1、1 江苏省泰州市 20192020 学年度第二学期调研测试 高三数学文科试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知集合 Al，2，B2，4，8，则 AB 2若实数 x，y 满足 xyi1(xy)i（i 是虚数单位） ，则 xy 3如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间6，18)内的频数为 4根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为 5若双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的一条渐近线方程为2yx，则该双曲线的离心率 为 6将一颗质地均匀的骰
2、子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） 先后抛掷 2 次，这两次出现向上的点数分别记为 x，y，则1xy的概率是 7在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y24x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3 倍，则点 P 的横坐标为 8我国古代数学名著增删算法统宗中有这样一首数学诗： “三百七十八里关，初日健步 不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关 ”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半， 一共走了六天到达目的地那么这个人第一天走的路程是 里 9若定义在 R 上的奇函数(
3、)f x满足(4)( )f xf x，(1)1f，则(6)f(7)f(8)f 的值为 10 将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面， 若圆锥的体积为9 3， 则 R 11若函数 2 ( ) 1 xaxa f x xxa ， ， 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为 2 12在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 1 x， 1 y)，B( 2 x， 2 y)在圆 O： 22 4xy上， 且满足 1212 2x xy y ，则 1212 xxyy的最小值是 13 在锐角ABC 中， 点 D， E， F 分别在边 AB， BC， CA 上， 若AB3AD，ACAF， 且BC ED2EF
4、ED6，ED1，则实数的值为 14在ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 ADBD，3tan2B2tanA30，则 BD CD 的取 值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中，PA平面 ABC，ABAC，点 D，E，F 分別是 AB，AC， BC 的中点 （1）求证：BC平面 PDE； （2）求证：平面 PAF 平面 PDE 16 （本小题满分 14 分） 已知函数 2 1 ( )sinsin cos 2 f xxxx，xR （1）求函
5、数( )f x的最大值，并写出相应的 x 的取值集合； （2）若 2 ( ) 6 f，( 8 ， 3 8 )，求 sin2的值 3 17 （本小题满分 14 分） 某温泉度假村拟以泉眼 C 为圆心建造一个半径为 12 米的圆形温泉池，如图所示，M， N 是圆 C 上关于直径 AB 对称的两点，以 A 为四心，AC 为半径的圆与圆 C 的弦 AM，AN 分别交于点 D，E，其中四边形 AEBD 为温泉区，I、II 区域为池外休息区，III、IV 区域为 池内休息区，设MAB （1）当 4 时，求池内休息区的总面积（III 和 IV 两个部分面积的和） ； （2）当池内休息区的总面积最大时，求 A
6、M 的长 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 M： 22 22 1 xy ab (ab0)的左顶点为 A，过点 A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B， 以AB为边作矩形ABCD， 其中直线CD过原点O 当 点 B 为椭圆 M 的上顶点时，AOB 的面积为 b，且 AB3b （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）求矩形 ABCD 面积 S 的最大值； （3）矩形 ABCD 能否为正方形？请说明理由 19 （本小题满分 16 分） 4 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数” （1）判断函数( )1 x x f x e 是否为“
7、YZ 函数” ，并说明理由； （2）若函数( )lng xxmx(mR)是“YZ 函数” ，求实数 m 的取值范围； （3）已知 32 111 ( ) 323 h xxaxbxb，x(0，)，a，bR，求证：当 a2， 且 0b1 时，函数( )h x是“YZ 函数” 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a， n b， n c满足 2nnn baa ， 1 2 nnn caa （1）若数列 n a是等比数列，试判断数列 n c是否为等比数列，并说明理由； （2）若 n a恰好是一个等差数列的前 n 项和，求证：数列 n b是等差数列； （3）若数列 n b是各项均为正数的等比数列，数
8、列 n c是等差数列，求证：数列 n a 是等差数列 5 20192020 学年度第二学期调研测试 高三数学答案 一、填空一、填空题题 1. 1,2,4,8 2. 1 2 3. 80 4. 8 5. 5 6. 5 18 7. 1 2 8. 192 9. 1 10. 6 11. (1(0,1 12. 2 2 13. 3 14. (1,2 二、解答题二、解答题 15.（本题满分 14 分） 证明：证明： （1）在ABC中，因为,D E分别是,AB AC的中点， 所以/DEBC， 2 分 因为BCPDE平面，DEPDE 平面， 所以/ /BCPDE平面 6 分 （2）因为PAABC 平面，DEPDE
9、 平面， 所以PADE， 在ABC中，因为ABAC，F分别是BC的中点， 所以AFBC， 8 分 因为/DEBC，所以DEAF， 又因为AFPAA，,AFPAF PAPAF平面平面， 所以DEPAF平面， 12 分 因为DEPDE平面，所以PAFPDE平面平面 14 分 16.（本题满分 14 分） 解： （1）因为 2 1 ( )sinsin cos 2 f xxxx， 所以 1 cos211 ( )sin2 222 x f xx 1 (sin2cos2 ) 2 xx 2 分 2 (sin2 coscos2 sin) 244 xx 2 sin(2) 24 x 4 分 当22 42 xk (Z
10、)k，即 3 ( 8 Z)xkk 时，( )f x取最大值 2 2 ， 6 所以( )f x的最大值为 2 2 ，此时x的取值集合为 3 , 8 Zx xkk 7 分 （2）因为 2 ( ) 6 f，则 22 sin(2) 246 ，即 1 sin(2) 43 ， 因为 3 (,) 88 ，所以2(,) 42 2 ， 则 22 12 2 cos(2)1 sin (2)1 ( ) 4433 ， 10 分 所以sin2sin(2)sin(2)coscos(2)sin 444444 122 2242 32326 . 14 分 17.（本题满分 14 分） 解： （1）在Rt ABM中，因为24AB
11、， 4 ， 所以12 2MBAM，24cos1212 212 4 MD ， 所以池内休息区总面积 1 212 2(12 212)144(22) 2 SMB DM 4 分 （2）在Rt ABM中，因为24AB ，MAB， 所以24sin ,24cosMBAM， 24cos12MD， 由24sin0,24cos120MBMD得0, 3 ， 6 分 则池内休息区总面积 1 224sin (24cos12) 2 SMB DM，0, 3 ； 9 分 设 sin2cos1f，0, 3 ，因为 22 133 cos2cos12sin4coscos20cos 8 f ， 又 1331 cos 82 ，所以 0
12、 0, 3 ，使得 0 133 cos 8 ， 则当 0 0,x时， 0ff在 0 0,上单调增， 7 当 0, 3 x 时， 0ff在 0 0,上单调减， 即 0 f是极大值，也是最大值，所以 max0 ff， 此时 0 24cos3 3 33AM 13 分 答： （1）池内休息区总面积为 2 144(22)m； （2）池内休息区总面积最大时AM的长为(33 33)AM m14 分 18.（本题满分 16 分） 解： （1）由题意： 22 222 3 1 2 abb abb abc ，解得2,2abc， 所以椭圆M的标准方程为 22 1 42 xy 4 分 （2）显然直线AB的斜率存在，设为
13、k且0k ， 则直线AB的方程为(2)yk x，即20kxyk， 联立 22 (2) 1 42 yk x xy 得 2222 (1 2)8840kxk xk， 解得 2 2 24 1 2 B k x k ， 2 4 12 B k y k ，所以 2 22 2 4 1 (2) 1 2 BB k ABxy k ， 直线CD的方程为ykx，即0kxy，所以 22 22 11 kk BC kk ， 所以矩形ABCD面积 2 22 2 4 12888 2 2 1 1 21 22 2 1 2 kkk S kk k k k ， 所以当且仅当 2 2 k 时，矩形ABCD面积S的最大值为2 211 分 （3）
14、若矩形ABCD为正方形，则ABBC， 8 即 2 2 2 4 12 1 2 1 kk k k ，则 32 2220kkk (0)k ， 令 32 ( )222(0)f kkkkk， 因为(1)10,(2)80ff ，又 32 ( )222(0)f kkkkk的图象不间断， 所以 32 ( )222(0)f kkkkk有零点，所以存在矩形ABCD为正方形 16 分 19.（本题满分 16 分） 解：解： （1）函数( )1 x x f x e 是“YZ 函数” ，理由如下： 因为( )1 x x f x e ，则 1 ( ) x x fx e ， 当1x时，( )0fx；当1x 时，( )0fx
15、， 所以( )1 x x f x e 的极大值 1 (1)10f e ， 故函数( )1 x x f x e 是“YZ 函数” 4 分 （2）定义域为(0,)， 1 ( )g xm x ， 当0m时， 1 ( )0g xm x ，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m时，当 1 0x m 时， 1 ( )0g xm x ，函数单调递增， 当 1 x m 时， 1 ( )0g xm x ，函数单调递减， 所以( )g x的极大值为 111 ()lnln1gmm mmm ， 由题意知 1 ()ln10gm m ，解得 1 m e 10 分 （3）证明：证明： 2 ( )h xxaxb， 因为
16、2a，01b，则 2 40ab ， 所以 2 ( )0h xxaxb有两个不等实根，设为 12 ,x x， 因为 12 12 0 0 xxa x xb ，所以 12 0,0xx，不妨设 12 0xx， 当 1 0xx时，( )0h x，则( )h x单调递增； 9 当 12 xxx时，( )0h x，则( )h x单调递减， 所以( )h x的极大值为 32 1111 111 () 323 h xxaxbxb， 13 分 由 2 111 ()0h xxaxb得 32 11111 ()xxaxbaxbx ， 因为2a，01b， 所以 3222 11111111 111111 ()() 32332
17、3 h xxaxbxbaxbxaxbxb 22 1111 121121 633333 axbxbxbxb 2 1 11 ()(1)0 33 xbb b 所以函数( )h x是“YZ 函数” 16 分 （其他证法相应给分）（其他证法相应给分） 20.（本题满分 16 分） 解： （1）设等比数列 n a的公比为q，则 1 22(21) nnnnnn caaa qaqa ， 当 1 2 q 时，0 n c ，数列 n c不是等比数列， 2 分 当 1 2 q 时，因为0 n c ，所以 11 (21) (21) nn nn cqa q cqa ，所以数列 n c是等比数 列 5 分 （2）因为 n
18、 a恰好是一个等差数列的前n项和，设这个等差数列为 n d，公差为d， 因为 12nn addd，所以 1121nnn adddd ， 两式相减得 11nnn aad ， 因为 2nnn aab ， 所以 1312321 ()()()() nnnnnnnnnn bbaaaaaaaa 31 2 nn ddd ， 所以数列 n b是等差数列 10 分 （3）因为数列 n c是等差数列，所以 321nnnn cccc ， 又因为 1 2 nnn caa ，所以 4332211 2(2)2(2) nnnnnnnn aaaaaaaa ， 即 42312 2()()() nnnnnn aaaaaa ，则
19、21 2 nnn bbb ， 10 又因为数列 n b是等比数列，所以 2 12nnn bb b ，则 2 1 1 2 nn nn bb bb ， 即 11 ()(2)0 nnnn bbbb ， 因为数列 n b各项均为正数，所以 1nn bb ， 13 分 则 312nnnn aaaa ， 即 321nnnn aaaa ， 又因为数列 n c是等差数列，所以 21 2 nnn ccc ， 即 32121 (2)(2)2(2) nnnnnn aaaaaa ， 化简得 32 23 nnn aaa ，将 321nnnn aaaa 代入得 212 2()3 nnnnn aaaaa ， 化简得 21 2 nnn aaa ，所以数列 n a是等差数列 16 分 （其他证法相应给分）（其他证法相应给分）
