=，故舍去，若245xx=，则1x=，或5x=.12.【解析】法一：显然0 x，且1x，原方程变形得22(1)xkx+=，即2410 xxk+=，若0 x=，此时1k=，方程的解集为4，若1x=，此时2k=，方程的解集为3，若0=，此时3k=，方程的解集为2.法二：原方程等价于241(0,1)kxxx=+，在平面直角坐标系中做出函数241(0,1)yxxx=+的图像如图，此图像和直线yk=的交点只有
15、一个，所以满足条件的实数k可以为3,2,1。543211234567864224681012141618 二二、填空题、填空题 13.15 14.(),27 15.11x（答案不唯一）16.211e2 解析解析 13.【解析】502000600 x=，得15x=.14.【解析】由431ab+=，得144(3)(3)3912152 3627baababab+=+=，当且仅当49abab=，即19a=，6b=时等号成立，又13mba+恒成立，故27m.16.【解析】由lna是方程22410 xx+=的根，则22(ln)4ln10aa+=，所以21(ln)2ln2aa+=，即221(ln)ln2aa
16、+=，又由lna，lnb是方程22410 xx+=的两个根，所以lnln2ab+=，即ln()2ab=，221eeab=，所以22211(ln)ln2eaaab+=+.数学试题 第 3 页（共 6 页）三三、解答题、解答题 解：（1）（方法一）方程两边同乘(1)(2)(3)(4)xxxx+得(2)(3)(4)(1)(3)(4)(1)(2)(4)(1)(2)(3)xxxxxxxxxxxx+=+，即(3)(4)(1)(2)xxxx+=+，所以71232xx+=+，得52x=，则解集为52.5 分（方法二）原方程可化为11111423xxxx+=+，即2525(1)(4)(2)(3)xxxxxx+=
17、+即11(25)0(1)(4)(2)(3)xxxxx+=+，因为110(1)(4)(2)(3)xxxx+，所以250 x+=，得52x=，则解集为52.5 分（2）原不等式可化为(1)()0 xxa，7 分 当1a=时，解集为1；8 分 当1a 时，解集为,1a；9 分 当1a 时，解集为1,a.10 分 18（12 分）证明：（1）任取12,(2,)x x+，且12xx，则120 xx，1 分 121212121212()(4)44()()(5)(5)xxx xf xf xxxxxx x=+=，3 分 因为122xx，所以120 xx，且1240 x x，5 分 所以12()()0f xf
18、x，即12()()f xf x，则函数()f x在(2,)+上单调递增.6 分 解：（2）当0k 时，0 个；7 分 当0k=或1k 时，2 个；9 分 当1k=时，3 个；11 分 当01k时，4 个.12 分 19（12 分）解：（1）设此汽车使用n年的总利润为y元，则2225.25(0.250.25)90.25590.25(2036)ynnnnnnn=+=+=+，*nN，数学试题 第 4 页（共 6 页）且18n，2 分 由0y，得20.25(2036)0nn+，解得218n，4 分 所以从第3年开始盈利.6 分（2）设此汽车使用n年的平均利润为z万元，则20.25(2036)360.2
19、5(20)nnznnn+=+8 分 360.25(220)2nn=，10 分 当且仅当36nn=，即6n=时等号成立，即此汽车使用6年报废最合算.12 分 20（12 分）解：（1）由CA=a，CB=b，D为AB的中点，得1122CD=+ab，2 分 又由2EDEC=，得111366CECD=+ab，4 分 所以5166AECECA=+ab.6 分（2）（方法一）设AFAE=，则5166AF=+ab，设CFCB=，则AFCFCA=+ab 10 分 因为,a b不共线，由得51616=解得6515=所以15AF=+ab.12 分（方法二）过点D作DGAF交CB于点G，由D为AB的中点，得FGGB
20、=，由2EDEC=，得2FGCF=，所以15CFCB=，即15CFCB=，10 分 则1155AFCFCACBCA=ba.12 分（其他解法酌情给分）21（12 分）解：（1）2As2Bs；（A地区数据更集中，方差更小）2 分（2）设B地区的20个数据由小到大依次为1220,b bb，数学试题 第 5 页（共 6 页）由20 85%17=，得85%分位数等于171883918722bb+=.6 分（3）设事件iA（1,2,3i=）分别表示抽取A地区1名球迷的满意度为i级，则iA两两互斥，设事件jB（1,2,3j=）分别表示抽取B地区1名球迷的满意度为j级，则jB两两互斥，且有iA与jB相互独立
21、，由题意得11()5P A=，23()5P A=，31()5P A=，19()20P B=，22()5P B=，33()20P B=，9 分 又有323121CA BA BA B=+，且323121,A B A B A B互斥，故323121323121()()()()()P CP A BA BA BP A BP A BP A B=+=+323121()()()()()()0.44P A P BP A P BP A P B=+=.12 分 22（12 分）解：（1）由题意得，0a，0b，则0baa b，所以log0ab，所以(1)(1)0ab，即10abab+，所以1abab+.4 分（2）由
22、已知可得222log0bbb+=，（方法一）1 假设12bb，则21logbb，即2log0bb+，由12bb，所以2212bbbbb=，则2222loglogbbbbb+，所以222log0bbb+，与已知矛盾，故假设不成立；2 假设12bb，同理可得222log0bbb+，与已知矛盾，假设不成立；由12 可得：12bb=.8 分（方法二）设22()2logxp xxx=+，则b是()p x的零点，在(0,)+上，220,0 xx，且222,logxyyxyx=都递增，可证得()p x递增，()p x有唯一的零点b，设1()2xq xx=，()q x在(0,)+单调递增，由函数零点存在性定理
23、知()q x在1(,1)2存在唯一的零点，该零点满足120 xx=，从而12xx=，从而21logxx=，从而2logxx=，从而22212log()()xxxxxx+=+，即()0p x=，所以()q x的零点为()p x的零点b，数学试题 第 6 页（共 6 页）所以1()20bq bb=，所以12bb=.8 分（方法三）两边除以b可得：212logbbbb=，变形得：22112 log 2logbbbb=，因为2()logf xxx=在(1,)+上单调递增，且1(2)()bffb=，由（1）知，01b，所以121,1bb，所以12bb=.8 分（注：法三也可变形得：21log2122lo
24、gbbbb=，取()2xf xx=，因为()f x在(0,)+上单调递增，且21()(log)f bfb=，所以21logbb=，所以12bb=.）（3）设1()2xg xx=，易得()g x在(0,1)上单调递增，且2323()232g=，由2332()2得2()03g，由（2）得1()20bg bb=，所以2()()3gg b，故23b；由指数函数2xy=在区间0,t上的平均变化率，随t的增大而增大，所以指数函数2xy=在区间0,b上的平均变化率小于在区间0,1上的平均变化率，即010222201 0bb，化简得21bb+，所以11bb+，解得512b；所以512()()023bb，所以(215)(32)0bb+.12 分（解题思路分析：待证不等式512b可能是一个不等式的解集，比如一元二次不等式。从图像上直观感受到：“在(0,1)上，2xy=在1yx=+的下方，即21xx+。”此结论可以由题干给出的结论来得到。然后利用21bb+对方程12bb=进行放缩，就可以得到易于求解的有理不等式11bb+。）
