1、00精讲本2021江西数学二次函数的实际应用二次函数的实际应用 (10(10年年1 1考考)(2018 (2018江西江西)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为品种蜜柚到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8 8元元/千克，投入市场销千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(y(千克千克)与销售单价与销售单价x(x(元元/千克千克)之间的函数关系如图所示之间的函数关系如图所示(1)(1)求求y y与与x x的函数
2、关系式，并写出的函数关系式，并写出x x的取值范围；的取值范围；能力点第五节二次函数的应用第五节二次函数的应用(2)(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？多少？(3)(3)某农户今年共采摘蜜柚某农户今年共采摘蜜柚4 8004 800千克，该品种蜜柚的保质期为千克，该品种蜜柚的保质期为4040天，根据天，根据(2)(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由由【思路分析思路分析】(1)(1)利用待定系数法求解可得；利用待定系
3、数法求解可得；(2)(2)根据根据“总利润单件利润总利润单件利润销售量销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值；即可得出最大值；(3)(3)求出在求出在(2)(2)中情况下，即中情况下，即x x1919时的销售量，据此求得时的销售量，据此求得4040天的总销售天的总销售量，比较即可得出答案量，比较即可得出答案【规范解答规范解答】解：解：(1)(1)设设y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为y ykxkxb(k0)b(k0)将将(10(10，200)200)，(15(15，150)150)代入代入y ykxkxb(k0)b(k0)中得中得y y10
4、 x10 x300.y0300.y0，y30y30，y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为y y10 x10 x300(8x30)300(8x30)(2)(2)设每天销售获得的利润为设每天销售获得的利润为w w元，根据题意得元，根据题意得w w(x(x8)y8)y(x(x8)(8)(10 x10 x300)300)10(x10(x19)19)2 21 210.1 210.8x308x30，当当x x1919时，时，w w取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为1 210.1 210.(3)(3)由由(2)(2)可知，当获得最大利润时，定价为可知，当获得最大利润时，定价为1919元元/千克
5、，千克，则每天销售量为则每天销售量为y y10101919300300110(110(千克千克)保质期为保质期为4040天，天，销售总量为销售总量为40401101104 400(4 400(千克千克)又又4 4004 4004 8004 800，不能销售完这批蜜柚不能销售完这批蜜柚1 1(2020(2020辽宁营口辽宁营口)某超市销售一款某超市销售一款“免洗洗手液免洗洗手液”，这款，这款“免洗洗手免洗洗手液液”的成本价为每瓶的成本价为每瓶1616元，当销售单价定为元，当销售单价定为2020元时，每天可售出元时，每天可售出8080瓶根瓶根据市场行情，现决定降价销售市场调查反映：销售单价每降低据
6、市场行情，现决定降价销售市场调查反映：销售单价每降低0.50.5元，元，则每天可多售出则每天可多售出2020瓶瓶(销售单价不低于成本价销售单价不低于成本价)，若设这款，若设这款“免洗洗手液免洗洗手液”的销售单价为的销售单价为x(x(元元)，每天的销售量为，每天的销售量为y(y(瓶瓶)(1)(1)求每天的销售量求每天的销售量y(y(瓶瓶)与销售单价与销售单价x(x(元元)之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)(2)当销售单价为多少元时，销售这款当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液免洗洗手液”每天的销售利润最每天的销售利润最大，最大利润为多少元？大，最大利润为多少元？解：解：(1)(1)
7、由题意得由题意得y y80802020 40 x40 x880.880.(2)(2)设每天的销售利润为设每天的销售利润为w w元，则有元，则有w w(40 x40 x880)(x880)(x16)16)40(x40(x19)19)2 2360.360.aa40400 0，二次函数图象开口向下，二次函数图象开口向下，当当x x1919时，时，w w有最大值，最大值为有最大值，最大值为360.360.答：当销售单价为答：当销售单价为1919元时，销售这款元时，销售这款“免洗洗手液免洗洗手液”每天的销售利润最每天的销售利润最大，最大利润为大，最大利润为360360元元5.020 x2 2(2020(
8、2020江苏南京江苏南京)小明和小丽先后从小明和小丽先后从A A地出发沿同一直道去地出发沿同一直道去B B地设小地设小丽出发第丽出发第x minx min时，小丽，小明离时，小丽，小明离B B地的距离分别为地的距离分别为y y1 1 m m，y y2 2 m my y1 1与与x x之间之间的函数解析式是的函数解析式是y y1 1180 x180 x2 2502 250，y y2 2与与x x之间的函数解析式是之间的函数解析式是y y2 210 x10 x2 2100 x100 x2 000.2 000.(1)(1)小丽出发时，小明到小丽出发时，小明到A A地的距离为地的距离为 m.m.(2)
9、(2)小丽出发至小明到达小丽出发至小明到达B B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？多少？解：解：(1)250(1)250(2)(2)设小丽出发第设小丽出发第x minx min时，两人相距时，两人相距s ms m，则则s s(180 x180 x2 250)2 250)(10 x10 x2 2100 x100 x2 000)2 000)10 x10 x2 280 x80 x25025010(x10(x4)4)2 29090，当当x x4 4时，时，s s取得最小值，此时取得最小值，此时s s90.90.答：小丽出发第答：小丽出发第4 mi
10、n4 min时，两人相距最近，最近距离是时，两人相距最近，最近距离是90 m.90 m.3 3(2020(2020河北河北)用承重指数用承重指数W W衡量水平放置的长方体木板的最大承重衡量水平放置的长方体木板的最大承重量实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承量实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数重指数W W与木板厚度与木板厚度x(x(厘米厘米)的平方成正比，当的平方成正比，当x x3 3时，时，W W3.3.(1)(1)求求W W与与x x的函数关系式的函数关系式(2)(2)如图，选一块厚度为如图，选一块厚度为6 6厘米的木板，把它分割成与原
11、来同长同宽但薄厚厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板不同的两块板(不计分割损耗不计分割损耗)设薄板的厚度为设薄板的厚度为x(x(厘米厘米)，Q QW W厚厚W W薄薄求求Q Q与与x x的函数关系式；的函数关系式；x x为何值时，为何值时，Q Q是是W W薄薄的的3 3倍？倍？注：注：(1)(1)及及(2)(2)中的不必写中的不必写x x的取值范围的取值范围 解：解：(1)(1)设设W Wkxkx2 2(k0)(k0)当当x x3 3时，时，W W3 3，3 39k9k，解得，解得k k ，W W与与x x的函数关系式为的函数关系式为W W x x2 2.(2)(2)设薄板的
12、厚度为设薄板的厚度为x x厘米，则厚板的厚度为厘米，则厚板的厚度为(6(6x)x)厘米，厘米，Q QW W厚厚W W薄薄 (6(6x)x)2 2 x x2 24x4x1212，即即Q Q与与x x的函数关系式为的函数关系式为Q Q4x4x12.12.31313131QQ是是W W薄薄的的3 3倍，倍，4x4x12123 3 x x2 2，整理得整理得x x2 24x4x12120 0，解得，解得x x1 12 2，x x2 26(6(不合题意舍去不合题意舍去)，故故x x为为2 2时，时，Q Q是是W W薄薄的的3 3倍倍31考法考法几何问题几何问题 (2017 (2017江西江西)已知抛物线
13、已知抛物线C1C1：y yaxax24ax4ax5(a5(a0)0)(1)(1)当当a a1 1时，求抛物线与时，求抛物线与x x轴的交点坐标及对称轴；轴的交点坐标及对称轴；(2)(2)试说明无论试说明无论a a为何值，抛物线为何值，抛物线C C1一定经过两个定点，并求出这两个定一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；点的坐标；将抛物线将抛物线C C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C C2，直接写出，直接写出C C2的的解析式；解析式；(3)(3)若若(2)(2)中抛物线中抛物线C C2的顶点到的顶点到x x轴的距离为轴的距离为2 2，求，求a a的
14、值的值二次函数的综合应用二次函数的综合应用 (10(10年年9 9考考)【思路分析思路分析】(1)(1)将将a a1 1代入解析式，即可求得抛物线与代入解析式，即可求得抛物线与x x轴交点；轴交点；(2)(2)化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；根据抛物线翻折性质即可解题；根据抛物线翻折性质即可解题；(3)(3)根据根据(2)(2)中抛物线中抛物线C C2 2解析式，分类讨论解析式，分类讨论y y2 2或或2 2，即可解题，即可解题【规范解答规范解答】解：解：(1)(1)当当a a1 1时，时，y yx x2 24x4x5
15、 5，对称轴为直线对称轴为直线x x 2.2.令令x x2 24x4x5 50 0，解得，解得x x1 15 5，x x2 21 1，故抛物线与故抛物线与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(5(5，0)0)，(1 1，0)0)(2)(2)函数函数y yaxax2 24ax4ax5 5可写成可写成y yax(xax(x4)4)5 5，当当x x0 0或或x x4 4时，时，y y5 5，无论无论a a为何值，抛物线为何值，抛物线C C1 1一定经过两个定点一定经过两个定点(0(0，5)5)和和(4(4，5)5)ab2y yaxax2 24ax4ax5(a0)5(a0)提示：如图所示，将抛物线提示
16、：如图所示，将抛物线y yaxax2 24ax4ax5(a0)5(a0)沿着过点沿着过点(0(0，5)5)和和(4(4，5)5)的直线的直线y y5 5翻折后得到翻折后得到C C2 2.设设C C2 2：y ya a1 1x x2 2b b1 1x xc c1 1，则，则a a1 1a.a.函数图象翻折前后都过点函数图象翻折前后都过点(0(0，5)5)，c c1 15.5.又又对称轴不变，对称轴不变，即即b b1 14a4a，故翻折后故翻折后C C2 2的解析式为的解析式为y yaxax2 24ax4ax5(a0)5(a0)(3)(3)由由(2)(2)易知抛物线易知抛物线C C2 2：y ya
17、xax2 24ax4ax5(a0)5(a0)的顶点坐标为的顶点坐标为(2(2，4a4a5)5)，故抛物线故抛物线C C2 2的顶点到的顶点到x x轴的距离为轴的距离为|4a|4a5|5|2 2，a a 或或 .47434 4(2020(2020江西样卷三江西样卷三)已知抛物线已知抛物线L L1 1：y yaxax2 2(a0)(a0)上一点上一点M(mM(m，n)n)，点，点M(mM(m，n)n)在第一象限，过点在第一象限，过点M M分别作分别作y y轴，轴，x x轴的垂线段轴的垂线段MAMA，MB MB，垂足分别，垂足分别是是A A，B.B.(1)(1)如图如图1 1，若四边形，若四边形MA
18、OBMAOB是正方形，则是正方形，则m m和和a a的数量关系是的数量关系是 ；(2)(2)若抛物线若抛物线L L1 1：y yaxax2 2(a0)(a0)与直线与直线l l：y y x x的一个交点的一个交点C C的纵坐标的纵坐标是是 ，求抛物线求抛物线L L1 1：y yaxax2 2(a0)(a0)的解析式；的解析式；2121如图如图2 2，将抛物线，将抛物线L L1 1：y yaxax2 2(a0)(a0)沿着直线沿着直线l l平移，平移过程中抛物线平移，平移过程中抛物线的顶点始终在直线的顶点始终在直线l l上若平移前的抛物线上若平移前的抛物线L L1 1与平移后的抛物线与平移后的抛
19、物线L L2 2恰好相恰好相交于点交于点M M，四边形，四边形MAOBMAOB也是正方形，求抛物线也是正方形，求抛物线L L2 2的顶点的顶点E E的坐标；的坐标；在的条件下继续平移抛物线在的条件下继续平移抛物线L L1 1：y yaxax2 2(a0)(a0)，得到抛物线，得到抛物线L L3 3，L L3 3的顶的顶点点D D的横坐标大于点的横坐标大于点E E的横坐标，的横坐标，OEODOEOD5b5b，抛物线，抛物线L L3 3与与x x轴的两个交轴的两个交点点F F，H(H(点点F F在点在点H H的左边的左边)之间的距离是之间的距离是6.6.连接连接MF,MF,MBFMBF与与DGOD
20、GO是否相是否相似？请说明理由似？请说明理由解：解：(1)am(1)am1 1(2)(2)设设C(xC(x，)，将点将点C C坐标代入坐标代入y y x x得得x x1 1，C(C(1 1，)，将点，将点C C坐标代入坐标代入y yaxax2 2(a0)(a0)得得a a ，L L1 1的解析式是的解析式是y y x x2 2.2121212121由前面的求解可知由前面的求解可知 且且a a ，m mn n2 2，M(2M(2，2)2)点点E E在直线在直线y y x x上，上，设设E(dE(d，d)d)由平移抛物线由平移抛物线L L1 1可以设可以设L L2 2：y y (x(xd)d)2
21、2 d.d.把把M(2M(2，2)2)代入得代入得2 2 (2(2d)d)2 2 d d，即，即d d2 25d5d0.0.d0d0，d d5 5，抛物线抛物线L L2 2的顶点的顶点E E的坐标是的坐标是(5(5，)2121212121212125MBFMBF与与DGODGO相似相似理由：如图，分别过理由：如图，分别过E E，D D作作EPxEPx轴于点轴于点P P，DGxDGx轴于点轴于点G.G.E(5E(5，)，OPOP5 5，PEPE .PEDGPEDG，2525设设L L3 3的解析式为的解析式为y y (x(xb)b)2 2 b.b.令令y y0 0得得x x2 22bx2bxb
22、b2 2b b0 0，4b4b2 24b4b2 24b4b3636，b b9 9，2121解得解得x x1 16 6，x x2 21212，F(6F(6，0)0)M(2M(2，2)2)，MBMB2 2，BFBF6 62 24.4.又又MBFMBFOGDOGD9090，MBFMBFDGO.DGO.5 5(2016(2016江西江西)设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y yaxax2 2，过点，过点B B1 1(1(1，0)0)作作x x轴的垂轴的垂线，交抛物线于点线，交抛物线于点A A1 1(1(1，2)2)；过点；过点B B2 2(，0)0)作作x x轴的垂线，交抛物线于点轴的垂线，交抛物线
23、于点A A2 2；过点过点B Bn n()()n n1 1，0)(n0)(n为正整数为正整数)作作x x轴的垂线，交抛物线于点轴的垂线，交抛物线于点A An n，连接连接A An nB Bn n1 1，得，得RtRtA An nB Bn nB Bn n1 1.(1)(1)求求a a的值；的值；(2)(2)直接写出线段直接写出线段A An nB Bn n，B Bn nB Bn n1 1的长的长(用含用含n n的式子表示的式子表示)；2121(3)(3)在系列在系列RtRtA An nB Bn nB Bn n1 1中，探究下列问题：中，探究下列问题：当当n n为何值时，为何值时，RtRtA An
24、nB Bn nB Bn n1 1是等腰直角三角形？是等腰直角三角形？设设1k1kmn(kmn(k，m m均为正整数均为正整数)，问：是否存在，问：是否存在RtRtA Ak kB Bk kB Bk k1 1与与RtRtA Am mB Bm mB Bm m1 1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由解：解：(1)(1)点点A A1 1(1(1，2)2)在抛物线上，在抛物线上，2 2a a1 12 2，得，得a a2.2.(2)A(2)An nB Bn n()()2n2n3 3，B Bn nB Bn n1 1()()n n.2121(3)(3)由
25、由A An nB Bn nB Bn nB Bn n1 1，得，得()()2n2n3 3()()n n，解得，解得n n3.3.当当n n3 3时，时，RtRtA An nB Bn nB Bn n1 1是等腰直角三角形是等腰直角三角形存在依题意得存在依题意得A Ak kB Bk kB Bk k1 1A Am mB Bm mB Bm m1 19090，i)i)当当RtRtA Ak kB Bk kB Bk k1 1RtRtA Am mB Bm mB Bm m1 1时，时，k km(m(舍去舍去)2121ii)ii)当当RtRtA Ak kB Bk kB Bk k1 1RtRtB Bm m1 1B B
26、m mA Am m时，时，2k2k3 3m mk k2m2m3 3，m mk k6.6.1kmn(k1kmn(k，m m均为正整数均为正整数)，考法考法新定义问题新定义问题 (2018(2018江西江西)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：下过程：求解体验求解体验(1)(1)已知抛物线已知抛物线y yx x2 2bxbx3 3经过点经过点(1 1，0)0)，则，则b b ，顶点坐标，顶点坐标为为 ，该抛物线关于点，该抛物线关于点(0(0，1)1)成中心对称的抛物线解析式是成中心对称的抛物线解析式是 抽象感悟抽象感悟我们定义，对于抛物线
27、我们定义，对于抛物线y yaxax2bxbxc(a0)c(a0)，以，以y y轴上的点轴上的点M(0M(0，m)m)为中为中心，作该抛物线关于点心，作该抛物线关于点M M对称的抛物线对称的抛物线yy，则我们又称抛物线，则我们又称抛物线yy为抛物为抛物线线y y的的“衍生抛物线衍生抛物线”，点，点M M为为“衍生中心衍生中心”(2)(2)已知抛物线已知抛物线y yx x2 22x2x5 5关于点关于点(0(0，m)m)的衍生抛物线为的衍生抛物线为yy，若这两，若这两条抛物线有交点，求条抛物线有交点，求m m的取值范围的取值范围问题解决问题解决(3)(3)已知抛物线已知抛物线y yaxax2 22
28、ax2axb(a0)b(a0)若抛物线若抛物线y y的衍生抛物线为的衍生抛物线为yybxbx2 22bx2bxa a2 2(b0)(b0)，两抛物线有两个，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求交点，且恰好是它们的顶点，求a a，b b的值及衍生中心的坐标；的值及衍生中心的坐标；若抛物线若抛物线y y关于点关于点(0(0，k k1 12 2)的衍生抛物线为的衍生抛物线为y y1 1，其顶点为，其顶点为A A1 1；关于点；关于点(0(0，k k2 22 2)的衍生抛物线为的衍生抛物线为y y2 2，其顶点为，其顶点为A A2 2；关于点关于点(0(0，k kn n2 2)的衍生的衍生抛物线
29、为抛物线为y yn n，其顶点为，其顶点为A An n(n(n为正整数为正整数)；求求A An nA An n1 1的长的长(用含用含n n的式子表的式子表示示)【思路分析思路分析】(1)(1)利用待定系数法求出利用待定系数法求出b b的值，进而求出顶点坐标，在抛物的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点线上取一点(0(0，3)3)，求出点，求出点(2 2，1)1)和和(0(0，3)3)关于关于(0(0，1)1)的对称点坐的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；标，利用待定系数法即可得出结论；抽象感悟：抽象感悟：(2)(2)求出抛物线的顶点坐标求出抛物线的顶点坐标(1 1，6)6)，进而利用
30、待定系数法求，进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；出衍生函数解析式，联立即可得出结论；问题解决：问题解决：(3)(3)求出抛物线的顶点坐标和衍生抛物线的顶点坐标，分别求出抛物线的顶点坐标和衍生抛物线的顶点坐标，分别代入抛物线解析式中，即可求出代入抛物线解析式中，即可求出a a，b b的值，即可得出结论；的值，即可得出结论；求出抛物线顶点关于求出抛物线顶点关于(0(0，k kn n2 2)和和(0(0，k k(n(n1)1)2 2)的对称点坐标，即的对称点坐标，即可得出结论可得出结论【规范解答规范解答】(1)(1)4 4(2 2，1)1)y y(x(x2)2)2 21 1(2
31、)y(2)yx x2 22x2x5 5(x(x1)1)2 26 6，顶点坐标为顶点坐标为(1 1，6)6)(1 1，6)6)关于关于(0(0，m)m)的对称点为的对称点为(1(1，2m2m6)6)，衍生抛物线为衍生抛物线为yy(x(x1)1)2 22m2m6.6.令令y yyy，则，则(x(x1)1)2 26 6(x(x1)1)2 22m2m6 6，化简得化简得x x2 2m m5 50.0.这两条抛物线有交点，这两条抛物线有交点，4(m4(m5)05)0，m5.m5.(3)(3)y yaxax2 22ax2axb ba(xa(x1)1)2 2a ab b，顶点为顶点为(1 1，a ab)b)
32、又又yybxbx2 22bx2bxa a2 2b(xb(x1)1)2 2b ba a2 2，顶点为顶点为(1(1，b ba a2 2)两交点恰好是顶点，两交点恰好是顶点，解得解得 或或(不合题意，舍去不合题意，舍去)顶点分别为顶点分别为(1 1，0)0)和和(1(1，12)12)(1 1，0)0)，(1(1，12)12)关于衍生中心对称，关于衍生中心对称，衍生中心为它们连线的中点，衍生中心为它们连线的中点，衍生中心的坐标为衍生中心的坐标为(0(0，6)6)可知各衍生中心为抛物线可知各衍生中心为抛物线y ya(xa(x1)1)2 2a ab b的顶点分别与的顶点分别与A A1 1，A A2 2，
33、A A3 3，A An n连线的中点，连线的中点，A An n(1(1，2k2k2n2n2 2a ab)b)，A An n1 1(1(1，2k2k2(n2(n1)1)2 2a ab)b)，A An nA An n1 12k2k2(n2(n1)1)2 2a ab b(2k(2k2n2n2 2a ab)b)4n4n2.2.6 6(2020(2020四川遂宁四川遂宁)阅读以下材料，并解决相应问题：阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数定义：如果二次函数y ya a1 1x x2 2b b1 1x xc c1 1(a(a1
34、100，a a1 1，b b1 1，c c1 1是常数是常数)与与y ya a2 2x x2 2b b2 2x xc c2 2(a(a2 200，a a2 2，b b2 2，c c2 2是常数是常数)满足满足a a1 1a a2 20 0，b b1 1b b2 2，c c1 1c c2 20 0，则这两个函数互为，则这两个函数互为“旋转函数旋转函数”求函数求函数y y2x2x2 23x3x1 1的旋转函数，的旋转函数，小明是这样思考的，由函数小明是这样思考的，由函数y y2x2x2 23x3x1 1可知，可知，a a1 12 2，b b1 13 3，c c1 11 1，根据，根据a a1 1a
35、 a2 20 0，b b1 1b b2 2，c c1 1c c2 20 0，求出，求出a a2 2，b b2 2，c c2 2就能确定这个函数就能确定这个函数的旋转函数的旋转函数请思考小明的方法解决下面问题：请思考小明的方法解决下面问题：(1)(1)写出函数写出函数y yx x2 24x4x3 3的旋转函数的旋转函数(2)(2)若函数若函数y y5x5x2 2(m(m1)x1)xn n与与y y5x5x2 2nxnx3 3互为旋转函数，求互为旋转函数，求(m(mn)n)2 0202 020的值的值(3)(3)已知函数已知函数y y 2(x 2(x 1)(x1)(x3)3)的图象与的图象与x x
36、轴交于轴交于A A，B B两点，与两点，与y y轴交于轴交于点点C C，点，点A A，B B，C C关于原点的对称点分别是关于原点的对称点分别是A A1 1，B B1 1，C C1 1，试求证：经过点，试求证：经过点A A1 1，B B1 1，C C1 1的二次函数与的二次函数与y y2(x2(x1)(x1)(x3)3)互为互为“旋转函数旋转函数”(1)(1)解：函数解：函数y yx x2 24x4x3 3中，中，a a1 11 1，b b1 14 4，c c1 13 3，则，则a a2 2a a1 11 1，b b2 2b b1 14 4，c c2 2c c1 13 3，则函数，则函数y y
37、x x2 24x4x3 3的旋转函数为的旋转函数为y yx x2 24x4x3.3.(2)(2)解：因为函数解：因为函数y y5x5x2 2(m(m1)x1)xn n与与y y5x5x2 2nxnx3 3互为旋转函数，互为旋转函数，所以所以m m1 1n n，n n3 3，所以，所以m m2 2，n n3 3，所以，所以(m(mn)n)2 0202 020(2 23)3)2 0202 0201.1.(3)(3)证明：令证明：令y y2(x2(x1)(x1)(x3)3)中中y y0 0，得，得2(x2(x1)(x1)(x3)3)0 0，解得，解得x x1 1或或x x3 3，则点，则点A A和点
38、和点B B的坐标分别为的坐标分别为(1(1，0)0)，(3 3，0)0)令令y y2(x2(x1)1)(x(x3)3)中中x x0 0，得，得y y6 6，则，则C(0C(0，6)6)因为点因为点A A，B B，C C关于原点对称的点分别是点关于原点对称的点分别是点A A1 1，B B1 1，C C1 1，所以点，所以点A A1 1，B B1 1，C C1 1的坐标分别为的坐标分别为(1 1，0)0)，(3(3，0)0)，(0(0，6)6)设经过点设经过点A A1 1，B B1 1，C C1 1的抛物线的抛物线的解析式为的解析式为y yt(xt(x1)(x1)(x3)3)，则，则3t3t6 6，解得，解得t t2 2，则经过点，则经过点A A1 1，B B1 1，C C1 1的抛物线的解析式为的抛物线的解析式为y y2(x2(x1)(x1)(x3)3)，即，即y y2x2x2 24x4x6.6.将将y y2(x2(x1)(x1)(x3)3)化为一般式，为化为一般式，为y y2x2x2 24x4x6 6，其旋转函数为，其旋转函数为y y2x2x2 24x4x6 6，所以经过点，所以经过点A A1 1，B B1 1，C C1 1的二次函数与的二次函数与y y2(x2(x1)(x1)(x3)3)互互为为“旋转函数旋转函数”
