1、基本不等式第一课的教学设计基本不等式第一课的教学设计一、背景分析：教材从基本不等式及其证明开始，再到代换得推论（），最后做一些应用。由于两个不等式都比较容易证明，所以第一节课一般多从证明方法的种数或者两个基本不等式的应用上花时间。本节课，我从基本不等式及其证明开始，不强调两个基本不等式的应用，而从元数、次数上进行推广，想使学生体会到数学猜测、判断、论证的乐趣。二、教学目的：使学生掌握基本不等式及其证明，能代换得到推论（），并在推导的过程中，引出其它一些不等式；继续培养学生在数学上的猜测、判断、推理能力。三、教学过程： 我们已经学了一些不等式的证明方法。今天，我们来了解一些重要的不等式。板书：基
2、本不等式有时候，在数学上利用一项很简单的性质可能会引发一些新的思路，产生有用的结果。许多重要的不等式的发现是由任意实数的平方为非负得出来的。写成式子就是：设，则，当且仅当时，等号成立。什么叫“当且仅当”呢？拿上面的例子来说，就是：当时，等号成立，即是等号成立的充分条件；仅当时，等号成立，即时，等号不成立，根据逆否命题与原命题的等价性，也就是等号成立可以得到，或说是等号成立的必要条件。“当且仅当”就是充分必要的意思。对于，我们作一些字母的代换。我们把一个实数或一个实数字母代替，意义并不大。我们可不可以用两个字母呢？如用实数的差代替，式子是一个关于实数的齐次二次对称的式子。进而，得，即.研究等号成
3、立的条件：当时，等号成立；当时，即仅当时，等号成立（注：也可以通过逆否命题：等号成立得到后者）。，当且仅当时，等号成立。说明：作和也可以，在代数里和差是互通的，差可以写成和，和可以写成差，但这里用差更简洁。对于二元二次齐次的不等式，只此而已。没有什么可再深入探讨的。我们把它拓广到三元二次齐次的不等式。设，我们先仔细考察中的由来，以便确定三元二次式中的关系。由，即可看到原来是，据此，对于与的关系，大家怎样提个猜想？猜想.正确吗？能证明吗？根据什么来证明呢？可以利用不等式来证明。证明： 由 将三个同向不等式相加，得，什么时候取到等号？若三个不等式中有一个取不到等号，情况将怎样呢？当且仅当时等号成立
4、。这个不等式可以作为不等式的推论。当然，这个不等式就是由，展开即得. ，当且仅当时等号成立。更多的元的二次齐次不等式呢？n元二次齐次的一个不等式。设，则，当且仅当时等号成立。这是不等式的推广，会证明吗？怎样证明？将这n个同向不等式相加，即得。从证明中我们看到，这个不等式不是n元二次齐次对称的不等式，而是n元二次齐次轮换的不等式。（在这里解释“轮换”、“对称”的意思）对于n元二次齐次对称的不等式呢？我们举的例子。，这个不等式虽然是四元二次齐次对称的，但它根本不成立。如每个数取1. 关键是系数。将系数稍作改动，就可以成立。猜猜看，感觉上是几呢？是.将六个不等式相加，得证。下面，我们来想想二元三次的
5、不等式。研究：， 由不等式得，所以当时，就有.在上面的研究过程中，我们可以发现不等式成立的条件是“或”，等号成立的充要条件是或.但是不等式是为实际问题服务的。在实际应用中，多为正数，所以我们为方便起见，加强这个不等式的条件：设.设，则，当且仅当时等号成立下面想想三元三次的不等式。设，则，所以设，则，当且仅当时等号成立对于，大家是否有印象，可以因式分解吗？留两个思考题：（1） 你能否用作差，通过因式分解的方法证明？（2） 是不等式成立的充分条件，那充要条件是什么呢？类似不等式，我们来考虑4次的一个不等式：.如同三次不等式，设，.等号在且且成立。设，则，当且仅当时等号成立根据、，你又有什么想法？好
6、，我们暂时不再从元数、次数上推广了。我们回到不等式，我们来考虑关于正数的二分之一次，即的一个不等式。，即.我们得到：设，则，当且仅当时等号成立这个不等式左右两边都是一次。左边对正数求了算术平均数，右边对正数求了积的算术平方根，我们把叫做正数的几何平均数。类似地，利用不等式，设，即.所以，我们有设，则，当且仅当时等号成立这个不等式左右两边都是一次。左边对正数求了算术平均数，右边对正数求了几何平均数。式子说明：两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数；式子说明：三个正数的算术平均数不小于这三个正数的几何平均数。大家是否可作个猜想，得到一个可能的进一步的结论？设，则当且仅当时等号成立（未证）
7、n个正数的算术平均数不小于这n个正数的几何平均数。在上面的九个不等式中，我们要选两个作为基本公式，同学们选什么？书上选了、，作为基本不等式，而是显而易见的，、作为可以当场推导的经验结论，、（未证）是选学的，在以后也可作为基本不等式，但我们教材是不作考试要求的。学了基本不等式，就可以用它们直接解决一些问题。下节课我们会作些应用。这里我们可以先提一个问题给大家思考。求定周长的矩形的最大面积；求定面积的矩形的最小周长。作业：1 课上的两个思考题；2 利用基本不等式解决下面的题目。（1） 设，求证：，并指出等号成立的条件。（2） 已知，且，求证：，并指出等号成立的条件。四、教学反思：我在平时的教学中，
8、主要目标是让学生喜欢数学，掌握数学的基础知识和缜密推理、发散思维的基本技能，学会如何学习数学。本节课，我把重点放在了公式的猜测、论证以及推广上。通过数学问题的发生、发展和形成的过程，让学生体验“发现真理”的愉悦。也就是教会学生善于思考，不时提出问题，“为什么要”和“为什么可以”，使他们掌握学习中的每一步的“目的性”和“合理性”，此外，还要求学生有“还有什么”的想法，即解决的问题作一些推广。在教学中必须使认知过程成为一个再创造的过程。在学生主动地、深层次地参与活动中，在实现教师设计的发现、创造过程中，教师要寻找好的问题，要做一个有心人，多实践。在数学课中，不仅要让学生“学会”数学，更要让学生“会学”数学，“会学”知识，学会在今后的工作中，如何正确地提出问题，探索问题，解决问题。3 / 3
