1、几何基础期末练习3 一、选择与填空题1在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。A角度 B交比C 面积 D 长度解 选由定理，两个点列经过中心投影交比不变 2在中心射影下，（ ）.A.交比不变. B.平行线变成平行线. C.直角三角形变成直角三角形 D.平行四边形变成平行四边形.解 选由定理，两个点列经过中心投影交比不变3点坐标为的方程是_解4代表点_的方程解(1，1，0)，(1，-1，0)5.仿射平面上无穷远直线与有穷远直线（ ）. A.有一个交点B.没有交点C.有无数个交点D.无法判定解 选因为两条不平行的有穷远直线若交于有穷远点，两条平行直线交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点6
2、.在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ ）.A.三角形与圆B.圆与椭圆C.四边形与正方形D.等腰三角形与直角三角形解 选因为在射影平面上没有无穷远元素，平行线不存在7方程表示的点为（）A（1，1，2）B （2，1，1）C（1，1，1）D （1，1，2）解 二、计算证明题1 计算直线上无穷远点的齐次坐标解取，代入直线方程，得令，于是直线上无穷远点的齐次坐标为注意：直线上无穷远点的齐次坐标不是唯一的2 计算下列各点的非齐次坐标：A（2，4，1），B（0，4，3），C（0，1，1）解欧氏平面内点的笛氏坐标为，满足，的三元数组叫做点的齐次坐标，记为叫做点的非齐次坐标于是三点的非齐次坐标依次为，和3
3、欧氏平面上直线的方程为，求出该直线在齐次坐标下的方程.解由齐次坐标与非齐次坐标的关系：，代入直线方程，即，整理得4写出下列命题的对偶命题设，三点在一直线上,，三点在另一直线上，则与的交点、与的交点、与的交点共线解设三直线共点,三直线共点, 则和的交点与与的交点的连线, 和阿的交点与和的交点的连线, 和的交点与和的交点的连线, 这三条连线共点.5证明在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点.证明 若三点形与的对应边与的交点，与的交点，与的交点共线，考虑三点形，由于与，交于，由笛沙格定理知，三组对应边的交点，O共线，于是，共线6设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PSQR,
4、B=PRQS,C=PQRS,证明A1=BCQR,B1=CARP, C1=ABPQ三点共线 证明在ABC及PQR中，AP、BQ、CR共点S对应边的交点C1=ABPQ， B1=CARP, A1=BCRQ三点共线7在欧氏平面上,的高线为,另外,与交于,与交于,与交于.求证: 三点,共线证明如图, 中, 三高线，共点, 以为透视心，由和, 根据笛沙格定理, 必有透视轴, 即对应边和交于,和交于,和交于, 、共线.8设的顶点,分别在共点的三直线,上移动, 且直线和分别通过定点和,求证也通过上一个定点证明如图, 设是满足条件的另一个三角形, 在和中, 由于对应点连线,共点, 由笛沙格定理可知对应边交点、共线, 即与的交点必在直线上, 则为定点4
