1、1 江苏省泰州市 20192020 学年度第二学期调研测试 高三数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知集合 Al，2，B2，4，8，则 AB 2若实数 x，y 满足 xyi1(xy)i（i 是虚数单位） ，则 xy 3如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间6，18)内的频数为 4根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为 5若双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的一条渐近线方程为2yx，则该双曲线的离心率 为 6将一颗质地均匀的骰子（
2、一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） 先后抛掷 2 次，这两次出现向上的点数分别记为 x，y，则1xy的概率是 7在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y24x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3 倍，则点 P 的横坐标为 8我国古代数学名著增删算法统宗中有这样一首数学诗： “三百七十八里关，初日健步 不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关 ”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半， 一共走了六天到达目的地那么这个人第一天走的路程是 里 9若定义在 R 上的奇函数( )f
3、 x满足(4)( )f xf x，(1)1f，则(6)f(7)f(8)f 的值为 10 将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面， 若圆锥的体积为9 3， 则 R 11若函数 2 ( ) 1 xaxa f x xxa ， ， 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为 2 12在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 1 x， 1 y)，B( 2 x， 2 y)在圆 O： 22 4xy上， 且满足 1212 2x xy y ，则 1212 xxyy的最小值是 13 在锐角ABC 中， 点 D， E， F 分别在边 AB， BC， CA 上， 若AB3AD，ACAF， 且BC ED2EF ED
4、6，ED1，则实数的值为 14在ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 ADBD，3tan2B2tanA30，则 BD CD 的取 值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中，PA平面 ABC，ABAC，点 D，E，F 分別是 AB，AC， BC 的中点 （1）求证：BC平面 PDE； （2）求证：平面 PAF 平面 PDE 16 （本小题满分 14 分） 已知函数 2 1 ( )sinsin cos 2 f xxxx，xR （1）求函数(
5、 )f x的最大值，并写出相应的 x 的取值集合； （2）若 2 ( ) 6 f，( 8 ， 3 8 )，求 sin2的值 3 17 （本小题满分 14 分） 某温泉度假村拟以泉眼 C 为圆心建造一个半径为 12 米的圆形温泉池，如图所示，M， N 是圆 C 上关于直径 AB 对称的两点，以 A 为四心，AC 为半径的圆与圆 C 的弦 AM，AN 分别交于点 D，E，其中四边形 AEBD 为温泉区，I、II 区域为池外休息区，III、IV 区域为 池内休息区，设MAB （1）当 4 时，求池内休息区的总面积（III 和 IV 两个部分面积的和） ； （2）当池内休息区的总面积最大时，求 AM
6、的长 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 M： 22 22 1 xy ab (ab0)的左顶点为 A，过点 A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B， 以AB为边作矩形ABCD， 其中直线CD过原点O 当 点 B 为椭圆 M 的上顶点时，AOB 的面积为 b，且 AB3b （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）求矩形 ABCD 面积 S 的最大值； （3）矩形 ABCD 能否为正方形？请说明理由 19 （本小题满分 16 分） 4 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数” （1）判断函数( )1 x x f x e 是否为“YZ
7、 函数” ，并说明理由； （2）若函数( )lng xxmx(mR)是“YZ 函数” ，求实数 m 的取值范围； （3）已知 32 111 ( ) 323 h xxaxbxb，x(0，)，a，bR，求证：当 a2， 且 0b1 时，函数( )h x是“YZ 函数” 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a， n b， n c满足 2nnn baa ， 1 2 nnn caa （1）若数列 n a是等比数列，试判断数列 n c是否为等比数列，并说明理由； （2）若 n a恰好是一个等差数列的前 n 项和，求证：数列 n b是等差数列； （3）若数列 n b是各项均为正数的等比数列，数列
8、n c是等差数列，求证：数列 n a 是等差数列 第 II 卷（附加题，共 40 分） 5 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知列向量 5 a 在矩阵 M 3 4 1 2 对应的变换下得到列向量 2 b b ，求 1 M b a B选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 cos 3sin x y (为参数)以坐标原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的
9、 极 坐 标 方 程 为 sin()4 2 4 ，点 P 为曲线 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最大值 C选修 45：不等式选讲 已知实数 a，b，c 满足 a0，b0，c0， 222 3 abc bca ，求证：3abc 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 6 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADE平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形，ADE 是等腰直角三角形，且ADE 2 ，EF平面 ADE，EF1 （1）求异面直线 AE 和 DF 所成角
10、的余弦值； （2）求二面角 BDFC 的余弦值 23 （本小题满分 10 分） 给定 n(n3，nN)个不同的数 1，2，3，n，它的某一个排列 P 的前 k(kN，1 kn)项和为 k S，该排列 P 中满足2 kn SS的 k 的最大值为 P k记这 n 个不同数的所有 排列对应的 P k之和为 n T （1）若 n3，求 3 T； （2）若 n4l1，lN，证明：对任意的排列 P，都不存在 k(kN，1kn)使 得2 kn SS；求 n T(用 n 表示) 7 20192020 学年度第二学期调研测试 高三数学答案 一、填空题一、填空题 1. 1,2,4,8 2. 1 2 3. 80 4
11、. 8 5. 5 6. 5 18 7. 1 2 8. 192 9. 1 10. 6 11. (1(0,1 12. 2 2 13. 3 14. (1,2 二、解答题二、解答题 15.（本题满分 14 分） 证明：证明： （1）在ABC中，因为,D E分别是,AB AC的中点， 所以/DEBC， 2 分 因为BCPDE平面，DEPDE 平面， 所以/ /BCPDE平面 6 分 （2）因为PAABC 平面，DEPDE 平面， 所以PADE， 在ABC中，因为ABAC，F分别是BC的中点， 所以AFBC， 8 分 因为/DEBC，所以DEAF， 又因为AFPAA，,AFPAF PAPAF平面平面， 所
12、以DEPAF平面， 12 分 因为DEPDE平面，所以PAFPDE平面平面 14 分 16.（本题满分 14 分） 解： （1）因为 2 1 ( )sinsin cos 2 f xxxx， 所以 1 cos211 ( )sin2 222 x f xx 1 (sin2cos2 ) 2 xx 2 分 2 (sin2 coscos2 sin) 244 xx 2 sin(2) 24 x 4 分 当22 42 xk (Z)k，即 3 ( 8 Z)xkk 时，( )f x取最大值 2 2 ， 8 所以( )f x的最大值为 2 2 ，此时x的取值集合为 3 , 8 Zx xkk 7 分 （2）因为 2 (
13、 ) 6 f，则 22 sin(2) 246 ，即 1 sin(2) 43 ， 因为 3 (,) 88 ，所以2(,) 42 2 ， 则 22 12 2 cos(2)1 sin (2)1 ( ) 4433 ， 10 分 所以sin2sin(2)sin(2)coscos(2)sin 444444 122 2242 32326 . 14 分 17.（本题满分 14 分） 解： （1）在Rt ABM中，因为24AB ， 4 ， 所以12 2MBAM，24cos1212 212 4 MD ， 所以池内休息区总面积 1 212 2(12 212)144(22) 2 SMB DM 4 分 （2）在Rt A
14、BM中，因为24AB ，MAB， 所以24sin ,24cosMBAM， 24cos12MD， 由24sin0,24cos120MBMD得0, 3 ， 6 分 则池内休息区总面积 1 224sin (24cos12) 2 SMB DM，0, 3 ； 9 分 设 sin2cos1f，0, 3 ，因为 22 133 cos2cos12sin4coscos20cos 8 f ， 又 1331 cos 82 ，所以 0 0, 3 ，使得 0 133 cos 8 ， 则当 0 0,x时， 0ff在 0 0,上单调增， 9 当 0, 3 x 时， 0ff在 0 0,上单调减， 即 0 f是极大值，也是最大
15、值，所以 max0 ff， 此时 0 24cos3 3 33AM 13 分 答： （1）池内休息区总面积为 2 144(22)m； （2）池内休息区总面积最大时AM的长为(33 33)AM m14 分 18.（本题满分 16 分） 解： （1）由题意： 22 222 3 1 2 abb abb abc ，解得2,2abc， 所以椭圆M的标准方程为 22 1 42 xy 4 分 （2）显然直线AB的斜率存在，设为k且0k ， 则直线AB的方程为(2)yk x，即20kxyk， 联立 22 (2) 1 42 yk x xy 得 2222 (1 2)8840kxk xk， 解得 2 2 24 1 2
16、 B k x k ， 2 4 12 B k y k ，所以 2 22 2 4 1 (2) 1 2 BB k ABxy k ， 直线CD的方程为ykx，即0kxy，所以 22 22 11 kk BC kk ， 所以矩形ABCD面积 2 22 2 4 12888 2 2 1 1 21 22 2 1 2 kkk S kk k k k ， 所以当且仅当 2 2 k 时，矩形ABCD面积S的最大值为2 211 分 （3）若矩形ABCD为正方形，则ABBC， 10 即 2 2 2 4 12 1 2 1 kk k k ，则 32 2220kkk (0)k ， 令 32 ( )222(0)f kkkkk， 因
17、为(1)10,(2)80ff ，又 32 ( )222(0)f kkkkk的图象不间断， 所以 32 ( )222(0)f kkkkk有零点，所以存在矩形ABCD为正方形 16 分 19.（本题满分 16 分） 解：解： （1）函数( )1 x x f x e 是“YZ 函数” ，理由如下： 因为( )1 x x f x e ，则 1 ( ) x x fx e ， 当1x时，( )0fx；当1x 时，( )0fx， 所以( )1 x x f x e 的极大值 1 (1)10f e ， 故函数( )1 x x f x e 是“YZ 函数” 4 分 （2）定义域为(0,)， 1 ( )g xm x
18、 ， 当0m时， 1 ( )0g xm x ，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m时，当 1 0x m 时， 1 ( )0g xm x ，函数单调递增， 当 1 x m 时， 1 ( )0g xm x ，函数单调递减， 所以( )g x的极大值为 111 ()lnln1gmm mmm ， 由题意知 1 ()ln10gm m ，解得 1 m e 10 分 （3）证明：证明： 2 ( )h xxaxb， 因为2a，01b，则 2 40ab ， 所以 2 ( )0h xxaxb有两个不等实根，设为 12 ,x x， 因为 12 12 0 0 xxa x xb ，所以 12 0,0xx，不妨设
19、 12 0xx， 当 1 0xx时，( )0h x，则( )h x单调递增； 11 当 12 xxx时，( )0h x，则( )h x单调递减， 所以( )h x的极大值为 32 1111 111 () 323 h xxaxbxb， 13 分 由 2 111 ()0h xxaxb得 32 11111 ()xxaxbaxbx ， 因为2a，01b， 所以 3222 11111111 111111 ()() 323323 h xxaxbxbaxbxaxbxb 22 1111 121121 633333 axbxbxbxb 2 1 11 ()(1)0 33 xbb b 所以函数( )h x是“YZ
20、函数” 16 分 （其他证法相应给分）（其他证法相应给分） 20.（本题满分 16 分） 解： （1）设等比数列 n a的公比为q，则 1 22(21) nnnnnn caaa qaqa ， 当 1 2 q 时，0 n c ，数列 n c不是等比数列， 2 分 当 1 2 q 时，因为0 n c ，所以 11 (21) (21) nn nn cqa q cqa ，所以数列 n c是等比数 列 5 分 （2）因为 n a恰好是一个等差数列的前n项和，设这个等差数列为 n d，公差为d， 因为 12nn addd，所以 1121nnn adddd ， 两式相减得 11nnn aad ， 因为 2n
21、nn aab ， 所以 1312321 ()()()() nnnnnnnnnn bbaaaaaaaa 31 2 nn ddd ， 所以数列 n b是等差数列 10 分 （3）因为数列 n c是等差数列，所以 321nnnn cccc ， 又因为 1 2 nnn caa ，所以 4332211 2(2)2(2) nnnnnnnn aaaaaaaa ， 即 42312 2()()() nnnnnn aaaaaa ，则 21 2 nnn bbb ， 12 又因为数列 n b是等比数列，所以 2 12nnn bb b ，则 2 1 1 2 nn nn bb bb ， 即 11 ()(2)0 nnnn
22、bbbb ， 因为数列 n b各项均为正数，所以 1nn bb ， 13 分 则 312nnnn aaaa ， 即 321nnnn aaaa ， 又因为数列 n c是等差数列，所以 21 2 nnn ccc ， 即 32121 (2)(2)2(2) nnnnnn aaaaaa ， 化简得 32 23 nnn aaa ，将 321nnnn aaaa 代入得 212 2()3 nnnnn aaaaa ， 化简得 21 2 nnn aaa ，所以数列 n a是等差数列 16 分 （其他证法相应给分）（其他证法相应给分） 数学（附加题）数学（附加题） 21.21. A 选修选修 4 4- -2 2：矩
23、阵与变换：矩阵与变换 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 解：因为 b ba2 521 43 ，所以 3202 10 ab ab ，解得 6 4 a b ，4 分 设 1 mp M nq ，则 3410 1201 mp nq ， 即 341 340 20 21 mn pq mn pq ，解得 1 1 2 2 3 2 m n p q ， 所以 2 3 2 1 21 1 M， 8 分 所以 1 1-2 416 = 13 -611 22 b M a . 10 分 B.B.选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 13 解
24、：由题：直线方程即为(sincoscos sin)4 2 44 ， 由cosx，siny得直线的直角坐标方程为80xy，4 分 设P点的坐标为 cos , 3sin， 点P到直线的距离 22 2sin8 cos3sin8 6 2 11 d ，8 分 当2() 62 Zkk ，即 2 2( 3 Z)kk时，d取得最大值5 2， 此时点P的坐标为 13 , 22 . 10 分 C.C.选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 证明：由柯西不等式，得 222 3()()() abc abcbca bca 222222 ()()() ()()(
25、) abc bca bca 5 分 22 ()() abc bcaabc bca 所以3abc 10 分 22.22.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 解：因为平面ADE 平面ABCD,又 2 ADE ， 即DEAD，因为DEADE平面， ADEABCDAD平面平面， DE平面ABCD, 由四边形ABCD为边长为 2 的正方形, 所以,DA DC DE两两互相垂直 以D为坐标原点，,DA DC DE为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.2 分 由EF 平面ADE且1EF , 0,0,0 ,2,0,0 ,0,0,2 ,0,2,0 ,2,2,0 ,0,1,2 ,DAECBF x y
26、z A B C F E D 14 （1）2,0,2AE ,0,1,2DF ， 则 410 cos, 52 25 AE DF AE DF AEDF , 所以AE和DF所成角的余弦值为 10 5 . 5 分 （2）2,2,0DB ,0,1,2DF ,设平面BDF的一个法向量为, ,nx y z， 由 2 +20 20 n DBxy n DFyz ,取1z ,得) 1 , 2, 2( n , 平面DFC的一个法向量为1,0,0m , 22 cos, 3 13 m n m n m n , 由二面角BDFC的平面角为锐角,所以二面角BDFC的余弦值为 2 3 .10 分 23.23.（本小题满分（本小题
27、满分 1010 分）分） 解： （1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1， 因为 3 6S ，所以对应的 P k分别为2,1,2,1,1,1，所以 3 8T ； 3 分 （2） （i）设n个不同数的某一个排列P为 12 , n a aa， 因为41,Nnll ，所以 1 41 21 2 n n n Sll 为奇数， 而2 k S为偶数，所以不存在(,1)Nk kkn 使得2 kn SS； 5 分 (ii) 因为2 kn SS，即 1212kkkn aaaaaa ， 又由（i）知不存在(,1)Nk kkn 使得2 kn SS， 所以 1212kkkn aaaaaa ； 所以满足2 kn SS的最大下标k即满足 1212kkkn aaaaaa 且 1212kkkn aaaaaa ， 考虑排列P的对应倒序排列: P 11 , nn a aa ， 15 即 2121nkkk aaaaaa ， 2121nkkk aaaaaa , 由题意知1 P knk ， 则1 PP kkn ； 8 分 又1,2,3,n，这n个不同数共有!n个不同的排列，可以构成 ! 2 n 个对应组合,P P， 且每组,P P中1 PP kkn ，所以 ! 1 2 n n Tn 10 分
