1、 2023 年年 3 月月 18 日广东一模数学日广东一模数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合|(2)0Mx x x，|10Nx x，则下列 Venn 图中阴影部分可以表示集合|12xx 的是 （）RMNRMNRNRMNMABCD 1【答案】B【解析】|(2)0|02Mx x xxx，|1Nx x，所以|1Nx xR，|12xxMNR，故选 B 2已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为 （）A12 B22 C33 D3 2【答案】C【解析】圆锥
2、和圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以3hr，圆锥的母线2lr，圆锥的侧面积1Srl，圆柱的侧面积22Srh，所以12223322 3SrllrSrhhr 3已知函数2,0,()1,0.2xxxf xx 若()(6)f afa，则实数a的取值范围是（）A(3,)B(,3)C(3,)D(,3)3【答案】D【解析】函数()f x在R上单调递增，则由()(6)f afa可得6aa，解得3a 4如图所示是中国 20122021 年汽车进、出口量统计图，则下列结论错误的是（）113112142.3109.7107124113104.893.394113112142.3109.7
3、107124113104.893.394999289.772.373104115121.5108212999289.772.373104115121.51082120501001502002502012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年年份万辆进口量出口量A20122021 年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的 B从 2018 年开始，中国汽车的出口量大于进口量 C20122021 年中国汽车出口量的第 60 百分位数是 106 万辆
4、D20122021 年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差 4【答案】D【解析】20122021 年中国汽车出口量的方差更大，所以 D 错误 5在复平面内，已知复数z满足1izz(i为虚数单位)，记02iz 对应的点为点0Z，z对应的点为点Z，则点0Z与点Z之间距离的最小值为 （）A22 B2 C3 22 D2 2 5【答案】C【解析】点Z的轨迹为点(1,0)和点(0,1)的垂直平分线，即为直线:0l xy，0(2,1)Z，所以点0Z与点Z之间距离的最小值为点0Z到直线l的距离2 123 22d 6如图，在两行三列的网格中放人标有数字 1，2，3，4，5，6 的六张卡片，每格只放一张卡片，则“
5、只有中间一列两个数字之和为 5”的不同的排法有 （）A96 种 B64 种 C32 种 D16 种 6【答案】B【解析】两个数字之和为 5 的数有 1，4 或 2，3，若数字 1，4 在中间一列，则数字 3 和 5 分开在第一列和第三列，共有2111222222A C C C A32种排法，若数字 2，3 在中间一列，也有 32 种排法，所以共有 64 种排法 7 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，点B的坐标为(0,)b，若C上的任意一点P都满足PBb，则C的离心率取值范围是 （）A511,2 B51,2 C(1,2 D 2,)7【答案】A 【解析】设(,)P x y，则2222
6、2axayb，又因为PBb恒成立，所以2222()PBxybb，即2220 xyby，即2222220aayybyb，整理得222220cybyab恒成立，所以2222440a cbb，所以422ba c，2bac，22caac，两边同时除以2a，得210ee ，解得151522e ，又因为1e，所以1512e 8水平桌面上放置了 4 个半径为 2 的小球，4 个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为 （）A4 B2 22 C2 32 D6 8【答案】C【解析】四个小球球心分别为1O，2O，3O，4O，所在平面图如图，则12
7、O N，点N到半球球心距离2ON，则22112 3OOONNO，所以半球形容器内壁的半径的最小值为2 32 NO1O2O3O4NOO2M 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小)，它在(s)t时刻相对于平衡位置的高度(cm)h可以由2sin24ht确定，则下列说法正确的是 （）A小球运动的最高点与最低点的距离为2 cm B小球经过4s往复运动一次 C(3,5)t时小球是自下往上运动 D当6.5t 时，小球到达最低点
8、9【答案】BD 【解析】小球运动的最高点与最低点的距离为4 cm，A 错误；周期242T，B 正确；(3,5)t时，711,2444t，小球先向上运动，再向下运动，C 错误；当6.5t 时，7242t，72sin2sin2242ht，小球到达最低点，D 正确 10在四棱锥SABCD中，SD 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，若SDAD，则（）AACSD BAC与SB所成角为60 CBD与平面SCD所成角为45 DBD与平面SAB所成角的正切值为33 10【答案】ACD【解析】将四棱锥SABCD放置在如图所示的正方体111ASBCDABC中，由图易知，ACSD，A 正确；ACSB，B 错误；
9、BD与平面SCD所成角为45CDB，C 正确；设1ADASE，则DE 平面SAB，DBE即为BD与平面SAB所成角，1sin2DEDBEBD，30DBE，3tan3DBE，D 正确 ABCDSC1B1A1E 11已知抛物线2:8E yx的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(点A和点C在点B的两侧)，则下列命题正确的是 （）A若BF为ACF的中线，则2AFBF B若BF为AFC的角平分线，则6AF C存在直线l，使得2ACAF D对于任意直线l，都有2AFBFCF 11【答案】AD【解析】(2,0)F，(2,0)C，设11(,)A xy，22(,)B xy，
10、则12AFx，22BFx，若BF为ACF的中线，则B为AC的中点，则1222xx，1222xx，1222242(2)2AFxxxBF，所以 A 正确；若BF为AFC的角平分线，且6AF，则14x，不妨取(4,4 2)A，则23CBCFCAAF，25CBCA ，即222(2,)(6,4 2)5xy，解得225x，28 25y，点2 8 2,55B不在抛物线抛物线2:8E yx上，所以 B 错误；若2ACAF，则12ACAA，此时直线l的斜率为 1，将2yx代入28yx，得2440 xx，解得2x，此时直线l与抛物线E相切，不符合题意，所以 C 错误；设直线l的方程为2xmy，将其代入28yx，整
11、理得28160ymy，1216y y，21212()464y yx x，121242482AFBFxxx xCF，所以 D 正确 12已知定义在R上的函数()f x，对于给定集合A，若12,x xR，当12xxA时都有12()()f xf xA，则称()f x是“A封闭”函数则下列命题正确的是 （）A2()f xx是“1,1封闭”函数 B定义在R上的函数()f x都是“0封闭”函数 C若()f x是“1封闭”函数，则()f x一定是“k封闭”函数*()K N D若()f x是“,a b封闭”函数*(,)a bN，则()f x不一定是“ab封闭”函数 12【答案】BC【解析】选项 A，2 11
12、1,1 ，但(2)(1)3 1,1ff ，所以 A 错误；若12,x xR，当120 xx时，12xx，则12()()00f xf x，所以 B 正确；若()f x是“1封闭”函数，121xx时，12()()1f xf x，即()f x满足(1)()1f xf x；若*12()kxxkN，则12222()()(1)1(2)2()f xf xkf xkf xkf xk，即12()()f xf xk，所以()f x一定是“k封闭”函数*()K N，C 正确；选项 D，设12xxab；一方面，令2(1),1,2,1naxna nb，则2121()(),aaaf af aa b，3232()(),aa
13、af af aa b，11()(),bbbbaaaf af aa b，将以上各式相加，得211()(),bf af aab b，即212()(),f xf xab b ；另一方面，设2(1),1,2,1nbxnb na，2121()(),bbbf bf ba b，3232()(),bbbf bf ba b，11()(),aaaabbaf bf ba b，将以上各式相加，得211()(),af bf baab，即212()(),f xf xaab 由可得12()()f xf xab，所以()f x一定是“ab封闭”函数，D 错误 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答
14、案填在答题卡的相应位置上 13已知向量a，b满足2a，4b，()0baa，则a与b的夹角为 13【答案】3 【解析】2()40baab aab a ，所以4a b，所以41cos,2 42a ba bab ，,3a b 14在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2 3，则边AC所在直线斜率的一个可能值为 14【答案】3 3357或 【解析】设直线AB的倾斜角为，直线AC的倾斜角为，则3或3，即3或3，所以边AC所在直线斜率为tantan2 333 33tantan3512 331tantan3 或tantan2 3333tantan3712 331tantan3故答案为3
15、3357或 15已知()f x是定义在R上的奇函数，且()f x在0,2上单调递减，(2)f x为偶函数，若()f xm在0,12上恰好有 4 个不同的实数根1x，2x，3x，4x，则1234xxxx 15【答案】24【解析】由(2)f x为偶函数，可知函数()f x关于直线2x 对称，从而()f x是周期函数，周期为 8 作出函数()f x的大致图像如图所示，由图可知，12342 22 1024xxxx 16已知动圆N经过点(6,0)A 及原点O，点P是圆N与圆22:(4)4M xy的一个公共点，则当OPA最小时，圆N的半径为 16【答案】5【解析】当圆N与圆M内切时，OPA有最小值，设内切
16、时，(3,)Nt，(0,4)M，由MNRr，得229(4)92tt，解得4t 此时圆N的半径5RON 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos2cos2ABC 12sinsinAB （1）求角C的大小；（2）求sinsinsinABC的取值范围 17【解析】（1）因为cos2cos2cos212sinsinABCAB，所以22212sin1 2sin(1 2sisinn)1sin2ABABC ，1 分 整理得222sinsinsisinnsinABABC，2 分 由正弦
17、定理得222abcab，3 分 由余弦定理得2221cos22abcCab，4 分 因为(0,)C，所以3C5 分（2）23sinsinsinsinsin32ABCAA6 分 2233333sincoscos3sin3322sincossinsin2262AAAAAA，8 分 在ABC中，因为3C，所以203A，9 分 所以5666A，所以1sin126A，所以33 333sin622A，所以sinsinsinABC的取值范围为3 33,210 分 18(12 分)已知各项都是正数的数列na，前n项和nS满足2*2()nnnaSanN（1）求数列na的通项公式（2）记nP是数列1nS的前n项和
18、，nQ是数列121na的前n项和当2n时，试比较nP与nQ的大小 18【解析】（1）当1n 时，211112aSaa，所以11a 或10a(舍去)，1 分 当2n时，有221112,2,nnnnnnaSaaSa2 分 两式相减得221112nnnnnnnaaaaaaa，3 分 整理得111()()nnnnnnaaaaaa，4 分 因为na的各项都是正数，所以11nnaa，所以na是首项为 1，公差为 1 的等差数列，5 分 所以1 1(1)nann 6 分 （2）由（1）得(1)2nn nS，则12112(1)1nSn nnn，7 分 所以121111111112 12 122311nnPSS
19、Snnn，8 分 由（1）得112112nna，所以212112221111111111212 11222212nnnnnQaaaa，10 分 因为(1)2(1 1)110(2)2nnn nnnn ，所以1121nn，故111121nn，所以当n时，nnPQ12 分 19(12 分)如图所示的在多面体中，ABAD，EBEC，平面ABD 平面BCD，平面BCE 平面BCD，点F，G分别是CD，BD中点（1）证明：平面/AFG平面BCE；（2）若BCBD，2BCBD，2AB，5BE，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值 ABCDEGF 19【解析】（1）如图，取BC中点H，连接EH，因为EBEC，
20、所以EHBC1 分 又因为平面BCE 平面BCD，平面BCE 平面BCDBC，EH 平面BCE，所以EH 平面BCD，2 分 同理可得AG 平面BCD，所以/EHAG，3 分 又因为AG 平面BCE，EH 平面BCE，所以/AG平面因为点F，G分别是CD，BD中点，所以/FGBC，又因为FG 平面BCE，BC 平面BCE，所以/FG平面BCE，又因为AGFGG，,AG FG 平面AFG，所以平面/AFG平面BCE（2）方法一：因为BCBD，/BCFG，所以FGBD，由（1）知AGBD，AG 平面BCD，GF 平面BCD，所以AGFG，所以GF，GB，GA两两相互垂直，7 分 如图，以点G为坐标
21、原点，GF，GB，GA分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为2AB，5BE，所以1GAGB，2EH，1BH，则(0,0,1),(2,1,0),(1,1,2)ACE，平面AFG 的一个法向量为(0,2,0)DB ，9 分 设平面ACE的法向量为(,)nx y z，由(2,1,1)AC，(1,0,2)CE ，得0,0,n ACnCE 即20,20,xyzxz 解得3,2,2xyxz 取2x，得(2,3,1)n，10 分设平面AFG和平面ACE的夹角为，则63 14cos|cos,|14214n DBn DBnDB ，所以平面AFG和平面ACE的夹角的余弦值为3 141412 分 MBCDE
22、GFHANPABCDEGFHxyz 方法二：因为平面/AFG平面BCE，所以平面AFG和平面ACE的夹角即二面角ACEB 如图，过点A作AMCE，垂足为点M，过点M作MNEC交BE于点N，则AMN为二面角ACEB所成平面角 在RtBCG中，225GCBGBC，在RtACG中，226ACAGGC，在直角梯形AGHE中，22/2 2AGEHCDDBCB，122GHDC 所以22(2 1)(2)3AE，8 分 在ACE中，2224cos230ACCEAEACEAC CE，所以1614sin13030ACE，利用三角形等面积可得 111411sin655223022ACESAC CEACEAM CEA
23、M，所以145AM，145355EM，因为23cos2cos15BEBECH，所以53EN，4 515MN，10 分 过点N作NPBC于P，213BNENBEBE，则2 53BN，2233BPBH，4433NPEH，22133GPGBBP，所以22413141333AN，在AMN 中，143AN，145AM，4 515MN，所以1416143 145459cos14144 52155AMN，所以平面AFG和平面ACE夹角的余弦值为3 141412 分 20(12 分)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放 10 个大小相同的小球，其中 5 个为红色，5 个为白色抽奖方式为：每
24、名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望 （3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择?请写出你的选择及简要理由 20【解析】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为225521049CCC，1 分 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即42,9XB，2 分 所以X的所有可
25、能取值为 0，1，2，则 02024525(0)C9981P X，11124540(1)C9981P X，20224516(2)C9981P X所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2581 4081 1681 4 分 所以X的数学期望为48()299E X 5 分（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为 0，1，2，6 分 则1111554422108C CC C20(0)CC63P Y，22111122553555442222108108CCC CC CCC15153010(1)+CCCC63636321P Y，2222553522108CCCC
26、13(2)CC63P Y，所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 2063 1021 1363 9 分 所以Y的数学期望为10138()1221639E Y 10 分（3）(答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可)因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，即16138163，第（1）不中奖的概率比第（2）问小，即25208163，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽12 分 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖12 分 21(12 分)已知点A，点B和点C为椭圆2222:1(0)xyC
27、abab上不同的三个点当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，ABC恰好是边长为 2 的等边三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）若O为原点，且满足0OAOBOC ，求ABC的面积 21【解析】（1）当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，ABC恰好构成边长为 2 的等边三角形，当点A，点B和点C中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点A，点B为上顶点和下顶点，点C为右顶点，此时，3a，1b，2 分 当点A，点B和点C中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点A，点B为左顶点和右顶点，点C为上顶点，此时，1a，3b(舍去)，3 分 所以椭圆的标准方程为2213xy4
28、 分（2）设(,)A p q，11(,)B x y，22(,)C xy，因为0OAOBOC ，所以120pxx，120qyy，当直线BC斜率不存在时，即1212,xxyy，则1(2,0)Ax，因为点A在椭圆上，所以2134x，则有2134y，所以3BC，点A到BC的距离为13 332x，此时13 393224ABCS5 分 当直线BC斜率存在时，设直线BC方程为ykxm，联立得22,1,3ykxmxy消去y整理得222(1 3)6330kxkmxm，满足22222(6)12(1 3)(1)12(31)0kmkmkm ，由韦达定理得12261 3kmxxk，21223(1)1 3mx xk，6
29、分 所以121222()21 3myyk xxmk，所以1226()1 3kmpxxk，1222()1 3mqyyk ，7 分 又因为点(,)A p q在椭圆2213xy上，所以222262331 31 3kmmkk，化简得2241 3mk，8 分 所以22222221222263(1)2 33111411 31 31 3kmmkmBCkxxkkkkk 222222222662 343 11111 31 342mmmmkkkkkkmm，所以点A到直线BC的距离222226231 31 3111kmmkmpkqmmkkdkkk，所以22222239911 3 19222|1 3441ABCmmm
30、kSBC dmkmk，综上所述，ABC的面积为9412 分 22(12 分)已知函数1()exf xx （1）求()f x的极值；（2）当0 x 时，()(1)ln2f xaxx，求实数a的取值范围 22【解析】（1）求导得11()(exxfx，1 分 所以当()0fx时，1x ；当()0fx时，1x ，所以()f x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，3 分 所以()f x有极小值(1)1f ，无极大值 4 分（2）方法一：由题知不等式1e(1)ln2xxaxx在(0,)x上恒成立，则原问题等价于不等式1lnxe2xxxax 在(0,)x上恒成立，5 分 记1()2lnexgxxxx
31、，则1111()(1)e1(1)exxg xxxxx，6 分 记11()exh xx，则121()e0 xh xx恒成立，所以()h x在(0,)上单调递增，又2112e21ee0eh，2(1)e10h，所以存在021,1ex，使得0()0h x，7 分 即当0 xx时，()0h x，此时()0g x；当0 xx时，()0h x，此时()0g x，所以()g x在0(0,)x上单调递减，在0(),x 上单调递增，8 分 由01001()e0 xh xx，得0101exx，即0011exx，00ln1xx，所以01000000001()e21()ln20 xg xxg xxxxxxx，9 分（1
32、）当0a时，因为1ln)x(e20 xg xxx，0ax，所以不等式恒成立，所以0a；10 分（2）当0a 时，因为存在021,1ex，使得0()0g x，而00ax，此时不满足1eln2xxxxax，所以a无解 11 分 综上所述，0a 12 分 （2）方法二：由题知不等式1e(1)ln2xxaxx在(0,)x上恒成立，原问题等价于不等式1eln2xxxaxx 在(0,)x上恒成立，5 分 即1lnlne(1)1xxxxax 在(0,)x上恒成立 记()e1xg xx，则()e1xg x，当(,0)x，()0g x，()g x单调递减，(0,)x，()0g x，()g x单调递增，()(0)0gg x，因为ln1xx R，(ln1)0gxx，即ln1e(ln1)10 x xxx ，1eln20 xxxx 9 分 当0a时，因为1lne20 xxxx，0ax，所以不等式恒成立，所以0a；10 分 当0a 时，令ln()1xh xx，显然()h x单调递增，且221110eeh，(1)20h，故存在021,1ex，使得0()0h x，即x 1eln20 xxx，而00ax，此时不满足1lnxe2xxxax，所以a无解11 分 综上所述，0a 12 分
