1、教材同步复习第一部分 第25讲与圆有关的位置关系第六章圆知识要点知识要点 归纳归纳人教：九上第二十四章人教：九上第二十四章P92P104；湘教：九下第二章；湘教：九下第二章P64P76；沪科：九下第二十四章沪科：九下第二十四章P33P46.知识点知识点1与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系点的位置点的位置d与与r的关系的关系图示图示点A在圆外dr 点B在圆上d_r点C在圆内dr1点与圆的位置关系点与圆的位置关系设O的半径为r，点到圆心O的距离为d.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系设r是O的半径，d是圆心O到直线l的距离，则直线l与O的位置关系与d，r的关系如下表：知识点知识点2 切线的
2、性质与判定切线的性质与判定1切线的性质切线的性质(1)圆的切线_过切点的半径(2)经过圆心且垂直于切线的直线经过_(3)经过切点且垂直于切线的直线经过_垂直于垂直于切点切点圆心圆心【注意注意】在涉及切线问题时，连接“切点与圆心”是最常见的辅助线2切线的判定切线的判定(1)设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若dr，则直线与圆相切(2)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_；(3)如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线【注意】要判定一条直线是圆的切线关键是看直线和圆有无公共点：(1)有公共点，连接圆心和圆与直线的公共点的半径，再证它们互相垂直；(2)无公共点，则过圆
3、心作出直线的垂线，再证此垂线段等于圆的半径切线切线*3.切线长及其定理切线长及其定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角如图，PA，PB分别相切O于A，B两点，那么PAPB，APOBPO APB.12知识点知识点3 三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆与内切圆名称名称三角形的外接圆三角形的外接圆三角形的内切圆三角形的内切圆描述经过三角形的三个顶点的圆与三角形各边都相切的圆图形圆心名称外心：三角形三条边垂直平分线的交点 内心：三角形三条角平分线的交点性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离_三角形的内心到三角形_的距离相等角度关系BOC2ABOC A
4、90相等相等三边三边12广西真题广西真题 精选精选命题点命题点1与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系拓展训练拓展训练1(2016梧州6题3分)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为()A相离 B相切 C相交 D无法确定C命题点命题点2切线的性质与判定切线的性质与判定 第2题图A2(2019北部湾经济区12题3分)如图，AB为O的直径，BC，CD是O的切线，切点分别为点B，D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE.已知AB2 ，BC2，当CEDE的值最小时，则 的值为()A B C DCEDE591023532 55 第3题图3(2020北部湾经济区卷25
5、题10分)如图，在RtABC中，BAC90，以边AB为直径的O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE.(1)求证：DE是O的切线；(2)若CE1，OA ，求ACB的度数3第3题答图(1)证明：证明：连接连接OE，AE，如答图，如答图AB是是O的直径，的直径，AECAEB90.在在RtAEC中，中，点点D是是AC的中点，的中点，DE ACDA，AEDEAD.又又OEOA，OAEOEA.BAC90，OEDOEAAEDOAEEADBAC90.OEDE.又又OE是是O的半径，的半径，DE是是O的切线的切线12(2)解：解：易得易得AECBAC，AC2BCEC.又又在在RtABC中，中，BC2AC2A
6、B2，BC2BCECAB2，BC2BC(2 )2，解解得得BC4(负值已舍负值已舍)，sin ACB ，ACB60.ABBC2 34323 第4题图4(2020北部湾经济区25题10分)如图，在ACE中，以AC为直径的O交CE于点D，连接AD，且DAEACE，连接OD并延长，交AE的延长线于点P，PB与O相切于点B.(1)求证：AP是O的切线；(2)连接AB交OP于点F，求证：FADDAE；(3)若tan OAF ，求 的值12AEAP(1)证明：证明：AC为为O的直径，的直径，ADC90，ACDDAC90.DAEACE，DACDAE90，即即CAE90.OA是是O的半径，的半径，AP是是O的
7、切线的切线第4题答图(2)连接DB，如答图PA和PB都是O的切线，PAPB，OPAOPB，POAB.PDPD，DPADPB(SAS)，ADBD，ABDBAD.ACDABD，DAEACE，DAFEAD.AC是O的直径，ADEADC90，ADEAFD90，FADDAE.(3)AFOOAP90，AOFPOA，AOFPOA，tan OAF ，PA2AOAC.AFDCAE90，DAFABDACE，AFDCAE，OFOAAFPAOAPAOFAF12FDAEAFCA .tan OAF ，设OFx，则AF2x，ODOA x，FDODOF(1)x，.FDAFAECAAEAPOFAF1255FDAF(51)2xx
8、 512 AEAP512 第5题图拓展训练拓展训练5(2019河池16题3分)如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，OAB38，则P_.766(2020玉林23题8分)如图，AB是O的直径，点D在直径AB上(D与A，B不重合)，CDAB，且CDAB，连接CB，与O交于点F，在CD上取一点E，使EFEC.(1)求证：EF是O的切线；(2)若D是OA的中点，AB4，求CF的长第6题图(1)证明：证明：连接连接OF，如答图，如答图1.CDAB，DBCC90.OBOF，DBCOFB.EFEC，CEFC，OFBEFC90，OFE1809090，OFEF.OF为为O的半径，的半径，EF是是O的切线的切
9、线第6题答图1(2)解：解：连接连接AF，如答图，如答图2.AB是是O的直径，的直径，AFB90.D是是OA的中点，的中点，ODDA OA AB 41，BD3OD3.CDAB，CDAB4，CDB90，121414第6题答图2BC 5.AFBCDB90，FBADBC，FBADBC，BF ，CFBCBF5 .22BDCD 2234 BFBDABCBAB BDCB 4 35 1251251357(2020贵港24题8分)如图，在ABC中，ABAC,点D在BC边上，且ADBD，O是ACD的外接圆，AE是O的直径(1)求证：AB是O的切线；(2)若AB2 ，AD3，求直径AE的长6第7题图(1)证明：证
10、明：如答图，连接如答图，连接DE，则，则EC，AE是是O的直径，的直径，ADE90，即，即DAEE90.在在ABC中，中，ABAC，BC.点点D在在BC上，上，且且ADBD，BBAD，EBAD，BADDAE90，即即BAE90OA是是O的半径，的半径，AB是是O的切线的切线第7题答图(2)解：解：由由(1)可知可知CBAD，ABCDBA，解得，解得BC8.DCBCBD5，cos C .ABBDBCBA2 632 6BC12BCAC42 6EC，cos E ，设，设AE3x，则，则DE x，AD x3，x ，AE3 .63DEAE63633322AEDE 8(2020河池25题10分)如图，AB
11、是O的直径，AB6，OCAB，OC5，BC与O交于点D，点E是 的中点，EFBC，交OC的延长线于点F.(1)求证：EF是O的切线；(2)CGOD，交AB于点G，求CG的长BD第8题图(1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接OE，交，交BD于点于点H.点点E是是 的中点，的中点，OE是是O的半径，的半径，OEBD，BHDH.EFBC，OEEF.又又OE是是O的半径，的半径，EF是是O的切线的切线BD第8题答图(2)解：解：AB是是O的直径，的直径，AB6，OCAB，OB3，BC .SOBC OBOC BCOH，22OBOC 925 341212OH .cos OBC ，BH ，BD2BH .
12、CGOD，CG .3 534 15 3434OBBCBHOB3343BH9 34349 3417ODCGBDBC3CG9 341734173拓展训练拓展训练9(2019百色25题10分)如图，已知AC，AD是O的两条割线，AC与O交于B，C两点，AD过圆心O且与O交于E，D两点，OB平分AOC.(1)求证：ACDABO；(2)过点E的切线交AC于F，若EFOC，OC3，求EF的值提示：(1)(1)1第9题图22(1)证明：证明：OB平分平分AOC，BOE AOC.OCOD，DOCD.AOCDOCD，D AOC，DBOE.又又AA，ACDABO.1212(2)解：解：EF切切O于点于点E，OEF
13、90.EFOC，DOCOEF90.OCOD3，CD 3 .，=，AE3 .EFOC，EF63 .22OCOD 2ADAOCDBD63AEAE 3 33AEAOEFOC3 23 23 3EF210(2019河池25题10分)如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB的延长线于点F.(1)若AEDC，EBCD，求证：DEBC；(2)若OB2，ABBDDA，F45，求CF的长第10题图(1)证明：证明：AEDC，ADEDBC.在在ADE和和DBC中，中，ADEDBC(AAS)，DEBC.,ADEDBFEBCDAEDC AEDC(2)解：解：如答图，连接如答图，连接CO并延长，交并延长
14、，交AB于点于点G，过点，过点O作作OHAB于点于点H，则，则OHGOHB90.CF与与O相切于点相切于点C，FCG90.F45，第10题答图CFG和和OGH都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，CFCG，OG OH.ABBDDA，ABD是是等边三角形，等边三角形，ABD60，OBH30，OH OB1，OG ，CFCGOCOG2 .1222211(2019贵港24题8分)如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OEOA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE.(1)求证：AE是半圆O的切线；(2)若PA2，PC4，求AE的长第11题图(1)证明：证明：在矩形在矩形
15、ABCD中，中，ABOOCE90，OEOA，AOE90，BAOAOBAOBCOE90，BAOCOE，ABOOCE，.OBOC，.ABOAOE90，ABO AOE，BAOOAE.ABOCAOOEABOBAOOE第11题答图如答图，过如答图，过O作作OFAE于点于点F，ABOAFO90.在在ABO和和AFO中，中，ABO AFO(AAS)，OFOB，OF为半圆为半圆O的半径，的半径，AE是半圆是半圆O的切线的切线,BAOFAOABOAFOAOAO (2)解：解：AF是半圆是半圆O的切线，的切线，AC是半圆是半圆O的割线，的割线，AF2APAC，AF 2 ，ABAF2 ，BC 2 ，AO 3 .AB
16、O AOE，AE3 .2(24)3322ACAB 6222ABOB AOAEABAO3 2AE2 33 22重点难点重点难点 突破突破重难点重难点1切线的判定与性质切线的判定与性质(重点重点)例1题图类型类型1弦切角模型弦切角模型 如图，在O中，D是O上一点，C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且ABDC.(1)求证：直线CD是O的切线；【解答】【解答】如答图，连接如答图，连接OD.AB为为O的直径的直径，ADB90，AABD90.又ODOB，ABDODB.ABDC，CDBODB90，即即ODC90.OD是是O的半径的半径，直线直线CD是是O的切线的切线例1题答图(2)若CM平分ACD，
17、且分别交AD，BD于点M，N，当DM2时，求MN的长【解答】【解答】CM平分平分ACD，DCMACM.又又ABDC，AACMBDCDCM，即，即DMNDNM.ADB90，DM2，DNDM2，MN 2 .22DMDN 2例2题图类型类型2角平分线模型角平分线模型 如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，过点A作AECD交CD的延长线于点E，DA平分BDE.(1)求证：AE是O的切线【解题思路】【解题思路】例2题答图【解答】【解答】如答图，连接如答图，连接OA.OAOD，ODAOAD.DA平分平分BDE，ODAEDA，OADEDA，ECOA.AECD，OAAE.OA为为O的半径，的半径，AE
18、是是O的切的切线线(2)已知AE8 cm，CD12 cm，求O的半径【解题思路】【解题思路】【解答】【解答】如答图，过点如答图，过点O作作OFCD，垂足为，垂足为F.OAEAEDOFD90，四边形四边形AOFE是矩形，是矩形，OFAE8 cm.又又OFCD，DF CD6(cm).在在RtODF中，中，OD 10(cm)，O的半径为的半径为10 cm.1222OFDF 类型类型3双切线模型双切线模型例3题图 如图，以线段AB为直径作O，CD与O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OCBE交切线CD于点C，连接AC.(1)求证：AC是O的切线【解题思路】【解题思路】【解答】【解答】
19、连接连接OE，CD与与O相切，相切，OECD，CEO90.BEOC，AOCOBE，COEOEB.OBOE，OBEOEB，AOCCOE，在在AOC和和EOC中，中，AOCEOC(SAS)，CAOCEO90.OA为为O的的半径，半径，AC是是O的切线的切线,OAOEAOCEOCOCOC (2)若BDOB4，求弦AE的长【解题思路】【解题思路】【解答】【解答】在在RtDEO中，中，BDOB，BE ODOB4.OBOE，BOE为等边三角形，为等边三角形，ABE60.AB为为O的直径，的直径，AEB90，BAE30，AB2BE8，AE 4 .1222ABBE 2284 483类型类型4三三角函数模型角函
20、数模型 如图，以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是 的中点，OM交AC于点D，BOE60，tan C ，BC .(1)求证：BC是O的切线；AE33【解题思路】【解题思路】例4题图【解答】【解答】BOE60，A BOE30.tan C ，C60.在在ABC中，中，ABC180AC180306090.又又OB是是O的半径，的半径，BC是是O的切线的切线123(2)求MD的长度【解题思路】【解题思路】【解答】【解答】在在RtABC中，中，BC .ABBC 3，OAOM .点点M是是 的中点，的中点，OMAE.在在RtAOD中，中，A30，OA ，OD OA ，MDOMOD -.323332
21、AE12123234323434(2020陕西)如图，ABC是O的内接三角形，BAC75，ABC45.连接AO并延长，交O于点D，连接BD.过点C作O的切线，与BA的延长线相交于点E.(1)求证：ADEC；(2)若AB12，求线段EC的长(1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接OC，CE与与O相切于相切于点点C，OCE90.ABC45，AOC90.AOCOCE180，ADEC.答图(2)解：解：如答图，过点如答图，过点A作作AFEC交交EC于点于点F，BAC75，ABC45，ACB60，DACB60，sin ADB ，ABAD32AD 8 ，OAOC4 .AFEC，OCE90，AOC90，四
22、边形四边形OAFC是矩形是矩形又又OAOC，四四边形边形OAFC是正方形，是正方形，CFAF4 .BAD90D30，EAF180903060.tan EAF ，EF AF12，CEEFCF124 .12 23 333333EFAF方法指导方法指导1切线的性质的应用方法如图1，PQ是O的切线，Q为切点，连接OQ，可得OQP90.图1图2方法指导方法指导2切线的判定方法(1)定义；(2)有切点，连半径，证垂直：如图1，图中标示了直线与圆的交点Q，就可以连接半径OQ，然后证明OQP90即可(3)无切点，作垂线，证相等(即证垂线段的长等于半径)如图2，图中没有标示直线与圆的交点，可以作OQPM，垂足为Q，然后证明OQr即可
