1、专题四突破解答题之 3三角形三角形是中考必考的内容.关于三角形的边、角和“三线”是中考命题的热点，既可以出现在小题中，也可以融入大题中，是研究几何综合题的基础，所以三角形的基本性质必须熟练掌握.全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰(边)三角形的判定与性质是中考命题的热点，既可以出现在简单的解答题中，也可以与特殊四边形、圆和函数形成综合题.以三角形为背景的应用题也是中考必考内容，一般考查解直角三角形和勾股定理的应用居多.与三角形有关的边角计算例 1：如图 Z4-1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC上一点，且 ACCDBDBE，A50，则CDE 的度数为()图 Z4-
2、1A.50B.51C.51.5D.52.5解析：ACCDBDBE，A50，ACDA50，BDCB，BDEBED.BDCBCDA50，B25.BBDEBED180，CDE180CDABDE1805077.552.5.故选 D.答案：D解题技巧熟悉等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、邻补角的定义等知识点的理解和掌握，并能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.全等、相似和等腰三角形的证明与性质例 2：(2018 年四川资阳)已知：如图，在RtABC中，ACB90，点M是斜边AB的中点，MDBC，且MDCM，DEAB 于点 E，连接 AD，CD.(1)求证：MEDBCA；(2)
3、求证：AMD CMD；图 Z4-2(3)设MDE的面积为S1，四边形BCMD 思路分析(1)易证DME CBA，ACB MED 90，从而可证明MEDBCA；(2)由ACB90，点M是斜边AB的中点，可知MBMCAM，从而可证明AMDCMD，从而可利用全等三角形的判定证明AMDCMD；EB2x，从而可求出 AB14x，BC10 x.最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.(1)证明：MDBC，DMECBA.ACBMED90，MEDBCA.(2)证明：ACB90，点 M 是斜边 AB 的中点，MBMCAM.MCBMBC.DMBMBC，MCBDMB.AMD180DMB，CMD180MCB180DM
4、B，AMDCMD.AMD CMD(SAS).(3)解：MDCM，与三角形有关的综合题例 3：如图 Z4-3，ABC 是等腰直角三角形，C90，点 D 是 AB 的中点，点 P 是 AB 上的一个动点(点 P 与点 A，B不重合)，矩形 PECF 的顶点 E，F 分别在 BC，AC 上.(1)探究 DE 与 DF 的关系，并给出证明；(2)当点 P 满足什么条件时，线段 EF 的长最短？(直接给出结论，不必说明理由)图 Z4-3思路分析(1)连接 CD，首先根据ABC 是等腰直角三角形，C90，点D 是 AB 的中点得到 CDAD，CDAD，然后根据四边形 PECF 是矩形得到APF 是等腰直角
5、三角形，从而得到DCEDAF，证得 DEDF，DEDF；而得到当DE 和DF 同时最短时，EF 最短，得到点P 与点D 重合时，线段 EF 最短.解：(1)DEDF，DEDF.证明如下：如 Z4-4，连接 CD.图 Z4-4ABC 是等腰直角三角形，C90，点 D 是 AB 的中点，CDAD，CDAD.四边形 PECF 是矩形，CEFP，FPCB.APF 是等腰直角三角形.AFPFEC.DCEA45，DCE DAF(SAS).DEDF，ADFCDE.CDA90，EDF90.DEDF，DEDF.(2)DEDF，DEDF，当 DE 和 DF 同时最短时，EF 最短.当 DFAC，DEBC 时，二者
6、最短.此时点 P 与点 D 重合.点 P 与点 D 重合时，线段 EF 最短.名师点评与三角形相关的综合题一般与四边形、圆或函数紧密相连，运用旋转、对称等图形变化方式加以对问题的进一步探究是常见的命题方式.解决此类题型一般离不开三角形的基本性质.解直角三角形与勾股定理的应用例 4：(2017 年甘肃天水)如图 Z4-5，一艘轮船位于灯塔 P南偏西 60方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P 南偏西45方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离.(结果保留根号)图 Z4-5思路分析如图 Z4-6，利用题意得到 ACPC，APC60，BPC45，AB20海里.设BCx海里，则ACABBC(20 x)海里.解PBC，得PCBCx海里，解RtAPC，解方程即可.图Z4-6解：如图 Z4-6，ACPC，APC60，BPC45，AB20 海里.设 BCx 海里，则 ACABBC(20 x)海里.在PBC 中，BPC45，PBC 为等腰直角三角形.PCBCx 海里.
