1、第二章 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1.理解二面角及其平面角的概念理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二能确认图形中的已知角是否为二 面角的平面角面角的平面角； 2.掌握二面角的平面角的一般作法掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角会求简单的二面角的平面角； 3.掌握两个平面互相垂直的概念掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直能用定义和定理判定面面垂直. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 二面角 思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门 所在的平
2、面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用 哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？ 答案 二面角. 思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？ 答案 二面角的平面角. 答案 1.定义：从一条直线出发的_所组成的图形. 2.相关概念： 这条直线叫二面角的_，两个半平面叫二面角的_. 3.画法： 答案 两个半平面 棱 面 4.记法：二面角_或_或_，或PABQ. 5.二面角的平面角： 若有O_l；OA_，OB_；OA_l，OB_l，则二面角 l的平面角是_. 答案 l AB PlQ AOB 知识点二 平面与平面垂直 思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做
3、成“铅锤”，用这种 方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如 果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什 么关系？ 答案 都是垂直. 1.平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是_，就 说这两个平面互相垂直. (2)画法：记作：_. 答案 直二面角 2.判定定理 答案 文字语言 一个平面过另一个平面的_，则这两个平 面垂直 图形语言 符号语言 l，_ 返回 垂线 l 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 定义法判定两平面垂直 例1 如图，在四面体ABCD中， 求证：平面ABD平面BCD. 反思与感悟 BD 2a，ABADCBCD
4、ACa. 解析答案 跟踪训练1 如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASBASC60，BSC90. 求证：平面ABC平面BSC. 解析答案 证明 取BC中点D，连接SD、AD， 由SASBSC，ASBASC60，得ABACSA. ADBC，SDBC， ADS是二面角ABCS的平面角. 又BSC90 令 SA1，则 SD 2 2 ，AD 2 2 ， ， SD2AD2SA2. ADS90，平面ABC平面BSC. 类型二 面面垂直的判定定理判定两平面垂直 例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA平面ABCD且ABCD是菱形. 求证：平面PAC平面PBD. 证明 PA平面A
5、BCD，BD平面ABCD， BDPA. ABCD是菱形，BDAC. 又PAACA，BD平面PAC. 又BD平面PBD， 平面PBD平面PAC. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90， 证明：平面BDC1平面BDC. 证明 由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC， 所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC. 由题设知A1DC1ADC45， 所以CDC190，即DC1DC. 又DCBCC，所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC. 解析答案 AC1 2AA1，D 是棱 AA1 的
6、中点. 类型三 求二面角的大小 例3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱 柱)ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB 的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离； 解析答案 解 由ACBC，D为AB的中点，得CDAB， 又CDAA1，故CD面A1ABB1， 所以 C 到平面 A1ABB1的距离为 CDBC2BD2 5. (2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂 直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC. (1)证明：BD平面SAC； 证明 SBB
7、C，且E为SC的中点， BESC， 又DESC，SC平面BDE， BDSC， SA平面ABC，SABD， BD平面SAC. 解析答案 返回 (2)求二面角EBDC的大小. 解 由(1)BD平面SAC可得BDDE且BDAC， EDC为二面角EBDC的平面角， 设SAa，则ABa， 解析答案 在 RtABS 中，SB 2a，BC 2a， 在 RtABC 中，AC AB2BC2 3a， SC2a，ASC60， 又EDCASC，EDC60， 二面角EBDC的大小为60. 1 2 3 达标检测 4 解析答案 1.直线l平面，l平面，则与的位置关系是( ) A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交
8、不垂直 解析 由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C. C 1 2 3 4 解析答案 2.下列命题： 两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a、b分别和一个 二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或 互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线 所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没 有关系. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 解析 不符合二面角定义， 从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角.故选B. B 1 2 3 4 3.如图，已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足， ABO30，ACO45，则二面角AB
9、CO的大小为_. 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4.如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分别是AB、 BD的中点.求证：面EFC面BCD. 证明 ADBD，EFAD，EFBD. CBCD，F是BD的中点，CFBD. 又EFCFF，BD面EFC. BD面BCD，面EFC面BCD. 规律与方法 1.求二面角的步骤 简称为“一作二证三求”. 2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直 于棱的射线.如图，则AOB为二面角l的平面角. (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面 产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图，AOB 为二面角l的平面角. (3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一 个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线， 垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角或其补 角，如图，AOB为二面角l的平面角. 返回 3.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义； (2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直.
