1、第二章 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系 1.了解空间中两条直线的位置关系了解空间中两条直线的位置关系； 2.理解异面直线的概念理解异面直线的概念、画法画法； 3.理解并掌握公理理解并掌握公理4及等角定理及等角定理； 4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些能求出一些 较特殊的异面直线所成的角较特殊的异面直线所成的角. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 空间两直线的位置关系 思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 观察下面两个
2、图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？ 答案 平行与相交. 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线； 六角螺母中直线AB与CD. 答案 (1)异面直线：不同在_平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一 个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法： 定义法 两直线既不平行也不相交 答案 任何一个 (4)空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分： 答案 _ _ 没有公共点 有且仅有一个公共点_ 从是否共面的角度来分： _ _ 在同一平面内 不同在任何一个平面内_ 平行 异面
3、 平行 相交 相交 异面 知识点二 平行公理(公理4) 思考 在平面内，直线a，b，c，若ab，bc则ac，该结论在空 间中是否成立？ 答案 成立 2.符号表示： ab bc ac. 1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 答案 知识点三 等角定理 思 考 观 察 图 ， 在 长 方 体 ABCD-ABCD 中 ， ADC 与 ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何？ 答案 从图中可以看出， ADCADC， ADCDAB180. 答案 空间中如果两个角的两边分别对应_，则这两个角_或_. 平行 相等 互补 知识点四 异面直线所成的角 思考 在长方体A1B
4、1C1D1-ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线 BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？ 答案 相等. 答案 答案 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O作直线aa，bb 结论 我们把a与b所成的_叫做异面 直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为，则_. 特殊 情况 当_时，a与b互相垂直，记作_. 锐角(或直角) 090 90 ab 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 异面直线的判断 例1 如图，已知正方体ABCDABCD.哪些棱所在直线与直 线BA是异面直线？ 反思与感悟 解 由异面直线的定义可知，棱AD、DC
5、、CC、DD、DC、 BC所在直线分别与直线BA是异面直线. 解析答案 跟踪训练1 (1)在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对. 解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两 条侧棱，故共有异面直线428(对). (2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD， EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 解 三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 还原的正方体如图所示： 解析答案 8 类型二 平行公理和等角定理的应用 例2 (1)在空间四边形ABCD中，如图所示， 则EH 与FG的位置关系是_. 解
6、析 连接BD，如图， 解析答案 AE AB AH AD， CF CB CG CD， 平行 AE AB AH AD， EHBD， 又CF CB CG CD， FGBD， EHFG. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点. 求证：BMCB1M1C1. 证明 在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点， A1M1綊AM，四边形AMM1A1是平行四边形， A1A綊M1M. 又A1A綊B1B，M1M綊B1B， 四边形BB1M1M为平行四边形.B1M1BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM. 由平面几何知识可知，BMC和B1M
7、1C1都是锐角. BMCB1M1C1. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分 别是棱CD，AD的中点. 求证：(1)四边形MNA1C1是梯形； 证明 如图 ，连接AC， 在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点， MN是ACD的中位线， 解析答案 MNAC，MN1 2AC. 由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1. MNA1C1，且 MN1 2A1C1，即 MNA1C1 ， 四边形MNA1C1是梯形. (2)DNMD1A1C1. 证明 由(1)可知MNA1C1. 又NDA1D1， DNM与D1A1C1相等或互补. 而DNM与
8、D1A1C1均为锐角， DNMD1A1C1. 解析答案 类型三 两异面直线所成的角 例3 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1AAB，E、F分别是 BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小. 解析答案 反思与感悟 返回 跟踪训练3 如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中 点，求异面直线DB1与EF所成角的大小. 解析答案 1 2 3 达标检测 4 解析答案 1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( ) A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明
9、a、b异 面，直线c的位置可如图所示. D 1 2 3 4 解析答案 2.下列四个结论中假命题的个数是( ) 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 平行于同一直线的两直线平行； 若直线a，b，c满足ab，bc，则ac； 若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线. A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 3.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 解析 如图(1)所示，直线a与b互相平行； 如图(2)所示，直线a与b相交； 如图(3)所示，直线a与b异面. D 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4.如
10、图，已知长方体ABCDABCD中， AA2. (1)求异面直线BC和AC所成的角的大小. 解 因为BCBC， 所以BCA是异面直线AC与BC所成的角. 在RtABC中， BC2 ， 所以BCA45. 所以异面直线BC与AC所成的角为45. AB2 3，AD2 3， AB2 3， 3 1 2 3 4 解析答案 (2)求异面直线AA和BC所成的角的大小. 解 因为AABB， 所以BBC是异面直线AA和BC所成的角. 在 RtBBC中，BCAD2 3，BBAA2， 所以BC4，所以BBC60. 所以异面直线AA与BC所成的角为60. 规律与方法 1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多 情况下，定义就是一种常用的判定方法. 2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两 条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何 的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0， 90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小. 作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接 平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知 图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 返回
