1、 第 1 页（共 19 页） 2020 高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（12） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|4x23x0，Bx|y= 2 1，则 AB（ ） A0，3 4 B C0，1 2 D1 2， 3 4 2 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 3 （5 分）已知某团队有老年人 28 人，中年人 56 人，青年人 84 人，若按老年人，中年人， 青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 12 的样
2、本，则从中年人中应抽取（ ） A2 人 B4 人 C5 人 D3 人 4 （5 分）已知双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 5 （5 分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值() ,1 4 ，2-，那么输入的实数 x 的取 值范围是（ ） A1，2 B2，1 C （，12，+） D （，1（2，+） 6 （5 分）已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如图所示，则该 凸多面体的体积 V（ ） 第 2 页（共 19 页） A1+ 2 6 B1 C 2 6 D1+ 2
3、 2 7 （5 分） 已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn， S43 （a1+a2） ， 则公比 q 的值为 （ ） A2 B3 C5 D2 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1则该几何体的体积 为（ ） A 3 B2 3 C D4 3 9 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）e|x|sin（x+） （0，0）的部分图 象如图所示，设 x0为 f（x）的极大值点，则 cosx0（ ） A 5 5 B25 5 C3 5 D4 5 10 （5 分）若抛物线 xmy2的焦点到准线的距离为 2，则 m（ ） A4 B1 4 C 1 4 D1 4 11 （
4、5 分）数列an是公差为 2 的等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a1，a4，a13成等比数列， 则 S4（ ） A8 B12 C16 D24 12 （5 分）不等式 3 0的解集为（ ） 第 3 页（共 19 页） A, 3 + ， 2 + )，kZ B, 3 + 2， 2 + 2)，kZ C, 3 + ，+ )，kZ D, 3 + 2，+ )，kZ 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 ， 满足（ +2 ） （ ）6，且| |1，| |2，则 cos ， = 14 （5 分）在数列an中，a11，an+12
5、nan，则数列an的通项公式 an 15 （5 分）若 sin（）coscos（）sin= 4 5，则 cos2 16 （5 分）关于函数() = 2 + （1）x2 是 f（x）的极小值点； （2）函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点； （3）() 1 2 恒成立； （4）设函数 g（x）xf（x）+x2+4，若存在区间,，- ,1 2， + )，使 g（x）在a， b上的值域是k（a+2） ，k（b+2），则 (1， 9+22 10 - 上述说法正确的序号为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知三角形 A
6、BC 的面积为3，A= 5 6 ，D 在边 BC 上，CAD= 6，BD2DC， 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c求 a，b，c 18 （12 分）如图直三棱柱 ABCA1B1C1，AA1= 2，底面是边长为 1 的等边三角形，D 为 BB1的中点，AC1与 CA1交于点 E （）证明：DE平面 A1B1C1； （）求点 B 到平面 DCA1的距离 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）近年来郑州空气污染教委严重，县随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气中 PM2.5 指数的监测数据，统计结果如表： PM2.5 0，50 （50， 100 （100， 150 （150
7、， 200 （200， 250 （250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 重度污染 中重度污染 重度污染 天数 4 15 18 30 7 11 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S（单位：元） ，PM2.5 指数为 x，当 x 在区 间0，100内时，对该企业没有造成经济损失；当 x 在区间（100，300内时，对该企业 造成的经济损失成直线模型 （当 PM2.5 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元， 当 PM2.5 指数为 200 时，造成的经济损失为 700 元） ；当 PM2.5 指数大于 300 时，造成的经济损失 为 2000 元 （1）
8、试写出 S（x）的表达式 （2）试估计在本年内随机抽取一天，该天的经济损失大于 500 元且不超过 900 元的概率 （3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面列 联表，并判断是否有 95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关 附： P（k2 k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.32 2.07 2.70 3.841 5.02 6.63 7.87 10.828 k2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计
9、100 20 （12 分）已知动圆过定点 F（0，1） ，且与直线 l：y1 相切，动圆圆心的轨迹为 C， 过 F 作斜率为 k（k0）的直线 m 与 C 交于两点 A，B，过 A，B 分别作 C 的切线，两切 线的交点为 P，直线 PF 与 C 交于两点 M，N （1）证明：点 P 始终在直线 l 上且 PFAB； （2）求四边形 AMBN 的面积的最小值 第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）设函数 f（x）alnx+ ，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y 30 （1）求 a，b； （2）证明：f（x）e x 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，
10、满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2:|2的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|的最小值为1 2 （1）求证：a+2b1； （2）若 2a+btab 恒成立，求实数 t 的最大值 第 6 页（共 19 页） 2020 高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全
11、国一卷高考模拟试卷（12） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|4x23x0，Bx|y= 2 1，则 AB（ ） A0，3 4 B C0，1 2 D1 2， 3 4 【解答】解：依题意， = *|42 3 0+ = *|0 3 4+， = *| = 2 1+ = *| 1 2+， 故 = ,1 2， 3 4- 故选：D 2 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 【解答】解： = 2020+3 1+ = 1+3 1+
12、= (1+3)(1) (1+)(1) = 2 + ， z 的虚部是 1 故选：D 3 （5 分）已知某团队有老年人 28 人，中年人 56 人，青年人 84 人，若按老年人，中年人， 青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 12 的样本，则从中年人中应抽取（ ） A2 人 B4 人 C5 人 D3 人 【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取 12 56 28+56+84 =4 人 故选：B 4 （5 分）已知双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 【解答】解：根据题意，双曲线 C 与双曲线
13、 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，设双曲线 C 的方程为 2 2 2 6 = ， （t0） ， 又由双曲线 C 经过点 P（2，3） ，则有 2 1 2 =t，则 t= 3 2， 第 7 页（共 19 页） 则双曲线的 C 的方程为 2 2 2 6 = 3 2，即： 2 3 2 9 =1，其焦距 c23，a= 3， 所以双曲线的离心率为：e= =2 故选：D 5 （5 分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值() ,1 4 ，2-，那么输入的实数 x 的取 值范围是（ ） A1，2 B2，1 C （，12，+） D （，1（2，+） 【解答】解：由题意函数 f（x）可看成是分段函数， f
14、（x）= 2 ， ,2，2- 2， (，2) (2，+ )， 当输出的函数值() ,1 4，2-时， f（x）2x1 4，2，x2，2， 即解1 4 2x2， 解得2x1，即 x2，1， f（x）2 时，x（，2）（2，+） ， 由两种情况都有可能，所以想的范围为并集， 即 x（，1（2，+） 故选：D 6 （5 分）已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如图所示，则该 第 8 页（共 19 页） 凸多面体的体积 V（ ） A1+ 2 6 B1 C 2 6 D1+ 2 2 【解答】解：几何体如图：下部是正方体，棱长为 1，上部是正四棱锥，高为： 2 2 ， 所以该凸多面
15、体的体积 V111+ 1 3 1 1 2 2 =1+ 2 6 故选：A 7 （5 分） 已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn， S43 （a1+a2） ， 则公比 q 的值为 （ ） A2 B3 C5 D2 【解答】解：S43（a1+a2） ，q1 1( 4;1) ;1 =3a1（1+q） ， 化为：q22，解得 q= 2 故选：D 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1则该几何体的体积 为（ ） 第 9 页（共 19 页） A 3 B2 3 C D4 3 【解答】解：由三视图还原原几何体， 可知该几何体为圆柱内部去掉一个圆锥， 圆柱的体积为 2，圆锥的体积
16、为2 3 ， 则该几何体的体积为 V2 2 3 = 4 3 故选：D 9 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）e|x|sin（x+） （0，0）的部分图 象如图所示，设 x0为 f（x）的极大值点，则 cosx0（ ） A 5 5 B25 5 C3 5 D4 5 【解答】解：依题意，函数 ysin（x+）为偶函数， 又 0，故 = 2，由图象可知，( 4) = ( 3 4 ) = 0，可得 2， 第 10 页（共 19 页） f（x）e|x|cos2x， 由函数 f（x）为偶函数，故只需考虑 x0 的情况， 当 x0 时，f（x）excos2x，f（x）ex（cos2x2sin2x）
17、= 5(2 + )， = 25 5 ， = 5 5 ， 当2 + = 2 + 2， 时，f（x）有极大值， 故20= ( 2 ) = = 25 5 故选：B 10 （5 分）若抛物线 xmy2的焦点到准线的距离为 2，则 m（ ） A4 B1 4 C 1 4 D1 4 【解答】 解： 抛物线xmy2， y2= 1 x的焦点到准线的距离为p， 由标准方程可得| 1 2|2， 解得 m1 4， 故选：D 11 （5 分）数列an是公差为 2 的等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a1，a4，a13成等比数列， 则 S4（ ） A8 B12 C16 D24 【解答】解：数列an是公差 d 为 2 的
18、等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a1，a4，a13成等 比数列， 可得 a42a1a13，即（a1+6）2a1（a1+24） ， 解得 a13， 则 S44a1+6d43+6224 故选：D 12 （5 分）不等式 3 0的解集为（ ） A, 3 + ， 2 + )，kZ B, 3 + 2， 2 + 2)，kZ C, 3 + ，+ )，kZ D, 3 + 2，+ )，kZ 【解答】解：不等式 3 0转换为： 3， 解得： 3 + 2 + （kZ） ， 第 11 页（共 19 页） 故：不等式的解集为： , 3 + ， 2 + )（kZ） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小
19、题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知向量 ， 满足 （ +2 ） （ ） 6， 且| |1， | |2， 则 cos ， = 1 2 【解答】解：根据题意，向量 ， 满足（ +2 ） （ ）6，且| |1，| |2， 则有（ +2 ） （ ）= 2+ 2 2 7+2cos ， = 6， 解可得：cos ， = 1 2； 故答案为：1 2 14 （5 分）在数列an中，a11，an+12nan，则数列an的通项公式 an ，为奇数 1，为偶数 【解答】解：an+12nan， an+1+an2n，an+an12（n1） （n2）， 得：an+1an12 （n2）
20、 ，又a11， 数列an的奇数项为首项为 1，公差为 2 的等差数列， 当 n 为奇数时，ann， 当 n 为偶数时，则 n1 为奇数，an2（n1）an12（n1）（n1）n1， 数列an的通项公式= ，为奇数 1，为偶数， 故答案为：= ，为奇数 1，为偶数 15 （5 分）若 sin（）coscos（）sin= 4 5，则 cos2 7 25 【解答】解：若 sin（）coscos（）sin= 4 5， 即 sin（）= 4 5， sin（）= 4 5， sin= 4 5， 第 12 页（共 19 页） cos（2）12sin2 12（ 4 5） 2 1 32 25 = 7 25 故答案
21、为： 7 25 16 （5 分）关于函数() = 2 + （1）x2 是 f（x）的极小值点； （2）函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点； （3）() 1 2 恒成立； （4）设函数 g（x）xf（x）+x2+4，若存在区间,，- ,1 2， + )，使 g（x）在a， b上的值域是k（a+2） ，k（b+2），则 (1， 9+22 10 - 上述说法正确的序号为 （1） （2） （4） 【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+） ，() = 1 2 2 = 2 2 ， 令 f（x）0，解得 x2，令 f（x）0，解得 0x2， 故函数 f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上
22、单调递增， x2 是 f（x）的极小值点，故（1）正确； 设() = () ，() = () 1 = 2 2 1 = 2+2 2 = 2+2 2 = (1 2) 2+7 4 2 0， 函数 m（x）在（0，+）上为减函数， 又 m（1）10，m（2）1+ln22ln210， 由零点存在性定理可知，函数 m（x）有且仅有一个零点，故（2）正确； 设() = () 1 2，则(4) = 1 2 + 4 20，即存在 x（0，+） ，使得() 1 2 ， 故（3）错误； 函数 g（x）xf（x）+x2+4xlnx+x2+2，则 g（x）lnx+2x1， 令() = + 2 1，() = 1 + 2
23、= 21 ， 第 13 页（共 19 页） 易知函数 n（x）在,1 2， + )上单调递增， () (1 2) = 1 2 + 1 1 = 20，即 g（x）0， g（x）在,1 2 ，+ )上单调递增，故 g（x）在区间,，- ,1 2 ，+ )上单调递增， () = ( + 2) () = ( + 2) (1 2 )，则 g（x）k（x+2）在,1 2， + )上至少有两个不同的 正根， 即 = () +2在, 1 2， + )上至少有两个不同的正根， 设() = () +2 = +22 +2 ( 1 2)，则() = 2+324 (+2)2 ， 令() = 2+ 3 2 4( 1 2)
24、，则() = 2 + 3 2 = (21)(+2) 0， 故函数 F（x）在,1 2， + )上单调递增，且(1 2) = 1 4 + 3 2 + 22 40，(1) = 0， 当 ,1 2，1-时，F（x）0，当 x（1，+）时，F（x）0， 函数 G（x）在,1 2，1-上单调递减，在（1，+）上单调递增， (1) (1 2)，而(1) = 1，( 1 2) = 1 2 1 2+ 1 42 1 2+2 = 9+22 10 ， 1 9+22 10 ，故（4）正确 故答案为： （1） （2） （4） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分）
25、 17 （12 分）已知三角形 ABC 的面积为3，A= 5 6 ，D 在边 BC 上，CAD= 6，BD2DC， 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c求 a，b，c 【解答】解：依题意， = 6 ， = 2 3 ， 三角形 ABC 的面积为3， 1 2 5 6 =3，即 = 43， 在ABD 中，由正弦定理有， = ， 在ACD 中，由正弦定理有， = ， 又 = 2， = 3 2 ， = 1 2， = ， 第 14 页（共 19 页） = 3 2 ， = 6， = 22， 2= 2+ 2 2 5 6 = 6 + 8 2 6 22 ( 3 2 ) = 26， = 26 18 （12 分
26、）如图直三棱柱 ABCA1B1C1，AA1= 2，底面是边长为 1 的等边三角形，D 为 BB1的中点，AC1与 CA1交于点 E （）证明：DE平面 A1B1C1； （）求点 B 到平面 DCA1的距离 【解答】 （）证明：取 A1C1 的中点 F，连接 EF，B1F， EFAA1，BB1AA1，DB1EF， 又EF= 1= 1 2 1，四边形 DEFB1 为平行四边形，则 DEB1F 又B1F平面 A1B1C1，DE平面 A1B1C1 DE平面 A1B1C1； （）解：取 AB 的中点 H，连接 CH， 由直三棱柱的性质可得 CH平面 AA1B1B，CH= 3 2 ，1= 2 4 设点 B
27、 到平面 DCA1的距离为 h，又1= 3 4， 由;1= ;1，得1 3 1 = 1 3 1 ， 即1 3 3 4 = 1 3 2 4 3 2 ，解得 h= 6 6 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）近年来郑州空气污染教委严重，县随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气中 PM2.5 指数的监测数据，统计结果如表： PM2.5 0，50 （50， 100 （100， 150 （150， 200 （200， 250 （250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 重度污染 中重度污染 重度污染 天数 4 15 18 30 7 11 15 记某企业每天由空气污
28、染造成的经济损失为 S（单位：元） ，PM2.5 指数为 x，当 x 在区 间0，100内时，对该企业没有造成经济损失；当 x 在区间（100，300内时，对该企业 造成的经济损失成直线模型 （当 PM2.5 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元， 当 PM2.5 指数为 200 时，造成的经济损失为 700 元） ；当 PM2.5 指数大于 300 时，造成的经济损失 为 2000 元 （1）试写出 S（x）的表达式 （2）试估计在本年内随机抽取一天，该天的经济损失大于 500 元且不超过 900 元的概率 （3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染
29、，完成下面列 联表，并判断是否有 95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关 附： P（k2 k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.32 2.07 2.70 3.841 5.02 6.63 7.87 10.828 k2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）当 x0，100时，S（x）0； 当 x（100，300时，设 S（x）kx+b， 由150 + = 500 200 + = 700，
30、解得 k4，b100， 所以 S（x）4x100； 当 x300 时，S（x）2000； 综上，S（x）= 0， ,0，100- 4 100， (100，300- 2000， (300，+ ) ； （2）根据题意，当 x（100，300时， S（x）4x100； 令 5004x100900， 解得 150x250； 在抽取的样本中，PM2.5 的指数 x（150，250时有 30+737（天） ， 故所求的概率为 P= 37 100 =0.37； （3）填写列联表如下： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖 季 63 7 70 合计 85 15 100 根据表中数据，计算
31、 K2= 100(227638)2 30708515 4.5753.481， 对照临界值表知，有 95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关 20 （12 分）已知动圆过定点 F（0，1） ，且与直线 l：y1 相切，动圆圆心的轨迹为 C， 过 F 作斜率为 k（k0）的直线 m 与 C 交于两点 A，B，过 A，B 分别作 C 的切线，两切 线的交点为 P，直线 PF 与 C 交于两点 M，N （1）证明：点 P 始终在直线 l 上且 PFAB； （2）求四边形 AMBN 的面积的最小值 【解答】解： （1）动圆过定点 F（0，1） ，且与直线 l：y1 相切， 第 17 页（共 1
32、9 页） 动圆圆心到定点 F（0，1）和定直线 y1 的距离相等， 动圆圆心的轨迹 C 是以 F（0，1）为焦点的抛物线， 轨迹 C 的方程为：x24y， 设(1， 1 2 4 )，(2， 2 2 4 )， x24y，= 2， 直线 PA 的方程为： 1 2 4 = 1 2 ( 1)，即：4 = 21 1 2， 同理，直线 PB 的方程为：4 = 22 2 2， 由可得：(1+2 2 ， 12 4 )， 因为过 F 作斜率为 k（k0）的直线 m，所以直线 m 方程为：ykx+1， 联立 = + 1 2= 4 可得：x24kx40，所以1 + 2= 4 12= 4 ， P（2k，1） ， =
33、1 = 1， 点 P 始终在直线 l 上且 PFAB （2）设直线 AB 的倾斜角为 ，由（1）可得： | = 1 + 2|1 2| = 4(1 + 2) = 4(1 + 2) = 4 2， | = 4 2(+90) = 4 2， 四边形 AMBN 的面积为：1 2 | | = 8 22 = 32 22 32， 当且仅当 45或 135，即 k1 时取等号， 四边形 AMBN 的面积的最小值为 32 21 （12 分）设函数 f（x）alnx+ ，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y 30 （1）求 a，b； （2）证明：f（x）e x 【解答】解： （1）函数 f（x
34、）alnx+ ，函数的定义域为 x0，f（x）= 2， 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y30， 可得 f（1）2，f（1）1，即 a = 1 = 2 解得 a1，b2 第 18 页（共 19 页） （2）f（x）lnx+ 2 ，要证 f（x）e x即证：exf（x）1，即 +2 1， 又 f（1）eln1+2e2e1， 于是函数 f（x）的图象与直线 y1 满足：exf（x）1 等价于 xlnxxe x2 设函数 h（x）xlnx，则 h（x）lnx+1所以当 x（0，1 ）时，h（x）0；当 x （1 ，+）时，h（x）0 故 h（x）在（0，1 ）单调递减，在（
35、 1 ，+）单调递增，从而 h（x）在（0，+）的最 小值为 h（1 ）= 1 g（x）xe x2，则 g（x）ex（1x） 所以当 x（0，1）时，g（x）0；当 x（1，+）时，g（x）0故 g（x）在 （0，1）单调递增， 在（1，+）单调递减， 从而 g（x）在（0，）的最大值为 g（1）= 1 2 综上，当 x0 时，h（x）g（x） ，即 exf（x）1 可知 f（x）e x 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x
36、 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2:|2的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1， 转换为极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ， 设 P（1，） ，则 Q（2， 2） ， 第 19 页（共 19 页） 所以 |2|2 |2:|2 = 1 1 |2: 1 |2 = 1 1 12: 1 22 = 1 3 4 2:1 4: 3 4 2:1 4 = 4 5
37、五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|的最小值为1 2 （1）求证：a+2b1； （2）若 2a+btab 恒成立，求实数 t 的最大值 【解答】解： （1）证明：a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|x+ 2|+|x+ 2|+|xb| | 2 + 2|+|x+ 2 x+b|0+|b+ 2|b+ 2， 当且仅当 xb 时，上式取得等号，可得 f（x）的最小值为 b+ 2， 则 b+ 2 = 1 2，即 a+2b1； （2）若 2a+btab 恒成立，由 a，b0，可得 t 1 + 2 恒成立， 由1 + 2 =（a+2b） （1 + 2 ）5+ 2 + 2 5+22 2 =9， 当且仅当 ab= 1 3，上式取得等号， 则 t9，可得 t 的最大值为 9
