1、函数的单调性教学案例分析初稿第部分：教学准备 一、教学分析: （1）中学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高二利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础 （2） 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念
2、的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据. （3）函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材. 二、重难点分析： 教学重点 （1）函数单调性的概念； （2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性 教学难点 利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性 三、学情分析： 本节课是一节概念课函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函
3、数图象的性质，如 何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达 围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题： 1、重视学生的亲身体验具体体现在两个方面：将新知识与学生的已有知识建立了联系如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大”的理解；运用新知识尝试解决新问题如：对函数在定义域上的单调性的讨论 2、重视学生发现的过程如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过
4、程 3、重视学生的动手实践过程通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义 4、重视课堂问题的设计通过对问题的设计，引导学生解决问题 四、文献检索： 2.高中数学优秀教案 南方出版社 任志鸿著 3. 教材完全解读 接力出版社 王后雄著 第部分：教学设计 一、教学方式： 采用启发式、问题式、探究式相结合的教学法 二、教学内容及教学过程： （一）创设情境，引入课题 为了预测共和国60年国庆当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2000年到2008年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年10月1日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考 问题：观察图形，能得到什么
5、信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等 归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小 设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣 （二）归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的
6、定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？ 预案： (1)函数，在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数，在整个定义域内 y随x的增大而减小 (2)函数，在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小 (3)函数，在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说
7、函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数 教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识 设计意图从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识 2抽象思维，形成概念 问题1：如图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 学生的困难是难以确定分界点的确切位置 通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究 设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性 问题2：如何从解析式的角度说明在上为增函数
8、？ 预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为2232，所以在上为增函数 (2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增函数 (3) 任取,因为,即，所以在上为增函数 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫. 问题3：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义 (1)板
9、书定义 (2)巩固概念 判断题： 若函数 若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数 因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数. 通过判断题，强调三点： 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性 有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数) 函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 设计意图让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题
10、的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. （三）掌握证法，适当延展 例1 证明函数在上是增函数 1分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流 证明：任取, 设元 求差 变形 , 断号 即 函数在上是增函数 定论 2归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论 练习：证明函数在上是增函数 问题：除了用定义外，如果证得对任意的，且有，能断定函数在区间上是增函数吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数 设计意图初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔 (四)归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结 1小结 (1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性 (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论 (3) 数学思想方法：数形结合 2作业
