1、正方形综合 2023九年级数学中考复习1（2021春香坊区校级期中）已知为正方形的对角线，点为正方形外一点，连接，若，与交于点，与、分别交于点、（1）如图1，求证：；（2）如图2，求证：；（3）如图3，连接，若，求的长2（2022秋乐东县期末）如图1，在正方形中，点是射线上一点，连接，（1）当点是边的中点时，求证：；（2）如图2，点，分别是，的中点，依次连接，请判断四边形的形状，并说明理由；若点是的中点，连接，当的面积为时，求的长3（2022秋卫辉市期末）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，并延长到点，使，连接若，则，之间
2、的数量关系为；【类比探究】（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时，试探究，之间的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在中，在上，若的面积为12，请直接写出的面积4（2022秋大东区期末）如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，（1）求证：；（2）将正方形绕点按逆时针方向旋转，使边经过点，如图2，连接和，写出与的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为5，正方形的边长为4，直接写出的值5（2022秋海门市期末）如图，矩形ABCD中，AB4，BCa（a4），点E在边BC上，在AB同侧以AE为边作正方形AEFG，直线FG交直线AD于点H（1）如图，若点F
3、是CD的中点，求a的值；（2）如图，若点F在矩形ABCD内，且GH：FH3：1，求BE的长；（3）连接DF，若a8，DF2，直接写出GH：FH的值6（2021春兴宁区校级期中）点为正方形边上的一点，点为延长线一点，连接，过点作，且，连接（1）如图，求证：；（2）如图，过点作交于点，连接，求证：；（3）如图，连接、，若交于点，求的长7（2021春平山县期中）如图，正方形的边、在坐标轴上，点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转角度一个锐角度数，得到正方形，交线段与点，的延长线交线段于点，连、（1）求证：；（2）认真探究，求出的度数；猜想、之间的数量关系，并写出理由（3）连接、得到四边形，在旋转过程中四边
4、形能否为矩形？如果能，请求出点的坐标；如果不能，请说明理由8（2023昆明一模）已知四边形是正方形（1）如图1所示，点是正方形对角线的交点，连接，若，求的长（2）如图2所示，当点是上一点，连接，点是的中点，连接，求证：9（2022秋南川区期末）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90得到CF，连接EF交CD于点G（1）若AB8，BE2，求CEF的面积（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FMCD于点M，求证：BH+MGBE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点
5、H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系10（2022杭州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的点、分别在轴和轴的正半轴上，点在第一象限，平分交于（1）求的度数和的长；（2）点不动，将正方形绕点逆时针旋转至图2的位置，交于点，连接求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，正方形的边交轴于点、平分，、是、上的动点，请直接写出的最小值答案版：1【解答】（1）证明：如图1，作于点，交的延长线于点，四边形是矩形，四边形是正方形，在和中，四边形是正方形，（2）证明：如图1，四边形是正方形，（3）解：如图2，连接，作于点，于点，作于点，则，的长是2【解答】（1）证明
6、：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，在和中，（2）解：四边形是平行四边形，理由如下，如图2，点在边上，如图3，点在边的延长线上，连接，点，分别是，的中点，四边形是平行四边形如图2、图3，作于点，连接，点是的中点，当点在边上，如图2，则；当点在边的延长线上，如图3，则，综上所述，的长为3或53【解答】解：【观察猜想】（1）四边形为正方形，四边形为正方形，在和中，故答案为：；【类比探究】（2），理由如下：如图2，在上截取，连接四边形为正方形，四边形为正方形，在和中，；【拓展应用】（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，在中，由旋转得，是直角三角形，的面积为12，4.【解答】（1）
7、证明：如图1，四边形和四边形是正方形，；（2）解：，理由如下：如图，延长，交于点，四边形和四边形是正方形，；（3）解：连接，正方形的边长为5，正方形的边长为4，5【解答】解：（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB4，BC90，CDAB4，点F是CD的中点，CFCD2，四边形AEFG是正方形，AEF90，AEEF，AEB+CEFAEB+BAE90，BAECEF，ABEECF（AAS），ABEC4，BECF2，BCBE+EC6，即a的值为6；（2）如图，过点F作FMAD于M，交BC于K，过点G作GNAD于N，EKFANGB90，四边形ABCD是矩形，AB4，BBAD90，四边形ABKM是矩形，KM
8、AB4，四边形AEFG是正方形，EAGAEFAGF90，AGAEEF，GAN+DAEBAE+DAE90，AEB+CEFAEB+BAE90，BAECEFGAN，ANGBEKF90，ABEEKFANG（AAS），ABEKAN4，BEKFNG，FMAD，GNAD，GNFM，GNHFMH，GN：FMGH：FH3：1，GNFK3FM，KMKF+FM4FM4，FM1，BEKF3；（3）当点F在矩形ABCD内时，过点F作FMAD于M，交BC于K，过点G作GNAD于N，EKFANGB90，四边形ABCD是矩形，AB4，BBADCADC90，四边形ABKM是矩形，KMAB4，四边形AEFG是正方形，EAGAEF
9、AGF90，AGAEEF，GAN+DAEBAE+DAE90，AEB+CEFAEB+BAE90，BAECEFGAN，ANGBEKF90，ABEEKFANG（AAS），ABEKAN4，BEKFNG，设FMx，则BEKFNG4x，BCa8，CK8BEEK8（4x）4x，FMAD，DMKCADC90，四边形CDMK是矩形，DMCKx，DMFM，DF2，DMFM，BEKFNG4，FMAD，GNAD，GNFM，GNHFMH，GH：FHGN：FM21；当点F在矩形ABCD外时，过点F作FMAD于M，交BC于K，过点G作GNAD于N，ABEEKFANG（AAS），ABEKAN4，BEKFNG，设FMx，则BE
10、KFNG4+x，BCa8，CKBE+EKBC4+x+48x，FMAD，DMCCCKMDC90，四边形CDMK是矩形，DMCKx，DMFM，DF2，DMFM，BEKFNG4+，FMAD，GNAD，GNFM，GNHFMH，GH：FHGN：FM2+1综上，GH：FH的值为21或2+16【解答】（1）证明：如图1，过点作于点，；（2）证明：，；（3）解：如图3，作交延长线于点，连接，是等腰直角三角形，由（2）知，平行四边形，设，在中，解得，7【解答】（1）证明：四边形是正方形，旋转正方形到正方形，在和中，；（2）解：时，理由是：，在和中，；，；（3）解：在旋转过程中四边形能为矩形，四边形是正方形，四边
11、形是矩形，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，的坐标是8【解答】（1）解点是正方形对角线的交点，是以为斜边的等腰直角三角形，即解得：（2）证明：如图，延长交于点，是的中点，四边形是正方形，在和中，9【解答】（1）解：在正方形ABCD中，AB8，AOCOOB4，BE2，OE2，ACBD，COE90，CE2，由旋转得：CECF，ECF90，CEF的面积（2）210；（2）证明：如图2，过E作ENAB于N，作EPBC于P，EPBC，FMCD，EPCFMC90，BCDECF90，PCEMCF，CECF，CPECMF（AAS），EPFM，EPBC，ENAB，BE平分ABC，EPEN，ENFM，FM
12、CD，FMGENH90，ABCD，NHEMGF，NHEMGF（AAS），NHMG，BH+MGBH+NHBN，BEN是等腰直角三角形，BNBE，BH+MGBE；（3）解：BHMGBE，理由是：如图3，过E作ENAB于N，交CG于P，EPBC，FMCD，ABCD，EPCD，EPCFMC90，MECF90，ECP+FCMFCM+CFM90，ECPCFM，CECF，CPEFMC（AAS），PCFM，DPE是等腰直角三角形，PEPD，ENBNPN+PEBC+PECD+PDPCFM，ABCD，HFGM，ENHM90，HNEGMF（AAS），NHMG，BHMGBHNHBN，BEN是等腰直角三角形，BNBE，BHMGBE10【解答】（1）解：，是正方形的对角线，是的角平分线，在中，；（2）证明：如图2，设与轴交于点四边形是正方形，由（1）知，是正方形的对角线，是等边三角形，在和中，；（3）解：如图3，过点作于，延长交轴于，是的平分线，点与点关于对称，连接交于，过点作于，交于，则此时最小是边长为6的正方形的对角线，由作图知，由（2）易知，在中，即的最小值为31
