1、 第 1 页（共 18 页） 2020 高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）欧拉公式：ei+10 被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合 A e，i，1，0，则集合 A 不含无理数的子集共有（ ） A8 个 B7 个 C4 个 D3 个 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1i）2i（i 是虚数单位） ，则|z|为（ ） A1 3 B1 2 C1 4 D1 5 3 （5 分）已知( 6 ) = 3 5，则( 2 3 ) =（ ）
2、 A3 5 B4 5 C 3 5 D 4 5 4 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ） A1 B1 2 C1 D2 5 （5 分）从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同 学 1 名女同学的概率是（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 6 （5 分） （文科做）双曲线 2 2 2 2 = 1的左焦点为 F1，顶点为 A1，A2，P 是该双曲线右 支上任意一点，则分别以线段 PF1，A1A2为直径的两圆一定是（ ） A相交 B内切 C外切 D相离 7 （5 分）在ABC 中，D 为 BC 的中点， = 1 3 ，则
3、 =（ ） A1 3 2 3 B1 3 1 6 C1 6 5 6 D1 6 5 6 8 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+sin2（x+ 3） ，则 f（x）的最小值为（ ） 第 2 页（共 18 页） A1 2 B1 4 C 3 4 D 2 2 9（5 分） 若点 P 是椭圆 2 42 + 2 2 = 1(0)上的点， 且点 I 是焦点三角形PF1F2的内心， F1PF2的角平分线交线段 F1F2于点 M，则| |等于（ ） A23 3 B 2 2 C 3 2 D1 2 10 （5 分）设（1+x） 3+（1+x）4+（1+x）50a0+a1x+a2x2+a50x50，则 a3 等于（
4、 ） AC 51 3 BC 51 4 C2C 50 3 DC 50 4 11 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A14 3 B7 C28 3 D14 12 （5 分）已知函数 f（x）x4lnxa（x41） （aR） ，若 f（x）0 在 0x1 恒成立， 则 a 的取值范围为（ ） Aa1 B 1 2 C 1 4 D 2 8 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）4x2kx8（kR） ，若 f（x）为偶函数，则 k ；若 f（x）在2，5上是单调函数，则 k 的
5、取值范围是 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 + 2 2 0 2 + 4 4 + 1 0 ，则目标函数 z3x+y 的最大值 为 15 （5 分）已知点 N 在圆 x2+y24x+4y+70 上，点 M 在直线 3x4y+60 上，则|MN|的 最小值为 16 （5 分）已知甲、乙两地距丙的距离均为 10km，且甲地在丙地的北偏东 25处，乙地在 丙地的南偏东 35处，则甲乙两地的距离为 km 第 3 页（共 18 页） 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 17设数列an前 n 项和为 Sn，满足 Sn+14an+2（nN+） ，且 a11， （1）若 cn= 2，求证：
6、数列cn是等差数列 （2）求数列an的前 n 项和 Sn 18如图，在直角AOB 中，OAOB2，AOC 通过AOB 以直线 OA 为轴顺时针旋转 120得到 （BOC120） ， 点D为斜边AB上一点， 点M为线段BC上一点， 且 = 43 3 （1）证明：OM平面 AOB； （2）当直线 MD 与平面 AOB 所成的角取最大值时，求二面角 BCDO 的正弦值 19如图，F 是抛物线 x24y 的焦点，过 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，抛物线在 A，B 两点处的切线相交于点 M （1）求证：点 M 在抛物线的准线上； （2）已知过抛物线上的点 C 作抛物线的切线分别交直线 AM，BM
7、于点 P，Q，求FPQ 面积的最小值 20西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有 7 个饭店 且每个饭店一年有 300 天需要这种鸡，A 饭店每天需要的数量是 1418 之间的一个随机 数，去年 A 饭店这 300 天里每天需要这种鸡的数量 x（单位：只）如表： 第 4 页（共 18 页） x 14 15 16 17 18 频数 45 60 75 60 60 这 300 天内，假定这 7 个饭店的情况一样，只探讨 A 饭店当天的需求量即可这 300 天 内，鸡厂和这 7 个饭店联营，每天出栏鸡是定数 7a（14a18） ，送到城里的这 7 个饭 店，从饲养到送到饭
8、店，每只鸡的成本是 40 元，饭店给鸡厂结算每只 70 元，如果 7 个 饭店用不完，即当天每个饭店的需求量 xa 时，剩下的鸡只能以每只 56a 元的价钱处 理 （）若 a15，求鸡厂当天在 A 饭店得到的利润 y（单位：元）关于 A 饭店当天需求量 x（单位：只，xN*）的函数解析式； （）若 a16，求鸡厂当天在 A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值； （）a17 时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在 A 饭店得到的利润大于 479 元的概率 21已知 f（x）（lnx）2+2xaex （l）证明 f（x）在 xl 处的切线恒过定点； （2）若 f（x）有
9、两个极值点，求实数 a 的取值范围 22在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩变换 ： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的 极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 23已知函数 f（x）|2x2a|a （1）当 a2 时，解不等式 f（x）3； （2）是否存在实数 a，使得 f（x）|3x|恒成立？若存在求出实数 a 满足的条件，不存在 说明理由 第 5 页（共 18 页）
10、 2020 高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）欧拉公式：ei+10 被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合 A e，i，1，0，则集合 A 不含无理数的子集共有（ ） A8 个 B7 个 C4 个 D3 个 【解答】解：集合 Ae，i，1，0， 集合 A 中不是无理数的有 i，1，0， 集合 A 不含无理数的子集共有：238 故选：A 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1i）2i（i 是
11、虚数单位） ，则|z|为（ ） A1 3 B1 2 C1 4 D1 5 【解答】解：由 z（1i）2i，得 z= (1)2 = 2 = 1 2， |z|= 1 2 故选：B 3 （5 分）已知( 6 ) = 3 5，则( 2 3 ) =（ ） A3 5 B4 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解：( 6 ) = 3 5，sin 2 ( 6 )sin（ 3 + ）= ( 6 ) = 3 5， 则( 2 3 ) =sin（+ 2 3 ）sin（+ 3）= 3 5， 故选：C 4 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ） 第 6 页（共 18 页） A1 B1 2 C1 D2
12、【解答】解：由程序框图可得第一次：S2，k1， 第二次，S1，k3，不满足退出循环的条件； 第三次，S= 1 2，k5，不满足退出循环的条件； 第四次，S2，k7，不满足退出循环的条件； 第五次，S1，k9，不满足退出循环的条件； 第六次，S= 1 2，k11，不满足退出循环的条件； 观察可知 S 的值成周期为 3 的间隔存在， 第2016 2 =1008 次，S= 1 2，k2015，满足退出循环的条件； 第 1009 次，S2，k2017，满足退出循环的条件； 故输出 S 值为 2， 故选：D 5 （5 分）从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1
13、 名男同 学 1 名女同学的概率是（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 【解答】解：从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛， 基本事件总数 n= 5 2 =10， 选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学包含的基本事件个数 m= 2 131 =6， 则选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学的概率是 p= = 6 10 = 3 5 故选：C 6 （5 分） （文科做）双曲线 2 2 2 2 = 1的左焦点为 F1，顶点为 A1，A2，P 是该双曲线右 支上任意一点，则分别以线段 PF1，A1A2为直径的两圆一定是（ ） A相交 B内切 C外切 D相离 【解
14、答】解：如图，设以线段 PF1，A1A2为直径的两圆的圆心坐标分别为 B，O，半径分 别为 R，r 在三角形 PF1F2中，圆心距|OB|= |2| 2 = |1|2 2 = |1| 2 =Rr 第 7 页（共 18 页） 分别以线段 PF1，A1A2为直径的两圆一定是内切 7 （5 分）在ABC 中，D 为 BC 的中点， = 1 3 ，则 =（ ） A1 3 2 3 B1 3 1 6 C1 6 5 6 D1 6 5 6 【解答】解：如图，D 为 BC 的中点， = 1 3 ， = 1 3 = 1 6 ( + )， = + = + 1 6 ( + ) = 1 6 5 6 故选：D 8 （5
15、分）已知函数 f（x）sin2x+sin2（x+ 3） ，则 f（x）的最小值为（ ） A1 2 B1 4 C 3 4 D 2 2 【解答】解：函数 f（x）sin2x+sin2（x+ 3）= 2 + (1 2 + 3 2 )2= 5 4 2 + 3 4 2 + 3 4 2 = 1 2 (2 6) + 1， 当 sin（2x 6）1 时，函数() = 1 1 2 = 1 2 故选：A 9（5 分） 若点 P 是椭圆 2 42 + 2 2 = 1(0)上的点， 且点 I 是焦点三角形PF1F2的内心， 第 8 页（共 18 页） F1PF2的角平分线交线段 F1F2于点 M，则| |等于（ ）
16、A23 3 B 2 2 C 3 2 D1 2 【解答】解：令 P 到 F1F2的高为 h，则12= 1 2 2 ， 由内切圆的定义知：12= 1 2 2 ，2+ 1= 1 2 2 ， 故12= 1 2 2 = 1 2 (2 + 2) ，则 = = 3 2+3， = 2 3 = 23 3 ， 故选：A 10 （5 分）设（1+x） 3+（1+x）4+（1+x）50a0+a1x+a2x2+a50x50，则 a3 等于（ ） AC 51 3 BC 51 4 C2C 50 3 DC 50 4 【解答】解：依题意，a3= 3 3 + 4 3 + 5 3 + + 50 3 （4 4 + 4 3）+53 +
17、 + 50 3 （5 4 + 5 3）+63 + + 50 3 = 50 4 + 50 3 = 51 4 故选：B 11 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A14 3 B7 C28 3 D14 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 第 9 页（共 18 页） 该几何体为四棱锥，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD， 且PAD 为正三角形， 设PAD 的中心为 G，过 G 作 GO平面 PAD，且 GO1，则 O 为该几何体的外接球的 球心， 连接 OD，则 OD 为该几何体的外接球的半径 2= 2+ 2= (2 3 3
18、)2+ 12= 7 3 该几何体的外接球的表面积为4 7 3 = 28 3 故选：C 12 （5 分）已知函数 f（x）x4lnxa（x41） （aR） ，若 f（x）0 在 0x1 恒成立， 则 a 的取值范围为（ ） Aa1 B 1 2 C 1 4 D 2 8 【解答】解：() = 4 (41) 4 ，又 0x1，故 x40，则 f（x）0 等价为 (41) 4 = + 4 0， 设() = + 4 ， (0，1，则() = 1 4 5 = 44 5 ， 当 a0 时，g（x）0，g（x）在（0，1上单调递增，而当 x0 时，g（x） ，此时不满足题意； 当 a0 时，令 g（x）0，解得
19、(4) 1 4，令 g（x）0，解得0(4) 1 4， （i）若(4) 1 41，即01 4时，g（x）在(0，(4) 1 4)上单调递减，在(4) 1 4，1上单调 递增， 则()= (4) 1 4) = 1 4 (4) + 1 4 = 1 4 (4) (4 1)， 第 10 页（共 18 页） 由 lnxx1 可知， ln （4a） （4a1） 0 恒成立， 即始终存在0= (4) 1 4， 使得 g （x0） 0，不符合题意； （ii）若(4) 1 4 1，即 1 4时，g（x）在（0，1上单调递减，此时 g（x）ming（1） 0，则 g（x）0 在（0，1上恒成立，满足题意 综上，实
20、数 a 的取值范围为1 4， + ) 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）4x2kx8（kR） ，若 f（x）为偶函数，则 k 0 ；若 f （x）在2，5上是单调函数，则 k 的取值范围是 （，1640，+） 【解答】解：f（x）4x2kx8 的对称轴 x= 8，开口向上， 若 f（x）为偶函数，则 8 = 0即 k0， 由 f（x）在2，5上是单调函数可得， 8 5或 8 2， 解可得，k40 或 k16 故答案为：0； （，1640，+） 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件
21、+ 2 2 0 2 + 4 4 + 1 0 ，则目标函数 z3x+y 的最大值为 6 【解答】解：画出约束条件 + 2 2 0 2 + 4 4 + 1 0 表示的平面区域，如图阴影所示； 平移目标函数 z3x+y 知，当目标函数过点 C 时，z 取得最大值； 由2 + = 4 + 2 2 = 0，求得 C（2，0） ； 所以 z 的最大值为 zmax32+06 故答案为：6 第 11 页（共 18 页） 15 （5 分）已知点 N 在圆 x2+y24x+4y+70 上，点 M 在直线 3x4y+60 上，则|MN|的 最小值为 3 【解答】解：化圆 x2+y24x+4y+70 为（x2）2+（
22、y+2）21， 则圆心坐标为（2，2） ，半径为 1 圆心到直线 3x4y+60 的距离 d= |6+8+6| 32+(4)2 = 41， 直线与圆相离，如图： 由图可知，|MN|的最小值为 413 故答案为：3 16 （5 分）已知甲、乙两地距丙的距离均为 10km，且甲地在丙地的北偏东 25处，乙地在 丙地的南偏东 35处，则甲乙两地的距离为 10 km 【解答】解：由题意，如图所示 OAOB10km，AOB60 OAB 为等边三角形； 甲乙两地的距离为 AB10km； 故答案为：10 第 12 页（共 18 页） 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 17设数列an前 n 项和为
23、Sn，满足 Sn+14an+2（nN+） ，且 a11， （1）若 cn= 2，求证：数列cn是等差数列 （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【解答】证明： （1）数列an前 n 项和为 Sn，满足 Sn+14an+2（nN+） ，则：Sn4an 1+2， 所以 an+14an4an1，整理得1 21 + +1 2+1 = 41 2+1 + 441 2+1 = 2 2 ， 所以数列cn是等差数列 解： （2）由于 S24a1+2，由于 a11， 所以 a23a1+25， 所以数列cn是等差数列，且首项为1= 1 2 = 1 2，公差为 3 4， 所以= 31 4 ， 所以= 2= 31 4
24、2， 则：Sn+14an+2（3n1） 2n+2， 所以= (3 4) 21+ 2 18如图，在直角AOB 中，OAOB2，AOC 通过AOB 以直线 OA 为轴顺时针旋转 120得到 （BOC120） ， 点D为斜边AB上一点， 点M为线段BC上一点， 且 = 43 3 （1）证明：OM平面 AOB； （2）当直线 MD 与平面 AOB 所成的角取最大值时，求二面角 BCDO 的正弦值 第 13 页（共 18 页） 【解答】 （1） 证明： OBM 中， 由余弦定理可得： OM222+(4 3 3 )222 43 3 cos30 = 4 3，解得 OM= 23 3 OM2+OB2MB2OMO
25、B 由题意可知：OAOB，OAOC，OBOCO，OA平面 OBC，OAOM 又 OBOAO，OM平面 AOB （2）解：由（1）可得：OM平面 AOBOD 是斜线 MD 在平面 OAB 的射影 ODM 是直线 MD 与平面 AOB 所成的角，取取最大值时，ODAB，垂足为 D 点 D 为线段 AB 的中点建立如图所示对空间直角坐标系 O（0，0，0） ，B（0，2，0） ，D（0，1，1） ，C（3，1，0） ， =（3，1，0） ， =（0，1，1） ， 设平面 OCD 的法向量为 =（x，y，z） ，则 = =0， 3xy0，y+z0，取 =（1，3，3） ， 同理可得平面 CDB 的法向
26、量 =（3，1，1） cos ， = 3 75 = 105 35 二面角 BCDO 的正弦值为470 35 19如图，F 是抛物线 x24y 的焦点，过 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，抛物线在 A，B 两点处的切线相交于点 M （1）求证：点 M 在抛物线的准线上； （2）已知过抛物线上的点 C 作抛物线的切线分别交直线 AM，BM 于点 P，Q，求FPQ 面积的最小值 第 14 页（共 18 页） 【解答】解： （1）证明：抛物线 x24y 的焦点 F（0，1） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x124y1，x224y2， 直线 AB 的方程为 ykx+1，联立抛物
27、线方程可得 x24kx40， 可得 x1+x24k，x1x24， 由 y= 1 4x 2 的导数为 y= 1 2x，可得 A 处的切线的方程为 yy1= 1 2x1（xx1） ， 即为 y= 1 2x1x 1 4x1 2， 同理可得 B 处切线的方程为 y= 1 2x2x 1 4x2 2， 解方程可得 M（1+2 2 ，12 4 ） ，即 M（2k，1） ， 即点 M 在抛物线的准线 y1 上； （2）设 C（x3，y3） ，可得 C 处的切线 PQ 的方程为 y= 1 2x3x 1 4x3 2， 则点 F 到直线 PQ 的距离为 d= 1+3 2 4 1+32 4 ， 由（1）可得 P（1+
28、3 2 ，13 4 ） ，Q（2+3 2 ，23 4 ） ， 可得|PQ|= |12| 2 1 + 32 4 ， 则 SFPQ= 1 2d|PQ|= |12| 4 （1+ 1 4x3 2）|12| 4 = 12+22212 4 = 12+22+8 4 2(12)+8 4 =1，当且仅当 x12，x22，x30 时取得等号 则FPQ 面积的最小值为 1 20西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有 7 个饭店 第 15 页（共 18 页） 且每个饭店一年有 300 天需要这种鸡，A 饭店每天需要的数量是 1418 之间的一个随机 数，去年 A 饭店这 300 天里每天
29、需要这种鸡的数量 x（单位：只）如表： x 14 15 16 17 18 频数 45 60 75 60 60 这 300 天内，假定这 7 个饭店的情况一样，只探讨 A 饭店当天的需求量即可这 300 天 内，鸡厂和这 7 个饭店联营，每天出栏鸡是定数 7a（14a18） ，送到城里的这 7 个饭 店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是 40 元，饭店给鸡厂结算每只 70 元，如果 7 个 饭店用不完，即当天每个饭店的需求量 xa 时，剩下的鸡只能以每只 56a 元的价钱处 理 （）若 a15，求鸡厂当天在 A 饭店得到的利润 y（单位：元）关于 A 饭店当天需求量 x（单位：只，xN*）的函数
30、解析式； （）若 a16，求鸡厂当天在 A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值； （）a17 时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在 A 饭店得到的利润大于 479 元的概率 【解答】解： （）当 xa 时，y（7040）x+（56a40） （ax）（14+a）x+16a a2， 当 xa 时，y30a， = (14 + ) + 16 2， 30， ( )， 由 a15，得 = 29 + 15，15 450， 15 ( )； （）由（）知，a16， = 30，16 480， 16（xN*） ， 300 天中，有 45 天的利润是 420 元/天，有 60 天的利润是
31、 450 元/天，有 195 天的利润是 480 元/天， 鸡厂当天在 A 饭店得到的利润 （单位： 元） 的平均值为 1 300 (420 45 + 450 60 + 195 480) = 465（元） （）当 a17 时， = 31 17，17 510， 17 ( )， 第 16 页（共 18 页） 当 x16 时，鸡厂当天在 A 饭店得到的利润 y479 元， 鸡厂当天在 A 饭店得到的利润大于 479 元的概率为 60 300 + 60 300 = 2 5 21已知 f（x）（lnx）2+2xaex （l）证明 f（x）在 xl 处的切线恒过定点； （2）若 f（x）有两个极值点，求实
32、数 a 的取值范围 【解答】解： （1）证明：() = 2(+) ， f（1）2ae， 又 f（1）2ae， f（x）在 x1 处的切线方程为 y（2ae）（2ae） （x1） ，即 y（2ae）x， f（x）在 x1 处的切线恒过定点（0，0） ； （2）() = 2(+) ，其中 x0， 设 g（x）2（lnx+x）axex，则() = (+1)(2) ， 当 a0 时，g（x）0，则 g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）在（0，+）上 至多有一个零点， 即 f（x）在（0，+）上至多有一个零点， f（x）至多只有一个极值点，不合题意，舍去； 当 a0 时，设 h（x）2axex，h（
33、x）a（x+1）ex0，则 h（x）在（0，+） 上单调递减， 又(0) = 20，(2 ) = 2 2 2 0， 存在0 (0， 2 )，使得 h（x0）0，即0 0 = 2， 且当 x（0，x0）时，h（x）0，此时 g（x）0，g（x）在（0，x0）上单调递增， 当 x（x0，+）时，h（x）0，此时 g（x）0，g（x）在（x0，+）上单调递减， g （x） 在 （0， +） 上存在极大值 g （x0） ， 即()= 2(0+ 0) 00= 2(0+ 0) 2 = 2(0+ 0 1)， 若 lnx0+x010，则 g（x）0，f（x）0， f（x）在（0，+）上单调递减，不合题意； 若
34、 lnx0+x010，设 p（x）lnx+x，则() = 1 + 10， 第 17 页（共 18 页） p（x）在（0，+）上单调递增，且 p（1）0， x01， （xex）（x+1）ex0， yxex在（0，+）单调递增， 2 = 00，即0 2 ，此时 g（x0）0，f（x0）0， (1 ) = 2(1 + 1 ) 1 1 = 2 + 2 1 10，g（x）在（0，x0）单调递增，g （x0）0， 存在1 (1 ，0)，使得 g（x1）0， 且当 x（0，x1）时，g（x）0，f（x）0，f（x）在 x（0，x1）上单调递减， 当 x（x1，x0）时，g（x）0，f（x）0，f（x）在 x
35、（x1，x0）上单调递增， f（x）在 xx1处取得极小值， 又exx+1x1lnx，exx+1x， (4 ) = 2( 4 + 4 ) 4 4 = 2(4 4 ) + 4 4 0， g（x）在（x0，+）单调递减，g（x0）0， 又0 (0， 2 )， 4 0， 存在2 (0， 4 )，使得 g（x2）0， 且当 x（x0，x2）时，g（x）0，f（x）0，f（x）在（x0，x2）单调递增， 当 x（x2，+）时，g（x）0，f（x）0，f（x）在（x2，+）单调递减， f（x）在 xx2处取得极大值 综上所述，若 f（x）有两个极值点，则实数 a 的取值范围为(0， 2 ) 22在直角坐标
36、系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩变换 ： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的 极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 第 18 页（共 18 页） 【解答】 解：（） 参数方程 = = （其中 为参数） 的曲线经过伸缩变换： = 2 = 得 到曲线 C： 2 4 + 2= 1； 曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 转化为直角坐标方程为： + 35 = 0； （
37、）设点 P（2cos，sin）到直线 x+y35 =0 的距离 d= |2+35| 2 = |5(+)35| 2 ， 当 sin（+）1 时，dmin= 10 23已知函数 f（x）|2x2a|a （1）当 a2 时，解不等式 f（x）3； （2）是否存在实数 a，使得 f（x）|3x|恒成立？若存在求出实数 a 满足的条件，不存在 说明理由 【解答】解： （1） 当 a2 时，f（x）|2x4|2= 2 + 2， 2 2 6，2 ， 当 x2 时，2x+23，解得 1 2， 1 2 2 当 x2 时，2x63，解得 9 2，2 9 2 综上所述，a2 时，不等式 f（x）3 的解集为：( 1 2， 9 2) （2） f（x）|3x|恒成立，即|2x2a|3x|a0 恒成立 当 a0 时，|2x2a|3x|a= + ， 5 3，0 3， 0 ， 此时，|2x2a|3x|a 的最大值3a0，解得 a0，不成立； 当 a0 时，|2x2a|3x|a= + ， 0 5 + ，0 3， ， 此时，|2x2a|3x|a 的最大值 a0，结合条件，a0 综上所述，存在 a0，使 f（x）|3x|恒成立
