1、类型一数式规律(1)常见的数列:序号列:1,2,3,4,n,;偶数列:2,4,6,8,2n,;奇数列:1,3,5,7,2n-1,;平方列:1,4,9,16,n2,;符号列:1,-1,1,-1,(-1)n+1,;-1,1,-1,1,(-1)n,;等差数列:第一项为a,以后每一项都加d,第n项为a+(n-1)d;等比数列:第一项为a,以后每一项都乘以p,第n项为apn-1.(2)解决数式规律题的一般步骤:标序号将每一项标序号;找规律找到每一项的数字与序号之间的关系;验证代入序数验证所得到的式子是否正确.(3)循环列:根据前面的部分数据,发现每隔t个就会出现数字循环,可以判断为循环列,求第n个数字的
2、值,可以用n除以t得到余数m,则第n个数字和第m个数字相同(若m=0,则第n个数字和第t个数字相同).1.2016邵阳如图Z2-1所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,最后一个三角形中y与n之间的关系是()图Z2-1A.y=2n+1B.y=2n+nC.y=2n+1+nD.y=2n+n+1答案 B解析 观察图形,左上角数字为序号列:1,2,3,n,右上角为等比数列:21,22,23,24,2n,而下面的数字是左上角和右上角的数字之和,所以y=n+2n,故选B.2.2020十堰根据图Z2-2中的数字的规律,若第n个图中出现数字396,则n=()图Z2-2A.17B.18C.
3、19D.20答案 B解析 观察图形,发现规律:中间三角形数字为奇数列:1,3,5,7,2n-1,不可能出现396,舍去;左下三角形数字为平方列减1:12-1,22-1,32-1,42-1,n2-1,若n2-1=396,解得n不为整数,舍去;右下三角形数字为序号列乘等差数列:15,26,37,48,n(n+4),若n(n+4)=396,解得n=18或-22;上三角形数字为偶数列乘序号列:22,43,64,85,2n(n+1),若2n(n+1)=396,解得n不是整数,舍去.综上,n=18,故选B.3.2019常德观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=1
4、6807,根据其中的规律可得70+71+72+72019的结果的个位数字是()A.0B.1C.7D.8答案 A解析 70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,个位数字4个数一循环,(2019+1)4=505,505(1+7+9+3)=10100,70+71+72+72019的结果的个位数字是0.故选A.4.2018绵阳将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 57 9111315 17192123 252729按照以上排列的规律,第25行第20个数是()A.639B.637C.635D.633答案 A解析 根据三角形数阵可知,3+5=8=23,7+9+11=2
5、7=33,13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125=53,设第25行中间的数是x,可得:253=25x,解得:x=625,即第13个数是625,第20个数是625+27=625+14=639,故选A.5.观察下列单项式:x,4x2,9x3,16x4,根据你发现的规律,第8个式子是.答案 64x8解析 系数部分变化为平方列:12,22,32,42,式子部分变化为序号列:x1,x2,x3,x4,所以第8个式子为64x8.6.观察下面的一列数字:1,-3,5,-7,9,-11,根据你发现的规律,第n个数字为.答案(-1)n+1(2n-1)解析 符号部分变化为:+1,-
6、1,+1,-1,+1,-1,第n项为(-1)n+1,数字部分变化为奇数列:1,3,5,7,9,11,第n项为2n-1,所以第n个数字为(-1)n+1(2n-1).9.2018娄底设a1,a2,a3,是一列正整数,其中a1表示第一个数,a2表示第二个数,依此类推,an表示第n个数(n是正整数).已知a1=1,4an=(an+1-1)2-(an-1)2,则a2018=.答案 4035解析 4an=(an+1-1)2-(an-1)2,(an+1-1)2=(an-1)2+4an=(an+1)2,a1,a2,a3,是一列正整数,an+1-1=an+1,an+1=an+2,a1=1,a2=3,a3=5,a
7、4=7,a5=9,an=2n-1,a2018=4035.故填:4035.10.2018桂林将从1开始的连续自然数按下表规律排列,规定位于第m行、第n列的自然数记为(m,n),如自然数8记为(2,1),自然数10记为(3,2),自然数15记为(4,2),按此规律,则自然数2018记为.列 行第1列第2列第3列第4列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413第m行答案(505,2)解析由题意可得,每一行有4个数,其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列;偶数行的数字从左往右是由大到小排列.20184=5042,504+1=505,2018在第505行,奇数行的数字从左往右
8、是由小到大排列,自然数2018记为(505,2).类型二图形规律探究图形规律,首先将每个图形标好序号,可以数出每一项的元素个数,或者发现后一项比前一项变化的情况,找出与序号之间的关系,从而推出一般性结论.1.2018烟台如图Z2-3所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为()图Z2-3A.28B.29C.30D.31答案 C解析第1个图形中有41朵,第2个图形中有42朵,第3个图形中有43朵,第n个图形中有4n朵,所以由4n=120,得n=30.2.如图Z2-4为手的示意图,从大拇指开始,按食指,中指,无名指,小指,再回到大
9、拇指的顺序,依次数正整数1,2,3,4,5,当数到2021时,对应的手指是()A.食指B.中指C.无名指D.小指图Z2-4答案 D解析 从大拇指开始,每8个数为一个循环组依次循环,而20218=2525,所以当数到2021时,与5对应的手指相同,为小指,故答案为D.3.2020常德如图Z2-5,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋2020次.移动规则是:第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋停留在D处),按这样的规则,在这2020次移动中,跳棋不可能停留的顶点是()A.C,EB.E,FC.C,E,GD.C,E,F图Z
10、2-5答案 D4.2015益阳如图Z2-6是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第个图案中有6根小棒,第个图案中有11根小棒,则第n个图案中有根小棒.答案(5n+1)解析 第一个图案有6根小棒,以后每个图案都比前一个图案多5根小棒,因此第n个图案中有6+5(n-1)=(5n+1)根小棒.图Z2-65.2016益阳小李用围棋子排成下列一组有规律的图案,其中第1个图案有1枚棋子,第2个图案有3枚棋子,第3个图案有4枚棋子,第4个图案有6枚棋子,那么第9个图案的棋子数是枚.图Z2-7答案 13解析 第1个图案有1枚棋子,第2个图案有3枚棋子,第3个图案有4枚棋子,第4个图案有6枚棋子,第5个图
11、案有7枚棋子,第奇数个图案的棋子数由上一个图案加1得来,第偶数个图案的棋子数由上一个图案加2得来,于是第6个图案有9枚棋子,第7个图案有10枚棋子,第8个图案有12枚棋子,第9个图案有13枚棋子.6.2016衡阳如图Z2-8所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3条直线最多可将平面分成7个部分,4条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为.图Z2-8答案 10解析 记n条直线最多将平面分成an个部分,则a0=1,a1=a0+1=2,a2=a1+2=4,a3=a2+3=7,a4=a3+4=11,故an=an-1+n=an-2
12、+(n-1)+n=1+1+2+3+4+n=n(n+1)+1.令an=56,即n(n+1)+1=56,解得n1=-11(不合题意,舍去),n2=10.故答案为10.7.2020湘西州观察下列结论:(1)如图Z2-9,在正三角形ABC中,点M,N分别是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=CM,NOC=60;(2)如图,在正方形ABCD中,点M,N分别是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=DM,NOD=90;(3)如图,在正五边形ABCDE中,点M,N分别是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=EM,NOE=108;根据以上规律,在正n边形A1A2A3A4An中,对相邻的三边实施同样的操作
13、过程,即点M,N分别是A1A2,A2A3上的点,且A1M=A2N,A1N与AnM相交于O.也会有类似的结论,你的结论是.图Z2-98.如图Z2-10,RtABC中有n个正方形从左往右依次排开(每个正方形右上角的顶点均在AB边上,下方的两个顶点均在BC边上),第一个正方形的边长DF=9 cm,第二个正方形的边长GK=6 cm,则从左往右第n个正方形的边长=cm.图Z2-10类型三点的坐标变换规律可以依次求出每个点的坐标,发现横、纵坐标的变化规律,或者横、纵坐标之间的关系,或者找到循环规律.图Z2-11答案C图Z2-12答案B图Z2-13答案(0,-22019)4.2019衡阳在平面直角坐标系中,
14、抛物线y=x2如图Z2-14所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4,依次进行下去,则点A2019的坐标为.图Z2-14答案(-1010,10102)5.2017衡阳正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如图Z2-15所示放置,点A1,A2,A3和C1,C2,C3,分别在直线y=x+1和x轴上,则点B2018的纵坐标是.图Z2-15答案 22017解析 当x=0时,y=x+1=1,点A1的坐标为(0,1).A1B1C1O为正方形,点C1的坐标为(1,0),点B1的坐标为(1,1).同理,可得:B2(3,2),B3(7,4),B4(15,8),点Bn的坐标为(2n-1,),点B2018的坐标为(22018-1,22017).故填:22017.图Z2-16
